第一章 三角形的证明
时间:60 分钟
满分:100 分
一、选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2022·广东清远期末)在△ABC 中,∠B=∠C,AB=3,则AC 的长为
( )
A.2 B.3 C.4
D.5
2.下列命题的逆命题是假命题的是
( )
A.同旁内角互补,两直线平行
B.全等三角形的对应边相等
C.全等三角形的对应角相等
D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
3.(2022·广东广州黄埔区期末)如图,△ABC≌△AED,点D 在BC 边上.若∠EAB=50°,
则∠ADE 的度数是( )
A.50°
B.60°
C.65°
D.30°
(第3 题) (第4 题)
4.(2021·山东济南槐荫区期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 三个顶点的坐标
分别是点A(-3,0),B(-1,2),C(3,2),则到△ABC 三个顶点距离相等的点的坐标是( )
A.(0,-1) B.(0,0)
C.(1,-1) D.(1,-2)
5.(2022·四川成都高新区段考)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠CBA=60°.首先以顶点
B 为圆心、适当长为半径作弧,分别交边BC,BA 于点E,D;然后分别以点D,E 为圆
心,大于1
2DE 的长为半径作弧,两弧在∠CBA 内交于点F;作射线BF 交AC 于点G.
若BG=8,P 为边AB 上一动点,连接GP,则GP 的最小值为( )
A.2 B.4 C.8 D.无法确定
(第5 题) (第6 题)
6.(2022·四川成都青羊区期中)如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线DE 分别与边
AB,AC 交于点D,E.已知△ABC 与△BCE 的周长分别为22 cm 和14 cm,则BD 的
长为
( )
A.3 cm B.5 cm
C.6 cm D.4 cm
7.(2021·江苏苏州期末)定义:等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值
k(k>1)称为这个等腰三角形的“优美比”.若在等腰三角形ABC 中,∠A=36°,则它
的“优美比”k 为
( )
A.3
2 B.2 C.5
2
D.3
8.如图,△ABC 的三边AB,BC,CA 的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC
分为三个三角形,则S△ABO S∶
△BCO S∶
△CAO=
( )
A.2 3 4
∶∶
B.1 2 3
∶∶
C.1 1 1
∶∶
D.3 4 5
∶∶
(第8 题) (第9 题)
9. (2022·江苏泰州靖江实验学校期中)如图,在Rt△ABC 中,
∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点E,F 在斜边AB 上,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB
上的点D 处,再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 延长线上的点B'处,则线段
B'F 的长为( )
A.3
5 B.4
5
C.1
D.6
5
10.如图,平面直角坐标系中存在点A(3,2),点B(1,0),以线段AB 为边作等腰三角形
ABP,且点P 在坐标轴上,这样的点P 有
( )
A.4 个
B.5 个
C.6 个
D.7 个
二、填空题(共6 小题,每小题3 分,共18 分)
11.如图,在Rt△ABC 和Rt△EDF 中,AB=DE,在不添加任何辅助线的情况下,请你
添加一个条件 ,使Rt△ABC 和Rt△EDF 全等.
(第11 题) (第12 题)
12.(2022·陕西渭南期末)如图,在Rt△ABC 中,∠A=90°,CM 平分∠ACB 交AB 于点
M,过点M 作MN∥BC 交AC 于点N,且 MN 平分∠AMC,若AN=2,则 NC 的长为
.
13.(2022·陕西榆林期末)如图,点O 在△ABC 内,且到△ABC 三边的距离相等,连接
OB,OC,若∠BOC=120°,则∠A 的度数是 .
(第13 题) (第14 题)
14.如图,在△ABC 中,∠B=45°,∠C=30°,AB 的垂直平分线分别交BC,AB 于点
D,E,AC 的垂直平分线分别交BC,AC 于点F,G,DF=1,则BC= .
15.(2022·河南洛阳期末)如图,在△ABC 中,AB=6,AC=10,AD 是BC 边上的中线,且
AD=4,则BC 的长为 .
(第15 题) (第16 题)
16.(2021·湖南邵阳模拟)如图,在Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AB=13,AC=5,动点P 从
点B 出发沿射线BC 方向运动,当△APB 为等腰三角形时,这个三角形的底边长可
能为 .
