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1 / 14 第1 讲 力与物体的平衡 1.（2024·吉林高考3 题）利用砚台将墨条研磨成墨汁时讲究“圆、缓、匀”。如图，在研磨过程中，砚台始终静 止在水平桌面上。当墨条的速度方向水平向左时（ ） A.砚台对墨条的摩擦力方向水平向左 B.桌面对砚台的摩擦力方向水平向左 C.桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力 D.桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力是一对平衡力 解析：C 滑动摩擦力方向与物体间的相对运动方向相反，墨条相对砚台水平向左运动，则砚台对墨条的摩擦力方 向水平向右，A 错误；根据牛顿第三定律，砚台受到墨条水平向左的摩擦力，而砚台处于静止状态，其水平方向 上受力平衡，则桌面对砚台的摩擦力方向水平向右，桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力，B 错误，C 正确； 对砚台受力分析，竖直方向上，砚台受到自身重力、墨条的压力和桌面的支持力，因此桌面对砚台的支持力与墨 条对砚台的压力不是一对平衡力，D 错误。 2.（2024·山东高考2 题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜 坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（ ） A.1 2 B.√3 3 C.√2 2 D.√3 2 解析：B 斜坡倾角越大，“天工”越容易下滑，只要保证“天工”在30°倾角的斜坡上不下滑，在小于30°倾 角的斜坡上更不会下滑，对30°倾角的斜坡上的“天工”受力分析，有μmgcos 30°≥mgsin 30°，解得μ≥√3 3 ，B 正确。 2 / 14 3.（2024·湖北高考6 题）如图所示，两拖船P、Q 拉着无动力货船S 一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两 根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相 反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为（ ） A.√3 3 f B.√21 3 f C.2f D.3f 解析：B 4.（2024·新课标卷18 题）如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O 点上，下端分别系有均 带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，则 （ ） A.两绳中的张力大小一定相等 B.P 的质量一定大于Q 的质量 C.P 的电荷量一定小于Q 的电荷量 D.P 的电荷量一定大于Q 的电荷量 解析：B 分别对两小球受力分析如图所示，设两小球间的距离为l，绳与竖直方向的夹角为θ，则有k qPqQ l 2 － qQE＝mQgtan θ，k qPqQ l 2 ＋qPE＝mPgtan θ，显然mQgtan θ＜mPgtan θ，即mQ＜mP，B 正确；设下端系有小球P 的 细绳的张力大小为T、下端系有小球Q 的细绳的张力大小为T'，则有T＝mP g cosθ ，T'＝mQ g cosθ ，结合上述分析可知， T＞T'，A 错误；根据小球Q 在O 点所在竖直线左边知k qQqP l 2 ＞EqQ，则k qP l 2 ＞E，但P、Q 电荷量之间的大小关系 无法确定，C、D 错误。 