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专题02 复数小题综合
一、单选题
1．（2023·北京·统考模拟预测）若复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故选：C
2．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）已知复数
，则的共轭复数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数乘法计算法则计算即可.
【详解】
，所以的共轭复数为
故选：C
3．（2023 春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）复数
在复平
面上对应的点位于虚轴上，则实数a 的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简复数z，然后根据实部为0 可解.
【详解】
，
因为复数z 对应点在虚轴上，
所以
，解得
.
故选：B
1
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4．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知复数
，则复数
在复平面内
对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】先求得复数
的代数形式，进而求得其在复平面内对应的点所在象限.
【详解】
，则
，
则复数
在复平面内对应的点坐标为
，该点位于第三象限.
故选：C
5．（2023·北京·模拟预测）设i 是虚数单位，复数
为复数z 的共轭复数，若满足
，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的乘、除法运算可得
，由共轭复数的概念可得
，结合
复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意知，
，
所以
，在复平面内对应的点为
，在第四象限.
故选：D.
6．（2023·北京·高三专题练习）若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数模的计算公式计算可得.
【详解】因为
，所以
，
则
.
故选：C
2
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7．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）若复数z 满足
，
则
（ ）
A．
B．5
C．7
D．25
【答案】B
【分析】计算出
，利用复数模长的性质计算出答案.
【详解】
，故
，则
.
故选：B
8．（2023·北京·高三专题练习）复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可判断其虚部.
【详解】
，所以复数的虚部为.
故选：A
9．（2023·北京·北京二中校考模拟预测）若虚数z 使得
是实数，则z 满足（ ）
A．实部是
B．实部是
C．虚部是
D．虚部是
【答案】A
【分析】设
（
且
），计算
，由其为实数求得
后可得．
【详解】设
（
且
），
，
是实数，因此
，
（舍去），或
．
故选：A．
10．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知i 是虚数单位，复数z 满足
，
则z 等于（ ）．
A．
B．
C．i
D．
3
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【答案】B
【分析】转化为复数的除法运算，即可求解.
【详解】由题意可知，
.
故选：B
11．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）在复平面内，复数z 对应的点
的坐标是
，则复数
的虚部是（ ）
A．1
B．
C．
D．i
【答案】B
【分析】由对应点坐标写出复数，结合复数除法运算化简复数即得虚部.
【详解】由题意可得：
，则
，
所以复数
的虚部是
.
故选：B.
12．（2023·北京·高三专题练习）复数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据复数运算即可求出结果.
【详解】
，
，
故选：B.
13．（2023·北京·高三专题练习）若
，则“
”是“复数
是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数中纯虚数的概念求解.
【详解】
，
4
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当
时，复数
，是纯虚数；
复数
是纯虚数时，有
，解得
.
则“
”是“复数
是纯虚数”的充分必要条件.
故选：C
14．（2023 春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知复数
，
且
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】求复数的代数形式，由条件结合共轭复数定义列方程求
.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
故选：C.
15．（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】写出共轭复数，根据复数减法计算即可.
【详解】
，
.
故选：A
16．（2023·北京·高三专题练习）在复平面内，
是原点，向量
对应的复数是
，将
绕点
按逆时针方向旋转
，则所得向量对应的复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
5
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【分析】由复数的几何意义结合图象可得.
【详解】
如图，由题意可知
，
与
轴夹角为
，
绕点
逆时针方向旋转
后
到达
轴上
点，又
，
所以
的坐标为
，所以
对应的复数为
.
故选：A.
17．（2023·北京·高三专题练习）已知复数
满足
，则
的值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据共轭复数的概念及复数的乘法运算得解.
【详解】因为
，
所以
，
解得
，
故选：D
18．（2023·北京·高三专题练习）若
，则
（ ）
A．5
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】由题意求
，进而可求其模长.
【详解】∵
，则
，
则
.
故选：B.
6
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19．（2023·北京·统考高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是
，则
的共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是
，根据复数的几何意义，
，
由共轭复数的定义可知，
.
故选：D
二、填空题
20．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知a，b 均为实数.若
，则
_____________.
【答案】
【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.
【详解】
，故
，
.
故答案为：
.
21．（2023·北京·高三专题练习）在复平面内，复数
对应的点位于_________．
【答案】第一象限
【分析】先化简，再利用复数的几何意义即可判断.
【详解】因为
,所以复数
对应的点
，位于第一象限.
故答案为：第一象限
22．（2023·北京大兴·校考三模）设复数满足
（为虚数单位），则
________.
【答案】
7
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【分析】求出
，进而利用复数的模长性质求出答案.
【详解】
，故
.
故答案为：
23．（2023·北京·高三专题练习）在复平面内，复数z 所对应的点为
，则
___________．
【答案】2
【分析】根据复数的几何意义可得
，由乘法运算即可求解.
【详解】由题意可知
，所以
，
故答案为：2
24．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）若
，则的虚部是_________.
【答案】
【分析】根据复数的除法运算求解.
【详解】因为
，
所以
，虚部为
.
故答案为：
三、双空题
25．（2023 春·北京西城·高三北京市回民学校校考阶段练习）在
的展开式中，
的系数为________．设复数z 满足
，则它的共轭复数________．
【答案】
【分析】应用二项展开式的通项公式，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得展
开式中含x 项的系数．利用复数代数形式的乘除运算进行化简，再由共轭复数的基本
概念即可得出结果.
【详解】
的展开式中，通项公式为
，
8
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令
，求得
，可得展开式中含x 项的系数
，
由
，
得
，
则复数z 的共轭复数为
故答案为：
;
9