三、解答题(共6 小题,共52 分)
17.(6 分)(2022·江苏苏州期末)如图,△ABC 中,EF 垂直平分AC,交AC 于点F,交BC
于点E,连接AE 且AE=AB.求证:∠B=2∠C.
18.(7 分)(2021·广东佛山期中)如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE,DF 分别是△ABD
和△ACD 的高.
(1)求证:AD 垂直平分EF;
(2)若AB+AC=10,S△ABC=15,∠EAF=60°,求AD 的长.
19.(8 分)(2022·江西赣州三中期中)如图,在等边三角形ABC 的边AC,BC 上分别取
一点D,E,使AD=CE,AE,BD 相交于点M.
(1)求证:AE=BD;
(2)若BE=2EC=4,求△ABC 的面积.
20.(9 分)如图,在△ABC 中,∠A=90°,∠B=30°,AC=6 cm,点D 从点A 出发以1 cm/s
的速度沿AC 向点C 运动,同时点E 从点C 出发以2 cm/s 的速度沿CB 向点B 运
动,运动的时间为t s.过点E 作EF∥AC 交AB 于点F,连接DE.
(1)当t 为何值时,△DEC 为等边三角形?
(2)当t 为何值时,△DEC 为直角三角形?
21.(10 分)(2022·广东广州黄埔区期末)如图,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,E 为
BC 上一点,DE,AE 分别为∠ADC,∠DAB 的平分线.
(1)∠DEA= °;
(2)求证:CE=EB;
(3)探究CD,DA,AB 三条线段之间的数量关系,并说明理由.
22.(12 分)(1)如图(1),△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A,D,E 在同一直线上,连
接BE.
①求证:△ADC≌△BEC;
②线段AD,BE 之间的数量关系为 .
(2)如图(2),△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E 在
同一直线上,CM 为△DCE 的高,连接BE.
①求∠AEB 的度数;
②判断线段CM,AE,BE 之间的数量关系,并证明.
(3)如图(3),△ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形,点D 是△ABC 所在平面内一点,
且满足AD=4,BD=6,CD=2,直接写出∠ADC 的度数.
图(1) 图(2) 图(3)
第一章 三角形的证明
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
C
D
B
D
B
A
B
D
11.BC=DF(答案不
唯一)
12.4
13.60°
14.3+√3
15.4√13
16.24,√26或13
1.B
如图,∵ ∠ B=
∠ C , AB=3
, AC=AB=3
∴
.
2.C A 选项中的逆命题为“两直线平行,同旁内角互补”,是真命题;B 选项中的
逆命题为“对应边相等的两个三角形全等”,是真命题;C 选项中的逆命题为“对
应角相等的两个三角形全等”,是假命题;D 选项中的逆命题为“到线段两端点距
离相等的点在线段的垂直平分线上”,是真命题.故选C.
3.C ∵△ABC≌△AED,∴∠BAC=∠EAD,AD=AC,∠C=∠ADE,∴∠EAB+∠BAD =
∠DAC+∠BAD,∴∠DAC=∠EAB=50°. AD=AC
∵
, ∴ ∠ ADC=
∠ C=
1
2( 180
° -
∠ DAC
) =65
° ,∴∠ADE=∠C=65°.故选C.
4.D
由题意可得,该点是线段BC 与线段AB 的垂直平分线的交点,如图,交点P 的坐标为(1,-2).
5.B 由尺规作图步骤可得,BG 平分ABC,∵∠C=90°,∠CBA=60°,∴∠CBG=∠ABG=
30°. BG=8
∵
, CG=
∴
1
2BG=4.∵ 点
G 到
AB
的距离等于
GC
的长
, GP
长的最小值等于
点
G 到
AB
的距离
, GP
∴
长的最小值为
4.
6.D ∵DE 是AB 的垂直平分线, EA=EB
∴
,AD=BD=1
2AB.∵△BCE 的周长是14
cm,
BC+BE+EC=14
∴
cm,即AC+BC=14 cm.∵△ABC 的周长是22
cm, AB+AC+BC=22
∴
cm,
AB=22-14=8
∴
(cm), BD=
∴
1
2AB=1
2×8=4(cm).