3 / 14 考点一 静态平衡问题 处理静态平衡问题常用的方法 合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反 分解法 按效果分解：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，则其分力和其他两 个力分别满足平衡条件 正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力 都满足平衡条件 矢量三 角形法 对受三个共点力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角 形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力 【例1】 （2024·河北高考5 题）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg 的光滑均匀球体，球体静止于带有 固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g 取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为（ ） A.√3 3 N B.1.0 N C.2√3 3 N D.2.0 N 答案：A 解析：对球体进行受力分析，球体受重力mg、弹簧测力计的拉力T、斜面对其的支持力N1、挡板对其的支持力 N2，如图所示，N1cos 60°＝N2cos 60°，N1sin 60°＋N2sin 60°＋T＝mg，联立解得N1＝N2＝√3 3 N，A 正确。 【例2】 （2024·山东淄博二模）中国古代建筑的门闩凝结了劳动人民的智慧。如图所示的是一种竖直门闩的原 理图：当在水平槽内向右推动下方木块A 时，使木块B 沿竖直槽向上运动，方可启动门闩。水平槽、竖直槽内表 4 / 14 面均光滑；A、B 间的接触面与水平方向成45°角，A、B 间有摩擦，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知B 的 质量为m，取重力加速度大小为g。当施加在A 上的水平力F＝3 2mg 时，门闩刚好能被启动，则A、B 间的动摩擦 因数为（ ） A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 答案：C 解析：对A、B 受力分析如图所示，门闩刚好启动时，对A，水平方向上F＝FNsin 45°＋μFNcos 45°，对B，在 竖直方向上FN'cos 45°＝mg＋μFN'sin 45°，又FN＝FN'，结合已知条件F＝3 2mg，联立可得μ＝0.2，故选C。 【例3】 （2024·河北衡水二模）某工艺品中四颗相同的贝壳1、2、3、4 由轻质细线连接，悬挂在点O，一阵风 吹来，假设每个贝壳受到水平向右且大小相等的恒定风力F，稳定后设点O 和贝壳1 之间的细线与竖直方向的夹角 为θ1，贝壳2 和3 之间的细线与竖直方向的夹角为θ2，连接贝壳1 与2 之间的细线拉力大小为T1，连接贝壳3 与4 之间的细线拉力大小为T2，简化后的结构如图所示，则下列说法正确的是（ ） A.θ1＞θ2，T1＝T2 B.θ1＞θ2，T1＝2T2 C.θ1＝θ2，T1＝2T2 D.θ1＝θ2，T1＝3T2 答案：D 解析：对贝壳4 受力分析可知，其受到重力、风力、细线拉力的作用，根据平衡条件有T 2 2＝G2＋F2；对贝壳2、 3、4 整体受力分析有T 1 2＝（3G）2＋（3F）2，所以T1＝3T2；对贝壳3、4 整体受力分析有tan θ2＝2 F 2G ＝F G ，对 贝壳1、2、3、4 整体受力分析有tan θ1＝4 F 4G ＝F G ，所以θ1＝θ2，故选项D 正确。 整体法、隔离法的运用 在处理共点力平衡的问题时，若出现了两个或多个物体，一般会使用整体法或隔离法，也可以使用“整体法 ＋隔离法”或“隔离法＋隔离法”，可根据具体题目灵活应用。 