九年级下册期中测试卷
时间 100 分钟 满分 120 分
题号
一
二
三
总分
分数
一、选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.反比例函数y=-2
x 的图象位于
( )
A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限
2.已知反比例函数y=k
x (k≠0),且在每个象限内,y 随x 的增大而增大,则下列各坐标
对应的点可能在这个函数图象上的是
( )
A.(2,3) B.(-2,3) C.(3,0)
D.(-3,0)
3.如图是某名同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法,若图中的虚线互相平
行,则点P 表示的数是
( )
A.1 B.√2
C.10
3 D.5
(第3 题) (第4 题)
4.如图,已知四边形ABCD 与四边形EFGH 是位似图形,点O 是位似中心.若OE
OA =2
5,
四边形ABCD 的周长是25,则四边形EFGH 的周长是( )
A.4
B.10
C.100
9
D.50
3
5.已知正比例函数y1=kx 的图象与反比例函数y2=m
x 的图象相交于点A(2,4),则下
列说法正确的是
( )
A.y1与y2都随x 的增大而增大
B.两个函数图象的另一交点坐标为(2,-4)
C.当x<-2 或0<x<2 时,y1<y2 D.反比例函数的解析式是y2=-8
x
6.如图,在△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴
影三角形与原三角形不一定相似的是
( )
A B C D
7.某市举行中学生党史知识竞赛,如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学
校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y 与该校参加竞
赛人数x 的情况,其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的
图象上,则这四所学校在这次党史知识竞赛中优秀人数最多的是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
(第7 题) (第8 题)
8.如图,在△ABC 中,P 是AB 边上一点,在AC 边上求作一点Q,使得△AQP∽△ABC.甲
的作法:过点P 作PQ∥BC,交AC 于点Q,则点Q 即为所求.乙的作法:经过点P,B,C
作☉O,交AC 于点Q,则点Q 即为所求.对于甲、乙的作法,下列判断正确的是
(
)
A.甲错误,乙正确
B.甲正确,乙错误
C.甲、乙都错误D.甲、乙都正确
9.函数y={
1
x ( x>0),
- 1
x ( x<0)
的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),针对y1与y2的大小关系,甲、
乙、丙三人的说法如下:
甲:若x1<0<x2,则y1>y2; 乙:若x1+x2=0,则y1=y2; 丙:若0<x1<x2,则y1>y2.
下列判断正确的是( )
A.只有甲错 B.只有丙对 C.甲、丙都对 D.甲、乙、丙都错
10 如图,在矩形ABCD 中,过点D 作对角线AC 的垂线DE,垂足为E,过点E 作BE
的垂线EF 交AD 于点F,如果AB=3,BC=4,那么DF 的长是
( )
A.3 B.8
3
C.12
5
D.9
4
二、填空题(共5 小题,每小题3 分,共15 分)
11.举出一个生活中应用反比例函数的例子:
.
12.如图,在▱ABCD 中,E 是AD 的中点,EC 交对角线BD 于点F,则DF
BF = .
13.《墨子·天文志》记载:“轮匠执其规、矩,以度天下之方圆.”度方知圆,感悟数学
之美.如图,正方形ABCD 的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似
图形A'B'C'D',若A'B' AB=
∶
2∶1,则四边形A'B'C'D'的外接圆的直径为 .
(第13 题) (第14 题) (第15 题)
15.如图,直线y1=kx+b 交反比例函数y2=8
x (x>0)的图象于点A(m,4)和点B(n,2),交y
轴于点C,交x 轴于点D.若点P 是x 轴上一动点,当△COD 与△ADP 相似时,点P 的
坐标为 .
三、解答题(共8 小题,共75 分)
16.(8 分)在方格纸中,每个小方格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格
点三角形.请你在如图所示的10×10 的方格纸中,画出两个位似但不全等的格点三
角形,并标出位似中心.(要求所画三角形是钝角三角形,并标明相应字母)
17.(8 分)在如图的正方形格点纸中,每个小正方形的边长为1,A,B,C,D,F,H 都是格
点,AB 与CD 相交于点O,AH 与CD 相交于点E,求AO 与BO 的比值.
