第二十八章 锐角三角函数
时间 90 分钟 满分 100 分
题号
一
二
三
总分
分数
一、选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2023·山东烟台蓬莱区期中)在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=√5,则cos A 的值
为( )
A.2
3 B.3
C.2
9 D.√5
3
2.(2023·安徽宣城期末)小明坐电梯沿水平方向前进10√3米,其上升的垂直高度为
10 米,则电梯的坡度为
( )
A.30° B.1
2 C.√3
3
D.60°
3.按如图所示的运算程序,能使输出y 值为1
2的是( )
A.α=60°,β=45° B.α=30°,β=45°
C.α=45°,β=30° D.α=30°,β=30°
4.[课标理念|跨语文学科](2023·云南昆明官渡区一模)“儿童散学归来早,忙趁东风
放纸鸢”描绘出一幅充满生机的春天景象.小明周末制作了一只风筝在公园里放
飞,如图所示,风筝拉线长100 米,且拉线与地面夹角为65°,假设拉线是直的,小明身
高忽略不计,则风筝离地面的高度可以表示为( )
A.100sin 65° 米
B.100cos 65° 米
C.100tan 65° 米
D. 100
sin 65°米
5.(2023·江苏南京江宁区联考)如图,以O 为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA 交
于点B,再以B 为圆心,BO 的长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则sin∠AOC
的值为( )
A.1
2 B.√3
3
C.√2
2
D.√3
2
(第5 题) (第6 题)
6.(2023·江苏苏州高新区一模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 在x 轴负半轴
上,点P(a,a)(a>0),连接AP 交y 轴于点B.若AB BP=
∶
3∶2,则tan∠PAO 的值是( )
A.2
3 B.3
2
C.2
5
D.5
2
7.(2023·江苏连云港海州区一模)如图,在由边长为1 的小正方形构成的网格中,点
A,B,C 都在格点上,以AB 为直径的圆经过点C,D,则cos∠ADC 的值为
( )
A.2√13
13
B.3√13
13
C.2
3
D.3
2
(第7 题) (第8 题)
8.[课标理念|关注数学文化](2023·广东广州越秀区一模)《九章算术》是我国古代
数学成就的杰出代表,其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为:弧田面积=
1
2(弦×矢+矢2),弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成,公式中“弦”指圆弧所
对弦长AB,“矢”等于半径长与圆心O 到弦的距离之差.如图,若该弧田的面积为
33
2 ,“弦”为8,则cos∠OAB= ( )
A.3
5 B.24
25
C.4
5 D.12
25
9.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图(1)所示,点A 是栏杆转动的支点,
点E 是两段栏杆的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF 最多只能升起到如图(2)所示
的位置,其示意图如图(3)所示(栏杆宽度忽略不计),其中
AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2 m,那么适合该地下车库的车辆限高标
志牌为(参考数据: sin 37°≈0.60, cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) ( )
图(1) 图(2) 图(3)
A B C D
10.[中考创新题型|解题方法类阅读理解题](2023·河南洛阳一模)阅读理解:为计算
tan 15°的三角函数值,我们可以构造Rt△ACB(如图),使∠C=90°,∠ABC=30°,延长
CB 使BD=AB,连接AD,可得到∠D=15°,故tan 15°= AC
CD =
1
2+√3=
2-√3
(2+√3)(2-√3)
=2-√3.类比这种方法,tan 22.5°的值为
( )
A.√2+1 B.√2-1
C.√2 D.1
2
二、填空题(共6 小题,每小题3 分,共18 分)
11.(2023·山东青岛市南区期末)在Rt△ABC 中,∠C=90°,若sin A=2
3,则
Cos B = .
12.(2022·四川宜宾二模)在△ABC 中,∠A,∠B 均为锐角.若|sin A-√2
2 |+(√3
2 -
cos B)2=0,则∠C= .
