2026北师大版初中数学八年级上册学生AI智能体深度理解16法：第10篇｜第三章 位置与坐标·1 确定位置——深度理解16法之「权威分析」

北师大版义务教育教科书 · 数学 八年级上册 · 第三章 位置与坐标·1 确定位置

🏫 学校：dxyc2360      👨‍🏫 指导教师：张元方

📖 一、开篇引言

翻到北师大版八年级上册印刷第 53 页，第三章的章首页上有三张照片，一字排开：左边是一片楼群，中间是大海上的一条船，右边是体育场里一格一格的红色座椅。座椅上还印着 75、76、77 这样的号码。教材没有给这三张照片配图注，却在照片上方写了两段话，其中一句是「确定体育场观众席座位的位置」。孩子看到这里往往一笑：这有什么难的，票上写着呢。

往下翻一页，第 54 页的节首给了一张电影票，票面上印着「3排6座」。教材问了两件事：在放映厅里怎么找到票上指的那个座位；票上的「3排6座」与「6排3座」，两个「6」的意思有什么不同。问题看着浅，孩子也答得上来——前一个 6 是第 6 座，后一个 6 是第 6 排。答完就过去了。

麻烦藏在后面。这一节从头到尾要回答的其实是一个很硬的问题：凭什么说两个数据就够。一个数据不够，这件事孩子能接受——只知道「第 3 排」，一整排几十个座位，坐哪儿都行。两个数据为什么就够了，孩子通常没想过，只是照着做。等到第 55 页的图 3-2、第 56 页的象棋棋盘、往后第 58 页的平面直角坐标系，一路都要用「两个数据定一个点」这条规矩。规矩没吃透，题就会做一半：会读图，不会说理；会报答案，遇上「还需要什么数据」这样的反问就卡住。

教材把这件事拆成四步走。第一步是座位：排与座两个数，缺一个不行。第二步是海上对阵（图 3-1）：方向角与距离两个数，缺一个不行。第三步是地图与网格（图 3-2）：经度与纬度，或者字母与数字，还是两个数。第四步才是那句黑体结论——在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。四步的顺序有讲究：前面三步都是「具体的两个数」，第四步才把「两个」抽出来。孩子若从第四步往下走，先背结论再看例子，例子就变成了给结论配的插图。

这一篇用第十六法「权威分析」来读。这一节有个特别之处：它教的东西大半是「约定」。先看排还是先看座，角从正北量还是从正东量，读格先读字母还是先读数字，地图上北纬写在前还是东经写在前——这些都不是天上掉下来的，是人定的。孩子最容易犯的毛病，是把约定当真理背，或者反过来，觉得既然是人为定的，那随便怎么定都行。两头都不对。伽达默尔分析权威时说过一句反常识的话：权威不是盲目的服从，而是理性本身的一种行为。承认一条规矩，前提是能说出它的根据；说不出根据的承认，是服从习惯，不是承认权威。

给家长一句实在话：这一节学完，孩子会填「B2 区」「第 5 列第 9 行」不算过关；能回答「为什么不能只给一个数」「为什么这两个数不能调换顺序」，才算过关。下面十一段，就围着这两句话展开。

📊 二、思维导图

本节一张图：四种场景、一条结论、三种读法

这张导图按「场景—数据—结论—追问」四层铺开。第一支是场景：电影院座位、海上对阵、地图经纬、公园网格、象棋棋盘，五处场景各给一组数据。第二支是两个数据的四种搭配：角加距离、两个距离、两个角、行加列（字母加数字）。第三支是那条黑体结论，以及它的根据——一个数据只能定一条线，两条线相交才是一个点。第四支是读的规矩：先什么后什么、角从哪条线量、进与退怎么走，这些是约定，约定要能说出理由。第五支是往后的路：平面直角坐标系把「两个数据」写成一对有序实数。孩子顺着这张图看一遍，能明白这一节不是记几个例子，是把「两个」这件事看清楚。

🔑 三、深度理解16法之「权威分析」

权威分析出自伽达默尔《真理与方法》。他要反驳一个流传很广的看法：把权威等同于盲从，等于说凡是承认权威的人都不动脑子。他的判断相反——权威的有效性不来自压制，来自理性的承认。一个人承认某位医生的话，是因为这位医生治好过病人、判断有据；一个人承认某条老规矩，是因为这条规矩在长年使用中被证明管用。承认之前先问一句「根据是什么」，这一问就是理性；不问就点头，那是服从，不是承认。

这一法要治的学习毛病，叫「规矩记一半」。孩子学「确定位置」，记住的是「要有两个数据」，忘掉的是「为什么是两个」。考卷上「确定一个座位一般需要几个数据」他能填对，「要确定蓝方战舰B的位置，还需要什么数据」他就答不利索，因为前一句是背结论，后一句要拿结论去验图。再往后，学到平面直角坐标系，横坐标在前纵坐标在后，他也照做，问一句「能换吗」就愣住。这类毛病的根子一样：把约定当成了不许问的教条。

权威分析给的四步，正好能套在这一节上。第一步，找出根据：教材说「一般需要两个数据」，根据在哪儿？在第 55 页那句黑体话之前的三段例子——座位靠排与座，战舰靠角与距离，公园靠字母与数字，每一处都恰好两个。第二步，检验根据：这两个数是不是可省？把「3排6座」省成「3排」，一整排都符合；省成「6座」，全厅十几排的第 6 座都符合。省一个，答案从「一个点」变成「一条线」，所以两个不能省。第三步，在理性判断中承认：既然一个数据定一条线、两条线才交于一点，那么两个数据够用，这件事是想得通、验得过的，孩子可以放心承认教材这句话。第四步，分清承认与服从：服从的孩子会背「两个数据」，被问「为什么」就回一句「书上说的」；承认的孩子会说「一个数只能圈一条线，两个数才有交点」。

这一法落到本节的三个具体动作，家长可以直接拿来用。第一个动作，每遇到一个新规矩，先问「这条规矩的根据是什么」。影院老座号有的写「几排几号」，有的写「几号几排」，孩子读票不会错，因为票面给了明确的对应；一旦要求他把「3排6座」改成「6座3排」去报给同伴，同伴还能不能找到，就要先讲清谁在前谁在后。根据是「读的人和写的人要用同一个次序」，不是「排比座重要」。第二个动作，拿图 3-1 做检验：北偏东 40° 只是一条射线，射线上有小岛，也有蓝方战舰B，所以方向这个数据单独不管用；量出 B 到红方潜艇的距离 28 n mile，点才落定。孩子自己动手在图上把这条射线画出来，再在射线上比出两个点，那一瞬间他就懂了「一个数据定线、两个数据定点」。第三个动作，拿象棋棋盘做反向检验：将、帅都在第 5 列，只报「第 5 列」两个人分不开；补上「第 1 行」与「第 9 行」，各自归位。这一前一后两次检验做完，第 55 页那句结论就从一句要背的话，变成一句能自己推出来的话。