18.(8 分)如图,在△ABC 中,AB=8,AC=6,点D 在边AB 上,AD=4.5,△ABC 的角平分线
AE 交CD 于点F.
(1)求证:△ACD∽△ABC;
(2)求AF
AE 的值.
19.(9 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+2 的图象与反比例函数y=k
x
(x>0)的图象相交于点A(a,4),与x 轴、y 轴分别交于点B,C.过点A 作AD⊥x 轴,垂足
为D.
(1)求k 的值,并直接写出当x>0 时,一次函数值小于反比例函数值时x 的取值范围.
(2)已知点P 为反比例函数y=k
x (x>0)图象上的一点,且位于点A 的右侧,则从条件
①或条件②中选择一个作为已知条件,求点P 的坐标.
条件①:连接PA,PD,PA=PD;
条件②:△ABD 的面积是△PBD 的面积的2 倍.
20.(9 分)如图,点A 是反比例函数y=k
x (k≠0)图象上的一点,AB⊥x 轴,垂足为
B,△ABO 的面积为1 500.
(1)k 的值为 .
(2)若该反比例函数图象的另一支表示老李从家里出发步行到单位所需时间
y(min)与速度x(m/min)之间的关系,则:
①老李家距离单位 m;
②若老李每天早上7:15 出发,单位上班时间为8:00,但是员工必须提前5 min 到岗,
请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少才能不迟到.
21.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上,点D 在
反比例函数y=k
x (k≠0,x>0)的图象上,已知点C 的坐标为(12,8),平行四边形ABCD
的面积为64.
(1)求k 的值;
(2)若点E 为反比例函数y=k
x (k≠0,x>0)的图象与BC 边的交点,且BE
CE=3
5,求点E 的
坐标.
22.(11 分)背景:点A 在反比例函数y=k
x (k>0)的图象上,AB⊥x 轴于点B,AC⊥y 轴于
点C,分别在射线AC,BO 上取点D,E,使得四边形ABED 为正方形.如图(1),点A 在
第一象限,当AC=4 时,小李测得CD=3.
探究:通过改变点A 的位置,小李发现点D,A 的横坐标之间存在函数关系,请帮助小
李解决下列问题.
(1)求k 的值.
(2)设点A,D 的横坐标分别为x,z,将z 关于x 的函数称为“Z 函数”,如图(2),小李画
出了当x>0 时“Z 函数”的图象.
①求这个“Z 函数”的解析式;
②补画当x<0 时,“Z 函数”的图象,并写出该函数的一条性质:
;
③若y=-x 与“Z 函数”的图象相交于M,N 两点,则M,N 两点横坐标之间的距离是
.
23.(12 分)某数学兴趣小组在数学课外活动中,对四边形内两条互相垂直的线段做
了如下探究.
(1)如图(1),在正方形ABCD 中,DE⊥CF,求DE
CF 的值;
(2)如图(2),在矩形ABCD 中,AD=7,CD=4,且CE⊥BD,求CE
BD 的值;
(3)如图(3),在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°,点E 为AB 上一点,连接DE,过点C 作
DE 的垂线交ED 的延长线于点G,交AD 的延长线于点F,若AD=2,DE=3,CF=4,求
AB 的长.
九年级下册期中测试卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
D
B
C
C
C
A
A
D
11.要编织一块面积为2 米2的矩形地毯,地毯的长x(米)与宽y(米)之间的函数解
析式为y=2
x (x>0)(答案不唯一)
12.1
2
13.4√2
14.3
15.(2,0)或(-2,0)
1.D 【点拨】-2<0,所以其图象位于第二、四象限
2.B 因为反比例函数y=k
x (k≠0)在每个象限内,y 随x 的增大而增大,所以k<0.只有
B 选项中,k=-2×3=-6<0,符合题意.
【快解秒解】
根据反比例函数的图象和性质可得,该函数图象在第二、四象限,故选B.
3.D 如图,OB=1.5,OA=3,OC=10,∵PB∥AC,∴OB
OA =OP
OC ,∴1.5
3 =OP
10 ,
OP=
∴
5,∴点P
表示的数是5.
