与AI一起从零开始的GAMES101之旅 02(上)|线性代数:向量、坐标与点乘

Lecture 02 · Review of Linear Algebra ｜ 闫令琪（UCSB）｜ 原视频 BV1X7411F744 第 2 集

写在前面

这是《与AI一起从零开始的GAMES101之旅》的第 2 篇（上），我自学 GAMES101 的笔记。素材是闫令琪老师的公开课，我对照字幕整理。分工说清楚：AI 先出初稿——分节、补推导、标出后面哪一讲会用到；我再逐节复核，改措辞、拆长句、删掉写偏的地方。技术判断以课程为准，其余是我的；哪里讲错了，是我复核没做到位。

这一讲是复习课，内容本身不深，工科本科都学过。但它在整门课里的地位是最高的，原因只有一句：

后面二十讲不会再有新的线性代数概念，只会有这些工具的组合。

所以检验标准不是“看懂了”，是能不能不查资料写出点乘、叉乘、矩阵乘法，并且知道每个操作在几何上意味着什么。做不到这一条，后面每一讲都会有点悬。

如果你也是非科班、想靠自己把这门课啃完的人，那这份笔记大概就是写给你的。

课程版权归闫令琪老师及原课程团队所有。这里只做学习记录，不转载视频、不提供课件。

这一讲要交出的四件工具

这张表建议存下来。它是这一讲的目录，也是后面二十讲的索引。

这一讲的结构

全讲 59 分 49 秒，分十节。前三节（01–04）在本篇，05–07 在中篇，08–10 在下篇。

怎么读

十章建议全读。如果时间被切碎，按这个优先级：

• 必须吃透（缺了后面直接卡）
  ：08 判内外（第五讲光栅化的前提）、09 矩阵乘法与形状规则（第四讲的前提）
• 高频复用（几乎每讲都用）
  ：04 点乘求夹角、07 叉乘求法线
• 容易忽略但会致命
  ：03 列向量约定——搞错这一条，你抄来的所有变换矩阵都会转反，而且极难从画面上看出来
• 可以快读
  ：01（依赖清单，当索引看）

每章读完的自检：如果你能不看原文说出“点乘的结果为什么是一个数”“叉乘为什么没有交换律”“矩阵的每一列代表什么”，这一讲就过了。

一个记法约定：文中用 a、b、n 这样的字母表示向量，‖a‖ 表示长度，â 表示同方向的单位向量，a · b 是点乘，a × b 是叉乘，Aᵀ 是转置，A⁻¹ 是逆。矩阵如果有多行，会用等宽块写出来，一行一行看即可。

01 · 图形学站在哪些学科上

原视频 P2 00:00–06:05（约 6 分钟）

这一节解决什么

学一门课最怕的是“不知道这块知识以后用在哪”。这一节把图形学的依赖关系摊开，让你在学后面每一章时都知道自己正在补哪块地基。

同时它给出一个重要的心理预期：图形学不是靠聪明，是靠拼装。 它要求的东西都不深，但要求你同时握着好几样。

依赖清单

课程列了五类，这里按“你会在哪一章用到”重新排一遍：

这张表值得存下来。当你在第 14 讲被蒙特卡洛积分卡住时，回头看第三行——你不是在学图形学，你是在补概率论。 这个认知能省掉很多自我怀疑。

三个需要展开的点

第一，光线不一定是直的。

课程提到一个前沿方向：波动光学。标准图形学假设光沿直线传播（几何光学），这足以解释反射、折射、阴影、景深。但当你要解释衍射、干涉、结构色——比如蝴蝶翅膀的蓝、肥皂泡的彩纹、CD 背面的彩虹——直线假设就失效了，必须把光当波处理，去算相位。

这个前沿和第一讲的“黑洞”例子是同一类事情：默认假设被打破的地方，就是研究前沿。 你不需要现在会算波动光学，但要知道这条路存在，将来遇到“渲染不出真实的彩虹”时不会以为是自己的 bug。

第二，信号处理是抗锯齿的理论基础。

课程说“走样、反走样技术背后都要解决信号处理的问题”。这句话在第 6 讲会变成一套具体工具：采样定理、频域、低通滤波。

先给一个直觉，帮你建立预期：屏幕上一条斜线看起来有锯齿，本质是“连续的线被离散的像素网格采样”这件事必然产生的失真。而抗锯齿不是把线画细一点，是在做采样之前先滤掉高频信息——这是一个信号处理操作，不是画图操作。所以第 6 讲会先从一维信号讲起，而不是从三角形讲起。别觉得跑题，那就是正题。

