74.新型对折问题中的六种常见类型
一．基本原理
1.二面角的定义：
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面；直线
叫做二面角
AB
的棱，半平面
和
叫做二面角的面．记法：
.
AB
（2）二面角的平面角：在二面角
的棱上任取一点
，如图所示，以点
为垂
l
l
O
O
足，
在半平面
和
内分别作垂直于棱的射线
，则射线
和
构成的
叫
l
OB
OA,
OA
OB
AOB
做二面角的平面角．
2.三余弦定理：如图所示，斜线
在平面内的射影为
，则线面角的大小为
，平面
AB
BC
内任一点
，则
，这样就有：
.
D
DBC
cos
cos
cos
ABD
1.常见函数图像对折过程中的空间角
2.椭圆对折过程中的空间角
3.双曲线对折过程中的空间角
4.抛物线对折过程中的空间角
5.空间几何体的截面或者空间角度融合平面问题
6.三余弦定理在对折中的应用
二．典例分析
★1.常见函数图像对折过程中的空间角
例1．如图，将绘有函数
（
，
）部分图像的纸片沿x
π
sin 3
f x
M
x
0
M
0
π
轴折成钝二面角，夹角为
，此时A，B 之间的距离为
，则
（ ）
2π
3
15
A．
B．
C．
D．
π
6
π
3
2π
3
5π
6
解析：过
分别作
轴的垂线，垂足分别为
，过
分别作
轴、
轴的垂线相交
,
A B
x
,
C D
,
A D
y
x
于点
，连接
，则
，由余弦定理得
E
AB BE
,
2π ,
3
BDE
BD
DE
M
，由上可知，
轴垂直于
，又
2
2
2
2
2
2π
2
cos
3
3
BE
M
M
M
M
x
,
BD DE
平面
，所以
轴垂直于平面
，又
轴，所以
平
,
,
BD
DE
D BD DE
I
BDE
x
BDE
//
AE x
AE
面
，因为
平面
，所以
，因为
的周期
，所以
BDE
BE
BDE
AE
BE
f x
2π
6
π
3
T
，由勾股定理得
，解得
，由图知，
的图象过点
3
AE
CD
2
3
9
15
M
2
M
f x
，且在递减区间内，所以
，即
，因为
，点
6
0, 2
6
(0)
2 sin
2
f
3
sin
2
0
π
在递减区间内，所以
.故选：C
6
0, 2
2π
3
例2．（多选题）已知函数
的图象经过点
，将
π
sin
(
0,0
π)
3
f x
A
x
A
6
0, 2
的部分图象沿
轴折成直二面角（如图所示），若
，则（ ）
f x
x
13
MN
A．
2
A
B．
2π
3
C．将
的图象向左平移2 个单位即可得到函数
的图象
f x
π
sin 3
y
A
x
D．函数
的单调递减区间为
2
(
)
y
f x
1
3
2,3
2
k
k
k
Z
解析：如图，过
作
轴，垂足为
，过
作
轴，垂足为
，
N
NC
x
C
M
MD
x
D
由题意可知平面
平面
，平面
平面
，又
平面
，则
NCD
MCD
NCD
MCD
CD
NC
NCD
平面
，
平面
，则
，则
，
NC
MCD
MD
MCD
NC
MD
NM
NC
CD
DM
，由
，则
的周
0
NC CD
CD DM
NC DM
π
( )
sin
(
0,0
π)
3
f x
A
x
A
f x
期
，
2π
6
π
3
T
A 项，由图象可知
，所以
,
3
2
T
NC
DM
A CD
2
2
NM
NC
CD
DM
2
2
2
2
NC
CD
DM
NC CD
CD DM
NC DM
，由
，解得
；
2
2
2
2
2
9
13
NC
CD
DM
A
0
A
2
A
B 项，由A 项可知
，
，则
，
π
2 sin 3
f x
x
0
π
2π
π
( )
cos
3
3
f
x
x
因为
图象经过点
，即
，
，
( )
f x
6
0, 2
6
0
2 sin
2
f
3
sin
2
，
或
，由函数
图象可知
，
0
π
π
3
2π
3
( )
f x
2π
(0)
cos
0
3
f
则
，所以
，故B 正确；
cos
0
2π
3
C 项，由AB 可知，
，
π
2π
2 sin 3
3
f x
x
，即将
的图象向左平移2 个单位即
π
2π
π
π
(
2)
2 sin
2
2 sin
3
3
3
3
f x
x
x
( )
f x
可得到函数的图象
，
，故C 错误；
π
π
2 sin 3
3
y
x
π
π
π
2 sin
2 sin
3
3
3
x
x
D 项，
，由
2
2
π
2π
2π
4π
2π
π
( )
2sin
1 cos
1 cos
3
3
3
3
3
3
f x
x
x
x
，解得
，故函数
的单调递减
2π
π
2 π
2 π
π,
3
3
k
x
k
k
Z
1
3
3
1,
2
k
x
k
k
Z
2
( ( ))
y
f x
区间为
，故D 错误.故选：AB.
