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高中数学:指对函数核心公式(备战高考)
高中数学：指对题不难，难在第一步不动笔
指数函数与对数函数是高中数学中最为相似的两章内容，宛如一对镜子。从指数函数的角度看，问题是“几个a相乘能得到N”；从对数函数的角度看，则是“要乘几次才能得到N”。本质上是同一个问题的两种不同表述方式。
先确认身份：其实这是同一句话
a 的 b 次方等于 N，换一种写法就是 log 以 a 为底 N 等于 b。指数给的是结果，对数给的是次数。
有两块地基必须先钉死：底数a 要大于 0 且不等于 1，对数的真数 N 要大于 0。这两句话最不起眼，也最容易在考场上被跳过——很多算错的题，不是不会，是这一句没写。
四条法则：把乘除变加减
log 以 a 为底(MN) 等于 log 以 a 为底 M 加 log 以 a 为底 N；log 以 a 为底(M/N) 等于相减；log 以 a 为底 M 的 n 次方，等于 n 乘以 log 以 a 为底 M。
说白了，对数就是一台机器：把乘法变加法，把除法变减法，把乘方变成乘法。考卷上那些又长又吓人的式子，多半是在等你把它拆成几段加减。
还有一条换底公式：log 以 a 为底 b，等于 log 以 c 为底 b 除以 log 以 c 为底 a。它专门对付“底数不一样”这种局面。
两条曲线：看完图，公式就活了
y 等于 a 的 x 次方：定义域是全体实数，值域是大于 0 的一切数，永远经过 (0,1)，那条 x 轴是它够不着的地平线。a 大于 1 时一路向上，0 小于 a 小于 1 时一路向下。
y 等于 log 以 a 为底 x：定义域是大于 0 的一切数，值域是全体实数，永远经过 (1,0)，y 轴是它的边界。a 大于 1 时慢慢升，0 小于 a 小于 1 时慢慢降。
它们关于直线y 等于 x 对称。记住这个“对称”，比背十条性质都省事——指数怎么想，对数就怎么反过来想。
比大小：先找0 和 1 两个落点
指数永远为正，对数在x 等于 1 的地方正好为 0。所以比大小的时候，先把两边往 0 和 1 上靠：底相同就看单调，底不同就换底，实在绕不开，就请 1 当中间人。
这一步不难，难的是心里没有那两个“锚点”，于是每一步都在飘。
一套动作：化同底、换元、画图
考场上九成的指对题，第一步都是化同底。4 的 x 次方和 8 的 x 次方，都化成 2 的幂；log 以 2 为底和 log 以 8 为底，化成同一个底。式子立刻矮一截。
第二步是换元：令t 等于 a 的 x 次方，或者令 t 等于 log 以 a 为底 x，超越方程就退回二次方程。别忘了把 t 的范围一起带走。
第三步是画图。单调区间、交点个数、参数范围，图上一眼就明白，比在纸上推半天快得多。
学习方法：学习指对函数核心公式，做好以下事项，实为有效
第一件：动笔之前，先把定义域写下来。指对题的错，一半错在这里，而且错得毫无痕迹。
第二件：每道题做完，回头看一眼定义域和值域。哪儿松了、哪儿漏了，比直接看答案更有用。
第三件：错题本只记错因，不抄原题。“真数忘了大于 0”“换底换反了”“换元没带范围”——这些才是分数的漏洞，比多做十道题实在。
学习后总结：
一、睡前五分钟就能做：拿一张纸，把y 等于 2 的 x 次方和 y 等于 log 以 2 为底 x 画在同一格里。画三遍，你会突然看明白它们为什么长得那么像。
二、指对函数其实不玄。它只是把“变化”这件事，画成了两条互相照见的曲线。你多看几眼那条曲线，公式自己会开口。
三、口诀：先看域，再同底；底不同就换底，指对靠对称。先背“真数大于 0”和“底大于 0 且不等于 1”，再把两条曲线的图各画三遍，剩下的会在图上自己长出来。
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