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全等三角形【章节复习】压轴题--坐标系内的全等
综合【C19】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 已知：在平面直角坐标系中，
的顶点
、
分别在轴、轴上，且
，
．
如图，当
，
，点
在第四象限时，直接写出点
的坐标；
如图，若
平分
，交
于
，过
作
轴，垂足为
，写出
与
之间的
数量关系并给出证明；
如图，当点
在轴正半轴上运动，点
在轴正半轴上运动，点
在第四象限时，作
轴于点
，试判断①
与②
中 是定值（只填序号），并求出这个
定值．
【答案】（1 ）
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
，证明过程见解析；
②
．
过点
作
于
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∴点
的坐标为
；
延长
、
交于点
，
∵
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
3
（3 ）
【标注】
作
于点
，则
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，故是定值．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
2. 在平面直角坐标系中，已知点
，
，连接
．
如图，动点
在轴负半轴上，且
交
于点
、交
于点
，求证：
≌
．
如图，在（）的条件下，连接
，求证：
．
4
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
为
的中点，动点
在轴上，连接
，作
交轴于
，猜想
、
、
三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
当点
在线段
上时，
．
当点
在轴正半轴上时，
．
当点
在
点下方时，
．
由题意可知：
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
且
，
∴
≌
（
）．
过点
分别作
于
点，作
于点
，
5
（3 ）
在四边形
中，
，
∴
，
在
与
中，
，
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
，
∴
平分
，
∴
，
∴
．
①当点
在线段
上时，连接
，
在等腰
中，
∵点
是
的中点，
∴
，
,
∵
，
∴
，
∴
≌
，
6
【标注】
∴
，
∴
．
②当点
在轴正半轴上时，
同理可证
≌
，
∴
，
∴
．
③当点
在
点下方时，
同理可证
≌
，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
3. 如图所示，直线
交轴于点
，交轴于点
．
如图，若
的坐标为
，且
于点
，
交
于点
，试求点
的坐标．
，
，
，
7
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
在⑴的条件下，如图，连接
，求证：
．
如图，若点
为
的中点，点
为轴正半轴上一动点，连结
，过点
作
交
轴于
点，当
点在轴正半轴上运动的过程中，式子
的值是否发生改变，
如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
．
由题意得，
．
，
8
（2 ）
（3 ）
∵
于
，
∴
，
∴
．
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，则
．
过
分别做
于
点，
于
点，
在四边形
中，
，
∴
.
在
与
中，
∴
≌
，
，
∴
平分
，
∴
．
．
连接
，则
，
，
，
，
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【标注】
∴
，
在
与
中，
，
≌
，
，
．
【知识点】角的和差的计算与证明-需要分类讨论；作三角形的高，中线和角平分线；三
角形-内角角分线；ASA
