第十七章 勾股定理
时间 60 分钟 满分 100 分
题号
一
二
三
总分
分数
一、选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2 倍,那么斜边长扩大到
原来的( )
A.1 倍
B.2 倍
C.3 倍
D.4 倍
2.(2023·山东潍坊潍城区期中)第27 届LG 杯世界围棋棋王赛决赛于2023 年1 月
30 日在北京落子.如图是一个围棋棋盘的局部,若棋盘是由边长均为1 的小正方形
组成的,则黑、白两棋子之间的距离为
( )
A.√2
B.√3
C.2√3
D.5
(第2 题) (第3 题) (第4 题)
3.(2023·福建福州鼓楼区期中)如图,A(8,0),C(-2,0),以点A 为圆心,AC 长为半径画弧,
交y 轴正半轴于点B,则点B 的坐标为
( )
A.(0,5) B.(5,0) C.(6,0)
D.(0,6)
4.(2023·天津和平区期中)如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=2,BC=4,四边形ADEC 是
正方形,则正方形ADEC 的面积是
( )
A.8 B.16
C.20
D.25
5.(2023·湖北武汉武昌区期中)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别记为a,b,c,下列
条件中,能判定△ABC 是直角三角形的是( )
A.a b c=
∶∶
12∶22∶32 B.a=√3k,b=2k,c=√5k(k>0)
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.a2=(c-b)(c+b)
6.(2023·河南南阳期末)在如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,△ABC 的顶
点A,B,C 均在正方形网格的格点上,则下列结论错误的是( )
A.AB2=20
B.∠BAC=90°
C.S△ABC=10 D.点A 到直线BC 的距离是2
(第6 题) (第7 题) (第8 题)
7.(2023·陕西西安段考)如图,某超市为吸引顾客,在超市门口离地高4.5 m 的墙上
装有一个由传感器控制的门铃A,人只要移至该门周围5 m 及5 m 以内,门铃就会
自动发出语音“欢迎光临”.一个身高为1.5 m 的学生要走到离门多远的地方,门
铃恰好自动响起?
( )
A.4 m B.3 m
C.5 m
D.7 m
8.(2023·重庆铜梁区期中)如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,分别以AB,AC,BC 为直径向
外作半圆,面积分别记作S1,S2,S3,若S1=9π,S2=4π,则S3=( )
A.π B.3π
C.5π
D.13π
9.(2023·山东烟台期中)在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有
规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中,则当a=24 时,b+c 的值为
( )
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
A.250
B.288
C.300
D.574
10.(2023·湖南娄底模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,点P 是BC 边上的动点,
过点P 作PD⊥AB 于点D,PE⊥AC 于点E,则PD+PE 的长是
( )
A.3.8
B.4.8 或3.8
C.4.8
D.5
二、填空题(共6 小题,每小题3 分,共18 分)
11.(2023·江苏南京鼓楼区期中)在△ABC 中,∠C=90°,若AB=√3,则AB2+BC2+
AC2=
.
12.(2023·河南新乡期末)已知a,b,c 是△ABC 的三边长,且满足关系√c
2-a
2-b
2+
|a-b|=0,则△ABC 的形状为 .
13.(2023·河南洛阳期中)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,有
AB,CD,EF,GH 四条线段,其中能构成直角三角形的三条线段是 .
(第13 题) (第14 题)
14.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题:“今有开门去阃(kǔn)一
尺,不合二寸,问门广几何.”大意是说:如图,推开两扇门(AD 和BC),门边缘D,C 两点
到门槛AB 的距离均为1 尺(1 尺=10 寸),两扇门间的缝隙CD 为2 寸,那么门的宽
度(两扇门的宽度和)AB 为
寸.
15.(2023·山东枣庄二模)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,
汉代数学家赵爽为证明勾股定理,创制了一幅如图(1)所示的“弦图”,后人称之为
“赵爽弦图”.图(2)是由弦图变化得到的,它是由八个全等的直角三角形拼接而成
的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT 的面积分别为S1,S2,S3.若
S1+S2+S3=24,则正方形EFGH 的边长为 .