1
3
,3
1 (
)
2
k
k
k
Z
★2.椭圆对折过程中的空间角
例3．已知椭圆C 的离心率为
，
为C 的右焦点，过
的直线l 交椭圆于 A，B
2
2
2
2,0
F
2
F
两点，且A 在x 轴上方，O 为坐标原点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若l⊥x 轴， 求线段AB 的长；
(3)若将坐标平面沿x 轴折成一个直二面角，求
面积的最大值.
2
ABF
△
解析：（1）由题意得
，
，故
，所以
，故椭圆
2
2
c
a
2
c
2
a
2
2
2
4
2
2
b
a
c
方程为
；
2
2
1
4
2
x
y
（2）若l⊥x 轴，
中，令
得
，故
；
2
2
1
4
2
x
y
2
x
1
y
1 1
2
AB
（3）当直线l 的斜率为0 时，
点在
轴上，不合要求，设直线
，
A
x
:
2
l x
my
联立
得
，设
，故
2
2
1
4
2
x
y
2
2
2
2 2
2
0
m
y
my
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
恒成立，
1
2
1
2
2
2
2 2
2
,
2
2
m
y
y
y y
m
m
2
2
2
Δ
8
8
2
16
1
0
m
m
m
，
1
1
2
2
2
0,
,
,
,
,0 ,
0,
2,0
A
x y
B
y
x
F
，
2
1
1
2
2
2
0,
2,
,
,
2,0
F A
x
y
F B
y
x
，故
，
2
2
2
1
2
2
1
,
1
F A
m
y
F B
m
y
2
2
1
2
2
2
2
1
2
cos
1
1
m
y y
m
AF B
m
m
y y
故
，
2
2
2
2
1
sin
1
m
AF B
m
故
，当且仅当
时，等
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
3
1
2
1
1
2
2 2
1
3
2
2
1 3
1
AF B
m
S
m
y y
m
m
m
m
m
△
1
m
号成立，所以
面积的最大值为
.
2
ABF
△
3
3
★3.双曲线对折过程中的空间角
例4．点
，
是双曲线
的左、右焦点，过点
作直线
1F
2
F
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
2
F
交双曲线C 于A，B 两点，现将双曲线所在平面沿直线
折成平面角为锐角
1
2
AB
F F
1
2
F F
的二面角，如图.翻折后A，B 两点的对应点分别为
，
，
，若
A
B
1
A F B
1
cos
25
1
cos
16
，则双曲线C 的离心率为
.
