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艺体生专项训练1 基础代数计算
一、有理数的运算
1．计算：
．
【答案】
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；
先算乘方、绝对值化简、括号内的，再算乘除，最后算加减．
【详解】解：原式
．
2．计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)8
(2)
【分析】解题思路是先将有理数的减法转化为加法，再利用加法的结合律简化计算；对于
含绝对值的式子，先化简绝对值，再进行加减运算．本题考查有理数的加减运算，涉及的
知识点是有理数的运算法则、绝对值的化简．解题中用到的方法是转化法，即将减法转化
为加法，将绝对值化简为具体数值．解题关键是正确处理符号（减法变加法时注意符号的
变化）．易错点是绝对值化简错误，或减法转加法时符号处理不当．
【详解】（1）解：
，
，
；
（2）解：
，
，
3．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，有理数的乘除混合运算，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）先运算乘方以及化简绝对值，再把除法化为乘法，运算乘法，最后运算加法，即可作
答．
（2）根据有理数的乘除混合运算法则进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．
（）先进行乘方和乘除运算，再进行加法运算即可；
（
）先把除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
5．计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)1
(2)25
【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握绝对值的意义以及简便运算是解题的关键．
（1）按混合运算法则进行计算即可；
（2）采用简便方法计算，去括号需注意符号问题．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
6．计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则：加法交换律：
，加法结合律：
，减去一个数等于加这个数的相反数，
除以一个不等于
的数等于乘这个数的倒数；有理数加减混合运算的运算顺序：先乘方，
再乘除，最后加减，同级运算从左到右进行，有括号按小、中、大括号依次进行；绝对值
的定义和计算方法等，是解题的关键．
（1）将式子去括号，利用加法交换律、结合律重新组合之后再计算，得出答案；
（2）先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减，得出答案．
【详解】（1）
，
解：原式
，
，
，
，
；
（2）
，
解：原式
，
，
，
．
7．计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)10
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则和运算
顺序．
（1）利用有理数的加减运算法则，将减法转化为加法后计算；
（2）按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序，结合绝对值的性质计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
8．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的加减、带乘方的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行运
算；
（1）先去括号，再加减即可；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
9．计算：
．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序（先乘
方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）是解题的关键．先计算乘方与括号内的运算，
再依次进行除法、乘法运算，最后计算加法．
【详解】解：
．
10．计算
．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可得
出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
二、实数
11．计算：
．
【答案】0
【分析】本题考查了零指数幂、绝对值、二次根式化简、负整数指数幂、特殊角的三角函
数值及实数的运算．根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值的相关
性质，分别计算各项的值，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
12．计算：
．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、绝对值、零指数幂，再计算加减即可
得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
13．计算、求值：
(1)计算：
；
(2)求
的值：
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根、立方根的运算及利用立方根解方程，解题的关键是掌握平方
根和立方根的定义，准确进行开方运算．
（1）先分别计算
、
、
的值，再进行加减运算；
（2）通过移项将方程化为立方形式，利用立方根的定义求解
．
【详解】（1）解：
（2）解：
解得
．
14．计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
先计算有理数的乘方、化简绝对值，计算二次根式的乘法，再计算加减即可.
【详解】解：
.
三、一元一次方程
15．解下列方程（组）：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组，解题的关键是掌握解方程（组）
的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（解方程组用消元法）．
（1）通过去分母、去括号等步骤解一元一次方程；
（2）用加减消元法消去一个未知数，求解二元一次方程组．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
①
②
得：
，
解得：
，
将
代入①得：
解得：
，
故方程组解为：
．
16．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键．
（1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程．
【详解】（1）解：
（2）解：
17．解方程：
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是关键．通过去括号，
移项，合并同类项，系数化为1 等步骤求解即可．
【详解】解：去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
系数化为1，得
．
18．解方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程，掌握好解一元一次方程的步骤是解题关键．
（1）先移项，再合并同类项计算即可；
（2）先去分母，然后去括号、移项、合并同类项计算即可．
【详解】（1）解：
，
移项得，
，
合并同类项得，
，
系数化为“1”得，
；
（2）解：
，
两边同乘以12，去分母得，
，
去括号得，
，
移项得，
，
合并同类项得，
，
系数化为“1”得，
．
19．（1）解方程：
；
（2）解不等式：
．
【答案】（1）
；（2）
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式等知识．
（1）先去括号，再移项、合并同类项即可求出x 的值；
（2）先去分母、再去括号，移项、合并同类项、化系数为1 即可求出不等式的解集．
【详解】解：（1）
，
去括号得：
，
移项得：
，
合并同类项得：
；
（2）
，
去分母得：
，
去括号得：
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
化系数为1 得：
．
四、一元二次方程
20．解方程：
(1)
(2)
(3)
（用配方法）
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关
键．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）将一元二次方程化为一般形式，再用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）用配方法解一元二次方程即可；
（4）先将一元二次方程变为一般形式，再用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