还有一层意思值得提示给孩子。约定既然是人定的，就有「合理与不合理」之分，而检验合理性的标准很朴素：用它的人能不能互相找得到。北纬东经的顺序、格子的字母加数字、棋盘的行与列，全都满足这条；一个约定如果让两个人得出两个位置，它就坏了。孩子手里有了这把尺子，往后学函数记作 y＝kx＋b、学坐标记作（a，b）、学统计记作（平均数，方差），他会知道那些括号里的先后不是随便排的，是被「读得懂、对得上」这条要求管着的。

📝 四、核心概念与公式

知识点一 · 有序数对：排与座是一对，不是两个数。电影票上的「3排6座」，是两个数据凑成的一对。这一对的关键在「有序」两个字：3 管排，6 管座，位置固定，不能换。换成「6排3座」，票还是那张纸，座位换到了第 6 排第 3 座。教材第 54 页专门问了两个「6」的意思有什么不同，问的就是这件事——同一个数字，站在排的位置上表示第 6 排，站在座的位置上表示第 6 座。孩子若把这一对当成「两个数字随便是 3 和 6」，那么他就只记住了数，没记住数的位置。往后学平面直角坐标系，点（3，6）与点（6，3）是两个点，这一节就是那件事的第一次预演。

知识点二 · 角加距离：方向给一条射线，距离在射线上截一个点。第 54 页的例讲海上对阵。以红方潜艇为观测点，图 3-1 右上角画了一个「北」和一个向上的箭头，这是全图的方向基准。所谓「北偏东 40°」，是从正北方向出发，向东转 40°，画出一条射线。射线上有小岛，也有蓝方战舰B，所以只报方向，点定不下来；再加上 B 到红方潜艇的距离 28 n mile，点才落到射线上唯一一处。这就是「角加距离」的用法：角管方向，距离管远近，两样合起来才是一个位置。写成一句话：一个数据定一条线，两个数据定一个点。

知识点三 · 经纬度与网格：坐标的两种民间版本。第 55 页的「尝试·思考」给了两个例子。一个是中国文昌航天发射场，位置记作北纬 19°、东经 110°左右；经纬两条线在地球表面相交于一点，还是两个数据。另一个是北京奥林匹克公园简图（图 3-2），图上画了 3 列、3 行，列标用字母 B、C、D，行标用数字 1、2、3，国家体育馆落在 B2 格，国家体育场落在 C3 格。这种记法把平面切成小方块，先报列、再报行，仍然两个数据。孩子要看清一点：网格定位给出的是一个「区域」，不是一个「点」；格子越小，区域越细，但要精确到一个点，还得靠更细的网格或者坐标。

知识点四 · 两个数据够用，这句话的「一般」二字有分量。第 55 页末尾的结论是教材用黑体印的：「在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。」注意「一般」两个字。它说的是常规情形，不是「任何情形都恰好两个」。图 3-2 的网格法用字母加数字两个数据，但给出的是整格区域；要把位置精确到格内某一点，两个数据就不够了。象棋棋盘用列与行两个数据，落到交叉点上正好唯一。孩子读结论时要养成一个习惯：先看结论管的是哪种情形，再看自己手上的题属不属于这种情形。这一节后面所有题目，都在这句结论的射程之内。

本节公式与常用算式。本节没有代数公式，只有一批「记法」和几组换算，家长可以照着这张清单逐条核：影院座位记作「3排6座」，改成「6座3排」是另一个位置；图 3-1 的比例尺是 1 cm 表示 20 n mile；蓝方战舰A 在正南方向、距离 20 n mile；蓝方战舰B 在北偏东 40° 方向、距离 28 n mile；蓝方战舰C 在正东方向、距离 20 n mile；海里与米的换算是 1 n mile＝1 852 m；文昌发射场记作北纬 19°、东经 110°左右；图 3-2 的网格是 3 列 × 3 行＝9 格，国家体育馆在 B2、国家游泳中心在 B3、国家体育场在 C3；象棋棋盘 9 列 × 10 行＝90 个交叉位置，「将」在第 5 列第 9 行、「帅」在第 5 列第 1 行，第 3 列第 5 行的「马」走「马3进4」后落到第 4 列第 7 行。这些记法里，凡是有括号的、凡是有「先…后…」的，都是约定，都要能说出根据。

📜 五、教材原文

教材原文

略

本页所引教材文字、图表与题目，版权归北京师范大学出版社所有，本文只作教学解读之用，不复制原书版面。原文见北师大版义务教育教科书《数学》八年级上册印刷第 53 页至第 56 页：第 53 页是第三章章首页，第 54 页是本节的节首情境、思考·交流与例（图 3-1），第 55 页是尝试·思考、第二个思考·交流与黑体结论，第 56 页是随堂练习第 1 题与阅读·欣赏「平面定位的方式」（图 3-3）。题目原文要点、图上标注与逐题拆解，详见第八节。

🧩 六、重点难点分析

难点一 · 为什么两个数据够，一个为什么不够

孩子背得下「需要两个数据」，讲不出为什么。难在这是个「数一条线」的问题，不是数数的问题。只知道排号，一整排座位都合格，位置从一点变成一条横线；只知道座号，每一排的同一个座位都合格，位置变成一条竖线。两条线一交叉，落点只有一个，所以两个数够了。孩子卡住，通常卡在他把「数据」当成「信息量」，觉得数据越多越好，不明白数据的用处是「排除」——每个数据排除掉一批可能，排除到只剩一个，位置就定了。破法很土：让他在纸上画一条横线、一条竖线，说「排号告诉我在这条横线上，座号告诉我在这条竖线上，那我只能在交点」，画过一遍，这句话就再也不是背的了。往后学到二元一次方程组的图象解法，两条直线交于一点，还是这幅图。

难点二 · 方向角为什么从正北量，写成「北偏东 40°」

图 3-1 上那条斜虚线与正北方向夹 40°，教材写「北偏东 40°」。孩子常写成「东偏北 50°」，算出 90°－40°＝50°，数字没错，说法不合规矩。这里要讲清约定的根据：全世界的方位都以正北为零度起点，向东转的角度为正，所以「北偏东 40°」是唯一说法。写成「东偏北 50°」几何上是同一条射线，可读的人要先在脑子里换算一次，容易错。这就是「约定要统一」的实际价值——不统一，不影响数学，影响的是两个人能不能对上话。带孩子的动作：让他在图上从「北」字出发，沿箭头画一条竖直向上的线，再用三角尺量着向东转，转出 40° 停下，指着那条线说三遍「北偏东 40°」。说到不假思索，才算过关。

难点三 · 「还需要什么数据」这类逆向设问

正向题孩子会做：给角给距离，指出是哪艘船。逆向题一来就空——例的第（1）问「要确定蓝方战舰B的位置，还需要什么数据」，问的不是答案，是缺什么。难在孩子得先判断「现在已经有了什么」，再拿「一共要两个」去减。这是把结论当工具用，比背结论高一档。孩子常见的错法是答「还需要方向」或者「还需要 40°」，把已有的重复一遍。破法是把三个数据摆成一张小表：方向有了（北偏东 40°），距离没有，所以缺距离，补上 28 n mile。家长可以顺手加一问：「如果只告诉你距离 28 n mile，够不够？」孩子答「不够，一圈都是 28」，说明他真的懂了。