4.B ∵四边形ABCD 与四边形EFGH 是位似图形,点O 是位似中心,∴EF
AB=OE
OA ,∴
EF
AB=2
5,
∴四边形EFGH 的周长∶四边形ABCD 的周长=2
5,∴四边形EFGH 的周长=2
5
×25=10.
5.C ∵正比例函数y1=kx 的图象与反比例函数y2=m
x 的图象相交于点A(2,4),∴正
比例函数的解析式为y1=2x,反比例函数的解析式为y2=8
x ,
y
∴1随x 的增大而增大,
y2在每个象限内,随x 的增大而减小.两个函数图象的另一个交点坐标为(-2,-4).当
x<-2 或0<x<2 时,y1<y2.∴A,B,D 选项均不正确,C 选项正确.故选C.
6.C 选项A 中,阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;选项B 中,
阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;选项C 中,阴影三角形与
原三角形有两边成比例,但成比例的两边的夹角不一定相等,故两三角形不一定相
似;选项D 中,阴影三角形与原三角形的两边成比例且夹角相等,故两三角形相似.
故选C.
7.C 根据题意可知,xy 的值表示优秀人数.∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好
在同一个反比例函数的图象上,∴乙、丁两所学校的优秀人数相同.∵描述丙学校
情况的点在反比例函数图象的上方,∴丙校的xy 的值最大,即优秀人数最多.故选
C.
8.A
【图示速解】
如图(1),∵PQ∥BC,∴△AQP∽△ACB,∴甲的作法错误.如图(2),∵B,C,Q,P 四点共圆,
∴∠B+∠CQP=180°.∵∠AQP+∠CQP=180°,∴∠AQP=∠B.∵∠A=∠A,∴△AQP∽△A
BC,∴乙的作法正确.故选A.
9.A
【图示速解】
如图为函数y={
1
x ( x>0),
- 1
x ( x<0)
的图象,可知函数的图象关于y 轴对称.当x1<0<x2时,不
能判断y1,y2的大小,故甲是错误的;若x1+x2=0,则y1=y2,故乙是正确的;∵当x>0 时,y
随x 的增大而减小,∴若0<x1<x2,则y1>y2,故丙是正确的.故选A.
10.D 四边形ABCD 为矩形,
AB=3,BC=4,
CD=AB=
∴
3,AD=BC=4,AB∥CD,∠ADC=90°.在Rt△ADC 中,AC=
√A D
2+C D
2=√4
2+3
2=5.∵DE⊥AC,
S
∴
△ADC=1
2CD·AD=1
2AC·DE,即
CD·AD=AC·DE,∴3×4=5×DE,
DE=
∴
12
5 .在Rt△CDE 中,CE=√C D
2- D E
2=
√3
2-( 12
5 )
2=9
5,
AE=AC-CE=
∴
5-9
5=16
5
.∵∠CDE+∠DCE=90°,∠CDE+∠FDE=90°,∴∠DCE=∠FDE.
∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCE,∴∠BAE=∠FDE.∵EF⊥BE,∴∠BEF=∠BEA+∠AEF=90°
.∠AEF+∠DEF=90°,∴∠BEA=∠DEF,∴△ABE∽△DFE,∴AB
DF = AE
DE ,即3
DF =
16
5
12
5
,
DF=
∴
9
4 .
11.要编织一块面积为2 米2的矩形地毯,地毯的长x(米)与宽y(米)之间的函数解析
式为y=2
x (x>0)(答案不唯一)
12.1
2 ∵四边形ABCD 是平行四边形,
AD
∴
∥BC,AD=BC,∴△EDF∽△CBF,∴DF
BF =
ED
CB .∵E 是AD 的中点,
DE=
∴
1
2AD,∴ED
CB = ED
AD=1
2,∴DF
BF =1
2.
13.4√2 如图,连接B'D'.由题意,得正方形ABCD∽正方形A'B'C'D',相似比为1∶2.∵
正方形ABCD 的面积为4,∴正方形A'B'C'D'的面积为16,
A'B'=A'D'=
∴
4.
∵∠B'A'D'=90°,
B'D'
∴
为四边形A'B'C'D'的外接圆的直径,B'D'=√2A'B'=4√2.