，
因式分解得：
，
∴
或
，
解得：
；
（2）解：
，
原方程可变为：
，
因式分解得：
，
∴
或
，
解得：
；
（3）解：
，
移项得：
，
方程两边同除以3 得：
，
配方得：
，
开平方得：
，
∴
；
（4）解：
，
变为一般形式得：
，
，
，
，
，
∴
，
即
．
21．计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
解得
；
（2）解：
，
，
，即
，
或
，
解得
．
22．（1）解方程：
；
（2）计算：
．
【答案】（1）
；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是
正确掌握解一元二次方程的方法以及熟记特殊角的三角函数值．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算．
【详解】（1）解：
或
∴
；
（2）原式
．
23．解下列方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解法：
（1）利用直接开平方法即可求解；
（2）利用配方法即可求解．
【详解】（1）解：开方得
，
解得
；
（2）解：配方得
，
开方得
，
解得
．
24．解方程：
．
【答案】
，
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果，选
择合适的方法进行计算是解此题的关键．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
或
,
解得：
，
．
25．（1） 计算：
；
（2） 解方程：
．
【答案】（1）
；（2）
，
【分析】本题考查实数的运算，解一元二次方程，解题的关键是：
（1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的乘法
等计算即可；
（2）把方程化为
，再化为两个一次方程，进而解方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
，
，
或
，
∴
，
．
五、平面直角坐标系
26．在平面直角坐标系中．已知点
，若点
在
轴上，求点
的坐标．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握
轴上的点的纵坐标为
是解题的关键．
根据题意得到
，解得
，求出
，得到点
的坐标为
．
【详解】解：
点
在
轴上，
解得
，
点
的坐标为
．
27．已知点
．分别根据下列条件．求点P 的坐标．
(1)点P 在x 轴上，求P 点坐标；
(2)点Q 的坐标是
，且
轴，求P 点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了点的坐标性质，掌握点在x 轴上纵坐标为0，及平行坐标轴的直线上的
点的坐标特征是解题的关键．
（1）利用点在x 轴上纵坐标为0，即可求出答案．
（2）利用平行于y 轴直线的性质，横坐标相等即可得出答案．
【详解】（1）解：
在x 轴上，
，
．
，
．
（2）
，Q 的坐标是
，
，
，
，
．
28．已知点
在第四象限，求
的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标，根据第四象限内点的横坐标大于零，
纵坐标小于零，得出不等式组，再求出不等式组的解集即可
【详解】解：
点
在第四象限，
解得
．
六、一次函数
29．（1）计算：
；
（2）已知点
在直线
上，求代数式
的值．
【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次根式的混合运算，熟练掌握以上
知识点是关键．
（1）先化简二次根式，再按照二次根式的加减运算法则计算即可；
（2）将点
代入解析式整理即可得到
【详解】解：（1）
；
（2）
点
在直线
上，
，
，
30．一次函数
图象经过
，
两点．
(1)求此一次函数表达式；
(2)当
时，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数表达式的求解以及已知函数值求自变量的值，解题的关键是
熟练运用待定系数法求解函数表达式，以及能准确代入数值解一元一次方程．
（1）代入两点坐标得到关于
的方程组，求解方程组得
的值．
（2）将
代入函数表达式，解关于x 的方程．
【详解】（1）解：依题意，得
，解得
∴一次函数的解析式为：
（2）当
时，则
，得
．
七、分式
31．计算：
．
【答案】5 + 2
【分析】本题考查的是负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，特殊角的三角函数值，先
分别计算负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，特殊角的三角函数值，再计算乘法，最
后合并即可.
【详解】解：
.
32．先化简，再求值：
，其中
．
【答案】
，3
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，关键是在化简的过程中要注意运算顺序和分式
的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
首先把分式的分子分母分解因式，再计算括号里面的乘法，然后再变除法为乘法，再约分
后相乘即可．
【详解】解：原式
，
，
当
时，
原式
．
33．先化简，再求值：
，其中
．
【答案】
，
【分析】本题考查了分式的混合运算、化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式
利用完全平方公式、通分、去括号、合并得到最简结果，把
的值代入计算即可求值．
【详解】解：原式
当
时，原式
．
34．计算：
．
【答案】
．
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先通分，然后
根据分式的减法法则计算即可．
【详解】解：原式
．
八、代数式
35．已知
，求
(1)
(2)当
时，求
的值
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题；
（1）先根据
，去括号合并同类项化简，
（2）代入
，求
值即可．
【详解】（1）解：
（2）解：∵
∴当
时，原式
．
九、分式方程
36．解方程：
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即
可．
【详解】解：方程去分母，得
，
去括号，得
，
解得
，
检验，当
时，
，
∴
是原方程的解．
37．解方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
（1）方程两边同乘以
化成整式方程，解方程可得x 的值，然后进行检验即可得；
（2）方程两边同乘以
化成整式方程，解方程可得x 的值，然后进行检验即可得．
【详解】（1）解：
解得
，
经检验，
是原方程的解，
∴原方程的解为
；
（2）解：
，
解得
，
经检验，
是增根，
∴原方程无解．
38．解方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）两边都乘以
化为整式方程求解，然后验根即可；
（2）两边都乘以
化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】（1）解：
，
，
两边都乘以
，得：
，
，
，
检验：当
时，
，
∴
为原方程的根．
（2）解：
，
，
两边都乘以
，得：
，
，
，
，
检验：当
时，
，
∴
为原方程的增根，
∴原方程无解．
十、不等式与不等式组
39．解不等式组
，并求出它的所有整数解的和．
【答案】
；它的所有整数解的和为
．
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础．首先解
每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解
然后求和．
【详解】解：
由①得：
，
，
解得：
．
由②得：
，
，
，
解得：
．
综上所述，
．
∴
的整数解为：
，
∴所有整数解的和为：
．
40．解一元一次不等式（组）：
(1)
(2)解不等式组
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，
解得
，
∴原不等式的解集为
；
（2）解：
由①得，
；
由②得，
，
∴原不等式组的解集为
．
41．解下列不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，
分别求出两个不等式的解集，进而得出答案．
【详解】（1）解：
，
解不等式①，得
；
解不等式②，得
，
∴不等式组的解集是
；
（2）解：
，
解不等式①，得
；
解不等式②，得
，
∴不等式组的解集是
．
42．解下列不等式（组）：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式以及一元一次不等式组，熟练掌握解不等式（组）
的步骤是解题的关键．
（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，
，
．
∴原不等式的解集为
；
（2）解：
解①得
，
解②得
，
∴不等式组的解是：
．