难点四 · 网格读法为什么先字母后数字

图 3-2 的格子记作 B2、C3，读法是字母在前、数字在后。孩子写「2B」不算错得离谱，可别人读起来要先愣一下。这个顺序的根据与「3排6座」同源：先定横向位置，再定纵向位置，读的人按同一路数走，一遍就对。图 3-2 还有一处要提醒：列标从 B 起，没有 A 列，孩子若按「A、B、C」的惯性去找 A1，图上根本没有这一格。这类细节考卷上很爱出，改成「D1 在哪」他就得回头数。带法是把图 3-2 抄成一张 3×3 的空表，让孩子填九个格的代号，再把国家体育馆、国家游泳中心、国家体育场三个名字分别写进 B2、B3、C3，写完自己念一遍。手写过一遍，比看十遍管用。

难点五 · 象棋棋盘的行号方向与「进」的方向

第 56 页的棋盘图，列号 1 至 9 从左到右，行号 1 至 10 从上到下，都是阿拉伯数字。孩子读图的第一错，是把行号当从下往上数——生活里说楼层是从下往上，棋盘偏偏从上往下。第二错是搞不清「进」往哪边走：本图红方在上（帅在第 1 行），黑方在下（将在第 9 行），红方「进」就是朝黑方走，行号变大。这两处一错，「马3进4」会算成第 4 列第 3 行，答案差了两行。破法是把棋盘的左上角画个箭头，标「列→」「行↓」，再用手指从第 5 行往下走两格到第 7 行。孩子手指走过一遍，位置感就立起来了。这处细节还牵着一个更重要的念头：读图先读「标尺」，别急着找棋子。

难点六 · 图 3-1 的比例尺怎么用

图 3-1 的题干里写着「图中 1 cm 表示 20 n mile」，图内却没有比例尺条，也没有标出各艘船的距离数字。孩子在图上找不到 28 这个数，会以为题错了。这里要教的是「量图换算」：拿尺子在图上量出红方潜艇到蓝方战舰B 的那一段，量得 1.4 cm，按 1 cm 折 20 n mile 算，1.4×20＝28，正好对上课本解答里的 28 n mile。量的过程带误差，量出 1.3 或 1.5 都算合理，答 26 或 30 也不必惊慌，教材的本意是让孩子体会「图上的一段长度代表实际的一段距离」。顺带把脚注讲了：n mile 是海里的符号，1 n mile＝1 852 m，所以 20 n mile 差不多是 37 km。孩子对「海里」有了具体感觉，后面学航海题不吃力。

❓ 七、常考易考题与易错题

题型一 · 判断「确定位置需要几个数据」

例题（变式）：判断下列各说法能否唯一确定位置——①某同学坐在第 4 排；②某城市在东经 116°；③某船在灯塔北偏东 30°、距离 8 n mile 处。答：①不能，一整排都符合；②不能，一条经线上有无数城市；③能，两个数据定一点。易错：把①③一起判成「能」，理由是「说了排就能找到」。错因：把生活经验当成数学判断，忘了同一排还有很多座位。纠法：让他在纸上把①画成一条横线，问「这条线上一共有多少种可能」，再画③的交点，两种图形摆在一起，差别一眼可见。这一类题在本节考查频率最高，因为它是那条黑体结论的直接检验。

题型二 · 用方位角加距离描述位置

例题（变式）：以学校为观测点，图书馆在学校的北偏西 25° 方向，距离 600 m，请描述图书馆的位置。答：先画正北方向，向西转 25° 画射线，在射线上取相当于 600 m 的一段，端点就是图书馆。易错：写成「西偏北 25°」，或者把角度写成 65°。错因：不清楚方位角以正北为零度起量，也忘了「北偏西」里的角是跟正北的夹角。纠法：把四个方向写成「北、东、南、西」，让孩子标出「北偏西」是从北往西转，再让他算 90°－25°＝65° 看看是不是同一件事，做完自己就能发现 25° 与 65° 说的是两个角。写答案时要求他把「先方向、后距离」的顺序固定下来。

题型三 · 逆向设问「还需要什么数据」

例题（本节例第（1）问的变式）：已知某目标在观测点北偏东 40° 方向上，要确定它的位置，还需要什么数据？答：还需要这个目标到观测点的距离。易错：答「还需要方向」或「还需要 40°」，把已经给出的条件重复一遍。错因：没有先清点「手上有什么」，直接凭感觉补。纠法：教他两句口诀——「先数已有的，再拿二去减」。已有方向一个，总数要两个，缺的就是距离。家长可以顺势追问「如果只给距离够不够」，孩子答「不够，一圈都是这个距离」，说明这一问真的过关了。这类题是本节例的正面考点，几乎每次单元测都会变形出现。

题型四 · 网格区域记法

例题（图 3-2 变式）：在 3 列 3 行的公园简图上，列标 B、C、D，行标 1、2、3，说出国家体育馆、国家游泳中心、国家体育场各在哪一格。答：国家体育馆在 B2，国家游泳中心在 B3，国家体育场在 C3。易错：写成 2B、3C；或者按 A、B、C 的惯性去找 A 列，找不到就随便填。错因：不清楚「先字母后数字」的读法，也没注意图上列标从 B 起。纠法：先让孩子把九个格的代号全写出来（B1 到 D3），再往里填名字，填完加一句总结「字母管左右，数字管上下」。填完让他闭眼背一遍，背错就回头数格子。这一题的价值不在答案，在「读图先读标尺」这个习惯。

题型五 · 行列位置的读法与「进位」

例题（随堂练习第 1 题变式）：在象棋棋盘上，说出「将」与「帅」的位置，并说出第 3 列第 5 行的「马」走「马3进4」之后的位置。答：「将」在第 5 列第 9 行，「帅」在第 5 列第 1 行；「马」走到第 4 列第 7 行。易错：行号从下往上数，把「帅」说成第 10 行；「进」的方向搞反，把「马」算到第 4 列第 3 行。错因：把楼层的数法搬到棋盘上，也没注意红方在上、黑方在下。纠法：在棋盘左上角画「列→」「行↓」两个箭头，用手指从第 1 行往下数到第 10 行，数两遍；再让手指从第 5 行往下走两格到第 7 行，走一遍就知道方向。行号方向是本册第一次出现，务必钉住。

题型六 · 比例尺量图估算

例题（本节图 3-1 变式）：地图上 1 cm 表示 5 km，量得甲地到乙地的图上距离是 3.4 cm，实际距离是多少？答：3.4×5＝17 km。易错：把比例尺当除法，算成 3.4÷5＝0.68；或者量错起点终点，把图上两艘船的距离量成了船到岸的距离。错因：比例尺的「一厘米顶多少」没转成乘法关系，量图时也没先标出两个端点。纠法：让他把「1 cm 顶 5 km」写成一张小表：1 cm→5 km，2 cm→10 km，3 cm→15 km，再问 3.4 cm 该多少，答案自己会浮出来。量图前先在两处点个点，再量两点之间，别量错线。答案带小数不要慌，估算题容许误差。