考点二 动态平衡和极值问题 动态平衡问题的分析过程与处理方法 5 / 14 【例4】 （2024·广东汕头一模）消毒碗柜的金属碗框架可以将碗竖直放置于两条金属杆之间，如图甲所示。取 某个碗的正视图如图乙所示，其中a、b 分别为两光滑水平金属杆，下列说法正确的是（ ） A.若减小a、b 间距，碗仍保持竖直静止，碗所受的合力减小 B.若减小a、b 间距，碗仍保持竖直静止，a 杆受到的弹力不变 C.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b 杆之间，碗受到杆的作用力变小 D.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b 杆之间，碗受到杆的作用力不变 答案：D 解析：若减小a、b 间距，碗仍保持竖直静止，则碗所受的合力仍为零，合力不变，选项A 错误；对碗受力分析如 图，设b 点对碗的弹力F2与竖直方向的夹角为θ，则F1＝Gtan θ，F2＝G cosθ ，若减小a、b 间距，则θ 减小，a 杆 受到的弹力F1将会减小，选项B 错误；杆对碗的作用力的合力与碗的重力等大反向，则将质量相同、半径更大的 碗竖直放置于a、b 杆之间，则碗受到杆的作用力不变，一直等于重力，选项C 错误，D 正确。 【例5】 （2024·山东烟台模拟）我们常用支架与底板垂直的两轮手推车搬运货物。如图甲所示，将质量为m 的 货物平放在手推车底板上，此时底板水平，缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为60°。不计货物与支架及 底板间的摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A.当底板与水平面间的夹角为30°时，底板对货物的支持力为√3 2 mg B.当底板与水平面间的夹角为30°时，支架对货物的支持力为√3 2 mg C.压下把手的过程中，底板对货物的支持力一直增大 6 / 14 D.压下把手的过程中，支架对货物的支持力一直减小 答案：A 解析：当底板与水平面间的夹角为30°时，受力分析如图a 所示，由平衡条件可得FN1cos 60°＝FN2cos 30°， FN1sin 60°＋FN2sin 30°＝mg，解得底板对货物的支持力为FN1＝√3 2 mg，支架对货物的支持力为FN2＝mg 2 ，故A 正确， B 错误；压下把手的过程中，货物的受力情况如图b 所示，由图b 可知，底板对货物的支持力一直减小， 支架对货物的支持力一直增大，故C、D 错误。 【例6】 （2024·安徽合肥模拟）质量为m 的物体放置在倾角θ＝30°的粗糙固定斜面上，物体与斜面间的动摩擦 因数μ＝√3 3 ，现用拉力F（与斜面的夹角为β）拉动物体沿斜面向上匀速运动，下列说法正确的是（ ） A.拉力最小时，物体受三个力作用 B.β＝0°时，即拉力沿斜面向上时，拉力F 最小 C.斜面对物体作用力的方向随拉力F 的变化而变化 D.拉力F 的最小值为√3 2 mg 答案：D 解析：斜面对物体的作用力指的是摩擦力Ff和支持力FN的合力，则有tan α＝F N Ff ＝F N μ F N ＝1 μ ，μ 不变，则tan α 不变，即斜面对物体作用力的方向不随拉力F 的变化而变化，故C 错误；对物体受力分析如图所示Fcos β＝Ff＋ mgsin θ①，Ff＝μFN②，FN＝mgcos θ－ Fsin β ③，联立①②③解得F＝mgsinθ＋μmgcosθ cos β ＋μsin β ，当β＝30°时， 拉力F 最小，最小值为√3 2 mg，此时物体受4 个力作用，故D 正确，A、B 错误。 