解析：设
，
，
，∵
，
，
2
A F
y
A B
x
1
A F
z
2
2
2
2
cos
2
y
y
x
y
2
2
2
2
cos
2
z
z
x
z
∴
，∴
，∴
，∴
，∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1 cos
25
2
2
1 cos
16
1
2
y
x
z
y
z
x
y
z
5
4
z
y
2
1
2
4
2
2
3
b
y
y
a
F F
c
c
2
3
8
b
ac
，∴
，解得
或
（舍去）.故答案为：3
2
2
3
8
c
a
ac
2
3
8
3
0
e
e
3
e
1
3
e
例5.已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，点
是双曲线右支上一点，满足
2
2
4
1
3
y
x
1F
2
F
M
，点
是线段
上一点，满足
.现将
沿
折成直二面
1
2
0
MF MF
N
1
2
F F
1
1
2
F N
F F
1
2
MF F
△
MN
角
，若使折叠后点
，
距离最小，则
（ ）
1
2
F
MN
F
1F
2
F
A．
B．
C．
D．
1
5
2
5
3
5
4
5
解析：由双曲线方程知，
，
，
，设
，则
，
1
2
a
3
b
13
2
c
2
MF
x
1
1
MF
x
，又
，则
，解得
或-3（舍），设折叠后点
达
1
2
13
F F
1
2
0
MF MF
2
2
(1
)
13
x
x
2
x
1F
到F 点，如图所示，作
于A 点，易知
平面
，
，
FA
MN
FA
1
2
MF F
1
FAN
F AN
A
A
，设
，
1F A
MA
1F MN
则
，在
中，
，
，在
中，由余
2
2
F MN
1
Rt MAF
A
1
3sin
FA
F A
3cos
MA
2
MAF
A
弦定理知，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
(3cos
)
4
2 3cos
2sin
AF
MA
MF
MA MF
F MN
，则
2
9cos
6sin 2
4
，当且仅当
，
2
2
2
2
2
2
2
(3sin
)
9cos
6sin 2
4
13
6sin 2
7
FF
AF
AF
sin2
1
即
时，等号成立，折叠后点
，
距离最小. 此时
为
的角平分线，由
4
1F
2
F
MN
1
2
F MF
角平分线定理知，
，则
，
，故选：C
1
1
2
2
3
2
F N
MF
NF
MF
1
1
2
3
5
F N
F F
3
5
★4.抛物线对折过程中的空间角
例6．如图，画在纸面上的抛物线
过焦点F 的弦
长为9，则沿x 轴将纸面折成平
2
8
y
x
AB
面角为60 度的二面角后，空间中线段
的长为（ ）
AB
A．
B．
C．
D．
4 6
33
59
65
解析：
，设直线
为
，
，联立
2,0
F
AB
2
0
x
my
m
A(x1,y1),B(x2,y2)
2
0
x
my
m
与
可得
，则
，则
，
2
8
y
x
2
8
16
0
y
my
1
2
8
y
y
m
2
1
2
1
2
4
8
4
x
x
m y
y
m
故
，解得
，故
，
2
1
2
1
2
4
4
8
8
9
AB
x
x
p
m y
y
m
2
4
m
2
2 2
16
0
y
y
解得
，故
，如图，建立空间直角坐标系，过
作
1
2
4 2,
2 2
y
y
4,4 2 ,
1, 2 2
A
B
A
平面
于
，过
作
于
，连接
，由于
轴，且
轴，
AN
xoy
N
N
NH
x
H
AH
AN
x
NH
x
，故
轴
平面
，
平面
，故
轴，则
由
AN
AH
A
x
ANH
AH
ANH
AH
x
60
AHN
于在直角坐标系中
，故
，因此在直角三角形
4,4 2 ,
1, 2 2
A
B
4,
4 2
OH
AH
ANH
中，
，因此在空间直角坐标系中，
1
3
2 2,
2 6
2
2
HN
AH
AN
AH
，故
，故选：B
4, 2 2,2 6 ,
1, 2 2,0
A
B
2
2
2
4 1
0
2 6
33
AB
★5.空间几何体的截面或者空间角度融合平面问题
例7．在
中，
，
，
的平分线交AB 于点D，
.平
ABC
A
90
ABC
6
AB
ACB
2
AD
DB
面α 过直线AB，且与
所在的平面垂直.
ABC
A
（1）求直线CD 与平面
所成角的大小；
（2）设点
，且
，记E 的轨迹为曲线Γ.
E
30
ECD
（i）判断Γ 是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB 重合的直线l 过点D 且交Γ 于P，Q 两点，试问：在平面α 内是否存在
定点T，使得无论l 绕点D 如何转动，总有
？若存在，指出点T 的位置；
PTC
QTC
若不存在，说明理由.
解析：（1）因为平面
，平面
平面
，
ABC
,
ABC
AB BC
,
ABC BC
AB
所以
.所以直线
在
内的射影为直线
，所以直线
与
所成角为
.过
BC
CD
AB
CD
CDB
作
，垂足为
.因为
平分
，所以
.
