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初中数学|全等三角形不过关——孩子缺的是“找对应关系”
大家好，我是刘老师。
全等的判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，孩子背得滚瓜烂熟。
一上证明题就懵了——条件用不上，辅助线不会添，证明写不全。
家长以为是定理没背熟，又让背了两遍。还是不会。
问题真不在这儿。
我看了很多孩子的草稿纸，发现一个共同点：他们是在「正着推」。
题目给什么条件，就顺着往下走一步，走到卡住为止。可证明题是反的——从结论往回找，缺什么补什么。
方向一反，题就通了。孩子缺的不是定理，是倒着找的这一步。
下面这套三步法，就是把这个方向掰过来。三道例题从易到难，让孩子跟着走一遍。
第一步：从结论倒推
拿到题，先别看已知。先看要证什么。
四个动作，按顺序来：
要证什么，就找它所在的那两个三角形
② 写对应，别错位
两个三角形的字母对应关系先写清楚，写错一个，全错
③ 图上标条件
把已知条件一条条在图上标出来，看不见的条件最容易漏
④ 凑判定，缺什么补什么
手上有什么，判定要什么，差的那几条就是你要找的
核心是第 ④ 步。很多孩子做到第 ③ 步就停了，不知道下一步该干什么。其实第 ④ 步才是整道题的方向盘。
例 1（入门）
求证：BD = CD。
BD 在 △ABD 里，CD 在 △ACD 里。
所以要证 △ABD ≌ △ACD。
现在数条件：
AB = AC（已知）
∠BAD = ∠CAD（AD 平分 ∠BAC）
AD = AD（公共边）
三缺三，凑成 SAS。可以动手写了。
在 △ABD 和 △ACD 中，
AB = AC（已知）
∠BAD = ∠CAD（角平分线的定义）
AD = AD（公共边）
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）
∴ BD = CD（全等三角形对应边相等）
∠BAD = ∠CAD 是「AD 平分 ∠BAC」这五个字翻译出来的，题目里没有现成写好的等式。
AD = AD 是公共边，图上根本不会标出来。
全等题的条件，一半是「给」的，一半是「翻」出来的。这一步翻不出来，后面的证明就无从下手。
第二步：把隐蔽条件扫干净
全等题里最可惜的，不是不会，是看不见。
这七种条件，几乎每道题都会遇到。让孩子养成条件反射：
② 公共角——两个三角形共用一个角
③ 对顶角——两条直线相交，顶上那两个角相等
④ 中点——得到两条相等的线段
⑤ 角平分线——得到两个相等的角
⑥ 垂直——得到 90°，也可能得到互余
⑦ 平行——得到内错角相等或同位角相等
再配一个标注习惯，做题时随手标：
相等的角 → 画一段弧（两个就画两段）
中点 → 打个小圆点
垂直 → 打个小方框
标完再找，比盯着图想要快十倍。
例 2（入门 · 公共边）
求证：∠B = ∠D。
∠B 在 △ABC 里，∠D 在 △ADC 里。
所以要证 △ABC ≌ △ADC。
数条件：
AB = AD（已知）
CB = CD（已知）
还差一条边——AC
AC 是这两个三角形的公共边。
但不连 AC，这两个三角形根本不存在。
连接 AC。
在 △ABC 和 △ADC 中，
AB = AD（已知）
CB = CD（已知）
AC = AC（公共边）
∴ △ABC ≌ △ADC（SSS）
∴ ∠B = ∠D（全等三角形对应角相等）
你要证 ∠B = ∠D，就必须有 △ABC 和 △ADC；
要这两个三角形，就必须连 AC。
这一步不需要「想到」，只需要「缺什么补什么」。
孩子觉得辅助线很玄，是因为他从来没走过这条路。
第三步：认出模型，辅助线才有方向
有些题，隐蔽条件全找完了，还是差条件。这时候才轮到添辅助线。
但辅助线不是瞎试的，是看图形特征的。初中阶段，五个模型覆盖了绝大多数题：
② 出现角平分线→ 截长补短，或作垂线
③ 共顶点的两个等腰三角形→ 手拉手（旋转）
④ 一条直线上有三个等角→ 一线三等角
⑤ 求证线段的和差→ 截长补短
记住这五句：中点倍长，角分截补，共点等腰转一转，三等角造全等，见和差想截补。
例 3（中档 · 中点）
求证：AC = BE。
AC 在 △ACD 里，BE 在 △EBD 里。
所以要证 △ACD ≌ △EBD。
数条件：
AD = DE（已知）
∠ADC = ∠EDB（对顶角相等）
CD = BD（AD 是中线）
凑成 SAS。
∵ AD 是 BC 边上的中线
∴ CD = BD
在 △ACD 和 △EBD 中，
AD = DE（已知）
∠ADC = ∠EDB（对顶角相等）
CD = BD（已证）
∴ △ACD ≌ △EBD（SAS）
∴ AC = BE（全等三角形对应边相等）
但只要记住一句话：看见中点，就想倍长。
因为中点意味着两条相等的线段；倍长中线又能造出一组对顶角相等。三个条件里，两个是白送的。
孩子看见中点没反应，是因为他不知道中点能「换」来什么。
例 4（拔高 · 截长补短）
求证：AB + BD = AC。
看到和差，直接触发模型五：截长补短。
做法：在 AC 上截取 AE = AB，连接 DE。
这样 AC 就被拆成 AE + EC，只要证明 EC = BD就行。
在 AC 上截取 AE = AB，连接 DE。
在 △ABD 和 △AED 中，
AB = AE（作法）
∠BAD = ∠EAD（AD 平分 ∠BAC）
AD = AD（公共边）
∴ △ABD ≌ △AED（SAS）
∴ BD = DE，∠B = ∠AED
∵ ∠AED 是 △DEC 的外角
∴ ∠AED = ∠EDC + ∠C
∵ ∠B = 2∠C
∴ 2∠C = ∠EDC + ∠C
∴ ∠EDC = ∠C
∴ DE = EC（等角对等边）
∴ AC = AE + EC = AB + BD
结论是和差 → 第三步的模型（截长补短）
凑 SAS 靠角平分线和公共边 → 第二步的隐蔽条件
最后用外角加等角对等边收尾
卡住的孩子，通常是只走了第一步，没走第二、第三步。
给孩子练的时候，按这五步走
每天一道，不求多。每道题都按顺序走完，不许跳：
2. 找三角形——这两条边（或两个角）分别在哪个三角形里
3. 标条件——在图上把已知条件标一遍
4. 数缺口——对照判定，数一数还差几个条件
5. 补缺口——差条件就找隐蔽条件，还差就添辅助线
错题别只抄答案。写一句话就够：「我当时卡在哪一步」。
是没看见公共边/对顶角？
还是不知道中点能倍长？
三种卡点，补法完全不同。
最后一句
全等不是背出来的，是倒推出来的。
孩子把方向一反，从「题目给了什么」换成「结论需要什么」，题就通了。定理他早就会了，缺的只是这一步转向。
最后把五句话再念一遍：
这五句背下来，初二到初三的几何题，八成都能找到入口。
我整理了一份《全等三角形经典题型汇编》并配有常见辅助线做法，后台私信666领取！
你家孩子卡在哪一步？
全等题一般卡在三个地方：不会倒推 / 看不见隐蔽条件 / 想不起模型。
把孩子卡住的那道证明题拍下来，发到后台，我看看是哪一步断的。
留言区说说也行，我挑典型的下一篇讲。