考点三 电磁场中的平衡问题 7 / 14 【例7】 （2024·安徽芜湖二模）边长为L 且各边完全相同的硬质正三角形导线框abc 固定于竖直平面内，ab 边 水平，一重物通过绝缘细线悬挂于框下端c 点，匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。现将a、b 接在恒定电流的正负极上，当ab 边的电流为I 时，重物恰好对地面无压力，则重物重力的大小为（ ） A.BIL B.3 2BIL C.√3 BIL 2 D.2BIL 答案：B 解析：以重物为研究对象，根据平衡条件有mg＝BIL＋1 2BIL，解得mg＝3 2BIL，故选B。 【例8】 （多选）（2024·湖南衡阳模拟）如图，在一半径为R 的表面光滑的半球形容器的球心O 点，用长为R 2 的绝缘细线悬挂一质量为2m、电荷量为＋q1的小球A，在容器内放置一质量为m、电荷量为＋q2的小球B，已知B 与容器绝缘。两球在如图所示的位置处于平衡状态，此时细线与竖直方向的夹角θ＝30°。下列说法正确的是（ ） A.容器对小球B 的支持力等于细线对小球A 的拉力 B.容器对小球B 的支持力等于细线对小球A 拉力的2 倍 C.细线对小球A 的拉力为小球A 重力的√3 2 倍 D.两小球间的库仑力为小球A 重力的√3 2 倍 答案：AC 8 / 14 解析：如图1 所示，连接A、B 交过球心O 的竖直线于P 点，分析两小球的受力，并将力适当平移，构成矢量三角 形，根据力的矢量三角形与几何三角形相似，可得OP 2mg ＝R 2T ，OP mg ＝R N ，所以N＝T，故A 正确，B 错误；把小 球A、B 看作整体，对整体受力分析如图2 所示，正交分解，可得Nsin α＝Tsin θ，Ncos α＋Tcos θ＝3mg，解得α ＝θ＝30°，T＝√3 2 ×2mg，故C 正确；对小球A，设两小球间的库仑力为F，则有F＝ √T 2＋（2mg） 2－2T （2mg）cos30°＝mg，故D 错误。 三维空间中的平衡问题 质点受到分散于三维空间的作用力而平衡，就是三维共点力平衡。解决这类问题的一般方法是将三维空间问 题转化为直线和平面问题：选取合适的直线和平面，然后将不在直线和平面上的力分解到选定的直线和平面上， 物体在三维共点力作用下平衡，则在选定的直线上和平面上合力为零。 【典例1】 （2024·山东烟台二模）如图所示，一水晶球支架放置在水平桌面上，支架由水平底托和三根金属支 杆构成。一质量为m、半径为l 的水晶球静置于支架上，水晶球与三根金属支杆的三个接触点等高，接触点的连线 构成边长为l 的等边三角形。已知水晶球质量分布均匀，不计支杆与水晶球间的摩擦，重力加速度为g，则每根支 杆对水晶球的作用力大小为（ ） A.mg 3 B.√6mg 6 C.√3mg 3 D.√3 2 mg 答案：B 解析：设支杆对水晶球的作用力与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系有sin θ＝ √3 3 l l ＝√3 3 ，水晶球静止，根据平 衡条件可得3Fcos θ＝mg，解得每根支杆对水晶球的作用力大小为F＝√6mg 6 ，故选B。 9 / 14 【典例2】 （2024·四川雅安三模）小明运动后用网兜将篮球挂在相互垂直的墙角。简化图如图所示，设篮球质 量为M、半径为R，悬挂点为互相垂直的两竖直墙壁交线处的P 点，P 到球心的距离为2R，一切摩擦不计，则篮 球对任一墙壁的压力大小为（ ） A.√2 4 Mg B.√2 2 Mg C.√3 3 Mg D.√6 6 Mg 答案：B 解析：对球进行受力分析，球受重力Mg、绳子的拉力T 及两个墙壁对它的支持力，两个支持力大小相等，夹角为 90°，设支持力的大小为N、绳子与竖直墙壁交线的夹角θ，根据几何知识可知球心到竖直墙壁交线的垂直距离为 d＝√2R，故sin θ＝d 2 R ＝√2 2 ，解得θ＝45°，在竖直方向上根据受力平衡可得Tcos θ＝Mg，解得T＝√2Mg，在 水平方向上根据受力平衡可知两个墙壁对球的支持力的合力大小等于绳子拉力T 的水平分力的大小，即√N 2＋N 2 ＝Tsin θ，解得N＝√2 2 Mg，根据牛顿第三定律可得篮球对任一墙壁的压力大小为√2 2 Mg，B 正确。 