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1
反比例函数章节复习：新定义【题集C4】
（1 ）
1
2
（2 ）
1. 定义：点
为
内部或边上的点，若满足
，
，
至少有一个三角形与
相似（点
不与
顶点重合），则称点
为
的自相似点．
例如：如图，点
在
的内部，
，
，则
，
故点
为
的自相似点．
图
在平面直角坐标系中，回答下列问题．
点
坐标为
，
轴于
点，在
，
，
．这三个
点中，其中是
的自相似点的是 ．（填字母）
若点
是曲线
（
，
）上的一个动点，
为轴正半轴上一个动点．
如图，
，
点横坐标为，且
，若点
是
的自相似点，
求点
的坐标．
图
若
，点
为
，且
的自相似点有个，则曲线
上满足这样条件的
点
共有 个，请在图中画出这些点．（保留必要的画图痕迹）
2
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
x
1
2
3
4
5
y
–1
1
2
3
4
5
O
N
图
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
、
或
．
的自相似点的是
，
．
如图，过点
作
轴于
点．
图
∵
点的横坐标为，
∴
．
∴
．
∴
，直线
的表达式为
．
∵
轴，
∴在
中，
，
．
设
，则
．
∴
．
∴
．
如图，
，
3
2
图
过点
作
轴于
点，
∴
，
．
∵
的横坐标为，
∴
．
∴
．
如图，
，
图
∴
．
∴
．
∵
的纵坐标为
，
∴
．
∴
．
∴
．
综上所述，
或
．
4
【标注】【知识点】与三角形有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
对于平面直角坐标系
中的点
，若点
的坐标为
（其中为常数，且
），则称点
为点
的“ 属派生点”．
例如：
的“ 属派生点”为
，即
．
①点
的“ 属派生点”
的坐标为 ；
②若点
的“ 属派生点”的坐标为
，请写出一个符合条件的点
的坐标 ．
若点
在轴的正半轴上，点
的“ 属派生点”为
点，且
为等腰直角三角形，则
的值为 ．
试说明点
的“ 属派生点”
一定满足
．（其中
）
如图，点
的坐标为
，点
在函数
的图象上，且点
是点
的“
属派生点”，当线段
最短时，求
点坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
;
证明见解析．
．
5
（3 ）
（4 ）
【标注】
，
，
∴
，故得证．
设
，则
带入
得
，
故
，
由于
，
故
，
当
时，
最小，此时
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
3. 定义：点
是
内部或边上的点（顶点除外），在
，
，
中，若至少有一
个三角形与
相似，则称点
是
的自相似点．
例如：如图，点
在
的内部，
，
，则
，
故点
是
的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点
是曲线
（
）上的任意一点，点
是轴正半轴上的任意
一点．
图
如图，点
是
上一点，
，试说明点
是
的自相似点；当点
的
坐标是
，点
的坐标是
时，求点
的坐标．
图
如图，当点
的坐标是
，点
的坐标是
时，求
的自相似点的坐标．
6
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
是否存在点
和点
，使
无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
的自相似点的坐标为
或
．
，
．
∵
，
，
∴
，
∴点
是
的自相似点；
过
作
轴于
，则
，
∴
，
∵当点
的坐标是
，点
的坐标是
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
，
∴
．
作
轴于
，如图所示：
7
图
∵点
的坐标是
，点
的坐标是
，
∴
，直线
的解析式为
，
，
，
分两种情况：
①如图所示：∵
是
的相似点，
∴
，作
轴于
，
∴
，
，
∵
的横坐标为，
∴
，
∴
．
②如图所示：
图
由勾股定理得：
，
∵
是
的相似点，
∴
，
∴
，即
，
8
（3 ）
【标注】
解得：
，
即
的纵坐标为
，代入
得：
，
解得：
，
∴
；
综上所述：
的自相似点的坐标为
或
．
存在点
和点
，使
无自相似点，
，
；理由如下：
∵
，
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∵点
在
的内部，
∴
，
，
∴存在点
和点
，使
无自相似点．
【知识点】与三角形有关的新定义
