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高中数学各个击破133概率的基本概念与性质

发布时间：2026-11-03 07:38:44 最近访问：2026-11-03 07:38:45

概率的基本概念与性质：样本空间你选，等可能它说了算

高中数学各个击破 ·第 133 讲第 22 册《概率》第 1 讲
本期考点：样本空间与事件运算、概率的基本性质、古典概型、几何概型

📌 写在前面

从这一讲开始，我们进《概率》。

概率这一章有个很特别的地方：它几乎不考新公式。你翻开整章，真正的公式只有一条——

就这么一条。可为什么这么多人在这章上栽跟头？

因为这条公式里藏着两个"活的"东西：

分母是活的。一次试验的"全部可能结果"怎么列，有无数种列法。你可以把取两个球看成"有序地取"（先取谁后取谁），也可以看成"一把抓"（不分先后）；你可以把抽签看成"十支签排成一排"，也可以看成"哪两个位置是中奖签"。列法不同，分母就不同——只要分子跟着一起变，答案就不变。
分母必须是“等可能”的。这一条是死的，也是唯一的硬条件。你可以随便换样本空间，但换完之后，每一个样本点必须一样可能发生。忘了这一条，就会在"已知其中一个是男孩，求另一个是男孩"这种题上理直气壮地答。

所以本讲的三步动作是：

定样本空间数样本点回头检查等可能。

第三步最容易被跳过，而它恰恰是这一章绝大多数错题的出处。

🎯 学习目标

会用集合语言（样本点、样本空间、事件的并交补）描述一次随机试验；
能从概率的三条基本性质推出四条常用推论，并会用来化简计算；
会判断一个概率模型是不是古典概型，尤其会检查"等可能"；
会主动挑选更好算的样本空间，会在正面难算时改走对立事件；
理解几何概型：样本点无限时，用长度、面积、体积之比代替个数之比。

🧱 要点提炼

一、先定「数什么」：样本空间与随机事件

随机试验的每个可能的基本结果叫样本点，记作；全体样本点组成的集合叫样本空间，记作。

的子集叫做随机事件，简称事件，一般用大写字母表示。其中：

只含一个样本点的事件叫基本事件；
本身叫必然事件；
空集叫不可能事件。

本讲最重要的一句话：样本空间不是试验自带的，是你选的。同一个问题，样本空间可以完全不同，但只要满足"等可能"，算出来的答案一定一样。例 3 会给你看两个样本空间，例 5 会给你看"选得好能省多少事"。

二、事件的五种关系与运算

名称	自然语言	符号	图形记忆
包含	发生则一定发生		小圆套在大圆里
并事件	与至少一个发生		两圆合起来的全部
交事件	与同时发生	（也记作）	两圆重叠的部分
互斥	与不能同时发生		两圆不相交
对立	有且仅有一个发生	且	两圆拼满整个矩形

三条常被记混的提醒：

对立一定互斥，互斥不一定对立。互斥只要求"不能同时发生"，对立还多要求"并起来是全体"。例："恰好个白球"与"都是红球"互斥但不对立，因为还可能"都是白球"。
**互斥是"交为空"，独立是"交的概率等于概率的积"**，两件事毫无关系（"独立"我们第 2 讲才正式讲）。
对偶律（德摩根律） 是把"长串符号"翻译成人话的钥匙：