题型七 · 开放探究：还能用哪两个数据

例题（阅读·欣赏变式）：图 3-3 中的船只A，除了用「角加距离」定位，还能用哪两个数据确定它的位置？答：可以用 A 相对 B 在东西方向与南北方向的两个距离；也可以用 B、C 两个观测点测得的两条射线 BA、CA 的交点，即两个角；还可以用 A 到 B、A 到 C 的两个距离。易错：只会答一种，卡在「除了书上那种还有别的吗」。错因：把「两个数据」当成只能有一种形式，没意识到数据可以换。纠法：拿一张方格纸，让他在上面标出 A、B、C 三点，然后问「你还能用哪两样东西把 A 说清楚」，让他自己数出四种搭配。这一题最能看出孩子有没有吃透「两个数据」的精神，而不只是记住一种套路。

七类题型排下来，可以看出一条线：前五类考「读」，第六类考「算」，第七类考「想」。孩子若只在前五类上拿分，说明他学会了照图说话；能拿下第六、第七类，说明他知道两个数据为什么叫两个数据。家长检查作业时，不妨按这个顺序看：先看他能不能读对，再看他能不能算对，看他能不能换一种说法说对。

📄 八、教材内容逐点拆解

这一节按教材翻页顺序走，一共七个板块：印刷第 53 页的章首页导语（背景，不算本节栏目）、第 54 页的节首情境与两个引导问题、第 54 页的思考·交流、第 54 至 55 页的例（图 3-1，三个小问）、第 55 页的尝试·思考（两个小问）、第 55 页的第二个思考·交流与黑体结论、第 56 页的随堂练习第 1 题（两个小问）与阅读·欣赏「平面定位的方式」（图 3-3）。题号照教材原样写，一道不落。

栏目一 · 章首页导语与三张照片（印刷第 53 页）

章首页是深蓝横幅，左边写「第三章」，右边写「位置与坐标」。横幅下面两段导语，第一段举了四个生活场景：确定学校、家的位置，确定地图上城市的位置，确定体育场观众席座位的位置，确定大海中航船的位置。第二段预告本章要学的东西：确定位置的基本方法、平面直角坐标系、平面上的点与实数对的对应、关于坐标轴成轴对称的两个图形对应点坐标的关系。中间横着三张照片，没有图号，也没有图注：左边是楼群，中间是海上的船，右边是体育场的红色座椅，座椅上能看清 75、76、77 这样的号码。

页面下部有个白色圆角框，框顶写「在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题」，框里挂着两个带灯泡图标的问题，没有编 1、2 号。第一个问：用数量确定一个点的位置有哪些方法？这些方法有什么异同？第二个问：引入平面直角坐标系，对日常生活和数学学习有哪些作用？这两个问题是全章的纲，第一节只能回答一半——方法有哪些，异同在哪里；坐标系那半要留到第 58 页。家长带孩子看这一页，可以把两个问题抄在便利贴上，贴在书桌边上，学到第 3 节再回头看一遍。

导语里还有一句值得念出来：「数学中伟大的突破常常源于不同领域问题间意想不到的联系。你知道吗？点的位置的研究曾经推动了一门几何学的产生呢！」这句话说的是解析几何——笛卡尔把数与形搭上桥，几何从此可以算。孩子此刻还看不到那座桥，只看到电影票和象棋盘。这一节要做的，就是让他相信那些看起来毫不相干的东西背后是同一条规律。

栏目二 · 节首情境与两个引导问题（印刷第 54 页）

第 54 页开头是节标题「1 确定位置」，标题下配了一张电影票的图，票面印着「3排6座」。票图下面两行问题，编（1）（2）号，没有栏目名，属于节首的引入提问。教材用这张票把「位置」这件事从生活里拎出来，后面的所有内容都从这两个小问起步。

题目原文要点：（1）在电影放映厅内如何找到电影票上所指的座位？（2）在电影票上，「3排6座」与「6排3座」中的「6」含义有什么不同？考查什么：考「两个数据的分工」——排管前后，座管左右，各管一路；再用第二个问逼孩子看清同一个数字在不同位置上的不同身份。思路：先在放映厅入口看排号牌，找到第 3 排，再沿这一排找第 6 个座位；两个「6」的差别要落在「排」与「座」两个字上，不能只说「一个是 6 一个是 6」。

分步过程：第一步，进厅抬头看排号，走到标着 3 的那一排；第二步，站在第 3 排的过道上，从左往右数座位，数到 6，坐下；第三步，回答第（2）问：「3排6座」里的 6 指的是第 6 个座位，「6排3座」里的 6 指的是第 6 排，两个 6 一个管横向、一个管纵向，位置完全不同。易错：第（2）问答成「一个是第六排的六，一个是第六座的六」，话说得绕，落不到点子上；或者干脆说「意思一样，都是 6」。验算：把两个座位号分别念给同伴听，让同伴在图上指出坐哪儿；指到两处不同位置，说明理解对了，指到同一处，说明还没分清。

带这一题：这道题不难，价值在「顺序」。家长可以拿一张纸写上「3排6座」，让孩子改成「6座3排」，再问他「放映厅里有没有一个座位两个名字都能叫」。他会发现：只有 3 排 6 座与 6 排 3 座恰好是同一个座位时才会重合，一般情况下是两个地方。这一问埋下的种子，到第 58 页会长成「有序数对」四个字，到第 62 页会长成点（a，b）与点（b，a）不是同一个点。此刻别急着提坐标，只把「一对数、有先后」这件事说清就够了。

栏目三 · 思考·交流（印刷第 54 页）

这张票的问题问完，教材紧接着给了一个栏目「思考·交流」，两个小问。第一个问把话题从一张票抬高一层：在电影放映厅内，确定一个座位一般需要几个数据？第二个问放开范围：在生活中，确定物体的位置还有其他方法吗？与同伴进行交流。第一问要的是「两个」这个数，第二问要的是一串例子。两问合起来，是让孩子从「一张票」走到「一类事」。

题目原文要点：（1）在电影放映厅内，确定一个座位一般需要几个数据？（2）在生活中，确定物体的位置还有其他方法吗？与同伴进行交流。考查什么：第（1）问考结论的第一次提炼，第（2）问考「把结论搬到别的场景还成不成立」，两问合起来是「归纳＋推广」。思路：第（1）问从票面上的两个数直接回答，再补一句理由：排一个、座一个，少一个就定不下来。第（2）问先想场景再想数据，别一上来就报方法名。

分步过程：第（1）问：确定一个座位一般需要两个数据——排号与座号。补充检验：只说排号，整排几十个座位都符合；只说座号，每排的那个座位都符合；两个合起来才唯一。第（2）问列举四条路：坐火车说车厢号与座位号；住酒店说楼层与房间号；找快递柜说第几组第几格；在地图上说某市在某省的东南部，还要加距离。易错：第（2）问答「看导航」「问路人」，把「工具」当「方法」；或者答「说地址」，而地址里其实藏着好几层数据。验算：把答出的每种方法都追问一句「去掉其中一个数据还找得到吗」，四个例子都通不过「去掉仍能找到」的检验，说明两个数据缺一不可。