第三，渲染是一个递归定义的积分。

课程说“渲染整个过程其实就在解一个递归定义的积分”。这句话是整门课的题眼，第十三讲之后会反复出现。

用一句话解释：某个点朝某个方向发出的光，等于它自己发的光，加上它接收到的所有方向的光乘以反射比例再积分——而“接收到的光”本身又是同一件事。这就构成了递归，或者说一个无穷级数。

理解了这一点，你就明白为什么光线追踪要“弹跳”：每弹一次，就是展开一层递归。也明白为什么路径追踪要用随机采样：这个积分没有解析解，只能估。

验收

1. 能归类。
    “怎么让一张纹理在远处不闪烁”——这属于哪一类依赖？（答案：信号处理。）
2. 能说出光为什么可以被当直线。
    什么情况下不行？举一个日常现象。
3. 故意制造一个错误。
    如果有人说“图形学只要学好线性代数就够了”，用这张表反驳他，说出至少三个线性代数解决不了的环节。

合上页面，回答这三个问题

1. 渲染方程为什么是“递归”的？
2. 抗锯齿为什么是信号处理问题，而不是画图问题？
3. （超出本节）
    这张依赖表里缺了一样东西，是什么？

第 3 题的参考答案：数据结构与算法。课程没列，但图形学里到处是它：层次包围盒（BVH）是树、网格简化是图算法、空间划分是哈希与八叉树、并行光栅化要处理竞争。第 14 讲的 BVH 加速结构，本质是一个“用几何换复杂度”的算法设计问题。这也是为什么说学原理比学 API 重要——API 不教你这些。

02 · 向量：只有方向和长度的量

原视频 P2 06:05–13:15（约 7 分钟）

这一节解决什么

从这一节开始，图形学的语言就是向量。你必须先建立两个直觉：向量不关心起点，只关心“从哪指向哪”；并且它带长度。

这两个直觉决定了后面所有操作的正确性。特别是“不关心起点”这一条，如果不牢，你会在第四讲学平移矩阵时彻底卡住——因为“平移一个向量”和“平移一个点”是两件不同的事，而它们看起来一样。

向量的定义

一个从 A 指向 B 的箭头，记作 AB。它的数值等于：

AB = B − A

就这么简单：终点坐标减起点坐标，逐分量相减——二维里减两次，三维里减三次。

课程强调了一句关键的话：向量最重要的两个属性是方向和长度。

• 方向：从哪指向哪
• 长度：这个箭头有多长

没有第三个属性。 特别是——没有“位置”。

平移不变性：最容易忽略的一条

把一个向量整体搬到别的地方，它还是同一个向量。从 (0,0) 指向 (1,1) 的箭头，和从 (5,5) 指向 (6,6) 的箭头，是同一个向量，因为相对位移没变。

课程的说法是“我们并不关心它绝对开始的位置”。

这条性质在数学上叫自由向量。它有一个非常实用的推论：任何向量都可以平移到原点，从原点出发来表示它。

于是所有向量共享同一个起点，加法、减法、点乘、叉乘全都在这个统一起点上做几何解释——这就是为什么教材里的向量图总是从原点画起。

但这个性质很快就会变成一个坑。 第三讲之后你会遇到“点”：一个位置。位置是不能随便平移的——把 (1,1) 这个位置搬到 (5,5)，那是另一个位置。

所以在图形学里，向量和点虽然用同样的三个数字表示，语义完全不同：

这门课在第三讲会用齐次坐标（homogeneous coordinate，第四维取 0 或 1）把这两者区分开。你现在只要先记住“它们不是一回事”，到时候就不会觉得多出来的第四维是多余设计。

记号：长度和单位向量

长度的写法是两侧加双竖线：‖a‖。有些书写成 |a|，单竖线，含义一样。

有了长度，就能定义单位向量：长度为 1 的向量。任何非零向量除以自己的长度，就得到同方向的单位向量：

â = a / ‖a‖

读作 “a hat”。

课程说了一句很实用的话：图形学里一提到“方向”，默认就是用单位向量表示，不关心它的长度。

为什么这个约定重要？因为很多计算在单位向量下会退化成一个极简形式。举两个后面会碰到的例子：

• 求夹角：cos θ = â · b̂——两个单位向量点乘，结果直接就是夹角的余弦，不用再除以两个长度（第四节点乘会讲）
• 求投影长度：‖b‖ cos θ = b · â——直接一次点乘出来（第五节讲投影）