三、古典概型：两个条件，缺一个就不算

一个试验称为古典概型，必须同时满足：

有限性：样本空间的样本点只有有限个；
等可能性：每个样本点发生的可能性相等。

只有这时才能写

其中、分别是事件与样本空间包含的样本点个数。

踩坑预警：条件 2 才是考点。条件 1 一眼能看出来，条件 2 需要你问一句——"我列的这些结果，真的都一样可能吗？"例 4 就是这一步的经典翻车现场。

四、概率的三条基本性质与四条常用推论

三条基本性质（公理，不用证）：

名称	内容
非负性	对任意事件，
规范性
可列可加性	若两两互斥，则

四条常用推论（例 1 会逐个证，它们全都只用上面三条）：

；
若，则（单调性）；
（对立公式）；
（容斥原理的两个事件版本）。

第 4 条以后会推广到三个甚至更多事件，我们放到第 3 讲。

这四条怎么用：第 3 条是"正难则反"的许可证（例 6、例 8 全靠它）；第 4 条是"两个条件同时出现时别重复算"（练 9 会用）。

五、样本点无限时：几何概型

当样本空间是欧氏空间里的一个区域（一条线段、一块平面区域、一个立体），样本点有无限多个时，把"个数之比"换成"度量之比"：

度量可以是长度、面积或体积。

两个必须记住的反直觉事实：

**点的长度为，线的面积为，曲线的体积为 **；
因此 概率为的事件不一定是不可能事件，概率为的事件也不一定是必然事件。

例 7 会让你亲眼看一次"概率为却可能发生"。

🧮 典例精讲

组一　事件的运算与概率的性质

例 1　四条常用性质，全从可加性拆出来

试证明下列概率的常见性质：
（1）；
（2）若，则；
（3）；
（4）。

思路：四条共用一个动作——把复杂事件拆成两块互斥的事件，然后用可加性把概率拆开。补集就是那把最顺手的刀。

（1） 与互斥，且，所以

（2） 用把切成两块：，两块互斥。又因，所以，于是

（3） 与互斥且并起来是：

（4） 先把并集拆成互斥的两块：，得；再把拆成，得。代入即

评注：把（2）和（4）放一起看，你会发现它们是同一个动作——用当刀，把切成"落在里的"和"落在外的"两块。这个动作在后面算条件概率、算容斥时反复出现，值得练成肌肉记忆。

例 2　把一串符号翻译成人话

连续抛掷一枚硬币，设第次出现正面为事件，解释下列事件的含义：（1）；（2）；（3）；（4）。

思路：并（）翻译成"至少有一个"，交（）翻译成"全都"，上划线翻译成"不"。

（1） 前三次抛掷中，至少有一次出现正面。
（2） 两条路：
两种说法等价，方法二更具体。

方法一：它是（1）的对立事件，即"前三次没有一次出现正面"；
方法二：由德摩根律，即"前三次全是反面"。

（3） 从第次开始，往后至少出现一次正面。
（4） 从第次开始，往后全是正面。

评注：（3）与（4）都是"从第次往后"——注意下标是从起、一直到，说的是尾巴，不是前次。这类题的通用译法是三句话：并 = 至少一个，交 = 全部，上划线 = 不；遇到长串先套德摩根律把上划线推到最里层，再逐层翻译。

组二　古典概型：等可能是唯一的硬条件

例 3　有放回与无放回，差在哪

已知有  个红球和  个黄球，这  个球除颜色外没有其他区别，求下列事件的概率：
（1）有放回地抽取  个球，个都是红球；
（2）无放回地抽取  个球，个都是红球。

思路：两个小题都只有一个动作——先说清样本点是什么，再数。

（1）有放回。 把"依次取两次、每次取完放回去"作为样本点，共个，等可能。两次都是红球：个。

（2）无放回。 这里样本空间可以有两种选法，答案是同一个：

选法一（不计顺序）：从个球里取个，共个样本点；都是红球只有个。

选法二（计顺序）：第一次种、第二次种，共个样本点；都是红球有个。

评注：这一题是本讲"样本空间自选"的第一个证据——计不计顺序都行，但分子分母必须用同一种数法。最常见的错法是"分子按组合数、分母按排列数"（或反过来），那样分子分母根本不在同一个样本空间里，比值没有意义。

顺带一个有意思的统计现象：，说明有放回抽样更容易抽到"极端"的样本（两个都是红球，两个都是黄球，都是极端）。放回让两次独立，独立才敢"连中"。

例 4　「已知第一胎」与「已知有一个」，差一个字差一半

假设男、女出生的可能性相同，已知一对夫妇先后生育了两个孩子。（1）已知第一胎是男孩，求第二胎是男孩的概率；
（2）已知其中一个是男孩，求另一个是男孩的概率。

思路：先把原始样本空间写死——两个孩子有先后顺序，按（老大，老二）记，四个样本点等可能：

然后两问分别缩小样本空间：

（1） 已知第一胎是男孩，样本空间缩到，两个仍等可能，其中第二胎是男孩的只有个：

（2） 已知"其中一个是男孩"，即至少有一个男孩，样本空间缩到

三个仍然等可能（它们是从四个等可能样本点里删掉一个得来的），其中"另一个也是男孩"即两个都男，只有个：

评注：（2）最容易错成。错法是：把样本空间看成"另一个是男孩"与"另一个是女孩"两个结果。这样选样本空间本身没错，错在这两个结果不是等可能的——"另一个是男孩"只对应这个原始样本点，而"另一个是女孩"对应、这个。

