第二章 二次函数
时间 90 分钟
满分 100 分
答案 D08
题号
一
二
三
总分
分数
一、选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2023·天津和平区期中)用配方法将二次函数y=x2-2x-4 化为y=a(x-h)2+k 的形式
为( )
A.y=(x-2)2-4
B.y=(x-1)2-3
C.y=(x-1)2-5
D.y=(x-2)2-6
2.[课标新增|二次函数和一元二次方程之间的关系](2023·浙江台州期末)二次函数
y=ax2-bx-5 的图象与x 轴交于(1,0),(-3,0)两点,则关于x 的方程ax2-bx=5 的解为(
)
A.x=1 或3 B.x=1 或-5 C.x=-1 或3 D.x=1 或-3
3.(2023·广东梅州开学考试)若正方形的边长为6,边长增加x,面积增加y,则y 关于
x 的函数表达式为
( )
A.y=(x+6)2 B.y=x2+62
C.y=x2+6x
D.y=x2+12x
4.将二次函数y=x2的图象按照以下方式平移或翻折后经过点(2,0)的是( )
A.向左平移2 个单位长度
B.向上平移4 个单位长度
C.向右平移1 个单位长度,再向下平移1 个单位长度
D.沿x 轴翻折
5.(2023·陕西西安雁塔区四模)若二次函数y=x2-2x+a-2 的图象经过第一、二、四
象限,则a 的取值范围是( )
A.a≥2
B.a>2
C.a<3
D.2≤a<3
6.(2023·河北石家庄期末)已知二次函数y=-x2+bx+c 的图象如图所示,并有以下结
论:①函数图象与y 轴正半轴相交;②当x<0 时,y 随x 的增大而增大,则坐标系的原
点O 可能是( )
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
7.已知二次函数y=ax2-2ax+a+2(a>0),若-1≤x≤2 时,函数的最大值与最小值的差为
4,则a 的值为
( )
A.1 B.-1
C.±1
D.无法确定
8.(2023·山东烟台期中)用总长为a 米的材料做成如图(1)所示的矩形窗框,设窗框
的宽为x 米,窗框的面积为y 米2,y 关于x 的函数图象如图(2),则a 的值是
( )
图(1)
图(2)
A.16
B.12
C.8 D.4
9.(2023·陕西咸阳秦都区二模)鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹,如
图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面,足球的飞行轨迹可看成抛物线.若
把对应的抛物线的函数表达式设为y=ax2+bx+c(a≠0),画二次函数y=ax2+bx+c 的
图象时,列表如下:
x
…
1
2
3
4
…
y
…
0
1
0
-3
…
关于此函数下列说法不正确的是
( )
A.该函数图象开口向下
B.当x=2 时,该函数有最大值
C.当x=0 时,y=-3
D.若在该函数图象上有两点A(x1,-4),B(x2,-1
2),则x1>x2
10.(2023·广东东莞一模)如图,△ABC 是边长为4 cm 的等边三角形,动点P 从点A
出发,以2 cm/s 的速度沿A→C→B 运动,到达点B 停止运动,过点P 作PD⊥AB 于
点D,设运动时间为x(s),△ADP 的面积为y(cm2),则能够反映y 与x 之间函数关系
的图象大致是( )
A
B
C
D
二、填空题(共5 小题,每小题3 分,共15 分)
11.若y=(2-a)x
a
2-2是二次函数,则a= .
12.(2023·湖北武汉蔡甸区期末)已知抛物线y=x2-x-1 与x 轴的一个交点为(m,0),则
代数式-2m2+2m+2 023 的值为 .
13.(2023·安徽合肥庐阳区期中)若某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s(单
位:米)关于滑行的时间t(单位:秒)的函数表达式是s=10t-0.25t2,则无人机着陆后滑
行 秒才能停下来.