7.B 当∠A 为顶角时,一个底角为1
2(180°-36°)=72°,此时,“优美比”k=72°
36°=2;当
∠A 为底角时,顶角为180°-36°-36°=108°,此时,“优美比”k= 36°
108°=1
3<1,不合题意,
舍去.
8.A 根据角平分线的性质,可知点O 到△ABC 三边的距离相等,从而可得S△ABO∶
S△BCO S∶
△CAO=AB BC CA=20 30 40=2 3 4.
∶
∶
∶
∶
∶∶故选A.
9.B ∠ACB=90°,AC=3,BC=4, AB=
∴
√A C
2+ BC
2=5.由折叠得
B'F=BF,∠AEC=∠DEC=
90°,∠ACE=∠DCE,∠B'CF=∠BCF,
S
∴
△ABC=1
2AB·CE=1
2AC·BC,即1
2×5CE=1
2×3×4,
解
得CE=12
5 , AE=
∴
√A C
2-C E
2=9
5
.∵∠ACE=∠DCE,∠B'CF=∠BCF,∠ACB=90°,∴∠DCE+
∠B'CF=1
2∠ACB=45°,即∠ECF=45°,∴△CEF 是等腰直角三角形, EF=CE=
∴
12
5 ,
BF=AB-AE-EF=
∴
4
5 , B'F=BF=
∴
4
5 .
10.D 由题意可知,以BP,BA 为腰的等腰三角形有4 个;以AP,BP 为腰的等腰三
角形有2 个;以AP,AB 为腰的等腰三角形有1 个.所以这样的点P 有7 个.故选D.
本题的易错点是以AP,AB 为腰的等腰三角形误以为有2 个,其实只有1 个,点P 在x 轴上,由A 点的坐标与
AB 的长可以判断出点P 与y 轴没有交点.
11.BC=DF(AC=EF,AE=CF,∠B=∠D 或∠BCA=∠F,答案不唯一) 添加BC=DF,在
Rt△ABC 和Rt△EDF 中{
AB = ED,
BC = DF ,∴Rt△ABC≌Rt△EDF(HL).
12.4 ∵CM 平分
∠ACB,∴∠ACM=∠BCM. MN
∵
∥BC,∴∠CMN=∠BCM,∴∠CMN=∠ACM，
MN=CN
∴
,∴△MNC 是等腰三角形. MN
∵
平分
∠AMC,∴∠AMN=∠CMN,∴∠AMN=∠CMN=
∠ACM=∠BCM.∵∠A=90°,∴∠AMN=30°. AN=2
∵
, CN=MN=2AN=4.
∴
13.60° ∵点O 在△ABC 内,且到△ABC 三边的距离相等, OB
∴
平分∠ABC,OC 平分
∠ACB,∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB.∵∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-
120°=60°,∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2×60°=120°,∴∠A=180°-
(∠ABC+∠ACB)=60°.
14.3+√3 如图,过点D 作DH⊥AF 于点H,∴∠DHF=90°.∵∠B=45°,∠C=30°,DE,
FG 分别为AB,AC 的垂直平分线,
AD=BD
∴
,AF=CF,∴∠BAD=∠B=45°,∠FAC=∠C=
30°,∴∠AFD=60°,∴∠HDF=30°. DF=1
∵
, FH=
∴
1
2,DH=√3
2 .易得AD=√3,AH=3
2, AD=
∴
BD=√3,FC=AF=AH+HF=2, BC=3+
∴
√3.
DE
∵
,FG 分别为AB,AC 的垂直平分线,
AD=BD
∴
,AF=CF,∴∠DAB=∠B=45°,∠FAC=∠C=30°,∴∠ADF=90°,∠AFD=60°,∴∠DAF=30°, AF=2DF=2
∴
,AD=
√3, BC=BD+DF+FC=AD+DF+AF=3+
∴
√3.