这就是“归一化”的实际收益：把除法提前做掉，让公式短一半。

一个必须注意的边界： 如果向量长度是 0（零向量），归一化会除零。零向量没有方向，也没有单位向量。写渲染器时这类地方是最常见的 NaN 来源——法线长度为零、光线方向为零、三角形退化成一条线。以后你调用 normalize() 之前，先想一下它可能为零吗。

向量加法：两种画法，一个结果

平行四边形法则：把两个向量的起点放在一起，向两边张开，补成一个平行四边形，对角线就是从共同起点出发的和。

三角形法则：把第二个向量的起点接到第一个向量的终点上，从第一个的起点到第二个的终点，就是和。

两种画法得到同一条向量，因为向量只有方向和长度。课程提到三角形法则在图形学里用得也挺多，原因很实际：它可以连续用到任意多个向量上。三个、五个、一百个位移叠在一起，你就一个接一个地首尾相连，最后连起点和终点——这就是多边形法则。

所以：

a + b + c + d = 从第一个起点到最后一个终点

用几何法算加法适合理解，不适合写代码。代码里就是分量各自相加：两个 x 加起来、两个 y 加起来，三维再多一个 z。下一节讲笛卡尔坐标时会正式写出来。

验收

1. 能判断两个箭头是不是同一个向量。
    画三个箭头：A 从 (0,0) 到 (2,1)，B 从 (3,3) 到 (5,4)，C 从 (1,1) 到 (2,3)。哪个和 A 相同？
2. 能归一化。
    把 (3, 4) 归一化，写出过程和结果。
3. 故意制造一个错误。
    一个开发者把“相机位置”和“相机朝向”都存成 Vector3，然后对位置也做了归一化。会发生什么？——相机永远在单位球面上移动，不管你输入多远，它都只在半径 1 的地方。因为归一化丢掉了长度，而位置的“长度”就是它离原点的距离。 这个 bug 你能预判，说明你抓住了“向量不关心起点、点关心位置”这个差别。

合上页面，回答这三个问题

1. 为什么向量可以随便平移而点不行？
2. 三角形法则相比平行四边形法则的优势是什么？
3. （超出本节）
    如果一个向量是零向量，它有什么、没有什么？

第 3 题的参考答案：它有长度（长度为零），没有方向（因为没有箭头指向哪里），所以没有单位向量。它在加法里是单位元（加它等于不加），在任何需要归一化的地方都是炸弹。

03 · 笛卡尔坐标：为什么用这套基，以及为什么默认列向量

原视频 P2 13:15–17:10（约 4 分钟）

这一节解决什么

前面讲向量都是几何的（箭头）。计算机不能存箭头，只能存数字。这一节解决“箭头怎么变成数字”，以及一个看似无关但会一直跟着你的约定：向量竖着写还是横着写。

第二个问题不是排版习惯，它决定了第四讲所有变换矩阵的乘法顺序。选错一边，你的图会转反。

从箭头到数对

在平面上画一个直角坐标系：原点在左下，x 轴向右，y 轴向上，x 和 y 都是长度为 1 的单位向量。

现在有一个向量 a。把它平移到原点（可以这么做，因为向量不关心起点），然后沿 x 轴数格子、沿 y 轴数格子。

如果 x 方向走了 4 格、y 方向走了 3 格，那么就记作：

a = (4, 3)ᵀ

这就是笛卡尔坐标（也叫直角坐标）表示。数学上它是一个分解：

a = 4x̂ + 3ŷ

意思是“这个向量等于 4 个 x 单位向量加 3 个 y 单位向量”。这个分解形式很重要，因为它说明了：任何一个向量都可以用一组基向量的线性组合表示。 后面的坐标系、变换、甚至傅里叶变换，都是这句话的推广。

为什么一定要正交且单位

课程说了一句“如果两个轴垂直、而且都是单位向量，算长度就非常简单”。这句话背后是一条值得记住的设计理由：基的选择，决定了公式的复杂度。

在正交单位基下：

‖a‖ = √(x² + y²)

这就是勾股定理。比如 (4,3) 的长度是 5。

如果基向量不垂直（比如两个轴夹角 60°），或者长度不是 1，那么长度公式会变成一个带交叉项的东西——√(x² + y² + 2xy cos θ)——每多一维就更难看。