13.(2023·河北保定莲池区期末)图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME-7)会徽,在
其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图(2)所示的四边形
OABC.若AB=BC=1,∠AOB=α,则OC2的值为 .(用含α 的代数式表示)
14.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5 cm,tan B=3
4 ,点D 从点A 出发沿AC 方向
以
1 cm/s 的速度向点C 运动.过点D 作DE∥AB 交BC 边于点E,过点E 作EF⊥BC 交
AB 边于点F,当四边形ADEF 为菱形时,点D 运动的时间为 .
(第14 题) (第15 题)
15.定义:在等腰三角形中,底边与腰的比值叫做顶角的正对,顶角A 的正对记作sad
A,即sad A=底边
腰
.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=4∠B,则cos B·sad A= .
16.[课标理念|跨物理学科](2023·吉林白城期末)小明利用折射定律n1·sin α
=n2·sin β(n1,n2为折射率,α 为入射角,β 为折射角)制作了一个测算液体折射率的装
置.光线从点A 按固定角度从空气射入液面,通过调节液面高度,使光线折射后恰
好落到点C.已知sin∠1=4
5 ,空气折射率n1为1,正方形ABCD 的边长为36 cm.
图(1) 图(2)
(1)如图(1),装入某款家用食用油时,恰好CF=15 cm,该食用油的折射率为
;
(2)如图(2),装入纯净水时,水的折射率为4
3 ,通过度量得到CF=20 cm(存在误差),问
此次度量的误差为 cm.
三、解答题(共6 小题,共52 分)
17.(共2 小题,每小题3 分,共6 分)计算:
(1)sin 60°·tan 30°+cos60°
tan 45° ;
(2)√(1-tan60°)
2-2tan 45°·sin 60°.
18.(8 分)[中考创新题型|创新作图题]如图,射线OA 放置在由边长为1 的小正方形
组成的网格中,现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)B,并连接OB,AB,
使△AOB 为直角三角形,且
(1)使tan∠AOB 的值为1;
(2)使tan∠AOB 的值为1
2.
图(1) 图(2)
19.(8 分)[中考创新题型|开放性试题]已知△ABC 为钝角三角形,其中∠A>90°,有下
列条件:
AB=
①
10;
AC=
②
6√5;③tan B=3
4;④tan C=1
2.
(1)你认为从中至少选择 个条件,可以求出BC 边的长;
(2)你选择的条件是 (直接填写序号),并写出求BC 边的长的解答过程.
20.(9 分)(2023·安徽合肥一模)桔槔俗称“吊杆”“称杆”,如图(1)是我国古代农
用工具,桔槔始见于《墨子·备城门》,是一种利用杠杆原理的取水机械.如图(2)所
示的是桔槔示意图,OM 是垂直于水平地面的支撑杆,AB 是杠杆,且AB=5.4 米,
OA OB=
∶
2∶1.当点A 位于最高点时,∠AOM=127°,当点A 从最高点逆时针旋转54.5°
到达最低点A1,求此时水桶B 上升的高度.
(参考数据:sin 37°≈0.6,sin 17.5°≈0.3,tan 37°≈0.8)
21.(10 分)(2023·山东威海一模)图(1)是某浴室花洒实物图,图(2)是该花洒的侧面示
意图.已知活动调节点B 可以上下调整高度,离地面CD 的距离BC=160 cm.设花
洒臂与墙面的夹角为α,可以扭动花洒臂调整角度,且花洒臂长AB=30 cm.假设水
柱AE 垂直于AB 并沿直线喷射,小华在离墙面距离CD=120 cm 处淋浴.
(1)当α=30°时,水柱正好落在小华的头顶上,求小华的身高DE;
(2)如果小华要洗脚,需要调整水柱AE,使点E 与点D 重合,若活动调节点B 不动,调
整α 的大小,求图(3)中α 的度数.
(参考数据:√3≈1.73,sin 8.6°≈0.15,sin 36.9°≈0.60,tan 36.9°≈0.75)
22.(11 分)[中考创新题型|探究性试题](2023·山东济宁期末)知识再现
如图(1),在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c.
∵sin A=a
c ,sin B=b
c , c=
∴
a
sin A ,c=
b
sin B,∴
a
sin A =
b
sin B.
