九年级数学上册|《二次函数》同步练习题(含答案)

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一、二次函数的定义与识别

1. 判断下列各函数是否为二次函数；若是，写出二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c。          （1）y = 3x² − 2x + 1（2）y = x(5 − x)（3）y = 2/x² + 1（4）y = (x + 1)² − x²

【答案】 （1）是，a=3，b=−2，c=1。          （2）y = −x² + 5x，是，a=−1，b=5，c=0。          （3）不是，分母含 x，不是整式函数。          （4）y = x² + 2x + 1 − x² = 2x + 1，化简后是一次函数，不是二次函数（a=0）。

2. 用 20 m 的绳子围矩形绿地，一边长为 x m，面积 y m²。写出 y 关于 x 的函数解析式，并判断是否为二次函数。

【答案】 另一边长为 (10 − x) m，y = x(10 − x) = −x² + 10x，是二次函数（a=−1≠0），且 0 < x < 10。

二、二次函数的图象与性质

3. 说出抛物线 y = −3(x − 2)² + 4 的开口方向、对称轴、顶点，以及它的最大值或最小值。

【答案】 a = −3 < 0，开口向下；对称轴 x = 2；顶点 (2, 4)；有最大值 4（当 x = 2 时取得）。

4. 将抛物线 y = 2x² 向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，求所得抛物线的解析式、对称轴和顶点。

【答案】 右移 3：y = 2(x − 3)²；下移 1：y = 2(x − 3)² − 1。对称轴 x = 3，顶点 (3, −1)。

5. 已知二次函数 y = x² − 4x + 3。求：(1) 对称轴与顶点坐标；(2) 它与 x 轴的交点坐标；(3) 当 x 为何值时 y 随 x 增大而减小。

【答案】 配方：y = (x − 2)² − 1。          (1) 对称轴 x = 2，顶点 (2, −1)。          (2) 令 y=0：x² − 4x + 3 = 0 → (x−1)(x−3)=0 → 交点 (1,0)、(3,0)。          (3) a>0，在对称轴左侧递减，即当 x < 2 时 y 随 x 增大而减小。

6. 二次函数 y = ax² + bx + c 的对称轴为 x = 2，顶点为 (2, −1)，且图象过点 (0, 3)。求 a、b、c 的值及解析式。

【答案】 由对称轴 −b/(2a) = 2，顶点纵坐标 (4ac−b²)/(4a) = −1，代入 (0,3) 得 c = 3。          设顶点式 y = a(x − 2)² − 1，代入 (0,3)：3 = a·4 − 1 → a = 1；则 b = −4a = −4，c = 3。          解析式 y = x² − 4x + 3。

7. 求二次函数 y = 2x² − 4x − 6 的最大值或最小值，并指出取得最值时的 x。

【答案】 配方 y = 2(x − 1)² − 8。a=2>0，有最小值 −8，当 x = 1 时取得；无最大值。

三、二次函数与一元二次方程

8. 二次函数 y = x² − 2x − 3 的图象与 x 轴有几个公共点？写出公共点坐标，并说明对应方程根的情况；当 x 取什么范围时函数值大于 0？

【答案】 令 y=0：x² − 2x − 3 = (x−3)(x+1) = 0 → 公共点 (−1,0)、(3,0)，两个，对应方程有两个不等实根 x=−1、x=3。          由图象开口向上，y > 0 当 x < −1 或 x > 3。

9. 利用函数图象估计方程 x² − 2x − 2 = 0 的根（结果保留小数点后一位）。

【答案】 函数 y = x² − 2x − 2 与 x 轴交点横坐标约为 −0.7 和 2.7，故 x₁ ≈ −0.7，x₂ ≈ 2.7。

四、二次函数的实际应用（最值问题）

10. 用 24 m 长的篱笆靠一面墙围一个矩形菜园（墙足够长）。怎样围面积最大？最大面积是多少？

【答案】 设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙边长为 (24 − 2x) m，面积 S = x(24 − 2x) = −2x² + 24x（0     <x<12）。             当 x = −24/(2×(−2)) = 6 时，S_max = −2×36 + 24×6 = 72。           答：垂直于墙 6 m（平行于墙 12 m）时面积最大，最大 72 m²。      </x<12）。     

11. 某商店销售一种商品，进价 40 元/件，售价 50 元/件时每月可卖 500 件。若售价每上涨 1 元，每月少卖 10 件（售价为整数）。设售价上涨 x 元，回答：          （1）写出月销售利润 y 与 x 的函数解析式及 x 的范围；          （2）售价定为多少时利润最大？最大利润是多少？

【答案】 （1）y = (50 + x − 40)(500 − 10x) = (10 + x)(500 − 10x) = −10x² + 400x + 5000，0 ≤ x ≤ 50。          （2）顶点 x = −400/(2×(−10)) = 20，售价 = 50 + 20 = 70 元，y_max = −10×400 + 400×20 + 5000 = 9000 元。

12. 竖直上抛一个小球的高度 h（m）与运动时间 t（s）的关系为 h = −5t² + 20t + 1。          （1）小球达到的最高高度是多少？（2）经过多少秒达到最高？（结果保留一位小数）

【答案】 h = −5(t − 2)² + 21。a<0，最大值 21 m，当 t = 2.0 s 时取得。

13. 一座抛物线形拱桥，以顶点为原点、对称轴为 y 轴建立坐标系，拱桥可表示为 y = ax²。已知水面宽 10 m 时拱顶离水面 4 m。当水面上升 1 m 时，水面宽约为多少（保留一位小数）？

【答案】 水面宽 10 m 时，交点为 (±5, −4)，代入 −4 = a·25 → a = −4/25，y = −4/25 x²。          水面上升 1 m，纵坐标 y = −3，−3 = −4/25 x² → x² = 75/4 = 18.75 → x ≈ ±4.33。          水面宽 ≈ 2×4.33 ≈ 8.7 m。

五、综合提升

14. 抛物线 y = ax² + bx + c 经过 (−1, −22)、(0, −8)、(2, 8) 三点。求它的开口方向、对称轴和顶点。

【答案】 代入：c = −8；a − b − 8 = −22 → a − b = −14；4a + 2b − 8 = 8 → 4a + 2b = 16 → 2a + b = 8。          联立得 a = −2，b = 12。y = −2x² + 12x − 8 = −2(x − 3)² + 10。          a = −2 < 0，开口向下；对称轴 x = 3；顶点 (3, 10)。

15. （数学活动改编）观察两个两位数，十位数字都是 9，个位数字之和为 10（如 91×99、92×98…）。          （1）猜想哪个积最大；（2）用二次函数的知识说明你的猜想。

【答案】 （1）猜想：9a × 9(10−a) 中，当个位数字 5 和 5（即 95×95）时积最大。          （2）设其中一个数的个位为 x，则另一个为 (10−x)，积 P = (90 + x)(90 + 10 − x) = (90+x)(100−x)          = −x² + 10x + 9000 = −(x − 5)² + 9025。当 x = 5 时 P 最大，为 9025，即 95×95 最大。

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