14.3 如图,延长AB 交x 轴于点D,过点A 作AE⊥y 轴于点E,∵AB∥y 轴,BC⊥y 轴,
∴四边形ADOE,四边形ABCE,四边形BDOC 都是矩形.∵点A,B 分别是双曲线y=
4
x 和y=1
x 第一象限分支上的点,∴矩形ADOE 的面积为4,矩形BDOC 的面积为
1,∴矩形ABCE 的面积为4-1=3,
AB
∴
·BC=3.
15.(2,0)或(-2,0) ∵点A(m,4)和点B(n,2)在反比例函数y2=8
x (x>0)的图象上,
∴4= 8
m,2=8
n,解得m=2,n=4,
A
∴(2,4),B(4,2).把A(2,4),B(4,2)的坐标代入y1=kx+b,得
{
2k +b= 4 ,
4 k +b=2,解得{
k =−1,
b=6, ∴y1=-x+6.当x=0 时,y1=6,
C
∴(0,6),
OC=
∴
6.当y1=0 时,x=6,
D
∴(6,0),
OD=
∴
6,
CD=
∴
√OC
2+O D
2=6√2.易得AD=4√2.设P(a,0),由题可知,点P
在点D 的左侧,则PD=6-a.①当△COD∽△APD 时, AD
CD = PD
OD ,即4√2
6√2=6−a
6
,解得
a=2,故P(2,0).②当△COD∽△PAD 时, AD
OD = PD
CD ,即4√2
6 =6−a
6√2 ,解得a=-2,故
P(-2,0).∴当△COD 与△ADP 相似时,点P 的坐标为(2,0)或(-2,0).
16.【参考答案】如图所示,△ABC 与△A'B'C'位似,点O 为位似中心.
(8 分)
(注:答案不唯一,正确即可得分)
17.【参考答案】连接DF,BC,
∵EH∥CF,
∴EH
CF = DH
DF ,即EH
3 =1
2,
EH=
∴
3
2,
AE=AH-EH=
∴
3-3
2=3
2.
(4 分)
∵AE∥BC,∴△AOE∽△BOC,
∴AO
BO = AE
BC =
3
2
5
= 3
10. (8 分)
18.【参考答案】(1)证明:∵AB=8,AC=6,AD=4.5,
∴AC
AB = AD
AC =3
4.
又∠CAD=∠BAC,
∴△ACD∽△ABC.
(5 分)
(2)由(1)知,△ACD∽△ABC,
∴∠ACD=∠B.
∵AE 平分∠BAC,
∴∠CAF=∠BAE,
∴△ACF∽△ABE,
∴AF
AE = AC
AB =3
4 . (8 分)
19.【参考答案】(1)把点A(a,4)的坐标代入一次函数解析式,
得4=a+2,解得a=2,
∴点A 的坐标为(2,4),
把点A(2,4)的坐标代入反比例函数y=k
x (x>0),得k=8. (2 分)
当x>0 时,
一次函数值小于反比例函数值时x 的取值范围是0<x<2. (3 分)
(2)选择条件①.解法如下:
(4 分)
如图,连接PA,PD,设P(x,y).
∵PA=PD,∴△PAD 是等腰三角形,
∴点P 的纵坐标等于点A 纵坐标的一半为2,
即y=2,代入y=8
x ,解得x=4,
∴点P 的坐标为(4,2).
(9 分)
或选择条件②.解法如下:(4 分)
如图,连接PB,PD,设点P 的坐标为(x,y),由(1)知点A(2,4),点D(2,0).
∵一次函数y=x+2 的图象与x 轴交于点B,
∴点B 的坐标为(-2,0),
BD=
∴
4,AD=4,
S
∴
△ABD=1
2×BD×AD=1
2×4×4=8.
∵△ABD 的面积是△PBD 的面积的2 倍,
S
∴
△PBD=4=1
2×BD×y,即4=1
2×4×y,
解得y=2,
将其代入y=8
x ,解得x=4,
∴点P 的坐标为(4,2).
(9 分)
【一题多解】
(2)选择条件①.解法如下:
(4 分)
如图,连接PA,PD.
设点P 的坐标为(x,y),由(1)知点A(2,4),点D(2,0).
