高中数学 · 必修二 · 立体几何

外接球与内切球，是立体几何中公认的"难点收割机"。很多同学不是不会算，而是找不到球心。其实，所有外接球问题都逃不开一个核心思想——

🔑 核心口诀：补形找球心。 把不规则几何体补成熟悉的长方体、正方体、圆锥、直棱柱，球心自然浮现。

下面按 八大常见模型 + 万能鳄鱼嘴模型 + 内切球模型 的顺序，把这套体系一次讲清。建议先收藏，再逐个模型对照练习。

一、外接球八大常见模型

模型① 正棱锥或圆锥

★ 球心在高所在的直线上。

设锥体高 PO′ = h，底面外接圆半径 r，外接球半径 R。利用 Rt△OO′C：

模型② 斗笠模型

• 特征：侧棱相等的锥体
• ★ 补成圆锥（侧棱相等，即圆锥的母线）⇒ 利用"正多面体思想"求底面 △ABC 的外接圆半径 r，再套用模型①。

模型③ 长方体或正方体

★ 球心在体对角线中点。

长、宽、高分别为 a、b、c，体对角线 D₁B = 2R：

模型④ 麻花模型

• 特征：对棱相等的锥体（三组对棱分别相等）
• ★ 补成长（正）方体。设 AC=PB=a，AB=PC=b，BC=PA=c：

👉 与模型③同源：对棱相等的三棱锥，就是"长了麻花"的长方体切出来的。

模型⑤ 墙角模型

• 特征：有三条两两互相垂直的棱（如 PA⊥AB、AB⊥AC 的墙角结构）
• ★ 补成长（正）方体，球心 O 即为体对角线（如 PC）的中点，半径用模型③公式求解。

模型⑥ 直棱柱

★ 球心在上下底面外接圆圆心连线的中点处。设底面外接圆半径 r，柱高 h，利用 Rt△：

模型⑦ 垂面模型

• 特征：有一条侧棱垂直于底面的锥体（PA ⊥ 平面 ABC）
• ★ 补成直棱柱（柱体），然后按模型⑥处理即可。

模型⑧ 切瓜模型

• 特征：有一个侧面垂直底面的锥体。按侧面与底面的形状分四种情形：

1. △ABD 与 △BCD 都是直角三角形：公共斜边 BD 的中点即为球心（AO=BO=DO=CO=R）。
2. △ABD 为等腰（等边）三角形、△BCD 为直角三角形：球心 O 为 △ABD 的外接圆圆心。
3. △ABD 与 △BCD 为等腰（等边）三角形：分别过两个三角形的外接圆圆心作所在面的垂线，交点即为球心 O。
4. 普通三角形：同理，分别过两面外接圆圆心作垂线，交点为球心。

二、⑨ 鳄鱼嘴模型（万能）

目标：求任意三棱锥 P-ABC 外接球的半径 R。 已知：三棱锥 P-ABC 中，两面外心到公共棱的距离 O₁M=m、O₂M=n，公共棱 AB=l，二面角对应平面角 ∠O₁MO₂=α。

推导四步走：

1. 定圆心：O₁、O₂ 分别为 △PAB 与 △ABC 外接圆的圆心。
2. 用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。∵ M 为 AB 中点，设 O₁M=m；同理设 O₂M=n。过 O₁、O₂ 分别作平面 PAB、平面 ABC 的垂线，交于点 O（球心），即 O₁O⊥平面PAB、O₂O⊥平面ABC。
3. 证垂直：M 为 AB 中点，O₁M⊥AB，O₂M⊥AB，又 O₁O⊥平面PAB ⇒ O₁O⊥AB，∴ AB⊥平面 OO₁MO₂ ⇒ AB⊥OM。
4. 勾股求 R：OB=OA=R，设 AB=l，则 R² = OM² + (l/2)²。

求 OM：∵ ∠OO₁M = ∠OO₂M = 90°，△OO₁M 与 △OO₂M 为直角三角形且共斜边，∴ O、M、O₁、O₂ 四点共圆（以 OM 为直径的圆）。

在 △O₁MO₂ 中，由余弦定理：

由该圆中正弦定理（OM 为直径，弦 O₁O₂ 所对圆周角为 α）：

联立得：

于是得到——外接球半径的万能公式：

m、n 为两面外心到公共棱的距离，α 为两面所成二面角对应的平面角，l 为公共棱长。

三、内切球模型：沟通几何与体积的桥梁

内切球的思想一句话概括：从面到体，从面积到体积。

① 平面版：内切圆（等面积法）

把 △ABC 拆成三个以内心 O 为公共顶点的小三角形：

② 立体版：内切球（等体积法）

同理，把多面体拆成以球心 O 为顶点、各面为底的小锥体：

四、一表总结（建议背下来）

写在最后

外接球问题的本质只有两件事：找球心（补形 + 垂径定理）、列方程（勾股定理 Rt△）。九大模型不是九种死记硬背，而是九种"补形视角"；万能公式则是前八个模型的兜底方案。内切球再补一刀"等体积法"，这个专题就闭环了。

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