14.(2023·江苏常州模拟)在平面直角坐标系中,若点P 的横坐标与纵坐标的和为零,
则称点P 为“零和点”.已知二次函数y=x2+3x+m 的图象上有且只有一个“零和
点”,则m 的值为 .
15.(2023·安徽滁州一模)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-1
a与y 轴交于点A,点
A 关于x 轴的对称点为点B.
(1)点B 的坐标为 (用含a 的代数式表示);
(2)已知点P(1,1
a),Q(3,0),若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,则a 的取值范围是
.
三、解答题(共6 小题,共55 分)
16. (6 分)(2022·山东淄博期末)已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象经过点(-3,0),(2,-
5).
(1)求二次函数的表达式;
(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上.
17.(8 分)(2022·安徽安庆期中)某小区计划建一个矩形花圃,花圃的一边利用长为a
米的墙,另外三边用总长为79 米的篱笆围成,围成的花圃是如图所示的矩形
ABCD,并在BC 边上留有一扇1 米宽的门.设AD 边的长为x 米,矩形花圃的面积为
S 平方米.
(1)求S 与x 之间的函数关系式;(不要求写出自变量x 的取值范围)
(2)若a=30,求S 的最大值.
18.(10 分)(2022·浙江金华兰溪模拟)如图,“爱心”图案是由抛物线y=-x2+k 的一部
分及其关于直线y=x 的对称图形组成,点A,B 是“爱心”图案与其对称轴的两个
交点,点C,D,E,F 是图案与坐标轴的交点,且点C 的坐标为(- √6,0).
(1)求k 的值及DF 的长;
(2)求AB 的长.
19.(10 分)(2023·北京二模)某蔬菜批发基地为指导下一年的番茄销售,对历年的市
场行情和供求情况进行了调查统计,得到番茄的售价x(单位:元/千克)与相应需求
量y1(单位:吨)以及供给量y2(单位:吨)的几组数据如下表:
售价x/(元/千克)
…
2
3
4
5
6
…
需求量y1/吨
…
9.5
8.875
8
6.875
5.5
…
供给量y2/吨
…
1
2
3
4
5
…
(1)根据表中数据,供给量y2与售价x 之间满足 函数关系(填“一次”“二
次”或“反比例”),它的函数表达式为 ;需求量y1与售价x 之间
近似满足函数关系y1=ax2+c(a<0),它的函数表达式为 .
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,画出(1)中所确定的函数的图象.
(3)结合函数图象,解决问题(不用计算,直接写出结果):为使番茄的供需平衡(即供
给量与需求量相等),售价应定为 元/千克.(结果保留两位小数)
20.(10 分)(2023·湖北武汉汉阳区模拟)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和
落地四个阶段,运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所
示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点K 为飞行距离计
分的参照点,落地点超过K 点越远,飞行距离分越高.2022 年北京冬奥会跳台滑雪
标准台的起跳台的高度OA 为66 m,基准点K 到起跳台的水平距离为75 m,高度
为h m(h 为定值).设运动员从起跳点A 起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的
函数关系为y=ax2+bx+c(a≠0).
(1)c 的值为 .
(2)①若运动员落地点恰好到达K 点,且此时a=- 1
50,b= 9
10,求基准点K 的高度h;
②若a=- 1
50时,运动员落地点要超过K 点,则b 的取值范围为 .
21.(11 分)如图,已知直线y=1
2x-3 与x 轴、y 轴分别交于点A,B,抛物线y=1
3
x2+bx+c 经过点A,B,且与x 轴交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P 为抛物线上一点,且点P 在直线AB 的下方,设点P 的横坐标为m.
①试求当m 为何值时,△PAB 的面积最大;
②当△PAB 的面积最大时,过点P 作x 轴的垂线PD,垂足为D,则在直线PD 上是否
存在点Q,使△QBC 为直角三角形?若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说
明理由.