记住这句话：样本空间你随便选，等可能它说了算。

例 5　抽签是公平的

已知有支大小形状均相同的签，其中只有支中奖，求第个人中奖的概率。

思路：时显然。时，关键又落在"样本空间怎么选"。

方法一（排成一列）：把样本空间看成支签的所有全排列，共个，等可能。第个位置是不是中奖签，在这个排列里，每个位置是某支特定签的次数完全一样多，所以

（硬算也行：先定第个位置有种选法，其余个位置任意排，得。）

方法二（只看中奖签的位置）：更省事——样本空间取"两支中奖签落在哪两个位置"，共个组合，等可能。第个位置在其中，等价于从剩下个位置里选个配它，共个：

评注：方法二把的样本空间压成了，整整省掉一个量级的计算。这就是"选好样本空间"的实感——只保留与问题有关的信息，无关的（其余签是谁、怎么排）一概丢掉，只要剩下的样本点仍然等可能。

这道题还严格证明了生活里的一个常识：抽签与先后顺序无关，先抽后抽一样公平。

组三　正面难算时的三条退路

例 6　越换越红的袋子

袋子中有个红球和个黄球，每次从中随机抽取个球，并放入个红球，求第次操作时取出的是红球的概率。

思路：正面要算"第次取红"，得讨论前面四次黄球有没有被取走、什么时候被取走，很啰嗦。正难则反——**改算"第次取出黄球"**。

黄球要活到第次才被取出，必须满足：前次都没摸到它。而只要没摸到黄球，袋子里始终是红黄（取走一个红的、放回一个红的，构成不变），所以每一次摸到黄球的概率都是、摸到红球都是。

于是

评注：这题的"反"不只是换了个事件，而是换了个更好描述的事件——"黄球一直没被摸到"是一句话，而"第次摸到红"要分好几种情况。判断要不要反，就看一句话：正面需不需要分类讨论？需要，就先试试反面。

另外注意一个细节：黄球一旦被取走，袋子里就全是红球了，后面必然取红。所以"第次取到红" "前四次都没取到黄且第五次取到黄"，没有漏项。

例 7　等整点报时，恰好等分钟的概率是

小明午觉醒来发现表停了，于是打开收音机想听电台的整点报时，求：
（1）他等待时间恰为分钟的概率；
（2）他等待时间不超过分钟的概率。

思路：他打开收音机的时刻可以是"一小时里的任意时刻"，样本点有无限多个，这是几何概型，改用长度之比。

把样本空间取成（是他所处的"整点后第分钟"），则，而等待时间。

（1） 等待恰好分钟，即。数轴上一个点的长度为，所以

（2） 等待不超过分钟，即，：

评注：（1）是这一讲最反直觉的一个结论——"恰好等分钟"不是不可能事件（它明明可能发生），但它的概率是。原因是样本点有无限多个，落在某一个具体时刻上的可能性被无限多个时刻"摊薄"成了。

