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反比例函数章节复习：新定义【题集C1】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
定义：如图，点
、
把线段
分割成
、
和
，若以
、
、
为边的三角形
是一个直角三角形，则称点
、
是线段
的勾股点．
A
B
图
已知点
、
是线段
的勾股点，若
，
，求
的长．
如图，点
是反比例函数
上的动点，直线
与坐标轴分别交于
、
两点，过点
分别向、轴作垂线，垂足为
、
，且交线段
于
、
．证明：
、
是线段
的勾股点．
x
y
O
图
如图，已知一次函数
与坐标轴交于
、
两点，与二次函数
交
于
、
两点，若
、
是线段
的勾股点，求
的值．
x
y
O
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
或
．
证明见解析．
的值为
．
∵点
、
是线段
的勾股点，
∴
或
，
∴
的长为
或
．
∵点
是反比例函数
上的动点，
2
方法一：
（3 ）
∴
．
∵直线
与坐标轴分别交于
、
两点，
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
．
当
时，
，
∴点
的坐标为
．
当
时，有
，
解得
，
∴点
的坐标为
．
∴
，
，
．
∵
，
∴以
、
、
为边的三角形是一个直角三角形，
∴
、
是线段
的勾股点．
∵一次函数
与坐标轴交于
、
两点，
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
．
将
代入
中，整理得：
，
解得：
，
，
∴
，
，
．
∵
、
是线段
的勾股点，
∴
或
，
即
或
，
整理得：
或
，
解得：
，
，
（不合题意，舍去)．
当
时，
，
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方法二：
【标注】
∴
不合题意，舍去，
∴
的值为
．
易知
，
，
联立方程得
，即
，
设
，
，
，
则
，
为方程
的两根，且
，
，
．
由韦达定理可知，
，故
，
，
所以依题意应有
，即
，
，
所以
，而
，
所以
，
由
，得
，
解得
．
【知识点】与三角形有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 有一边是另一边的
倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做
智慧角．
已知
为智慧三角形，且
的一边长为
，则该智慧三角形的面积
为 ．
如图①，在
中，
，
，求证：
是智慧三角形．
如图②，
是智慧三角形，
为智慧边，
为智慧角，
，点
，
在函数
的图象上，点
在点
的上方，且点
的纵坐标为
，当
是直角三角
形时，求的值．
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（1 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
或或
或
或
证明见解析．
的值为
或
．
如图，
图
设
，
，
，
①若
，
（ⅰ）
，
∴
；
（ⅱ）
，则
，
∴
；
②若
，
（ⅰ）
，即
，
∴
；
（ⅱ）
，
则
，
∴
；
③若
，
（ⅰ）
，
∴
，
（ⅱ）设
，
，则
，
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（2 ）
（3 ）
即
，解得
，
∴
．
故答案为：
或或
或
或
．
如图，
图
过点
作
于点
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
中，
，
∴
，
∴
，
∴
是智慧三角形．
∵
是智慧三角形，
为智慧边，
为智慧角，
∴
，
∵
是直角三角形，
∴
不可能为斜边，即
，
∴
或
，
①当
时，过
作
轴于
，过
作
于
，过
作
轴于
， 如图，
图
∴
，
6
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
∵
， ∴
，
∵
的纵坐标为
，即
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∵点
、
在函数
上的图象上，
∴
， 解得：
（舍去），
，
∴
；
②当
时，过
作
轴于
，过
作
轴于
，如图，
图
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
∴
， 设
，则
， ∴
，
，
∵点
，
在函数
的图象上，
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【标注】
∴
， 解得：
，
∴
，
综上所述，的值为
或
．
【知识点】与三角形有关的新定义
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
1
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，定义直线
与双曲线
的交点
（
、为正整数）
为“双曲格点”，双曲线
在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于轴的直线为对
称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．
回答下列问题：
双曲格点”
的坐标为 ．
若线段
的长为个单位长度，则
．
图中的曲线是双曲线
的一条“派生曲线”，且经过点
则的解析式为
．
画出双曲线
的“派生曲线” （与双曲线
不重合），使其经过“双曲格点”
、
、
．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）画图见解析．
由题意知
与
交点为
，
∴当
时，代入
，
，
8
2
（2 ）
（3 ）
∴
的坐标为
．
∵由
得
，
，
∴
是直线
与双曲线
的交点，
∴
，
∵线段
的长为单位长度，
∴
或
，
∴
或
，
∵为正整数，
∴
．
∵由图可知曲线是双曲线
沿着竖直方向平移得到的，
∴设曲线为
，
∵由
得
，
，
∴
是直线
与双曲线
的交点，
∴
，
∵曲线经过点
，
∴
，
∴曲线的解析式为
．
∵由
得
，
，
S5
∴
是直线
与双曲线
的交点，
∴
，
∴点
在双曲线
上，
∵派生曲线与双曲线
不重合，
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【标注】
∴派生曲线是由双曲线
以平行于轴的直线为对称轴进行翻折得到的，
∵派生曲线经过点
，
∴翻折的对称轴为
，
∵双曲线
与直线
和直线
的交点为
，
，
如图，描点
，
，
通过描点画出如下图像．
【知识点】与函数有关的新定义
