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1
复式双曲线：几何不变性及常见图形【题集A】
1.
【解析】
【标注】
双曲线
、
在第一象限的图象如图，
，过
上的任意一点
，作轴的平行线交
于点
，
交轴于点
，若
，则
的解析式是 ．
【答案】
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
故可得反比例函数
的值为
，
即
的解析式为：
．
【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值）
2.
【解析】
如图，反比例函数
的图像经过直角三角形
的顶点
，点
为斜边
的中点，则过点
的反比例函数的解析式为 ．
【答案】
设点
坐标
，
∵反比例函数
的图象经过
的顶点
，
为斜边
的中点，
2
【标注】
∴
，
∴过点
的反比例函数的解析式为
．
【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值）
3.
【解析】
【标注】
如图，点
是双曲线
上一点，过点
作
轴交双曲线
于点
，则
的值
为 ．
【答案】
延长
交轴，则
．
故答案为：．
【知识点】反比例函数与三角形综合
4.
【解析】
如图，反比例函数
的图象经过
的顶点
，
为斜边
的中点，则过点
的反比例
函数的解析式为 ．
【答案】
设点
坐标
，
∵反比例函数
的图象经过
的顶点
，
为斜边
的中点，
∴
，
∴过点
的反比例函数的解析式为
．
3
【标注】【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图所示，在平面直角坐标系
中，点
为反比例函数
图象上一定点，点
为
图象上一动点，在点
的左侧，连接
，交反比例函数
图象于点
，连接
交
图象于点
，连接
、
．
x
y
O
当
时，求直线
的解析式．
当
时，求
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
引理 如图所示，在平面直角坐标系中，线段
交反比例函数
图象于点
，交
图象于点
，线段
交反比例函数
图象于点
，交
于点
，
连接
、
，则
，且
．
x
y
O
图
证 作
轴于点
，作
轴于点
，如图所示．
x
y
O
图
∵
，
，
4
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
同理，
．
∴
∴
．
作
轴于点
，作
轴于点
，如图所示．
x
y
O
图
∵
，
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
设
，则
，
∴
（负值舍去），
∴
，
∴
．
设
，
将
代解得
，
∴
．
5
（2 ）
【标注】
当
时，如图所示．
x
y
O
J
图
∵
，
∴
，
∴点
、
关于
轴对称，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】反比例函数与三角形的相似
6.
【解析】
反比例函数
，
的图象如图所示，点
为
的图象上任意一点，过点
作轴
的平行线交
的图象于点
，交轴于点
，点
在轴的正半轴上，
，若四边形
的面积为，则的值为 ．
【答案】
作
，
∵点
在
的上，
在
上，
∴
，
，
∵
，
∴
，
四边形
四边形
四边形
6
【标注】
∴
，
，
∵
，
∴
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
（1 ）
1
2
（2 ）
7.
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
如图，两个反比例函数
和
的图象分别是和，
是上的一点．
求的值．
点
在上一动点，
轴，垂足为
，交于点
，
轴，垂足为
，交于点B．
求长方形
的面积．
求三角形
的面积．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
．
代入
到
得
．
设
，
．
∵
的纵坐标为
，且
，
∴
的横坐标为：
，
即
．
同理，
的横坐标为，
∴
的纵坐标为
，
矩
7
【标注】
即
，
∴
，
，
∴
．
即
面积为
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
A.
B.
C.
D.
8.
【解析】
【标注】
如图，已知双曲线
（
），
（
），点
为双曲线上的一点，且
轴于
点
，
轴于点
，
、
分别交双曲线于
、
两点，则
的面积为（ ）．
【答案】D
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
的面积为：
．故选
．
【知识点】反比例函数与三角形综合
9. 如图，已知直线
分别与双曲线
、
交于
、
两点．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
P
Q
x
y
O
图
求的值．
如图，点
是双曲线
上的动点，
轴，
轴，分别交双曲线
于点
、
，连接
．试探索在点
运动过程中，
的面积是否变化？
若不变，请求出
的面积；若改变，请说明理由．
x
y
O
A
C
B
图
如图，过点
作
的平行线交直线
于点
，请你进一步探索在点
运动过程中，
能否成立？若能，求出此时点
的坐标；若不能，请说明理由．
x
y
O
A
C
D
B
图
x
y
O
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
不变；
；证明见解析．
能成立；
或
．
将点
代入
得
，
将点
代入
得
，
9
（2 ）
（3 ）
∴的值为．
P
Q
x
y
O
图
设点
的坐标为
，
∵
轴，
轴，
∴
，
，
∵点
、
在双曲线
上，
∴
，
，
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
．
∴
，
．
∴
．
∴在点
运动过程中，
的面积不变，始终等于
．
x
y
O
A
C
B
图
如图、，
x
y
O
A
C
D
B
图
x
y
O
D
B
A
C
图
10
【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
即
或
，
解方程
得
或
（舍去），解方程
得
或
，
∴点
的坐标为
或
．
综上所述：当
时，
点的坐标为
或
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
10.
【解析】
如图，已知点
是双曲线
第一象限的分支上的一个动点，连结
并延长交另一分支于点
，以
为边作等边
，点
在第四象限．随着点
的运动，点
的位置也不断变化，但点
始
终在双曲线
（
）上运动，则的值是 ．
【答案】
∵双曲线
关于原点对称，
∴点
与点
关于原点对称．
∴
．
连接
，如图所示．
∵
是等边三角形，
，
∴
，
，
∴
，
11
【标注】
∴
．
过点
作
轴，垂足为
，过点
作
轴，垂足为
，
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
，
．
设点
坐标为
，
∵点
在第一象限，
∴
，
．
∴
，
．
∵点
在双曲线
上，
∴
．
∴
，
设点
坐标为
，
∵点
在第四象限，
∴
，
．
∴
．
∴
．
∵点
在双曲线
上，
∴
．
【知识点】反比例函数与三角形综合
11. 如图，点
在双曲线
上，点
在双曲线
上，（点
在点
的右侧），且
轴，若四边形
是菱形，且
，则
．
12
【解析】
【标注】
【答案】
过点
作
轴于点
，如图所示．
设
的长度为，
则点
的坐标为
，
∵点
在双曲线
上，
∴
，
∴
或
（舍去），
∴点
．
∵四边形
是菱形，
∴点
，
∵点
，
∴点
．
∵点
在双曲线
上，
∴
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
13
12.
【解析】
如图，等腰
中，
，顶点
在
上，顶点
在
上，若
的面积是
，则的值是 ．
【答案】
如图，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
，过点
作
于点
，
设点
坐标为
，
∵
，且
为等腰直角三角形，
∴
①，
又∵点
在
上，
∴
②，
由①、②解得：
或
，
∴点
坐标为
或
，
∵
轴、
轴、
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
又∵
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
，
①若点
坐标为
，
则
，
，
∴点
坐标为
，
∴
．
②若点
坐标为
，
则
，不符合题意，舍去，
综上，
．
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【标注】
故答案为：．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