带这一题：家长陪读时最容易漏掉第（2）问的「与同伴进行交流」。这一句不是客套，它在要求孩子把话说明白到别人能照着找到。可以真做一次：让孩子用两句话描述家里的书在哪，「书桌右边第二层、从左数第三本」，家长闭着眼按话去拿，拿对了说明两个数据说清了，拿错了就是某个数据含糊。这种小游戏做三五次，孩子对「两个数据必须让人对得上」这条会有切身体会，比讲十遍道理有效。

栏目四 · 例与图 3-1（印刷第 54 至 55 页）

教材用一个蓝框标出「例」字，题目是海上实兵对抗：我国海军某舰艇编队在某海域展开训练，红蓝双方对阵如图 3-1 所示，图中 1 cm 表示 20 n mile。对红方潜艇来说，三个小问。图 3-1 上有这些标注：右上角一个「北」字加向上箭头；以红方潜艇为顶点画出的 40° 夹角虚线；虚线远端有「小岛」；虚线上比小岛更近处是「蓝方战舰B」；正东水平虚线方向上前后两艘，分别是「蓝方战舰C」与「红方战舰2号」；正南竖直虚线方向上是「蓝方战舰A」；右下方还有「红方战舰1号」。图内没有比例尺条，也没标距离数字，唯一的数字是 40°。

脚注交代单位：n mile 是长度单位「海里」的符号，1 n mile＝1 852 m。这道例题是全节的枢纽，三个小问分别落在「方向＋距离」的三个层次上：第（1）问考「方向不够」，第（2）问考「距离不够」，第（3）问考「两个都要」。三问走完，答案自然合成一句话：确定位置靠两个数据。

例 第（1）问 · 北偏东 40° 方向上有哪些目标，要确定蓝方战舰B 还需什么数据

题目原文要点：北偏东 40° 方向上有哪些目标？要确定蓝方战舰B 的位置，还需要什么数据？考查什么：考「一条射线上可以站很多个目标」，方向数据只能筛出一条线；再考「缺什么」这种逆向设问。思路：先在图上把 40° 那条虚线找出来，沿线往外看，看到什么就报什么；再拿「要两个数据」这条尺子去量，已有一个，缺一个。

分步过程：第一步，找到红方潜艇，从「北」字箭头方向起，向东转 40°，画出这条射线。第二步，沿射线看过去，先碰上「蓝方战舰B」，再往外是小岛，所以这条方向上有两个目标：蓝方战舰B 和小岛。第三步，回答「还需要什么」：方向已经给出，位置要两个数据，缺的是距离——蓝方战舰B 到红方潜艇的距离。易错：只报一个目标，漏掉小岛；把「还需要什么数据」答成「还需要 28 n mile」，把答案当条件。验算：反过来想，如果只给「北偏东 40°」，能不能指出 B 在哪？不能，射线上有无数个点。补上距离之后，点被截在唯一一处。这一步验完，答案就站住了。

带这一题：家长可以让孩子用手指沿那条虚线走一遍，边走边报「这里是小岛」「这里是 B」，走完再问一句「B 和小岛谁离得近」。孩子答「B 近」，说明他看懂的不只是文字，还有图上的远近。第（1）问的答案教材写得很干净：两个目标，分别是蓝方战舰B 和小岛；要确定 B 的位置，还需要知道 B 与红方潜艇之间的距离。让孩子照这个句式复述一遍，句子里「方向有了、距离缺着」的结构自然显形。

例 第（2）问 · 距离红方潜艇 20 n mile 的蓝方战舰有哪几艘

题目原文要点：距离红方潜艇 20 n mile 的蓝方战舰有哪几艘？考查什么：与第（1）问对称——这次只给距离，看孩子会不会犯「距离够用」的错。思路：把 20 n mile 想成一个圆，圆心是红方潜艇，凡是圆上的点都满足「距离 20 n mile」。答案不止一处，正说明一个数据不够。分步过程：第一步，用比例尺把 20 n mile 换成图上长度：1 cm 顶 20 n mile，所以图上 1 cm 就是 20 n mile 的半径。第二步，以红方潜艇为圆心、以 1 cm 为半径在图上比一圈。第三步，看圆上落着哪两艘蓝方战舰：正南方向的蓝方战舰A，正东方向的蓝方战舰C。易错：把蓝方战舰B 也算进去，理由是「B 看着也不远」；或者只答一艘，凭印象抓一个。

验算：拿课本解答核对：距离红方潜艇 20 n mile 的蓝方战舰有两艘，A 和 C；B 在北偏东 40° 方向、距离 28 n mile，比 20 n mile 远。量的过程可以粗一点，1.4 cm 顶 28 n mile，与 1 cm 的半径一比，B 明显在外圈。答案与图形对得上，这一问就稳了。

带这一题：这一问是整节课最容易被跳过的一问，因为答案只要两艘船的名字。跳过它，孩子就失去了一次极好的直观体验——一个数据画出来的是一个圆，不是一点。家长可以用圆规真画一次：针尖扎在红方潜艇上，铅笔画一圈，让孩子看那一圈上经过哪两艘船。他会自己发现「B 在圈外」，这个发现比家长讲十遍「28 大于 20」更牢。画完再补一句：如果题目问的是「距离 28 n mile 的蓝方战舰有几艘」，答案就是 B 一艘，圈画大一点，只有它落在圈上。

例 第（3）问 · 要确定每艘蓝方战舰的位置各需要几个数据

题目原文要点：要确定每艘蓝方战舰的位置，各需要几个数据？考查什么：考结论的正面使用，并且要求把「两个」说成具体是哪两个。思路：沿用前两问的经验：方向一个、距离一个，两个合起来才定一点。三艘船逐个报，一个都别漏。分步过程：第一步，定下口径——对红方潜艇来说，用「方向＋距离」两个数据。第二步，蓝方战舰A：正南方向，距离 20 n mile 处。第三步，蓝方战舰B：北偏东 40° 方向，距离 28 n mile 处。第四步，蓝方战舰C：正东方向，距离 20 n mile 处。易错：只答「需要两个数据」就收笔，不落到每艘船的具体数值；或者把 A 与 C 的方位写反，正南写成南偏东。

验算：三艘船逐个反查：报「正南、20 n mile」，图上从红方潜艇向下的虚线方向上，20 n mile 处是不是 A？是。报「北偏东 40°、28 n mile」，射线远端的 B 对不对得上比例尺？对得上。报「正东、20 n mile」，水平方向 20 n mile 处是不是 C？是。三处都对得上，说明「方向＋距离」这套口径能把三艘船各自钉死。

带这一题：这一问的答案是全节的样板句，值得让孩子背下来当模板：「对红方潜艇来说，蓝方战舰A 在正南方向，距离为 20 n mile 处。」句子里的结构很清楚：先说以谁为观测点，再说方向，再说距离。家长可以换一个观测点重来一次——「对蓝方战舰B 来说，红方潜艇在什么方向、多远」——孩子要答「南偏西 40° 方向，28 n mile」。同一对点，观测点一换，方向角要换算法，距离不变。这一问多做一步，孩子对「位置是相对的」这件事就有数了，往后学极坐标、学相对运动都省力。