1.（2024·浙江绍兴二模）如图所示，拖车的缆绳将违章车与拖车拴在一起，使违章车停在倾斜坡道上保持静止状 态，缆绳与倾斜坡道平行。下列说法正确的是（ ） A.缆绳对违章车的拉力等于违章车对缆绳的拉力 B.违章车对坡道的作用力的方向一定与坡道垂直 C.坡道与水平面的夹角越小，坡道受到的压力也越小 D.违章车只受到重力、支持力、拉力三个力的作用 解析：A 根据牛顿第三定律可知，缆绳对违章车的拉力等于违章车对缆绳的拉力，A 正确；违章车对坡道的作用 力可能是摩擦力和压力的合力，这个合力与坡道不垂直；若违章车只受坡道的支持力，即违章车对坡道只有压力， 没有摩擦力，违章车对坡道的作用力的方向与坡道垂直，B 错误；设坡道与水平面的夹角为θ，则FN＝mgcos θ， 坡道与水平面的夹角越小，坡道受到的压力就会越大，C 错误；违章车除了受到重力、支持力、拉力作用之外还 有可能受到坡道对它的摩擦力，D 错误。 10 / 14 2.（2024·辽宁辽阳二模）一凿子两侧面与中心轴线平行，尖端夹角为θ，当凿子竖直向下插入木板中后，用锤子 沿中心轴线竖直向下以力F 敲打凿子上侧时，凿子仍静止，侧视图如图所示。若敲打凿子时凿子作用于木板1、2 面的弹力大小分别记为F1、F2，忽略凿子受到的重力及摩擦力，下列判断正确的是（ ） A.F1＝Fsin θ B.F1＝Fcos θ C.F2＝Ftan θ D.F2＝F tanθ 解析：D 将力F 垂直于木板1、2 面分解如图 可得F1＝F sinθ ，F2＝F tanθ ，故选D。 3.（2024·浙江杭州期中）如图所示，某款可折叠手机支架，调节支撑杆MN，手机背部支撑平面PQ 的倾角θ 随之 改变，底部支撑平面ab 与PQ 始终垂直，忽略一切摩擦，当θ 缓慢逐渐增大时，下列说法正确的是（ ） A.手机对支架的作用力始终不变 B.手机对底部支撑平面ab 的弹力逐渐变小 C.支架对手机的作用力逐渐增大 D.背部支撑平面PQ 对手机的弹力逐渐变大 解析：A 由题意可知，支架对手机的作用力大小始终等于手机自身的重力，根据牛顿第三定律可知，手机对支架 的作用力等于支架对手机的作用力，则手机对支架的作用力始终不变，A 正确，C 错误；根据手机的受力情况可知， 手机的重力大小等于底部支撑平面ab 对手机的弹力与背部支撑平面PQ 对手机的弹力的合力，当θ 角逐渐增大时， 底部支撑平面ab 对手机的弹力逐渐增大，背部支撑平面PQ 对手机的弹力逐渐减小，根据牛顿第三定律可知，手 机对底部支撑平面ab 的弹力逐渐变大，B、D 错误。 4.（2024·重庆九龙坡三模）图甲所示的是家用燃气炉架，其有四个对称分布的爪，若将总质量一定的锅放在炉架 上，图乙所示的是侧视图，不计爪与锅之间的摩擦力，若锅是半径为R 的球面，正对的两爪间距为d，则（ ） 11 / 14 A.d 越大，爪与锅之间的弹力越大 B.d 越大，锅受到的合力越大 C.R 越大，爪与锅之间的弹力越大 D.R 越大，锅受到的合力越小 解析：A 锅在竖直切面上受力分析如图所示，炉架的四个爪对锅的弹力的合力与锅受到的重力大小相等，方向相 反，即4Fcos θ＝mg，由几何关系，可得cos θ＝√R 2－d 2 4 R ，则R 越大，爪与锅之间弹力越小，同理d 越大，爪 与锅之间弹力越大，锅受到的合力为零，故A 正确；B、C、D 错误。 5.（2024·安徽池州二模）某兴趣小组研究发现最大静摩擦力的大小也与两物体间的正压力成正比，查阅资料得知 其比例系数称为静摩擦因数。