15.4√13 如图, 延长AD 到点E,使DE=AD,连接CE.在△ADB 和△EDC 中,
{
AD = DE,
∠ADB =∠EDC ,
BD =CD,
∴△ABD≌△ECD(SAS), EC=AB=6
∴
,DE=DA=4. AE=2AD=8
∵
,AC
=10,
AE
∴
2+EC2=AC2,∴△AEC 是直角三角形, CD=
∴
√C E
2+ D E
2=2√13, CB=2CD=4
∴
√13.
遇到“中点”或“中线”,常考虑倍长中线模型,构造两个三角形全等.
图(1)
图(2)
16.24,√26或13 (分类讨论思想)由勾股定理可得BC=√A B
2- A C
2=√13
2-5
2=12,
分以下三种情况讨论:①
如图
( 1 ) ,当点A 为等腰三角形APB 的顶点时,AB=AP,此
时BP=
2BC=2×12=24;②
如图
( 2 ) ,当点B 为等腰三角形APB 的顶点时,BA=BP=13,此时,在
Rt△ACP 中,由勾股定理得AP=√A C
2+C P
2=√5
2+(13-12)
2=√26;③
如图
( 3 ) ,当点
P 为等腰三角形APB 的顶点时,PA=PB,此时,底边AB=13.综上所述,当△ABP 为等
腰三角形时,这个三角形的底边长可能为24,√26或13.
17.【参考答案】证明: AE=AB
∵
,EF 垂直平分AC,
AB=AE=EC
∴
,
∴∠C=∠CAE,∠B=∠AEB,
∴∠B=∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C. (6 分)
18.【参考答案】(1)证明: AD
∵
是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
DE=DF.
∴
(2 分)
在Rt△AED 和Rt△AFD 中,
{
DE = DF ,
AD = AD,
Rt
∴
△AED≌Rt△AFD(HL), AE=AF.
∴
(3 分)
DE=DF
∵
, AD
∴
垂直平分EF. (4 分)
(2) DE=DF
∵
,
S
∴
△ABC=S△ABD+S△ACD=1
2AB·DE+1
2AC·DF=1
2DE·(AB+AC)=15. (6 分)
AB+AC=10,
∵
∴1
2×10×DE=15, DE=3.
∴
∵∠EAF=60°,∴∠DAF=∠EAD=30°,
AD=2DE=6.
∴
(7 分)
19.
(1)
AD =CE,
∠BAD =∠ACE,
AB =CA
]
→△ACE≌△BAD→AE=BD
【参考答案】(1)证明:∵△ABC 为等边三角形,
AB=CA
∴
,∠BAD=∠ACE=60°.
在△BAD 和△ACE 中,{
AD =CE,
∠BAD =∠ACE,
AB =CA ,
∴△ACE≌△BAD, AE=BD.
∴
(4 分)
(2)如图,作AF⊥BC 于点F,
由“三线合一”知,∠BAF=30°.
BE=2EC=4
∵
, BC=BE+EC=4+2=6
∴
,
AB=6
∴
,BF=3.
由勾股定理得AF=√6
2-3
2=3√3,
S
∴
△ABC=1
2BC·AF=1
2×6×3√3=9√3.
(8 分)
20.【参考答案】由题意得CD=6-t,CE=2t.
(1)若△DEC 为等边三角形,则EC=DC,
即2t=6-t,
解得t=2.
故当t 为2 时,△DEC 为等边三角形. (2 分)
(2)当∠CED=90°时,CD=2EC,即6-t=2×2t,
解得t=1.2; (5 分)
当∠CDE=90°时,CE=2CD,即2t=2(6-t),
解得t=3.
(7 分)
故当t 为1.2 或3 时,△DEC 为直角三角形.
(9 分)
21.
(1)∠B=∠C=90°→AB∥CD→∠ADC+∠DAB=180°
∠EDA = 1
2 ∠ADC
∠DAE = 1
2 ∠DAB]
→∠EDA+∠DAE=90°→∠DEA
(2)作EF⊥AD 于点F
CE = FE
FE = EB]
→CE=EB
(3)Rt △DCE ≌Rt △DFE→DC = DF
Rt △AFE ≌Rt △ABE→AF = AB ]→CD+AB=AD
【参考答案】(1)90° (2 分)
解法提示:∵∠B=∠C=90°,
∴∠B+∠C=180°,
AB
∴
∥CD,
∴∠ADC+∠DAB=180°.