拓展探究
如图(2),在锐角三角形ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c.请探究
a
sin A ,
b
sin B,
c
sinC 之间的关系,并写出探究过程.
解决问题
如图(3),为测量点A 到河对岸点B 的距离,选取与点A 在河岸同一侧的点C,测得
AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用拓展探究中的结论,求点A 到点B 的距离.
图(1) 图(2) 图(3)
第二十八章 锐角三角函数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A C D
A
D
C B B A
B
11.2
3
12.105°
13.1+
1
sin
2α
14.15
8
15.3
2
16.(1)1.7 (2)4
7
1.A
2.C 电梯的坡度= 10
10√3=√3
3 .
3.D (直接代入法)A 选项中,α=60°,β=45°,α>β,则y=sin α=√3
2 ;B 选项中,
α=30°,β=45°,α<β,则y=cos β=√2
2 ;C 选项中,α=45°,β=30°,α>β,则y=
sin α=√2
2 ;D 选项中,α=30°,β=30°,α=β,则y=sin α=1
2.
【一题多解】
要使输出的y 值等于1
2,则sin α=1
2,α=30°,或cos β=1
2,β=60°.当α=30°时,α≥β,D 选
项符合题意;当β=60°时,α<β,无选项符合题意.
4.A 如图,过点A 作AC⊥BC 于点C,在Rt△ABC 中,sin B= AC
AB ,即AC=AB·sin
B=100sin 65°(米).
(第4 题) (第5 题)
5.D 如图,连接BC,由题意可得OB=OC=BC,则△OBC 是等边三角形,
∴∠AOC=60°,
∴sin∠AOC=sin 60°=√3
2 .
6.C 如图,过点P 作PC⊥x 轴于点C. BO
∵
⊥x 轴, BO
∴
∥PC,∴AB
BP = AO
OC ,BO
PC = AB
AP=
AB
AB+ BP.
AB
BP=
∵
∶
3∶2,OC=a,PC=a, AO=
∴
3a
2
,BO=3a
5
,∴tan∠PAO= BO
AO
=
3a
5
3a
2
=2
5
.
7.B 连接AC,BC.根据圆周角定理的推论知∠ADC=∠ABC.在Rt△ACB 中,
AC=
∵
2,BC=3, AB=
∴
√A C
2+ BC
2=√2
2+3
2=√13,∴cos∠ABC= 3
√13=3√13
13 ,∴cos∠A
DC=3√13
13 .
8.B 根据弧田面积公式,得1
2(8×矢+矢2)=33
2 ,解得矢=3(负值已舍去).如图,作
OH⊥AB 于点H.由题意,得AB=8,OA-OH=3. OH
∵
⊥AB, AH=BH=
∴
4. AH
∵
2=OA2-
OH2,
∴42=(OA+OH)(OA-OH), OA+OH=
∴
16
3
, OA=
∴
25
6
,∴cos∠OAB= AH
OA
=
4
25
6
=24
25
.
9.A 如图,过点A 作BC 的平行线AG,过点E 作EH⊥AG 于点H,则
∠AHE=∠EHG=
∠HEF=90°.因为∠AEF=143°,所以∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,所以∠EAH=37°.在
Rt△EAH 中,EH=AE·sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(m),所以AB+EH≈1.2+0.72
=1.92(m).
10.B
【图示速解】
如图,在Rt△ACB 中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB 至点D,使BD=AB,连接AD,
∴∠BAD=∠D=22.5°,设AC=BC=k，则AB=BD=√2AC=√2k, CD=BC+BD=
∴
(1+√2
)k,在Rt△ADC 中,tan 22.5°= AC
CD =
k
(1+√2)k =√2-1.
11.2
3 【点拨】直角三角形中,一个锐角的正弦值和另一个锐角的余弦值相等
【一题多解】
如图,∵sin A=BC
AB =2
3,∴cos B=BC
AB =2
3.