栏目五 · 尝试·思考（印刷第 55 页）

第 55 页上半是上一个例题的解答收尾，接着出现新栏目「尝试·思考」，两个小问。第一问从海上转到天上：2020 年 7 月 23 日，我国首次火星探测任务探测器「天问一号」在中国文昌航天发射场发射升空，中国文昌航天发射场位于北纬 19°、东经 110° 左右，问孩子能不能在地图上找到它的大致位置。第二问转到北京：图 3-2 是北京奥林匹克公园简图的一部分，问怎么向同伴介绍「国家体育馆」所在的区域，「国家体育场」呢。两问一个用经纬度，一个用网格，都要孩子把「两个数据」换成另一副面孔认出来。

题目原文要点：（1）2020 年 7 月 23 日，我国首次火星探测任务探测器「天问一号」在中国文昌航天发射场发射升空；中国文昌航天发射场位于北纬 19°、东经 110° 左右；你能在地图上找到中国文昌航天发射场的大致位置吗？（2）图 3-2 是北京奥林匹克公园简图的一部分，如何向同伴介绍「国家体育馆」所在的区域？「国家体育场」呢？考查什么：考「同一件事的两种记法」，经纬度是一对，网格代号也是一对。思路：第（1）问抓两个数：纬度管南北，经度管东西，两条线在地图上相交于一点。第（2）问先读标尺：列标字母 B、C、D 从左到右，行标数字 1、2、3 从上到下，再找场馆落在哪一格。

分步过程：第（1）问：在地图上先找北纬 19° 那条纬线，横着一条；再找东经 110° 那条经线，竖着一条；两条线交于海南岛东侧一带，文昌就在那里。回答时按「先纬后经」的顺序念：「北纬 19°、东经 110° 左右。」第（2）问：图 3-2 一共 3 列 3 行，九个格；国家体育馆在 B 列第 2 行，记作 B2；国家游泳中心在 B3；国家体育场在 C 列第 3 行，记作 C3。易错：第（1）问把经度写成「东经 19°、北纬 110°」，两个数对调，位置跑到国外去了；第（2）问写成「2B」「3C」，或者按 A、B、C 的惯性找 A 列，而图上列标从 B 起，没有 A 列。验算：第（1）问对调后自查：北纬 110° 在北极圈以北，地球上没有这块陆地，一眼就知道错了。第（2）问自查：把九个格的代号全写出来，B1、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2、D3，再数一遍图上的格子数，九个对九个，没有 A 列。

带这一题：这一栏值得花十分钟。第（1）问可以找一张中国地图铺在桌上，让孩子用手指先横着划到北纬 19°，再竖着划到东经 110°，两指一碰就是文昌。这个动作做一遍，孩子就明白「两个数据」不是抽象的口诀，是两条线交叉。第（2）问更适合动手：把图 3-2 抄成一张 3×3 的空表，让他把国家体育馆、国家游泳中心、国家体育场三个名字填进去，填完再遮住名字只看代号，念一遍 B2、B3、C3。家长可以在旁边加一个问题：「C1 那一格有什么？」孩子得回到图上去看，看了才知道读格要先认标尺，不是先认地标。

栏目六 · 思考·交流与本节结论（印刷第 55 页）

第 55 页下部又出现一个「思考·交流」，两个小问。第一问：你能举出生活中需要确定位置的例子吗？与同伴进行交流。第二问：在平面内，确定一个物体的位置一般需要几个数据？两问之后，教材用黑体印出本节唯一的结论：「在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。」这句话是全节的落点，前面的座位、战舰、经纬、网格四批例子，都是为了把它托起来。

题目原文要点：（1）你能举出生活中需要确定位置的例子吗？（2）在平面内，确定一个物体的位置一般需要几个数据？考查什么：第（1）问考举例的广度，第（2）问考结论的复述与理解，重点在「一般」两个字。思路：第（1）问按场景分类举，交通、住宿、就医、快递各一条，每条都要能说出那两个数据是什么。第（2）问先答「两个」，再补一句根据：一个数据定一条线，两个数据才有交点。

分步过程：第（1）问四个例子：坐高铁说「几号车厢几号座」；去医院说「几楼几诊室」；停车场说「地下几层几号位」；图书馆找书说「第几排第几架」。每个例子都追问一句「这两个数据各管什么」，答出前后与左右，例子才算合格。第（2）问两个数据，理由是：只给一个数据，符合的位置排成一条线（一排座位、一条经线、一条射线、一个圆）；再给一个数据，两条线相交于一点。易错：第（2）问答「三个」，理由是想到了立体空间；答「一个」，理由是想到了门牌号。验算：用本节四个场景逐个验：座位两个、战舰两个、经纬两个、网格两个，四个都对得上，结论站得住。门牌号看似一个数据，其实门牌里已经藏了路名与号数两层，拆开还是两个。

带这一题：这一栏是本节的收口，家长最好让它慢一点。孩子答「两个」太快的时候，追问一句「为什么不是三个」，看他能不能说出「平面只有前后左右两个方向」。再追问一句「如果是空间里的位置呢」，他若答「要三个」，说明他懂了这个「一般」是指平面。教材用的正是「在平面内」四个字打头，这句话不可以省。学到高中讲空间直角坐标系，那个「三个」就来了；此刻把「平面两个、空间三个」这层伏笔埋好，往后接得顺。

栏目七 · 随堂练习（印刷第 56 页）第 1 题

第 56 页顶部是橙色的「随堂练习」栏目，本栏目只有一道题，题号写「1.」，含（1）（2）两个小问，图注是「（第1题）」。图上是一副中国象棋棋盘：顶部列号 1 到 9，从左到右；左侧行号 1 到 10，从上到下；棋子摆在横竖线的交叉点上。（第1题）三个字印在图的下方中间。这是本节唯一一道练习题，也是本册第一次让孩子用「列与行」两个数据去报位置。

题目原文要点：观察如图所示的象棋棋盘，回答下列问题：（1）说出「将」与「帅」的位置；（2）说出「马3进4」（即第 3 列的「马」前进到第 4 列）后的位置。考查什么：考「两个数据按序读」，并且用象棋这个孩子熟悉的场景，把「列」与「行」的分工摆到桌面上。思路：先认标尺——列号在顶上，行号在左边；再找棋子——「将」在中间那一列的下方，「帅」在中间那一列的上方；第（2）问按棋盘上的走子规矩，一横两竖走「日」字。

