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专题训练七相切的存在性问题

发布时间：2026-10-29 02:44:56 最近访问：2026-10-29 02:44:57

专题训练七相切的存在性问题

专题攻略

一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形。

解这类问题，一般分三个步骤：第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根。

第一步在罗列三要素 R、r、d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素就是要用含有 x 的式子表示的。

第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况。

二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形。

解这类问题，一般也分三个步骤：第一步先罗列两要素：R 和 d，第二步列方程，第三步解方程并验根。

第一步在罗列两要素 R 和 d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素就是要用含有 x 的式子表示的。

第二步列方程，就是根据直线与圆相切时 d = R 列方程。

针对训练

1.如图，P 是抛物线 y = x² − 5x + 5 上的一个动点，⊙P 的半径为 1，如果⊙P 与坐标轴相切，求圆心 P 的坐标。

2. 如图，在梯形 ABCD 中，∠ABC = 90°，AD ∥ BC，AB = 8，BC = 18，sin∠BCD = 4/5，点 P 从点 B 开始沿 BC 边向终点 C 以每秒 3 个单位长度的速度移动，点 Q 从点 D 开始沿 DA 边向终点 A 以每秒 2 个单位长度的速度移动，设运动时间为 t 秒。如果 ⊙P 的半径为 6，⊙Q 的半径为 4，在移动的过程中，试探索：t 为何值时 ⊙P 与 ⊙Q 外离、外切、相交？

3. 如图，已知直线 l：y = 4/3·x + 4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，⊙O 的半径为 1，点 C 是 y 轴正半轴上的一个点，如果 ⊙C 既与 ⊙O 相切，也与直线 l 相切，求圆心 C 的坐标。

4. △ABC 中，BC = AC = 5，AB = 8，CD 为 AB 边上的高。如图 1，A 在原点处，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限。若 A 从原点出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长度的速度运动，则点 B 随之沿 y 轴下滑，并带动 △ABC 在平面上滑动。如图 2，设运动的时间为 t 秒，当 B 到达原点时停止运动。当以点 C 为圆心、CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求 t 的值。

三年真题

5. （15 株洲 23）如图 1，已知 AB 是圆 O 的切线，切点为 B，直线 AO 交圆 O 于 C、D 两点，CD = 2，∠DAB = 30°，动点 P 在直线 AB 上运动，PC 交圆 O 于另一点 Q。

（1）当点 P 运动到 Q、C 两点重合时（如图 1），求 AP 的长。

（2）点 P 在运动过程中，有几个位置（几种情况）使 △CQD 的面积为 1/2？（直接写出答案）

（3）当 △CQD 的面积为 1/2，且 Q 位于以 CD 为直径的上半圆周上，CQ > QD 时（如图 2），求 AP 的长。

6. （15 济宁 22）如图，⊙E 的圆心 E(3, 0)，半径为 5，⊙E 与y 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的上方），与 x 轴的正半轴相交于点 C。直线 l 的解析式为 y = 3/4·x + 4，与 x 轴相交于点 D，以点 C 为顶点的抛物线经过点 B。

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线 l 与 ⊙E 的位置关系，并说明理由；

（3）动点 P 在抛物线上，当点 P 到直线 l 的距离最小时，求出点 P 的坐标及最小距离。

7. （13 连云港 26）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 (8, 0)、(0, 6)。动点 Q 从点 O、动点P 从点 A 同时出发，分别沿着 OA 方向、AB 方向均以 1 个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为 t 秒（0 < t ≤ 5）。以 P 为圆心，PA 长为半径的 ⊙P 与 AB、OA 的另一个交点分别为点 C、D，连结 CD、QC。

（1）求当 t 为何值时，点 Q 与点 D 重合？

（2）设 △QCD 的面积为 S，试求 S 与 t 之间的函数关系式，并求 S 的最大值；

（3）若 ⊙P 与线段 QC 只有一个交点，请直接写出 t 的取值范围。

8. （14 南京 26）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 4 厘米，BC = 3 厘米，⊙O 为 △ABC 的内切圆。

（1）求 ⊙O 的半径；

（2）动点 P 从点 B 沿 BA 向点 A 以每秒 1 厘米的速度匀速运动，以 P 为圆心，PB 为半径作圆。设点 P 运动的时间为 t 秒，若 ⊙P 与 ⊙O 相切，求 t 的值。

两年模拟

9. （2015 年苏州市中考模拟第 28 题）如图 1，Rt△DEF 的直角边 DE 落在 AB 上，点 D 与点 B 重合，过 A 点作射线 AC 与斜边 EF 平行，已知 AB = 12，DE = 4，DF = 3。点 P 从 A 点出发，沿射线 AC 方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，Q 为 AP 的中点，设运动时间为 t 秒（t > 0）。