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全等三角形【章节复习】压轴题--坐标系内的全等
综合【C20】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 等腰
中，
，点
、点
分别是轴、轴两个动点，直角边
交轴于点
，斜边
交轴于点
．
如图（），若
，
，求
点的坐标．
图
如图（），当等腰
运动到使点
恰为
中点时，连接
，求证：
．
图（）
如图（），在等腰
不断运动的过程中，若满足
始终是
的平分线，试探
究：线段
、
、
三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
．
2
图
（1 ）
图（）
（2 ）
图
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，过点
作
轴于点
，
则
≌
（
），
∴
，
，
∴
，
∴
．
如图，过点
作
交轴于点
，
则
≌
（
），
∴
，
，
∵
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
如图，在
上截取
，连接
，
由对称性得
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】坐标系中的动点问题（非函数）
x
y
O
2. 如图所示，等腰
中，
，点
、
分别在坐标轴上．
3
（1 ）
x
y
O
图
（2 ）
（3 ）
x
y
O
（1 ）
（2 ）
【解析】
若
点的横坐标为时，求
点的坐标．
当等腰
在运动过程中，位置如图所示，若轴恰好平分
，
交轴于
，
过
点作
轴于
，求
的值．
若
的坐标为
，点
在轴正半轴上运动时，分别以
、
为边在第一、第二象限作
等腰直角
和等腰直角
，连
交轴于
点，问当点
在轴上运动时，下列两
个结论：①
的长为定值，②
的值为定值；有且只有一个结论正确，请选择，并
求其值．
x
y
O
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
点的坐标是
．
．
．
过
作
轴于
，
则
≌
，
∴
，
∴
点的坐标是
．
延长
交
的延长线于
，
则
，
再证
≌
，
4
x
y
O
图
x
y
O
图
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
．
过
作
轴于
，
则
≌
，
∴
，
，
再证
≌
，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 如图，已知
，
轴于
，且满足
，
图
图
求
点坐标．
如图，分别以
,
为边作等边三角形
和
，试断定线段
和
的数量关
系和位置关系，并说明理由．
如图，过
作
轴于
，点
分别为线段
上的两个动点，满足
，试探究
的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，请说明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
点
坐标为
；
，
．
的值不发生变化，其值是．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
∵
∴
，
∴
，
∴点
坐标为
．
∵
、
均为等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
∴
，
，
∴
，
．
如图，在
的延长线上截取
，连接
，
∵
轴，
轴，
∴
，
，
∵
，
在
和
中
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中
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【标注】
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的值是，
即
的值不发生变化，其值是．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】有理数乘方运算
【知识点】绝对值的非负性