D
DF
AC
F
CD
,
ACB DB
BC
DF
DB
又
，所以
，所以
又
，所以
2
AD
DB
1
2
DF
AD
30 .
DAF
6,
90
AB
ABC
.因为
，所以
，所以直线
与平面
所成角为
.
2 3
BC
1
2
3
DB
AB
60
CDB
CD
60
（2）（i）曲线
是椭圆,理由如下：由（1）可知，
，所以
是
的中
Γ
,
DF
AC DA
DC
F
AC
点,设
的中点为
，所以
.又
，所以
.在
内过
作
，
AB
O
OF / / BC
BC
OF
O
OG
AB
所以
，以
为原点，
所在的方向分别为
轴，
轴，轴的
,
OF
OB OF
OG
O
,
,
OG OB OF
x
y
z
正方向，建立空间直角坐标系
，如图所示.因为
，所以
，设
O
xyz
3,
2
OB
DB
1
OD
，又
，则
.因为
, ,0
E x y
0,1,0 ,
0,3,2 3
D
C
,
3, 2 3 ,
0, 2, 2 3
CE
x y
CD
，又
，所以
，化简得
cos
|
||
|
CD CE
ECD
CD CE
30
ECD
2
2
2
18
3
2
4
(
3)
12
y
x
y
，即
，所以曲线
是椭圆.
2
2
3
2
18
x
y
2
2
1
6
9
x
y
Γ
（ii）设
.在平面
内，因为与
不重合，可设
，
1
1
2
2
,
,0 ,
,
,0
P x y
Q x
y
l
AB
:
1
l y
kx
由
得
，故
.
2
2
1,
3
2
18,
y
kx
x
y
2
2
2
3
4
16
0
k
x
kx
1
2
1
2
2
2
4
16
,
0
2
3
2
3
k
x
x
x x
k
k
由对称性知，若存在定点
满足条件，则
必在平面
与
的交线
上，故可设
T
T
ABC
AB
.若
，则
，即
，因为
0, ,0
T
t
PTC
QTC
cos
cos
PTC
QTC
|
||
|
|
||
|
TP TC
TQ TC
TP TC
TQ TC
，所以
1
1
2
2
,
,0 ,
,
,0 ,
0,3
,2 3
TP
x y
t
TQ
x
y
t
TC
t
，当
时，上式恒成立，所以
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
3
3
t
y
t
x
y
t
t
y
t
x
y
t
3
t
符合题意；当
时，有
，
3
t
3
t
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
y
t
x
y
t
y
t
x
y
t
所以
，所以
.
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
y
t
x
y
t
y
t
x
y
t
2
1
1
2
x
y
t
x
y
t
因为
，所以
，所以
1
2
1
2
0,
0
x x
y
t
y
t
1
2
2
1
0
x
y
t
x
y
t
，所以
，即
.因为
1
2
1
2
2
1
0
kx x
t
x
x
2
2
16
4
2
1
0
2
3
2
3
k
k
t
k
k
9
0
t k
上式对于任意的
恒成立，所以
.综上，存在点
满足
，或
时，
k R
9
t
T
AT
AB
2
AT
AB
符合题意.
★6.三余弦定理
例8.双曲线
的左右焦点分别为
，点
是双曲线右支上一点且满足
1
3
4
2
2
y
x
2
1, F
F
M
. 点
在线段
上且满足
. 现将
沿着
折成直
0
2
1
MF
MF
N
2
1F
F
2
1
1
F
F
N
F
2
1F
MF
MN
二面角
. 若折叠后
距离最小，则
（
）
2
1
F
MN
F
2
1F
F
A.
B.
C.
D.
5
1
5
2
5
3
5
4
解析：如图，设
，由三余弦定理可得：
2
,
1
2
MN
F
MN
F
2
sin
2
1
)
2
cos(
cos
cos
2
1
MF
F
另一方面：由余弦定理可知：
，这样可得：
2
sin
2
1
12
13
cos
2
2
1
2
1
F
F
MF
F
，故
当且仅当
时成立.即
为
的角平
2
sin
6
13
2
2
1
F
F
7
|
|
min
2
1
F
F
4
MN
1
2MF
F
分线，最后由角平分线定理可知