第二章 二次函数·B 卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
D
C
D
B
A
B
D
B
11.-2
12.2 021
13.20
14.4
15.(1)(0,1
a) (2)1
3≤a≤√2或-√2≤a≤-1
3
1.C
2.D ∵二次函数y=ax2-bx-5 的图象与x 轴交于(1,0),(-3,0)两点,∴方程ax2-bx=5 即
ax2-bx-5=0 的解为x=1 或-3.
3.D 原边长为6 的正方形面积为6×6=36,边长增加x 后变为x+6,则面积为
(x+6)2, y=
∴
(x+6)2-36=x2+12x.
4.C 向左平移2 个单位长度,则平移后的表达式为y=(x+2)2,当x=2 时,y=4,所以
平移后的抛物线不经过点(2,0);向上平移4 个单位长度,则平移后的表达式为
y=x2+4,当x=2 时,y=8,所以平移后的抛物线不经过点(2,0);向右平移1 个单位长度,
再向下平移1 个单位长度,则平移后的表达式为y=(x-1)2-1,当x=2 时,y=0,所以平
移后的抛物线过点(2,0);沿x 轴翻折后的表达式为y=-x2,当x=2 时,y=-4,所以平移
后的抛物线不经过点(2,0).故选C.
抛物线的平移规律
(1)将抛物线的表达式转化为顶点式y= a(x-h)2+k,确定其顶点坐标.
(2)在原有函数的基础上,向右平移m 个单位长度,则平移后的表达式为y=a(x-h-
m)2+k;向左平移m 个单位长度,则平移后的表达式为y=a(x-h+m)2+k;向上平移 n
个单位长度,则平移后的表达式为y=a(x-h)2+k+n;向下平移 n 个单位长度,则平移
后的表达式为y=a(x-h)2+k-n.
5.D ∵二次函数y=x2-2x+a-2 的图象经过第一、二、四象限,∴Δ=
( - 2 ) 2 - 4 ( a-
2 ) > 0
且
a-
2 ≥ 0 ¿【点拨】该函数图象与x 轴有交点,且与y 轴交于正半轴或原点,解得
2≤a<3.
6.B
7.A ∵a>0,对称轴为直线x=--2a
2a =1,∴当-1≤x≤2 时,x=1 时,y 有最小值为2;x=-1
时,y 有最大值为4a+2,∴4a+2-2=4,解得a=1.
8.B 由图象可知,当x=2 时,y 最大,最大值为4,∴当x=2 时,窗框的最大面积是4 米
2,∴另一边长为4÷2=2(米),∴材料总长a=3×2+3×2=12.
由题意得,矩形窗框的高度为a-3 x
3
米, y
∴与x 的函数关系式为y=x·a-3 x
3
=-x2+a
3
x.设抛物线的表达式为y=m(x-2)2+4,∵抛物线经过点(0,0),∴4m+4=0, m=-
∴
1,∴抛物
线的表达式为y=-(x-2)2+4=-x2+4x,∴a
3=4,解得a=12.
9.D 由表可知,y 随x 的增大先增大后减小,∴该函数图象开口向下,故A 选项不符
合题意.∵当x=1 时,y=0;当x=3 时,y=0,∴对称轴为直线x=1+3
2 =2.∵开口向下,∴当
x=2 时,该函数有最大值,故B 选项不符合题意.∵对称轴为直线x=2,当x=4 时,
y=-3,∴当x=0 时,y=-3,故C 选项不符合题意.在函数图象上有两点
¿【关键】需要对点A ,B 在对称轴的位置进行分类讨论A ( x 1, - 4 ), B ( x 2, - 1
2),当点A,B
都在对称轴左侧时,x1<x2;当点A,B 都在对称轴右侧时,x1>x2;当点A 在对称轴左侧,
点B 在对称轴右侧时,x1<x2;当点A 在对称轴右侧,点B 在对称轴左侧时,x1>x2,故D
选项符合题意.
