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1
【等腰三角形的存在性问题】题集【A】
等腰三角形存在性问题
【存在性问题】：
是否存在一点，使以某三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【常见背景类型】：
①格点背景
②几何图形背景
③平面直角坐标系背景
如图所示，在直线上找一点
，使得
是等腰三角形．
（）
，以
为圆心，
为半径画圆，交直线于两点
、
，
（）
，以
为圆心，
为半径画圆，交直线于两点
、
，
（）
，作
的中垂线交直线于
．
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图所示，
、
两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为的正方形，点
也在格点上，
且
为等腰三角形，则符合条件的点
有（ ）个．
【答案】C
如图所示，
①
，符合点
的有个；
2
【标注】
②
，符合点
的有
，
，
共个；
③
，符合点
的有
，
，
，
，
共个；
综上所述，所有符合条件的点
共有个．
故选．
【知识点】等腰三角形的存在性
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
2.
【解析】
【标注】
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，已知
，
是两格点，若
为等腰三角形，且
，则满足条件的格点
有（ ）．
【答案】B
如图，分情况讨论：
①
为等腰
底边时，符合
为等腰三角形的
点有个；
②
为等腰
其中的一条腰时，符合
为等腰三角形的
点有个，
因为
，
所以满足条件的格点
只有两个，如图中黑色的点．
故选．
【知识点】等腰三角形的存在性
3. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知
、
是两格点，如果
也是图中的格点，
且使得
为等腰三角形，则点
的个数是（ ）．
3
A.
B.
C.
D.
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
【答案】C
以
为半径，
，
分别为圆心作圆，所交格点即为所求点（不包括
、
两
点及在
、
两点所在直线上的点），作
的中垂线，所交格点即为所求点．
如图：分情况讨论．
①当
为等腰
的底边时，符合条件的
点有个；
②当
为等腰
其中的一条腰时，符合条件的
点有个．
故选．
【知识点】等腰三角形的存在性
4.
【解析】
平面直角坐标系中，已知
（，），
（，）．若在轴上取点
，使
为等腰三角形，则
满足条件的点
的个数有 个．
【答案】
分三种情况：．
：以
为圆心
为半径作圆，个．（两个交点，原点心和
点．）
2．
：以
为圆心
为半径作圆，个．（与轴两个交点）
4
【标注】
3．
：作
中垂线，个．（轴轴交点各一个，要轴的．）
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
5.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系
中，点
的坐标是
，在轴的正半轴上确定点
，使
为等腰三
角形，则符合条件的点
有 个．
【答案】
当
为底边时，点
；
当
为腰时，点
或
．
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系
中，点
，
，若点
在轴右方，
，且
和
为等腰三角形，则满足条件的点
的个数为（ ）．
【答案】C
∵
，
∴点
在
的垂直平分线上．
此时
一定是等腰三角形．
∵
是等腰三角形，
则
或
或
，
画图如下：
x
y
O
故满足题意的点共个．
【知识点】等腰三角形的存在性
5
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
7.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
的坐标为
，在轴上确定点
，使
为等腰三
角形，则符合条件的点
一共有（ ）．
【答案】D
（）若
作为腰时，有两种情况，
当
是顶角顶点时，
是以
为圆心，以
为半径的圆与轴的交点，共有个，
当
是顶角顶点时，
是以
为圆心，以
为半径的圆与轴的交点，有个．
（）若
是底边时，
是
的中垂线与轴的交点，有个．
以上个交点没有重合的．故符合条件的点有个．
【知识点】等腰三角形的存在性
A.
B.
C.
D.
8.
【解析】
在平面直角坐标系中，已知
，
，若在坐标轴上取点
，使
为等腰三角形，则满
足条件的点
的个数是（ ）．
【答案】B
如图所示：
当
时，符合条件的点有个；
当
时，符合条件的点有个；
6
【标注】
当点
在
的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．
故符合条件的点
共有个．
故选：．
【知识点】等腰三角形的存在性
9.
【解析】
【标注】
平面直角坐标系中，
，
，点
在坐标轴上，满足
为等腰三角形的点
有 个．
【答案】
等腰三角形的存在性“两圆一中垂”，如图
∵第一个点和第个点和
点
点是共线的
∴共有个点满足条件
【知识点】等腰三角形的存在性
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
10.
【解析】
已知
、
是平面直角坐标系中的两点，且点
在坐标轴上，
为等腰三角
形，则满足条件的点
有（ ）．
【答案】C
x
y
O
7
【标注】
以
为圆心，
为半径，与坐标轴有个交点满足题意；
以
为圆心，
为半径，与坐标轴也有个交点满足题意；
线段
的垂直平分线
经过原点，故原点
也满足题意，
共有个满足条件的点
．
【知识点】等腰三角形的存在性
11.
【解析】
【标注】
直角坐标系中，已知点
，在轴上找一点
，使
为等腰三角形，这样的点
共
有 个．
【答案】
①若
作为腰时，有两种情况，当
是顶角顶点时，
是以
为圆心，
以
为半径的圆与轴的交点，有个，
当
是顶角顶点时，
是以
为圆心，
以
为半径的圆与轴的交点，有个；
②若
是底边时，
是
的中垂线与轴的交点，有个．
以上个交点没有重合的．
故符合条件的点有个，故答案为 ．
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
A.
B.
C.
D.
12.
【解析】
在平面直角坐标系
中，点
，
，若点
在轴上方，
，且
为等腰
三角形，则满足条件的点
的个数为（ ）．
【答案】C
如图，①作线段
、
的垂直平分线，交于点
；
②以
点为圆心，
长为半径作圆，与
的垂直平
分线交于点
、
；
③以
点为圆心，
长为半径作圆，与
的垂直平
分线交于点
、
．
综上所述满足条件的点有个．
8
【标注】【知识点】等腰三角形的存在性
A.
B.
C.
D.
13.
【解析】
如图，在
中，
，以
的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在
的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）．
【答案】D
①如图，以
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，
是等腰三角形；
图
②如图，以
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，
是等腰三角形；
图
③如图，以
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，
是等腰三角形；交
于点
，
是等腰三角形；
图
9
【标注】
④如图，作
的垂直平分线交
于
，则
是等腰三角形；
图
⑤如图，作
的垂直平分线交
于，则
是等腰三角形．
图
⑥如图，作
的垂直平分线交
于，则
是等腰三角形．
图
共个．
故选
．
【知识点】等腰三角形的存在性
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
14. 如图，直线
，交于点
，
，的夹角为
，点
是直线上的点，在直线上寻找一点
，使
是等腰三角形，这样的点有多少个（ ）．
10
【解析】
【标注】
【答案】C
分类讨论
为腰还是为底，
为腰时，分
为顶点和
为顶点，共有三个．
【知识点】等腰三角形的存在性