由此记住两条：概率为未必不可能，概率为未必必然。

留一个小练习：你能在这题里构造一个"概率为却不是必然事件"的随机事件吗？（提示：把（1）的事件取对立即可——"等待时间不是恰好分钟"。）

另外，区间端点写成开还是闭（还是）对结果毫无影响，这是几何概型特有的"宽容量"。

例 8　比赛中断，奖金怎么分才公平

甲、乙两人进行射击比赛，水平相当，约定先胜局者获胜。进行场后甲胜局、乙胜局，此时因故比赛中断。请问该如何合理分配元奖金？

思路：按"已经赢了几局"分（比如分）是不公平的，因为分的是奖金，而奖金该按最终获胜的概率分。

问题是后续局数不确定：可能再打局甲就赢了，也可能打满局。若直接把"后续结果"列为 {甲胜}、{乙甲}、{乙乙} 三种，它们不是等可能的（甲胜的概率，另两种各）。

关键一步：把不确定的局数补齐成确定的局数。 反正最多再打局就一定分出胜负，那就假设无论如何都打满局。此时四种结果等可能：

甲在这两局里只要赢下任意一局就先到胜，共种；乙必须连赢两局，只有种。于是

即 甲得元，乙得元。

评注：这道题和例 5（抽签）用的是同一招——把样本空间换成你说了算的那一个。这里换的是"打多久"：真实比赛可能局就结束，但我们假装它一定打满局，于是样本点从"三个不等可能的结果"变成"四个等可能的结果"。多出来的那个（甲，甲）其实甲第一局就赢了、第二局不打也罢，但"补上这一局"不改变谁赢，只让样本点变等可能。

这一招有个名字叫补齐样本空间，在"比赛提前结束""抽到一半停下"这类题里特别好用。

组四　数不清就别数：几何与结构

例 9　木棒断成三截，能拼成三角形吗

一根木棒摔在地上，随机断成截，求这截可以组成三角形的概率。

思路：设木棒长度为，两个断点独立均匀地落在上。设三段长度依次为，则样本空间是

这是平面上一个直角三角形（两直角边长），面积，且在其上均匀分布。

三截能组成三角形任意两边之和大于第三边 **每一段都小于 **：

把这三个条件在里画出来：正好是原三角形挖掉三个角（每个角都是相似比为的小三角形，面积各）。所以

评注：几何概型的解题流程就三步：把随机结果参数化画出样本空间对应的区域算面积（长度、体积）之比。这里最容易错的一步是"参数化"——有人会取三段长度为且，那样样本空间变成一个二维三角形区域，也能算，但要小心在其上是否真的均匀（是均匀的，因为断点独立均匀给出的是 Dirichlet 分布，恰好均匀）。最省事的做法就是本题这样：直接用两断点位置作参数。

再补一句：三截成三角形的条件是"最长的一段小于总长的一半"，这个翻译（三角形条件每段都小于一半）比写三个不等式快得多。

例 10　根短绳，会结成几个圈

有  根短绳，现把它们的  个绳头两两任意结在一起，分别求下列事件的概率：
（1）恰好最后结成  个圈；
（2）恰好最后结成  个圈。

思路：还是先定样本空间。把个绳头排成一列，第与第个相接、第与第个相接……这样每种"结法"对应一个排列，共个，等可能。

（1）结成个圈。 根绳要结出个圈，每个圈至少用一根绳，所以只能是每根绳自成一个圈，即同一根绳的两个绳头必须相邻（排在第、位，或第、位……）。

先排根绳的先后顺序：种；每根绳内部两个绳头谁左谁右：种。共种：

这里。

（2）结成个圈。 等价于任何一根绳的两个绳头都不能相接。按位置依次选：

第个位置：个绳头任选；
第个位置：不能是它同一根绳的另一头，剩个；
接完前两个，两根绳合成一根"长绳"，场上变成根绳、个自由头；
第个位置：个；第个位置：不能是同一个绳的另一头，剩个；

依此下去，结法数为

整理得。

评注：这题的价值不在公式，而在**"圈数"这个量怎么数。每次把两个绳头相接，就相当于把两根绳合并成一根；接了次之后，绳子的"根数"（连通块数）就是最后的圈数。这跟例 6 的"换个更好描述的事件"是同一类思路：不去数具体的结法，而是跟踪一个随操作变化的量**。

顺带一个漂亮的对照：本题（1）的答案是，而练一练第 8 题" 对夫妇坐一排，所有夫妇都相邻"的概率也是。同一个数字——因为两件事的本质都是" 对东西各自配成对并挨在一起"。

🔍 思维显微镜：四处翻车点

Q1：是不是只要"数出个数"就能用古典概型？

不是。有限只是两个条件之一，等可能才是硬条件。例 4（2）里"另一个是男孩/女孩"确实只有个结果、也确实是有限个，但它们不等可能，所以是错的。判断等可能有一条实用的检验法：回到最原始、最细的样本点上去看，你列的每个"结果"是否包含同样多个原始样本点。包含的个数不一样多，就不等可能。