10.B 由题意得AP=2x,当点P 在A→C 的过程中,AD=x,PD=√3x,如图(1)所示,则
y=1
2AD·PD=1
2x·√3x=√3
2 x2(0≤x≤2).当点P 在C→B 的过程中,BD=(8-2x)×1
2=4-
x,PD=√3(4-x),PC=2x-4,如图(2)所示,连接PA,则y=S△ABC-S△ACP-S△BDP=1
2×4×2√3-1
2
×(2x-4)×2√3-1
2×(4-x)×√3(4-x)=-√3
2 x2+2√3x(2<x≤4).
图(1)
图(2)
11.-2 由题意得a2-2=2 且2-a≠0,解得a=-2.
12.2 021 将(m,0)代入y=x2-x-1,得m2-m-1=0,所以m2-m=1,则-2m2+2m+2
023=-2(m2-m)+2 023=-2+2 023=2 021.
13.20 s=10t-0.25t2=-0.25(t-20)2+100,即当无人机着陆后滑行20 秒,无人机才能停
下来.
¿【关键】无人机停下来即无人机着陆后滑行的最大距离
14.4 由题意得点P 在直线y=-x 上, y=x
∴
2+3x+m 的图象上有且只有一个“零和
点”时,方程x2+3x+m=-x 有两个相等的实数解, Δ=b
∴
2-4ac=42-4m=0,解得m=4.
15.(1)(0,1
a) (2)1
3≤a≤√2或-√2≤a≤-1
3 (1)令x=0,得y=ax2-1
a=-1
a,∴点A(0,-1
a).∵点A
关于x 轴的对称点为点B,∴点B(0,1
a).(2)当a>0 时,如图(1),当抛物线经过点P 时,a-
1
a=1
a,解得a=√2或a=-√2 (舍去).当抛物线经过点Q 时,9a-1
a=0,解得a=1
3或a=-1
3
(舍去),∴当1
3≤a≤√2时,抛物线与线段PQ 恰有一个公共点.当a<0 时,如图(2),当抛
物线经过点P 时,a-1
a=1
a,解得a=-√2或a=√2(舍去).当抛物线经过点Q 时,9a-1
a=0,
解得a=-1
3或a=1
3(舍去),∴当-√2≤a≤-1
3时,抛物线与线段PQ 恰有一个公共点.综上
所述,1
3≤a≤√2或-√2≤a≤-1
3.
图(1)
图(2)
16.【参考答案】(1)把(-3,0),(2,-5)代入y=ax2+bx+3,
得{
9a-3b+3=0,
4 a+2b+3=-5,
解得{
a=-1,
b=-2,
则二次函数的表达式为y=-x2-2x+3. (4 分)
(2)当x=-2 时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,
即点P(-2,3)在这个二次函数的图象上. (6 分)
17.【参考答案】(1)AB 边的长为79+1- x
2
=(40-1
2x)(米),
根据题意得S=(40-1
2x)x=-1
2x2+40x,
(3 分)
S
∴与x 之间的函数关系式为S=-1
2x2+40x.
(4 分)
(2)由(1)知S=-1
2x2+40x=-1
2(x-40)2+800,(5 分)
-
∵1
2<0,
∴当x≤40 时,S 随x 的增大而增大.
x
∵≤a,a=30,
∴当x=30 时,S 取得最大值,最大值为750.(8 分)
18.
【参考答案】 (1)把C(-√6,0)的坐标代入y=-x2+k,得 0=-6+k,
解得k=6,
∴抛物线的表达式为y=-x2+6,
D
∴(0,6),
OD=
∴
6.
C
∵(-√6,0),
OC=
∴
√6,
由对称的性质知,OF=OC=√6,
DF=OD+OF=
∴
6+√6.