图(1) 图(2) (第16 题)
(第15 题)
16.(2023·云南大学附中期中)如图,圆柱形杯子的高为18 cm,底面周长为24 cm,在
杯内壁(杯子的厚度忽略不计)离杯底4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正
好在杯外壁,离杯上沿2 cm 与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁从外壁A 处到达内壁B
处的最短距离为 cm.(假设蜂蜜不会下滑)
三、解答题(共6 小题,共52 分)
17.(6 分)(2023·江西南昌东湖区期中)某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示,
学校计划在空地上种植草皮.经测量,∠ABC=90°,BC=6 m,AB=8 m,AD=26
m,CD=24 m.
(1)求这块空地的面积.
(2)如果每种植1 m2草皮需要花费100 元,那么总共需花费多少元?
18.(7 分)(2023·江西抚州期末)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”又到了放风筝
的最佳时节,松松在学习了“勾股定理”之后,为了计算如图所示的风筝的垂直高
度CE,他测得以下数据:
①水平距离BD 的长为8 米;
②由手中剩余线的长度得出风筝线BC 的长为17 米;
③牵线放风筝的松松的身高为1.6 米.
(1)求风筝的垂直高度CE.
(2)若松松想风筝沿CD 方向下降9 米,则他应该往回收线多少米?
19.(7 分)(2023·湖南长沙期中)如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边
原有两个取水点A,B,其中AB=AC.由于某些原因,由C 到A 的路现在已经不通了,
该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B 在一条直线上),并新修
一条路CH,测得CB=3 千米,CH=2.4 千米,HB=1.8 千米.
(1)问CH 是否为从村庄C 到河边的最近路,请通过计算加以说明;
(2)求新路CH 比原路CA 少多少千米.
20.(10 分)[中考创新题型|新概念类阅读理解题](2022·陕西渭南华州区期末)阅读下
面的材料,然后解答问题:我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方
的2 倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)理解并填空:
①根据奇异三角形的定义,请你判断:等边三角形一定 奇异三角形.(填
“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1,√7,2,则该三角形 (填“是”或“不是”)
奇异三角形.
(2)探究:若Rt△ABC 的三边长分别是a,b,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是奇异
三角形吗?请说明理由.
21.(10 分)[中考创新题型|类比探究题]勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙
各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他发现,当两个全等的直角三角形如
图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小明利用图(1)
证明勾股定理的过程.
如图(1),△ACB≌△DEA,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连接DB,DC,过点D 作DF⊥BC 交BC 的延长线于点F,则DF=EC=b-a,则
S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=1
2b2+1
2ab.
又S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=1
2c2+1
2a(b-a),
∴1
2b2+1
2ab=1
2c2+1
2a(b-a),
a
∴
2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图(2)进行证明.
将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.求证:
a2+b2=c2.
图(1) 图(2)
22.(12 分)(2023·河南南阳宛城区期末)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5
cm,AC=3 cm,动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm/s 的速度移动,设运动的时间
为t s.
(1)求BC 边的长;
(2)当△ABP 为直角三角形时,求t 的值;
(3)当△ABP 为等腰三角形时,求t 的值.
第十七章 勾股定理
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
D
C
D
C
A
C
B
C
11.6
12.等腰直角
三角形
13.AB,C
D,GH
14.101
15.2√2
16.20
17.【参考答案】(1)如图,连接AC.
在Rt△ABC 中,∵∠ABC=90°,BC=6,AB=8,
AC=
∴
√BC
2+ A B
2=10.
在△ACD 中, AC
∵
2+CD2=102+242=676=AD2,
∴∠ACD=90°,
S
∴
四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1
2×6×8+1
2×10×24=144.
答:这块空地的面积是144 m2.
(4 分)
(2)144×100=14 400(元).
答:总共需花费14 400 元.
(6 分)
18.【参考答案】(1)在Rt△CDB 中,
由勾股定理得,CD2=BC2-BD2=172-82=225.