Q2：换了样本空间，分子要不要跟着换？

必须换。例 3（2）里，分母用时分子必须是；分母用时分子必须是。分子分母必须来自同一个样本空间，混用就是最常见的低级错误。检验方法很简单：把分子除出来，两种算法答案必须一样（对，一样）。

Q3："概率为 "和"不可能发生"是一回事吗？

不是。例 7（1）已经给出反例：等待时间恰好分钟，概率为，但它完全可能发生。原因是样本点无限时，单个点的测度为。反过来，"等待时间不是恰好分钟"概率为，但它不是必然事件（因为"恰好分钟"确实可能发生）。这两句话只在有限样本空间里才等价。

Q4：正难则反，反的是"事件"还是"方法"？

两个都可以反，但含义不同：

例 6 反的是事件（改算对立事件，用）；
例 7 反的是度量方式（个数之比改成长度之比）；
例 8 反的是样本空间（不确定的局数补齐成确定的局）。

判断顺序建议是：先看能不能换个更省事的样本空间（例 5、例 8）再看要不要取对立（例 6）最后才考虑换度量（例 7、例 9）。

🗂️ 速查卡

三步走：定样本空间数样本点回头查等可能。

题面长什么样	归谁管	关键动作
出现"至少一个""全都""不发生"	事件的并交补	并至少一个；交全部；上划线不
结果有限、看起来对称	古典概型	先列样本点，再逐条查等可能
元素分"取后放回/不放回"	计顺序 vs 不计顺序	两种数法都行，分子分母必须同法
正面要分好几种情况	正难则反	，且要一句话能说清
结果是个时刻、长度、点位	几何概型	参数化画区域算长度/面积之比
局数、人数不确定	补齐样本空间	假装打满、抽满，把样本点补成等可能
出现"恰好分钟"这类点事件	几何概型	单点测度为，概率为但不是不可能

📝 选题说明

原书第 1 讲「范例精讲」共例，本讲全取，按原书顺序编为例 1–例 7，解析与评注全部重写；另从「达标检测·综合练习」补题（原书第、、题）编为例 8–例 10，理由是它们分别演示"补齐样本空间""几何概型区域法""跟踪一个变化的量"，正好补上范例精讲没覆盖的三类技巧。十例分四组：事件的运算与概率的性质（例 1、2）、古典概型的等可能条件（例 3、4、5）、正面难算时的三条退路（例 6、7、8）、数不清就别数（例 9、10）。
练一练题：第 – 题取自「基础过关」–，第 – 题取自「综合练习」、、、、，按原书顺序重编为 –。
全部答案经 y独立验算项全 PASS：性质类断言在随机概率空间上枚举验证；计数类一律暴力枚举（例 3 枚举 s 与、例 5 枚举个中奖位置组合对逐个核对、例 10 在上枚举全部个排列并用并查集数圈数、练 8 在上枚举个座位排列、练 9 枚举 –、练 10 枚举个四点组用行列式判共面）；例 6 用逐步递推；例 8 用概率递归精确求解；例 9 用 n 万次蒙特卡洛 + 网格精确统计双重对拍。
一处补充计算：原书例 6 只给到，本讲补出具体分数（约）。
一处表述订正：原书达标检测第题（韦恩图区域题）的参考答案把"区域 "读作"只订阅语文、数学两种"，与图中表示数学、表示语文、表示英语的标注及区域编号顺序存在歧义；该题需配原图且属纯读图题，本讲未收录。
未收录题目及原因：「综合练习」第题（韦恩图读图）需原图且偏记忆；「拓广提升」第题（无限次并交的事件含义）与例 2 同型但涉及无穷交并，属提高内容；第题（支球队胜场相同的概率分母含的幂次，答案为）综合度过高，超出本讲范围——其结论已在验算脚本中复核无误，留待后续综合讲。
本讲是第册《概率》的开局讲（第讲）。第册共讲加进阶特训：第 1 讲概率的基本概念与性质 P1、第 2 讲条件概率 P9、第 3 讲概率的常见求法 P19、第 4 讲随机变量及其概率分布 P32、第 5 讲随机变量的期望与方差 P44、进阶特训 P57、参考答案 P63。