更关键的是投影。第四节会讲：在正交单位基下，把向量投影到某个轴上，只需要一次点乘。 如果基不正交，你要求解一个方程组。

所以整个图形学（以及大部分工程领域）默认使用正交单位基。这不是数学上必须的，是在性能和可读性上最划算的选择。

一个例外值得知道：在骨骼动画里会用到非正交的基（骨骼的局部坐标系可能有缩放或剪切），所以那时候变换矩阵会包含非正交部分，法线变换必须用“逆转置矩阵”而不是原矩阵。这个坑在第七、八讲会碰到。

列向量 vs 行向量：一个影响全局的约定

课程明确说了：在图形学上，给一个向量，默认认为它是列向量，也就是竖着一列数。

同一组数字写成横的，要加转置符号：

aᵀ = (4, 3)

为什么要统一成列？ 因为矩阵乘法要求“左矩阵的列数 = 右矩阵的行数”。如果把向量当列向量，那么：

M(3×3) · v(3×1) = v'(3×1)

矩阵在左、向量在右，结果还是列向量——形状自洽，可以连乘。这就是课程说的“矩阵在左边，向量在右边，向量永远是 m×1”。

如果反过来用行向量，就得写成 vᵀM，结果的形状才自洽。数学上两种都能用，但不能混。混了会出现两个后果：

1. 乘法顺序反了。
    列向量约定下，“先 A 后 B”写成 BAv（后做的矩阵在左边）。行向量约定下写成 vAB。如果你照着某份资料抄公式而它用的是另一套约定，你的旋转会转反方向。
2. 转置忘了加。
    所有“向量点乘写成矩阵”的地方都要跟着变。

课程明确说“更多的应用，特别是图形学硬件和 OpenGL 之类的东西，默认都在用列向量”。所以这门课全程用列向量，矩阵在左。

一条实操建议： 以后看任何图形学资料（尤其是 DirectX 系的老文档），第一件事是查它用行向量还是列向量。这不是小事——两套约定下的同一个旋转矩阵，数字长得一模一样，但转的方向相反。

验收

1. 能互相转换。
    写出向量“沿 x 走 −2、沿 y 走 5”的列向量形式、行向量形式，以及分解成 x̂、ŷ 的表达式。
2. 能算长度。
    (3,4)、(1,0)、(−5,12) 的长度分别是多少？
3. 故意制造一个错误。
    假设你在一个行向量约定的引擎里（比如某些 DirectX 教程），把课程给的旋转矩阵直接拿来乘列向量。旋转方向会怎样？——会反过来转。因为正确的行向量版本应该是它的转置。这个错误极难通过“看图不对”发现，因为图确实转了，只是转错方向。

合上页面，回答这三个问题

1. 为什么图形学默认用正交单位基？
2. 列向量约定下，“先平移再旋转”应该写成 v 左乘哪个矩阵？
3. （超出本节）
    如果基向量不正交，(x,y) 这个坐标还能唯一确定一个向量吗？

第 3 题的参考答案：能唯一确定，只要两个基向量线性无关（不共线）。坐标就是“沿两个基各走多少步”的系数，与基是否垂直无关。但长度和投影的公式会变复杂——这就是为什么我们偏好正交基：不是为了能表示，是为了算得简单。

04 · 点乘：两个向量之间的一次“相关性测量”

原视频 P2 17:10–22:00（约 5 分钟）

这一节解决什么

向量有两种乘法，点乘和叉乘。它们的名字很像，作用完全不同。这一节讲点乘，它回答的问题是“这两个方向有多一致”。

这是整门课用得最多的一个运算——第七讲之后所有光照计算的核心都是点乘。所以这里必须彻底搞清定义、性质和算法。

定义

a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ

三个数相乘：a 的长度 × b 的长度 × 它们夹角的余弦。

结果是一个数，不是一个向量。 课程特别强调了这一点，因为这是点乘和叉乘最根本的区别：

课程的原话是“左边是两个向量，点乘是一个数字，或者叫数量”。

反过来用：求夹角

把定义式两边除一除，就得到：

cos θ = (a · b) / (‖a‖‖b‖)

如果两个向量已经是单位向量，长度都是 1，分母消失：

cos θ = â · b̂

这就是上一节说的“归一化的实际收益”——公式短了一半。

性质

点乘的三个性质，和普通数字乘法几乎一样：

注意第三条：这里 k 是标量，所以“结合律”在点乘里表现为“标量可以随便进出”。点乘不涉及三个向量的连乘——a · b · c 没有定义，因为 a · b 已经是数了，数再点乘向量没有意义。