CD>
∵
0, CD=
∴
15,
CE=CD+DE=
∴
15+1.6=16.6.
答:风筝的垂直高度CE 为16.6 米.
(3 分)
(2)如图,在线段CD 上找一点M,使CM=9, DM=
∴
6,连接BM.
在Rt△BDM 中,BM=√D M
2+ B D
2=√6
2+8
2=10,
BC-BM=
∴
7,
∴他应该往回收线7 米. (7 分)
19.【参考答案】(1)是.
(1 分)
理由:在△CHB 中, CH
∵
2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9,
CH
∴
2+BH2=BC2,
CH
∴
⊥AB,
CH
∴
是从村庄C 到河边的最近路.
(3 分)
(2)设AC=x 千米,则AH=(x-1.8)千米.
由(1)及勾股定理得AC2=AH2+CH2,
x
∴2=(x-1.8)2+2.42,解得x=2.5,
AC-CH=
∴
2.5-2.4=0.1(千米),
∴新路CH 比原路CA 少0.1 千米.
(7 分)
20.【参考答案】(1)①是 (2
分)
②是
(4 分)
解法提示:∵12+(√7)2=8,2×22=8,∴12+(√7)2=2×22,∴该三角形是奇异三角形.
(2)当c 为斜边长时,Rt△ABC 不是奇异三角形;
当b 为斜边长时,Rt△ABC 是奇异三角形. (6 分)
理由:当c 为斜边长时,则b2=c2-a2=100-50=50,
则a2+b2≠2c2,a2+c2≠2b2,
∴Rt△ABC 不是奇异三角形.
当b 为斜边长时,b2=a2+c2=150,
则有a2+b2=50+150=200=2c2,
∴Rt△ABC 是奇异三角形.
综上所述,当c 为斜边长时,Rt△ABC 不是奇异三角形;当b 为斜边长时,Rt△ABC 是
奇异三角形.
(10 分)
21.【参考答案】证明:如图,连接BD,过点B 作BF⊥DE 交DE 的延长线于点F,则
BF=b-a.(2 分)
S
∵
四边形ABED=S△ABE+S△ADE=1
2b2+1
2ab,
S 四边形ABED=S△ABD+S△BDE=1
2c2+1
2a(b-a),
(6 分)
∴1
2b2+1
2ab=1
2c2+1
2a(b-a),
(9 分)
a
∴
2+b2=c2. (10 分)
证明:连接BD,过点B 作DE 边上的高BF,可得BF=b-a,
(2 分)
S
∵
五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=1
2ab+1
2b2+1
2ab, (4 分)
且S 五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=1
2ab+1
2c2+1
2a(b-a), (6 分)
∴1
2ab+1
2b2+1
2ab=1
2ab+1
2c2+1
2a(b-a), (9 分)
a
∴
2+b2=c2. (10 分)
22.
【参考答案】(1)在Rt△ABC 中,BC2=AB2-AC2=52-32=16,
BC=
∴
4 cm.(3 分)
(2)由题意知BP=t cm,
①如图(1),当∠APB 为直角时,点P 与点C 重合,BP=BC=4 cm,
t=
∴
4.
(5 分)
图(1) 图(2)
②如图(2),当∠BAP 为直角时,CP=(t-4) cm,
在Rt△ACP 中,AP2=32+(t-4)2,
在Rt△BAP 中,AB2+AP2=BP2,
即52+[32+(t-4)2]=t2,
解得t=25
4 .
综上所述,当△ABP 为直角三角形时,t=4 或t=25
4 . (8 分)
(3)①如图(3),当BP=AB 时,t=5;
②如图(4),当AB=AP 时,BP=2BC=8 cm,
t=
∴
8;
③如图(5),当BP=AP 时,AP=BP=t cm,CP=(4-t)cm,
在Rt△ACP 中,AP2=AC2+CP2,即t2=32+(4-t)2,
解得t=25
8 .
综上所述,当△ABP 为等腰三角形时,t=5 或t=8 或t=25
8 .
(12 分)
图(3) 图(4) 图(5)