DE
∵
,AE 分别为∠ADC,∠DAB 的平分线,
∴∠EDA=1
2∠ADC,∠DAE=1
2∠DAB,
∴∠EDA+∠DAE=1
2(∠ADC + ∠DAB )=1
2×180°=90°,
∴∠DEA=180°-(∠EDA+∠DAE)=90°.
(2)证明:如图,作
EF
⊥ AD
于点
F ,
DE
∵
平分∠ADC,且∠C=90°,EF⊥AD,
CE=FE.
∴
AE
∵
平分∠DAB,且∠B=90°,EF⊥AD,
EF=EB
∴
，∴CE=EB.
(5 分)
(3)如图,在Rt△DCE 和Rt△DFE 中,{
DE = DE,
CE = FE,
Rt
∴
△DCE≌Rt△DFE, DC=DF.
∴
同理可证Rt△AFE≌Rt△ABE, AF=AB
∴
,
CD+AB=DF+AF=AD.
∴
(10 分)
本题第(3)问,除上述方法外,还有以下两种解题方法:
方法一 如图,延长DE 交AB 的延长线于点F,
由(1)知∠DEA=90°,
∴∠DEA=∠FEA=90°.
AE
∵
平分∠DAB,∴∠DAE=∠FAE.
AE=AE
∵
,∴△DAE≌△FAE,
AD=AF
∴
,DE=EF.
∵∠ABC=∠C=90°,∠DEC=∠FEB,
∴△DCE≌△FBE, CD=BF
∴
,
AD=AF=BF+AB=CD+AB.
∴
(10 分)
方法二 如图,延长DE 交AB 的延长线于点F,
∵∠ABC=∠C=90°, CD
∴
∥AB, ∴∠CDE=∠AFD.
DE
∵
为∠ADC 的平分线,∴∠CDE=∠ADE,
∴∠ADE=∠AFD, AD=AF.
∴
由(1)知∠DEA=90°, DE=FE.
∴
∵∠CDE=∠AFD,∠CED=∠BEF,
∴△DCE≌△FBE, CD=BF
∴
,
AD=AF=BF+AB=CD+AB.
∴
(10 分)
22.【参考答案】(1)①证明:∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形,
AC=CB
∴
,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠ECB,
∴△ADC≌△BEC(SAS).
(2 分)
AD=BE
②
(4 分)
(2)①∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
AC=CB
∴
,CD=CE.
又∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=90°,
∴∠ACD=∠ECB.
在△ACD 和△BCE 中,
{
AC = BC ,
∠ACD =∠BCE,
CD =CE,
∴△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC.
∵点A,D,E 在同一直线上,
∴∠BEC=∠ADC=180°-∠CDE=180°-45°=135°,
∴∠AEB=135°-∠CED=135°-45°=90°. (7 分)
AE=BE+2CM.
②
(8 分)
证明:∵△CDA≌△CEB,
AD=BE.
∴
CD=CE
∵
,CM⊥DE,
DM=ME.
∴
∵∠DCE=90°,
DE=2CM
∴
,
AE=AD+DE=BE+2CM.
∴
(9 分)
(3)135°或45°.
(12 分)
解法提示:当点D 在△ABC 内时,如图(1),过点A 作AE⊥AD,使AE=AD,连接
CE,DE,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中,
{
AB = AC ,
∠BAD =∠CAE,
AD = AE,
∴△CAE≌△BAD(SAS),
∴CE=BD=6.
∵DE=√2AD=4√2, CD=2
,
∴EC
2 =ED
2 +CD
2 ,
∴∠ EDC=90
° .
∵∠ADE=45°,
∴∠ADC=45°+90°=135°.
②当点D 在△ABC 外时,如图(2),过点A 作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中,
{
AB = AC ,
∠BAD =∠CAE,
AD = AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
CE=BD=6.
∴
DE=
∵
√2AD=4√2,CD=2,
EC
∴
2=ED2+CD2,
∴∠EDC=90°.
∵∠ADE=45°,
∴∠ADC=45°.
综上所述,∠ADC 的度数为135°或45°.
图(1) 图(2)