对照记一下：叉乘没有交换律，a × b = −(b × a)。这个差别后面会造成实际 bug——如果把点乘和叉乘在代码里混用，编译器不报错，结果全错。

怎么算：坐标形式

定义式里有 θ，实际写代码时你并不知道夹角。所以需要坐标形式。

在笛卡尔坐标下，把 a、b 的分量分别记作 (a₁, a₂, a₃) 和 (b₁, b₂, b₃)。二维：

a · b = a₁b₁ + a₂b₂

三维：

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

用一句话记：对应分量相乘，再全部加起来。

这个形式比定义式好用得多，因为你手上永远有坐标、没有角度。而且它自动给出了余弦值，不需要开根号、不需要三角函数。

在图形学里用来做什么（第一次正式出现）

课程在这里点了名：光照模型。

回想一下光照的直觉：一束光正对着表面照过来，最亮；斜着照过来，同样的光铺在更大的面积上，单位面积就暗了。这个“正对程度”，恰好就是光线方向和表面法线的夹角余弦。

所以最基础的漫反射公式长这样：

L_d = k_d · max(0, n̂ · l̂)

其中 n̂ 是表面法线（单位向量），l̂ 是指向光源的方向（单位向量）。两个都是单位向量，所以点乘直接给余弦，再截断到非负（背光面没有漫反射）。

第七讲会讲这个公式，现在你只需要认识它为什么会长成这样：因为“亮度随角度变化”这件事，在数学上就是余弦，而点乘免费给你余弦。

一个实用边界：很少真的用 arccos

教材上写 θ = arccos(…)，但真实渲染代码里几乎不调用 acos。两个原因：

1. 没有必要。
    着色公式里用的都是 cos θ 本身，不需要角度值。
2. 有代价。
    acos 是超越函数，比乘加慢得多；而且当 cos θ 接近 ±1 时（两个方向几乎相同），acos 的数值精度会急剧变差——输入差一点点，输出差很多。

所以实践中：

• 需要“亮度”“衰减”“插值权重”→ 直接用点乘结果，并且 clamp 到 [0, 1]
• 极少数真的需要角度（比如决定两个方向是否在某个锥角内）→ 比较 cos 而不是比较角度：dot > cos(threshold) 就够，连 acos 都省了

这条判断依据课程没讲，但它能解释你以后看别人代码时“为什么不按公式写”的疑惑。

验收

1. 能手算。
    a = (1,2,3)，b = (4,−5,6)。求 a · b 和它们夹角的余弦。
2. 能判断类型错误。
    下面哪个式子合法：①a · b · c ②(a · b)c ③a · (b · c)
3. 故意制造一个错误。
    写光照代码时忘了把法线归一化（长度不是 1）。画面会怎样？——整体变亮或变暗，而且亮度随模型缩放变化。 模型放大两倍，法线长度可能变成两倍，漫反射就翻倍。这个 bug 的症状是“同一个模型换个尺寸颜色就不对”，你能预判它，说明你记住了点乘公式里那两个长度。这也是渲染器里最常见的 bug 之一。

合上页面，回答这三个问题

1. 点乘的结果为什么能代表“两个方向有多一致”？
2. 为什么说“归一化能让公式短一半”？举两个例子。
3. （超出本节）
    如果 a · b > 0，a 和 b 的夹角在什么范围？如果等于 0 呢？

第 3 题的参考答案：> 0 说明夹角小于 90°（锐角，方向大致一致）；= 0 说明夹角正好 90°（垂直、正交）；< 0 是钝角（方向大致相反）。这个判据下一篇会用得很狠——它一次性解决了“左右”“前后”“内外”三个问题。

这一篇到此为止

向量、坐标、点乘，这三件东西加起来，构成了后面所有光照计算的语法。你现在应该能做到两件事：把一个方向拆成三个数字并且知道那三个数字依赖哪组基；看见一个点乘就知道它给出的是夹角余弦，不用绕到角度上去。

这一篇的技术内容都能用文字完整替代，没有非看不可的画面。

中篇从投影开始——点乘的第一个几何应用，也是“把一个向量拆成两个”这个动作的来源。拆出来的两个分量，一个决定亮度，一个决定反射方向，后面十七讲都在用。