12.105° 由题意,得sin A-√2
2 =0,√3
2 -cos B=0,∴sin A=√2
2 ,cos B=√3
2 ,∴∠A=45°,
∠B=30°.∴∠C=105°.
13.1+
1
sin
2α ∵AB=BC=1,在Rt△OAB 中,sin α= AB
OB, OB=
∴
1
sin α .在Rt△OBC 中,
OB2+BC2=OC2, OC
∴
2=(
1
sin α )2+12=1+
1
sin
2α .
14.15
8 ∵在Rt△ABC 中,AB=5 cm,tan B=3
4, AC=
∴
3 cm,BC=4 cm.设点D 运动t
s 后,四边形ADEF 是菱形, DE=AD=t
∴
cm,CD=(3-t)cm. DE
∵
∥AB,∴∠ABC=∠DEC,
∴sin∠DEC=sin∠ABC= DC
DE = AC
AB ,即3-t
t
=3
5,解得t=15
8 .
15.3
2
【图示速解】
∵在△ABC 中,AB=AC,∠A=4∠B,∴∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴6∠B=180°,解得
∠B=30°,∴cos B=√3
2 .如图,过点A 作AD⊥BC 于点D,设AD=a,则AB=2a,BD=√3a.
BC=
∵
2BD, BC=
∴
2√3a, sad
∴
∠BAC=BC
AB =2√3a
2a =√3,∴cos B·sad∠BAC=√3
2 ×√3=3
2
.
16.(1)1.7 (2)4
7 ∵∠1=∠EAP,sin∠1=4
5 ,∴sin∠EAP= EP
AP=4
5.设EP=4x cm,则
AP=5x cm,AE=3x cm, PF=
∴
(36-4x)cm,CF=(36-3x)cm.(1)在题图(1)中,CF=15
cm,∴36-3x=15,解得x=7, PF=
∴
36-4x=8(cm), CP=
∴
17 cm,∴sin∠2=sin∠PCF= PF
CP =
8
17. n
∵
1·sin∠1
=n2·sin∠2,∴4
5 ×1= 8
17n2, n
∴
2=1.7.(2)在题图(2)中,∵水的折射率为4
3 ,即n2=4
3,
∴4
5 ×1=4
3·sin∠3,∴sin∠PCF=sin∠3= PF
CP =3
5,∴PF
CF =3
4,∴36- 4 x
36-3 x =3
4,解得x=36
7 ,
CF=
∴
36-3x=144
7 (cm),∴误差为144
7 -20=4
7 (cm).
17.【参考答案】(1)原式=√3
2 ×√3
3 +1
2÷1 (2 分)
=1
2+1
2
=1. (3 分)
(2)原式=√3-1-2×1×√3
2
(2 分)
=√3-1-√3
=-1.
(3 分)
18.【参考答案】(1)如图(1)所示. (4 分)
(2)如图(2)所示. (8 分)
图(1) 图(2)
19.【参考答案】(1)3
(2 分)
(2)①②④
(4 分)
解答过程如下:
如图,过点A 作AD⊥BC 于点D.
设AD=x,
∵tan C=1
2,
CD=
∴
2x.
AC=
∵
6√5,
∴在Rt△ACD 中,根据勾股定理,得x2+(2x)2=(6√5)2,
解得x=6 或x=-6(不合题意,舍去),
AD=
∴
6,CD=2x=12.
AB=
∵
10,
∴在Rt△ABD 中,根据勾股定理,得BD=√10
2-6
2=8,
BC=CD+BD=
∴
12+8=20.
(8 分)
(本大题答案不唯一)
【一题多解】
(2)①②④
(4 分)
解答过程如下:
如图,过点B 作BE⊥CA,交CA 的延长线于点E.
在Rt△BCE 中,tan C=BE
CE=1
2,
∴设BE=x,则CE=2x,
AE=
∴
2x-6√5.