∵PA=PD,∴√( x -2)
2+( y -4)
2=√( x -2)
2+( y -0)
2,
解得y=2.
∵点P 在y=8
x 的图象上,
x=
∴
4,
∴点P 的坐标为(4,2).
(9 分)
20.【参考答案】(1)3 000 【提示】1
2|k|=1 500(3 分)
(2)①3 000 【提示】时间=路程
速度
(5 分)
y=
②
3000
x
,
∴当y=60-15-5=40 时,3000
x
=40,
解得x=75. (8 分)
∵在每一个象限内,y 随x 的增大而减小,
∴老李步行速度至少为75 m/min 才能不迟到.
(9 分)
21.【参考答案】(1)如图(1),过点D 作DF⊥x 轴,垂足为F.
∵四边形ABCD 是平行四边形,点C 的坐标为(12,8),
DF=
∴
8.
∵平行四边形ABCD 的面积为64,
DF
∴
·DC=64,
DC=
∴
8,
OF=
∴
4,
D
∴(4,8).
把点D(4,8)的坐标代入y=k
x 中,得8=k
4,
k=
∴
32. (5 分)
(2)如图(2),过点D 作DF⊥x 轴,垂足为F,过点E 作NM∥DF,分别交DC,x 轴于点
N,M.
∵四边形ABCD 是平行四边形,
AB
∴
∥CD,MN=DF=8,
∴易得△MEB∽△NEC,
∴ME
NE =BE
CE=3
5.
设ME=3x,NE=5x,则MN=ME+NE=3x+5x=8,
x=
∴
1,
ME=
∴
3，
由(1)得,反比例函数的解析式为y=32
x (x>0),
∴令y=3,即32
x =3,
解得x=32
3 ,
∴点E 的坐标为(32
3 ,3).
(10 分)
22.【参考答案】(1)∵当AC=4 时,CD=3,
AD=
∴
1.
∵四边形ABED 是正方形,
AB=AD=
∴
1,
A
∴(4,1).
∵点A 在反比例函数y=k
x (k>0)的图象上,
k=
∴
4×1=4. (3 分)
(2)①由题意知,点A(x,x-z),
x
∴(x-z)=4,
z=x-
∴
4
x .
(5 分)
②补画图象如图所示.
(7 分)
当x<0 或x>0 时,y 随x 的增大而增大(答案不唯一)
(9 分)
②2√2(11 分)
解法提示:令-x=x-4
x ,解得x=±√2,
∴√2-(-√2)=2√2.
23.【思路导图】
(1)AAS→△AED≌△DFC→DE=CF→结果
(2)两角相等→△DEC∽△ABD→CE
BD = DC
AD
(3)过点C 作CH⊥AF 交
AF 的延长线于点H→四边形ABCH 为矩形→△DEA∽△CFH→DE
CF = AD
AB
【参考答案】(1)如图(1),设DE 与CF 的交点为G.
∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠A=∠FDC=90°,AD=CD,∠ADE+∠AED=90°.
∵DE⊥CF,∴∠DGF=90°,∴∠ADE+∠CFD=90°,
∴∠CFD=∠AED.
在△AED 与△DFC 中,
{
∠A =∠FDC ,
∠AED =∠CFD
AD =CD,
,
∴△AED≌△DFC(AAS),
DE=CF
∴
,
∴DE
CF =1.
(4 分)
(2)如图(2),设DB 与CE 交于点G.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠A=∠EDC=90°,∠ADB+∠CDG=90°.
∵CE⊥BD,∴∠DGC=90°,∴∠CDG+∠ECD=90°,
∴∠ECD=∠ADB.
∵∠CDE=∠A,∴△DEC∽△ABD,
∴CE
BD= DC
AD =4
7 . (8 分)
(3)如图(3),过点C 作CH⊥AF,交AF 的延长线于点H.
∵CG⊥EG,∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°,
∴四边形ABCH 为矩形,
AB=CH
∴
,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°,
∴∠FCH=∠FDG=∠ADE,∴△DEA∽△CFH,
∴DE
CF = AD
CH ,∴DE
CF = AD
AB .
∵AD=2,DE=3,CF=4,
∴3
4= 2
AB,
AB=
∴
8
3.
(12 分)