(4 分)
(2)∵“爱心”图案是由抛物线y=-x2+6 的一部分及其关于直线y=x 的对称图形组
成,
∴联立{
y = x,
y =- x
2+6,
解得{
x =-3,
y =-3 或{
x =2,
y =2,
A
∴(2,2),B(-3,-3). (6 分)
如图,过点A 作与y 轴平行的直线,过点B 作与x 轴平行的直线,两直线交于点P,
由图可知,AP=yA-yB=5,BP=xA-xB=5,
AB=
∴
√A P
2+ B P
2=5√2. (10 分)
19.【参考答案】(1)一次 y2=x-1 y1=-1
8x2+10
(4 分)
(2)函数的图象如图所示. (7 分)
(3)6.11(答案不唯一,或6.12 等)
(10 分)
20.【参考答案】 (1)66 (2 分)
(2)
a=-
①∵
1
50,b= 9
10,c=66,
y=-
∴
1
50x2+ 9
10x+66.
当x=75 时,y=- 1
50×752+ 9
10×75+66=21,
h
∴的值为21.
(6 分)
b>
②
9
10 (10 分)
解法提示:
方法一: a=-
∵
1
50,c=66,
y=-
∴
1
50x2+bx+66.
将x=75 代入,得y=75b-93
2 .
运动员落地点要超过K 点,则y=75b-93
2 >21,
解得b> 9
10.
方法二:抛物线y=- 1
50x2+bx+66 与①中抛物线y=- 1
50x2+ 9
10x+66 开口方向及开口
大小都相同,且与y 轴交于同一个点,所以只要满足抛物线y=- 1
50x2+bx+66 的对称
轴在抛物线y=- 1
50x2+ 9
10x+66 的对称轴的右侧,落地点就能超过K 点.
由-
b
2×(- 1
50 )>-
9
10
2×(- 1
50 )
,得b> 9
10.
21.
(1)求出点A,B 的坐标→代入抛物线解析式→b,c
(2)①过点P 作PE⊥x 轴→用含m 的式子表示出PE→S△PAB=1
2PE·OA→△PAB 的
面积最大时的m 值
②设Q(3,n)→用含n 的式子表示出CQ2,BC2,BQ2
n→点Q 的
坐标
【参考答案】(1)对于直线y=1
2x-3,
令x=0,得y=-3,
令y=0,得x=6,
A
∴(6,0), B(0,-3). (2 分)
将点A,B 的坐标分别代入y=1
3x2+bx+c,
得{
12+6b+c =0,
c =-3,
解得{
b=- 3
2 ,
c =-3.
故抛物线的解析式为y=1
3x2-3
2x-3.
(4 分)
(2)①由题易知P(m,1
3m2-3
2m-3).
如图,过点P 作PE⊥x 轴,交AB 于点E,
(5 分)
则E(m,1
2m-3),
(6 分)
PE=
∴
1
2m-3-(1
3m2-3
2m-3)=-1
3m2+2m,
S
∴
△PAB=1
2PE×OA= 1
2×(-1
3m2+2m)×6=-(m-3)2+9.(8 分)
∵点P 在直线AB 下方的抛物线上,
∴0<m<6,
∴当m=3 时,△PAB 的面积最大,最大值为9. (9 分)
②存在,点Q 的坐标为(3,9
4)或(3,-3
2). (11 分)
解法提示:易得C(-3
2,0).
结合①可知,点Q 的横坐标为3,
设Q(3,n),
则CQ2=(9
2)2+n2,BC2=9+9
4,BQ2=9+(n+3)2.
(分类讨论思想)分以下三种情况讨论.
a.当∠QCB=90°时,有CQ2+BC2=BQ2,
即(9
2)2+n2+9+9
4=9+(n+3)2,
解得n=9
4.
b.当∠CBQ=90°时,有BC2+BQ2=CQ2,
即9+9
4+9+(n+3)2=(9
2)2+n2,
解得n=-3
2.
c.当∠CQB=90°时,有CQ2+BQ2=BC2,
即(9
2)2+n2+9+(n+3)2=9+9
4 ,
该方程无解.
综上可知,点Q 的坐标为(3,9
4)或(3,-3
2).