在Rt△BAE 中,由勾股定理,得AE2+BE2=AB2,
即(2x-6√5)2+x2=102,
解得x=4√5或x=4√5
5 (不合题意,舍去)¿【点拨】AE =2 x -6√5>0,
BE=
∴
4√5,CE=8√5,
∴在Rt△BCE 中,BC=√B E
2+C E
2=√(4√5)
2+(8√5)
2=20.(8 分)
(本大题答案不唯一)
20.【参考答案】如图,过点O 作EF⊥OM,过点B 作BC⊥EF 于点C,过点B1作
B1D⊥EF 于点D,则∠EOM=90°.
∵∠AOM=127°,∠AOA1=54.5°,
∴∠BOC=∠AOE=127°-90°=37°,∠B1OD=∠A1OE=54.5°-37°=17.5°.
AB=
∵
5.4 米,OA OB=
∶
2∶1,
OA
∴
1=OA=3.6 米,OB1=OB=1.8 米.
(4 分)
∵sin∠B1OD=B1 D
O B1
,sin∠BOC=BC
OB
,
B
∴
1D=OB1×sin 17.5°≈1.8×0.3=0.54(米),BC=OB×sin 37°≈1.8×0.6=1.08(米),
B
∴
1D+BC≈0.54+1.08=1.62(米),
即此时水桶B 上升的高度约为1.62 米.
(9 分)
21.【参考答案】(1)如图(1),过点A 作AG⊥CB,交CB 的延长线于点G,反向延长
GA,交DE 的延长线于点H.
∵∠C=∠D=90°,∴四边形GCDH 为矩形,
GH=CD=
∴
120 cm,DH=CG,∠H=90°,
在Rt△ABG 中,∠ABG=α=30°,AB=30 cm,
AG=
∴
15 cm,BG=AB·cos α=15√3(cm), AH=
∴
120-15=105(cm).
AE
∵
⊥AB,∴∠EAH=30°.
又∠H=90°, EH=AH
∴
·tan 30°=35√3(cm),
ED=HD-HE=
∴
160+15√3-35√3≈125.4(cm).
(5 分)
(2)如图(2),连接BD.
在Rt△BCD 中,BD=√BC
2+C D
2=200(cm),
∴sin∠1=120
200=0.6,∴∠1≈36.9°.
在Rt△BAD 中,AB=30 cm,
∴sin∠2= AB
BD = 30
200=0.15,∴∠2≈8.6°,
∴∠3≈90°-8.6°=81.4°,
α=
∴
180°-∠1-∠3≈180°-36.9°-81.4°=61.7°.(10 分)
22.【参考答案】拓展探究
如图,作△ABC 的外接圆☉O,连接BO 并延长,交☉O 于点D,连接CD,则∠A=∠D.
设☉O 的直径为2r.
BD
∵
是☉O 的直径,∴∠BCD=90°.
在Rt△BCD 中,sin D= BC
BD ,
BD=
∴
BC
sin D ,即2r=
a
sin A .
同理可得,
b
sin ∠ABC =2r,
c
sin ∠ACB=2r,
故
a
sin A =
b
sin ∠ABC =
c
sin ∠ACB.(5 分)
解决问题
在△ABC 中,∠B=180°-∠A-∠C=45°.
由拓展探究中的结论,得AB
sinC = AC
sin B,即
AB
sin 60°=
60
sin 45°,
AB=
∴
60×sin 60°
sin 45°
=
60× √3
2
√2
2
=30√6(m).
答:点A 到点B 的距离为30√6 m.
(11 分)
【一题多解】
拓展探究
如图,作CD⊥AB 于点D,AE⊥BC 于点E,
在Rt△ABE 中,sin B= AE
AB= AE
c ,
同理,得sin B=CD
BC =CD
a ,
sin∠BAC=CD
AC =CD
b ,
sin∠BCA= AE
AC = AE
b ,
AE=c
∴
sin B,AE=bsin∠BCA,CD=asin B,CD=bsin∠BAC,
∴
b
sin B=
c
sin ∠BCA ,
a
sin ∠BAC =
b
sin B,
∴
a
sin ∠BAC =
b
sin B=
c
sin ∠BCA . (5 分)
