第十六章 二次根式
时间 60 分钟 满分 100 分
题号
一
二
三
总分
分数
一、选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2023·河南商丘二模改编)若√a是最简二次根式,则a 的值可能是( )
A.-2
B.8 C.√3
D.2
2.(2022·上海长宁区期中)如果m 是任意实数,那么下列二次根式一定有意义的是
( )
A.√m
B.√m+1
C.√m
2-1
D.√m
2+1
3.(2023·重庆渝北区期中)若最简二次根式√2−a与√3a+2可以合并,则a= ( )
A.0 B.1
4 C.-3
2 D.3
2
4.(2022·山东枣庄市中区二模改编)如图,数轴上的点可以近似表示(3√6+√30)÷
√6的值的是( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
5.(2023·北京西城区期中)若√
x
1−x = √x
√1−x 成立,则x 的取值范围为( )
A.0≤x<1
B.x≥0
C.x<1
D.x≤0 或x>1
6.下列式子一定成立的是
( )
A.√a
2=a
B.√ab=√a·√b
C.√a+√b=√a+b
D.√2 2
3=2√
2
3
7.(2023·山西大同段考)若x 为实数,在“(√3-1)□x”的“□”中填上一种运算符号
(从“+”“-”“×”“÷”中选择),使其运算结果是有理数,则x 不可能是
( )
A.√3-1 B.√3+1
C.3√3 D.1-√3
8.(2023·河南许昌期中)如图,在数学课上,老师用5 个完全相同的小长方形在无重
叠的情况下拼成了一个大长方形,已知小长方形的长为√27、宽为√12,下列是四
位同学对该大长方形的判断,其中不正确的是( )
A.大长方形的长为6√3 B.大长方形的宽为5√3
C.大长方形的周长为11√3
D.大长方形的面积为90
9.(2023·山东聊城段考)对于任意的正数m,n,定义新运算※:m※n=
{
√m-√n(m≥n),
√m+√n(m<n),
则(3※2)·(8※12)的结果为 ( )
A.2-4√6B.2 C.2√5
D.20
10.(2022·安徽合肥瑶海区期末)已知x,y 是正整数,若√x+√y=√275,则x+y 的值是
( )
A.143 或187
B.137 或275
C.143 或275
D.5 或11
二、填空题(共6 小题,每小题3 分,共18 分)
11.(2023·河北邢台期中)若√12+√a=5√3,则a 的值为 .
12.(2023·广东清远一模)如果一个无理数a 与√8的积是一个有理数,那么a 的值可
以是 .(写出一个即可)
13.(2023·广东阳江期中)在如图所示的方格中,横向、纵向及对角线方向上的实数
相乘都得出同样的结果,则两个空格中的实数之和为 .
2√3
1
3
√6
2
6
√3
14.(2023·山东威海环翠区期中)已知a,b 分别为等腰三角形的两条边长,且a,b 满足
b=4+√3a-6+√2−a,则该三角形的周长为 .
15.(2023·上海黄浦区期中)已知0<a<1,且a+1
a=7,则√a- 1
√a的值为 .
16.(2022·湖北随州中考)已知m 为正整数,若√189m是整数,则根据√189m=
√3×3×3×7m=3√3×7m可知m 有最小值3×7=21.设n 为正整数,若√
300
n 是大于
1 的整数,则n 的最小值为 ,最大值为 .
三、解答题(共5 小题,共52 分)
17.(共4 小题,每小题3 分,共12 分)计算:
(1)(3√12-2√
1
3+√48)÷2√3;
(2)√8-(1
4)-1- 2
√2+|√2-2|;
(3)|√3-1|-√2×√6+(√3+1)2-(√3)2;
(4)(2√2+3)2 023(2√2-3)2 024-4√
1
8-√(√2-1)
2.
18.(8 分)(2023·江西上饶广信区期中)求代数式m+√1−2m+m
2的值,其中m=1
012.如图是小亮和小芳的解答过程.
(1) 的解法是错误的,错误的原是
;
(2)求代数式m-2√m
2-6m+9+6 的值,其中m=-2 023.
19.(10 分)(2023·浙江杭州拱墅区期中)高空抛物是一种不文明的危险行为.据研究,
从高处坠落的物体,其下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式t=√
2ℎ
g (不考虑阻
力的影响,g≈10 m/s2).
(1)求物体从40 m 的高空落到地面的时间(结果保留根号).
(2)小明说,物体从80 m 的高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2 倍,他的说法
正确吗?请说明理由.
(3)已知从高空坠落的物体所带能量(J)=10×物体质量(kg)×高度(m).一个质量为
0.2 kg 的玩具经过3 s 落在地上,这个玩具在下落过程中所产生的动能会伤害到
楼下的行人吗?请说明理由.(注:伤害无防护人体只需要65 J 的动能)
20.(10 分)(2023·北京朝阳区陈经纶中学期中)
[观察计算](1)4+3 2√4×3;
1+1
6 2√1× 1
6;
5+5 2√5×5.