如图所示，一只蚂蚁在半球形碗底想要爬出碗内，但它缓慢爬行能达到的最大高度 恰好只有碗半径的0.2 倍，假设碗内各处的静摩擦因数相同，则蚂蚁与碗之间的静摩擦因数为（ ） A.0.2 B.0.8 C.0.75 D.4 3 解析：C 设碗的半径为R，蚂蚁在最大高度处时，受重力mg、支持力FN、摩擦力f 作用，如图所示，设蚂蚁与球 心的连线与水平方向夹角为θ，则有sin θ＝R－0.2 R R ＝4 5 ，即θ＝53°，蚂蚁在最大高度处刚好处于平衡状态， 则静摩擦力刚好达到最大静摩擦力，则有f＝μFN，则静摩擦因数μ＝f F N ＝ 1 tanθ ＝3 4 ＝0.75，故选C。 6.（2024·河北衡水二模）如图所示，完全相同的a、b 两小球用轻质细线1、2 悬挂在天花板上，现用一水平拉力 F 作用在b 球上，a、b 再次静止时，细线1 与竖直方向的夹角为α，细线2 与竖直方向夹角为θ，则tan θ∶tan α 等于（ ） 12 / 14 A.2∶1 B.3∶2 C.4∶3 D.5∶3 解析：A 对b 球，根据平衡条件及平行四边形定则可知tan θ＝F mg，把两球以及它们间的连线看成整体，根据平 衡条件及平行四边形定则可知tan α＝F 2mg，则tan θ∶tan α＝2∶1，故选A。 7.（2024·湖南衡阳二模）如图所示，OABC 为常见的“汽车千斤顶”。当汽车需要换轮胎时，司机将它放在车身 底盘和地面之间，只需摇动手柄使螺旋杆OA 转动，O、A 之间的距离就会逐渐减小，O、C 之间的距离就会增大， 就能将汽车车身缓缓地顶起来。在千斤顶将汽车顶起来的过程中，下列关于OA、OB 之间的弹力的说法正确的是 （ ） A.OA、OB 之间的弹力不断变大 B.OA、OB 之间的弹力不断变小 C.OA 之间的弹力变大、OB 之间的弹力变小 D.OA 之间的弹力变小、OB 之间的弹力变大 解析：B 对O 点进行受力分析，它受到竖直方向的汽车对它的压力，大小等于汽车的重力G；OA 方向杆的拉力 FOA，BO 方向的弹力FBO，OB 与水平方向夹角为θ，可知G＝FBOsin θ，FOA＝G tanθ ，当θ 变大时，FBO和FOA均变 小。故选B。 8.（2024·浙江1 月选考6 题）如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B 上系有不可伸长的细线a、b、c 和d，其 中a 的上端悬挂于竖直固定的支架上，d 跨过左侧定滑轮、c 跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q 相连，调节左、 右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B 和配重P、Q 质量均为50 g，细线c、d 平行且与水平成θ＝30°（不 计摩擦，g 取10 m/s2），则细线a、b 的拉力分别为（ ） A.2 N 1 N B.2 N 0.5 N C.1 N 1 N D.1 N 0.5 N 解析：D 由题意可知细线c 对A 的拉力和细线d 对B 的拉力大小相等、方向相反，对A、B 整体分析可知细线a 的拉力大小为Ta＝（mA＋mB）g＝1 N，设细线b 与水平方向夹角为α，对A、B 分析分别有Tbsin α＋Tcsin θ＝ mAg，Tbcos α＝Tdcos θ，解得Tb＝0.5 N，故选D。 9.（2024·陕西铜川三模）如图所示，送水工人用推车运桶装水，到达目的地后，工人抬起把手，带动板OA 转至 水平即可将水桶卸下。若桶与接触面之间的摩擦不计，∠AOB 为锐角且保持不变，板OA、OB 对水桶的压力大小 分别为F1、F2，则在OA 由竖直缓慢转到水平的过程中（ ） 13 / 14 A.F1、F2都不断增大 B.F1不断增大，F2不断减小 C.F1不断减小，F2先增大后减小 D.F1先增大后减小，F2不断减小 解析：D 在卸下水桶的过程中，两个支持力的夹角是个定值，受力情况如图所示，根据力的示意图结合平衡条件 可得F2 sin α ＝F1 sin β ＝mg sinθ ，在转动过程中α 从90°增大到180°，则sin α 不断减小，F2将不断减小，β 从钝角减 小到锐角，其中跨过了90°，因此sin β 先增大后减小，则F1将先增大后减小，故D 正确、A、B、C 错误。 