分步过程：第（1）问：先看列，两个棋子都在第 5 列；再看行，「帅」在第 1 行，「将」在第 9 行。答案写成「帅在第 5 列第 1 行，将在第 5 列第 9 行」。第（2）问：先找到第 3 列上的那枚「马」，它在第 5 行；「马3进4」是说这枚马走到第 4 列，列号从 3 变成 4；马走「日」字，一横两竖，本图红方在上、黑方在下，红方「进」是朝黑方走，行号变大，从第 5 行走两格到第 7 行；所以落点是第 4 列第 7 行。易错：行号从下往上数，把「帅」说成第 10 行、「将」说成第 2 行；只答列号不答行号，答「帅在第 5 列」，而「将」也在第 5 列，两个分不开；第（2）问把「进」的方向搞反，算成第 4 列第 3 行。验算：第（1）问反查：第 5 列上只有帅与将两枚大子，行号一上一下，第 1 行与第 9 行，对得上。「将」与「帅」若都只报列号，两人同列，答案立刻显出不足——这正好是「一个数据不够」的现场证明。第（2）问反查：第 4 列第 7 行这个点上原本有没有棋子？没有，落点空着，走得通；若算成第 4 列第 3 行，那一带挤着别的子，位置也不合「一横两竖」的走法。

带这一题：这道题有一个别处没有的好处：它自带一次「一个数据不够」的演示。「将」与「帅」都在第 5 列，孩子若只报列号，两个人挤在同一列上，谁也不是谁。家长可以故意这么答一次，让孩子来纠错，纠错的过程就是理解的过程。第（2）问的「马3进4」还牵着一条棋理：马走日，一横两竖，所以从第 3 列到第 4 列这一横，配的是行上两格。孩子若学过象棋，可以让他真在棋盘上走一遍；没学过也不要紧，教材括号里那句「即第 3 列的『马』前进到第 4 列」已经把要点说清了，只需补上行号也要跟着变这一点。

栏目八 · 阅读·欣赏「平面定位的方式」（印刷第 56 页 · 图 3-3）

随堂练习下面是「阅读·欣赏」栏目，标题「平面定位的方式」，配图 3-3。图上画的是海与岸：米黄色的陆地上立着两个红色标记点，标 B 和 C；蓝色的海面上有一只小船，标 A；两条虚线 BA 与 CA 从船只连到岸上两点。这段阅读要讲的是一件事——两个数据就够了，而这两个数据可以有好几种取法。

教材列的第一种取法，与本节正文一样：选一个参照点，比如点 B，用表示方向的角加上距离，一个角度配一个距离，船的位置就定了。第二种取法换汤不换药：还是以 B 为参照点，改用两个距离——A 在 B 的东面多少海里、南面多少海里，东西一个数、南北一个数。第三种取法要两个参照点：在 B、C 两点一起观测船只 A，得到两个表示方向的角，两条射线 BA 与 CA 各定一条线，船只既在射线 BA 上、又在射线 CA 上，两条射线的交点就是它的位置。第四种取法同样用两个参照点，把两个角换成两个距离 BA 与 CA，也能定住。

四种取法摆在一起，孩子能看出这一节真正的骨架：数据的形式可以换，数据的个数不能少。教材末尾那句话说得干脆——要确定平面上的点，两个数据就可以了。后面还添了一句「聪明的你，想必还可以用其他数据确定船只的位置」，这是留给孩子的口子：能不能再想出一种？对着图 3-3，还能想出「B 点出发的方向角，加上 A 到 C 的距离」这类混搭，虽然不合常规，逻辑上照样能定一点。

这段阅读还牵出一条现实的线：北斗卫星导航系统的定位原理与此类似，只是在确定空间位置时，需要通过更多的卫星测出用户终端到各卫星的距离。平面要两个数据，空间要多一个，卫星得多看几颗。孩子读到这一句，往往眼睛一亮——手机里的导航，原来就是本节那道海上题的放大版。家长可以顺势说一句：你现在学的「两个数据定一点」，是天上那些卫星干活时的底层规则。

带这一栏：这一栏不是练习题，却是本节最值得细读的一段，因为它把「方法」与「数据」分开讲了。带孩子读的时候，让他把四种取法在图上各画一遍：第一种画一个角加一段距离；第二种画两条互相垂直的线段；第三种画两条射线找交点；第四种画两条连线。四张草图一摆，孩子会自己说出那句话——不管怎么画，都是两个东西。这比背结论有用得多。往后学到平面直角坐标系，点（a，b）的那对括号，其实就是第四种取法穿上了代数外衣：两条线的交点，用两个数记下来。

🛠 九、五步学习法

第一步：每天锻炼一个小时

这一节的题，考的是「方位感」。例里那道海上对阵，孩子要在图上分清正南、正东、北偏东 40° 各是哪条线；随堂练习第 1 题要在象棋盘上数清第 5 列第 9 行在哪；图 3-2 要在 3 列 3 行的格里找 B2。这些都不是靠算出来的，是靠「空间里转得动」的感觉。而这种感觉跟身体关系很大：孩子跑过、跳过、打过球，前庭觉被刺激过，脑子里的方向标就立得稳。具体做法很朴素：放学后先出一小时汗，回家洗个澡再坐下来写作业。写这一节作业时把顺序调一下——先做随堂练习第 1 题和尝试·思考第（2）问这种要「看图找方位」的题，趁身体还热着做；再做思考·交流那种「说理由」的题，等静下来做。孩子若在例第（2）问上卡住（问距离 20 n mile 的有哪几艘），带他下楼绕着小区走一圈，回来再画那个圆，眼睛会亮一点。

第二步：扎实掌握第一个知识点

这一节的第一个知识点不是「两个数据」这四个字，是「一个数据定一条线，两个数据定一个点」。孩子把这个吃透，后面全通；吃不透，从第二节开始就吃力。扎实的标准有三条，家长照着查就行。第一条，指着随堂练习第 1 题的棋盘，孩子能说出「将」与「帅」都在第 5 列，所以只报列号分不开，还得报行号；说得出，说明他明白一条线上有很多点。第二条，例第（1）问「要确定蓝方战舰B 的位置，还需要什么数据」，他能答出「距离」，并且能说清为什么方向不够——射线上有小岛也有 B；说得出，说明他见过「一条线上两个点」。第三条，例第（2）问，他能说出为什么答案是两艘而不是一艘——距离画出来是一个圆；说得出，说明他明白一个数据能圈的是一整条线。三条都过了，第一个知识点就扎住了。若第一条就卡，回到印刷第 54 页那张电影票，让他把「3排6座」拆成「3排」与「6座」两半，一半一半地问「这样能找到吗」，找到与找不到各说一次。

第三步：能积微者速成

这一节内容少，题目更少——随堂练习只有一道题。家长容易觉得「这点东西十分钟就完」，于是让孩子刷刷看过去。恰恰是这种「内容少」的节，最该慢下来，因为它埋的是往后三节的根：第 2 节平面直角坐标系、第 3 节轴对称与坐标变化、第 4 节一次函数，全踩在这一节上面。积微的意思是每天只多走一小步，不要一次走完。可以这样排：今天只干一件事，把随堂练习第 1 题的两个小问说清，说给家长听，说完在棋盘上用手指出「将」和「帅」；明天再加一件，读尝试·思考第（1）问，在中国地图上找到北纬 19°、东经 110°；后天补上阅读·欣赏里四种取法的草图。三天加起来不到二十分钟，可孩子每天都要动一次手、说一次话。这样学下来的孩子，到第 2 节画坐标系时手不抖，因为他早就在棋盘和地图上把「两个数据」用熟了。这一节若想加练，别做十道新题，把同一道题换三种说法问一遍更值。