(填“>”“<”或“=”)
[归纳发现](2)由(1)中的各式比较m+n 与2√mn(m≥0,n≥0)的大小,并说明理由.
[实践应用](3)设计师要对某区域进行设计改造,将该区域用篱笆围成一个长方形
花圃.如图,该花圃恰好可以借用一段墙体,若要围成一个面积为200 m2的花圃,则
所用的篱笆至少需要 m.
21.(12 分)(2023·江苏扬州邗江区段考)阅读材料:
小明在学习完二次根式后,发现有些式子可以写成另一个式子的平方,如3+2√2
=(1+√2)2.
善于思考的小明进行了如下探索:
设a+b√2=(m+n√2)2(其中a,b,m,n 均为正整数),则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2,故a=
m2+2n2,b=2mn.
这样小明就找到了把类似a+b√2的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n 均为正整数时,若a+b√3=(m+n√3)2,用含m,n 的式子分别表示a,b,则
a= ,b= .
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n 填空: + √3=( +
√3)2.
(3)若a+4√3=(m+n√3)2,且a,m,n 均为正整数,求a 的值.
(4)若a 是216 的立方根,b 是16 的平方根,试计算:√a+b√2.
第十六章 二次根式·B 卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
D
A
C
A
D
C
C
B
A
11.27
12.√2(答案不唯一)
13.4√2
14.10
15.-√5
16.3 75
17.【参考答案】(1)原式=(6√3-2√3
3 +4√3)÷2√3× 1
2√3
=3-1
3+2(2 分)
=14
3 .
(3 分)
(2)原式=2√2-4-√2+2-√2
=-2.
(3 分)
(3)原式=√3-1-√2×6+3+2√3+1-3
(1 分)
=√3-1-2√3+3+2√3+1-3 (2 分)
=√3.
(3 分)
(4)原式=-(2√2-3)-√2-(√2-1) (1 分)
=-2√2+3-√2-√2+1
(2 分)
=-4√2+4.
(3 分)
18.【参考答案】(1)小亮(2 分)
未能正确运用二次根式的性质√a
2=|a|(或当a≥0 时,√a
2=a,当a<0 时,√a
2=-a)
(4
分)
(2) m=-
∵
2 023, m-
∴
3<0,
则m-2√m
2-6m+9+6=m-2√(m-3)
2+6
=m+2(m-3)+6
=m+2m-6+6=3m. (6
分)
当m=-2 023 时,原式=3×(-2 023)=-6 069.
(8 分)
19.【参考答案】(1)由题意得,当h=40 m 时,t≈√
2×40
10
=√
80
10=√8=2√2(s).
(3 分)
(2)不正确.
(4 分)
理由:当h=80 m 时,t≈√
2×80
10
=√
160
10 =√16=4(s).
∵4≠2×2√2,∴小明的说法不正确. (6 分)
(3)会.
(7 分)
当t=3 s 时,3≈√
2ℎ
10 ,解得h=45.
这个玩具在下落过程中所产生的动能=10×0.2×45=90(J)>65 J,(9 分)
∴这个玩具在下落过程中所产生的动能会伤害到楼下的行人. (10 分)
20.【参考答案】(1)> > =
(3 分)
解法提示:
∵4+3=7,2√4×3=4√3,72=49,(4√3)2=48.49>48,∴4+3>2√4×3.∵1+1
6=7
6>1,2√1× 1
6
=√6
3 <1,∴1+1
6>2√1× 1
6.∵5+5=10,2√5×5=10,∴5+5=2√5×5.
(2)m+n≥2√mn(m≥0,n≥0). (4 分)
理由:当m≥0,n≥0 时,(√m-√n)2≥0,
∴(√m)2-2√m·√n+(√n)2≥0,
m-
∴
2√mn+n≥0,
m+n
∴
≥2√mn.
(7 分)
(3)40 (10 分)
解法提示:设与墙体平行的篱笆长为a m,与墙体垂直的篱笆长为b m,则
a>0,b>0,S=ab=200.
根据(2)的结论可得a+2b≥2√a·2b,
∵2√a·2b=2√2ab=2√2×200=2×20=40,
∴所用的篱笆至少需要40 m.
21.【参考答案】(1)m2+3n2 2mn
(2 分)
(2)13 4 1 2(或12 6 3 1 等,答案不唯一) (5 分)
(3)由b=2mn,得4=2mn,所以mn=2.
因为m,n 均为正整数,所以m=1,n=2 或m=2,n=1.
当m=1,n=2 时,a=m2+3n2=12+3×22=13;
当m=2,n=1 时,a=m2+3n2=22+3×12=7.
因此a 的值为13 或7.
(8 分)
(4)因为a 是216 的立方根,b 是16 的平方根,
所以a=6,b=±4,
所以√a+b√2=√6± 4√2=√(2±√2)
2=2±√2. (12 分)