10.（2024·黑龙江哈尔滨一模）如图甲所示，直导线P、Q 分别被两根等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴上，且 P 固定于水平轴正下方，两组绳长也相同，其截面图如图乙所示，导线P 通以垂直于纸面向里的电流；导线Q 电 流方向未知，平衡时悬挂Q 的两根绝缘轻绳与竖直方向夹角均为θ。已知Q 的质量为m，重力加速度为g。下列说 法正确的是（ ） A.导线Q 中电流方向垂直于纸面向里 B.导线P、Q 间的安培力大小为2mgsin θ 2 C.仅使导线P 中电流I 缓慢增大且θ 不超过90°，导线Q 对悬线的拉力大小逐渐增大 D.导线P 中电流突然消失的瞬间，导线Q 受到两绳的拉力大小之和为mgsin θ 解析：B 对Q 进行受力分析可知，P 对Q 的力为斥力，由安培定则和左手定则可知，则两导线的电流方向相反， 即导线中电流方向垂直于纸面向外，故A 错误；设导线Q 受到两绳的拉力之和为T，导线P、Q 间的安培力为F， 对Q 进行受力分析，根据三角形定则，受力分析如图所示： 由于两组绳长相同，则根据几何知识可得T＝mg，F＝2mgsin θ 2，故B 正确；由上述分析可知，导线Q 受到两绳 的拉力之和T 始终为mg，与电流I 和角度θ 无关，则导线Q 对悬线的拉力大小不变，故C 错误；导线P 中电流突 然消失的瞬间，导线P、Q 间的安培力消失，此时沿绳方向上的合力为零，则导线Q 受到两绳的拉力大小之和为 mgcos θ，故D 错误。 11.（2024·山东聊城一模）春秋末年，齐国著作《考工记》中记载“马力既竭，辀（zhōu，指车辕）犹能一取焉”， 揭示了一些初步的力学原理。如图甲所示，车辕是马车车身上伸出的两根直木，它是驾在马上拉车的把手。图乙 为马拉车时的简化模型，车辕前端距车轴的高度H 约为1 m，马拉车的力可视为沿车辕方向，马车的车轮与地面 间的摩擦力大小是其对地面压力的√3 3 倍，若想让马拉车在水平面上匀速前进且尽可能省力，则车辕的长度约为（ ） 14 / 14 A.√2 m B.√3 m C.3 m D.2 m 解析：D 设车辕与水平方向夹角为θ，则当车匀速前进时，Fcos θ＝k（mg－Fsin θ），解得F＝ kmg cosθ＋k sinθ ，而cos θ＋ksin θ＝2 √3sin（60°＋θ），则当θ＝30°时F 最小，即此时车辕的长度约为l＝ H sin30°＝2H，故选 D。 12.（2024·湖北宜昌预测）在精工实验课上，小明将一重力为G 的圆柱形工件放在“V”形金属槽中，如图所示， 槽的两侧面与水平面的夹角相同，“V”形槽两侧面间的夹角为90°。小明发现当槽的棱与水平面的夹角为37° 时，工件恰好能够匀速下滑，则可知（ ） A.工件对“V”形槽每个侧面的压力均为0.8G B.工件对“V”形槽每个侧面的压力均为0.4G C.工件与“V”形槽间的动摩擦因数为3√2 4 D.工件与“V”形槽间的动摩擦因数为3√2 8 解析：D 工件的重力可以分解为沿槽棱方向向下的分力Gsin 37°与垂直于槽棱方向的分力Gcos 37°，如图甲 所示，垂直于槽棱方向的分力Gcos 37°又进一步分解为两个挤压斜面的压力，如图乙所示，F1和F2的合力与 Gcos 37°等大反向，由几何关系可知2F1cos 45°＝Gcos 37°，解得F1＝F2＝2√2 5 G，故A、B 错误；沿槽棱方 向的分力Gsin 37°与圆柱体和槽之间的摩擦力大小相等，有Ff＝2μF1＝Gsin 37°，解得动摩擦因数为μ＝3 8 √2 ，故C 错误，D 正确。