第四步：运用对标思维突破学习困境

这一节最容易卡的地方，是把「两个数据」只当一句话记。孩子嘴上会说，一到具体题就乱。破法是找一个「对标物」，让他照着比。本节自带三个对标物，一个比一个抽象。第一个是电影票的「3排6座」：排在前、座在后，顺序不能换。第二个是图 3-2 的「B2」：字母在前、数字在后，也不能换。第三个是象棋盘的「第 5 列第 9 行」：列在前、行在后。三处放在一起看，孩子会发现同一条规矩穿了三次不同衣服。这时再问他一句：「若把三个顺序全打乱，还找得到吗？」他答「找不到，因为别人不知道你怎么排」，这就是对标思维的价值——不是多做题，是拿一个具体的例子去量另一个。遇到例第（3）问这种要「逐艘报位置」的题，就照着「先说观测点、再说方向、再说距离」这个句式套，三艘船套三遍，句式不散，答案就不乱。

第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳

杠铃法则讲的是「两头重、中间轻」：把力气压在最容易的和最难的这两头，中间那一大段中等难度的活少花时间。这一节的作业正好能这么分。轻的那头是思考·交流的两个小问，孩子张口就能答，三分钟过一遍，不占时间；重的那头是例第（3）问和阅读·欣赏里「还能用哪两个数据」这种开放题，要留出整块的二十分钟，慢慢想、慢慢画。中间那段——把教材上的结论抄一遍、把图 3-2 的九个代号再默一遍——可以压到最少，因为这些是重复劳动，抄十遍不如画一遍。家长陪着做的时候，注意力别平均分配：孩子答得快的题你别夸，答得慢的题你要在边上等着，别催。这一节若只剩十五分钟，就把时间全给例的第（1）（2）（3）三问，让它吃透；思考·交流留到睡前随口问两句，效果一样。

💡 十、费曼技巧应用

自问一 · 「3排6座」与「6排3座」，能不能一句话说清差别

能答出来说明什么：说明孩子抓住的是「数据的位置」，不是「数字本身」。参考答案：两个 6 一个站在排的位置上、一个站在座的位置上；「3排6座」是第 3 排的第 6 个座位，「6排3座」是第 6 排的第 3 个座位，两个座位不在同一处。答不出怎么办：回到印刷第 54 页那张票，让他在纸上画两小排座位，每排六个格，把 3 排 6 座与 6 排 3 座各涂一个格，涂完自己看一眼。

自问二 · 例第（1）问，方向为什么不够

能答出来说明什么：说明他看见了「一条线上有好几个点」。参考答案：北偏东 40° 只画出一条射线，射线上有小岛，也有蓝方战舰B，报方向不知道该指哪一个；补上 B 到红方潜艇的距离 28 n mile，点才落定。答不出怎么办：让他用手指沿那条虚线从潜艇往外走，一边走一边报遇到的东西，走完自己就发现射线上不止一个目标。

自问三 · 例第（2）问，为什么答案是两艘而不是一艘

能答出来说明什么：说明他知道「一个距离画出来是一个圆」。参考答案：以红方潜艇为圆心、20 n mile 为半径画一圈，正南方向的蓝方战舰A 与正东方向的蓝方战舰C 都落在圈上；蓝方战舰B 距离 28 n mile，在圈外，不算。答不出怎么办：拿圆规真画一次，针尖扎在潜艇位置，半径按 1 cm 取（图上 1 cm 就是 20 n mile），画完让他自己数圈上几艘船。

自问四 · 随堂练习第 1 题，「将」和「帅」怎么报才不混

能答出来说明什么：说明他会先看标尺再找棋子，也记得两个数据都要报。参考答案：「帅」在第 5 列第 1 行，「将」在第 5 列第 9 行；两个都在第 5 列，所以只报列号分不开，必须把行号一起报出来。答不出怎么办：把棋盘左上角的「列→」与「行↓」两个箭头画给他，让他用手指从上往下数行号，数到第 9 行停下，再问「将在这儿吗」，答案是。数两遍，行号的方向就记住了。

自问五 · 阅读·欣赏里那四种定位法，能不能说出三种

能答出来说明什么：说明他明白「形式可换、个数不能少」，没有被一种套路绑住。参考答案：以 B 为参照点，用方向角加距离；以 B 为参照点，用东西、南北两个距离；用 B、C 两个参照点，测两个方向角，两条射线的交点就是船；用 B、C 两个参照点，测两个距离 BA、CA。答不出怎么办：对着图 3-3 把四种画法各画一张草图，画一张说一句「这里用了哪两个东西」，四张画完再合起来看。

🎯 十一、方法总结与知识脉络

这一节一句话概括：平面内要钉住一个点，得给两个数据；一个数据只圈出一条线，两条线相交才是一个点。这句话在这一节穿了五套衣服——电影票的排与座、海上对阵的角与距离、文昌发射场的北纬与东经、奥林匹克公园的 B2 与 C3、象棋盘的第 5 列与第 9 行。衣服换了五套，骨架只有一副。孩子看到五套衣服能认出同一副骨架，这一节就没白学。

往前看，这一节的根在小学与七年级：位置与方向、数对、方格纸上的平移、地图上的方向标，都是本节的老底子。往后看，路很清楚。第 2 节「平面直角坐标系」把这一节的「两个数据」写成一对有序实数，给每个点配一个名字；第 3 节「轴对称与坐标变化」研究图形翻过去之后坐标怎么变；第 4 节「一次函数」用两个变量之间的关系画出一条直线，那条直线上的每个点都是一对数；再往后到高中，空间直角坐标系把两个数据变成三个，卫星定位、机器人导航全靠它。这一节看起来最浅，位置最靠前，正因为它是地基——地基歪一寸，楼歪一丈。

这一节用权威分析读下来，还留了一层意思。孩子将来会不断遇到「书上就是这么规定的」这类话：括号里先横后纵、函数写作 y＝kx＋b、角的度量从正北起算。对待这些规定，两种态度都不好——一种是不问就照做，一种是不问就否定。伽达默尔那句「权威不是盲目的服从，而是理性本身的一种行为」，说的是第三条路：先找出这条规定的根据，再决定承不承认。本节给孩子的第一课，就是这条「找出根据」的路：为什么是两个数，因为一个数只能定一条线；为什么先列后行，因为读的人和写的人要用同一个次序。

给家长一句实在话：这一节别急着让孩子多做题。本节随堂练习只有一道题，教材的用意很清楚——先把道理说透，题目是顺手的事。陪读的功夫，花在两处最值：一处是让他把「为什么一个数不够」讲给你听，另一处是让他把「将」和「帅」的位置报完整。这两处都过关了，往后三节他会走得稳；这两处含糊，后面画坐标系、找对称点，他只能靠背，题型一变就空着。

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