第三章 圆
时间 90 分钟
满分 100 分
答案 D17
题号
一
二
三
总分
分数
一、选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2023·山东潍坊潍城区期中)下列圆中既有圆心角又有圆周角的是
( )
A
B
C
D
2.(2023·上海杨浦区期末)如图,在矩形ABCD 中,AB=4,AD=3,以顶点D 为圆心作半
径为r 的圆,若点A,B,C 中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r 的值
可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(第2 题)
(第3 题)
(第4 题)
3.如图,△ABC 的外心的坐标是
( )
A.(-2,-1)B.(-1,-2)
C.(-1,-1)D.无法确定
4.(2022·浙江金华模拟)如图,线段AB 是☉O 的直径,点C 在圆上,∠AOC=60°,点P
是线段AB 延长线上的一点,连接PC,则∠APC 的度数不可能是
( )
A.30° B.25° C.10° D.5°
5.(2023·江苏南京鼓楼区一模)将半径为5 的☉O 按如图方式折叠,折痕AB 长为
8,C 为折叠后AB
⏜的中点,则OC 的长为( )
A.2 B.√3
C.1 D.√2
(第5 题)
(第6 题)
(第7 题)
6.(2023·湖北武汉青山区段考)如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,延长
AD,BC,相交于点E,延长AB,DC,相交于点F.若∠E=∠F=40°,则∠A 的度数为
(
)
A.60°
B.50°
C.45°
D.40°
7.(2023·湖北恩施期末)如图,在Rt△ABC 中,∠CAB=36°,斜边AC 与量角器的直径
重合(点A 的刻度为0°),将射线BF 绕点B 转动,与量角器的外圆弧交于点D,与AC
交于点E,若△ABE 是等腰三角形,则点D 在量角器上对应的刻度为( )
A.72°
B.144° C.36°
D.72°或144°
8.如图,已知☉O 的内接正六边形ABCDEF 的边心距OM=2,则该圆的内接正三角
形ACE 的面积为
( )
A.2 B.4 C.4√3
D.6√3
(第8 题)
(第9 题)
(第10 题)
9.(2023·山东淄博临淄区期末)如图,在Rt△AOB 中,OA=OB=4√2,☉O 的半径为2,
点P 是AB 边上的动点,过点P 作☉O 的一条切线PQ(点Q 为切点),则线段PQ 长
的最小值为( )
A.2√3
B.√3
C.1 D.2
10.(2022·河北保定一模)如图,在矩形ABCD 中,AB=10,AD=8,以CD 为直径作☉O.
将矩形ABCD 绕点C 旋转得到矩形A1B1CD1,使A1B1与☉O 相切于点E,CB1与☉O
相交于点F,则CF 的长是
( )
A.3
B.4 C.6
D.8
二、填空题(共5 小题,每小题3 分,共15 分)
11.(2022·山东济南天桥区期末)如图,☉A,☉B,☉C 两两相离,且半径都为2,则图中阴
影部分的面积之和为 .(结果保留π)
(第11 题)
(第12 题)
(第13 题)
12.(2023·江苏南京秦淮区期末)如图,A,B,C,D 为一个正多边形相邻的4 个顶点,
∠ADB=15°,则这个正多边形的边数为 .
13.(2022·福建三明模拟)如图,在边长为1 的小正方形组成的网格中,点A,B,C 都在
格点上,点D 在以AB 为直径的圆上,则tan∠ADC= .
14.(2022·河北唐山期末改编)如图,△ABC 内接于☉O,过点A 作直线EF,已知
∠B=∠EAC,根据弦AB 的位置变化,试探究直线EF 与☉O 的位置关系.
甲:如图(1),当弦AB 过点O 时,EF 与☉O 相切.
乙:如图(2),当弦AB 不过点O 时,EF 也与☉O 相切.
你认为 的判断正确.
(第14 题)
(第15 题)
15.[中考创新题型|填空双空题](2023·浙江杭州西湖区一模)如图,☉O 为锐角三角
形ABC 的外接圆,点D 在BC
⏜上,AD 交BO 于点E,且满足∠AEB-∠BED=2∠BCD,连
接AO,设∠BCD=α.
(1)则∠BED= .(用含α 的代数式表示)
(2)若AO∥BD,∠ADB=2∠BAD,则DE
AE = .
三、解答题(共6 小题,共55 分)
16.(7 分)[课标理念|关注数学文化]在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这
样一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺(1 尺=10
寸),问径几何?”用现代语言表述:如图,AB 为☉O 的直径,弦CD⊥AB 于点E,AE=1 寸,
CD=10 寸,求直径AB 的长.请你解答这个问题.
17.(8 分)[中考创新题型|创新作图题]如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BD 平分∠ABC
交AC 于点D.
(1)求作☉O,使点O 是AB 上一点,且☉O 经过B,D 两点,分别交AB,BC 于点E,F.(尺
规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证:☉O 与AC 相切于点D.
18.(8 分)如图,AB 是半圆O 的直径,弦CD∥AB,过点D 作半圆O 的切线DE,与AB
的延长线相交于点E,连接OC,AD,∠DAB=22.5°.
(1)求证:四边形COED 是平行四边形.
(2)当CD=2√2时,求阴影部分的周长.
19.(10 分)(2023·安徽阜阳颍州区段考)如图,☉O 为等边三角形ABC 的外接圆,半径
为2,点D 在劣弧AB 上运动(不与点A,B 重合),连接DA,DB,DC.
(1)求证:DC 是∠ADB 的平分线.
(2)若将△ADC 绕点C 逆时针旋转60°得到△BHC,则四边形ADBC 的面积S 是线段
CD 的长x 的函数吗?如果是,求出函数解析式,并写出x 的取值范围;如果不是,请说
明理由.
20.(10 分)(2022·河南三模)定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫
做弦切角.如图(1),AC 为☉O 的切线,A 为切点,AB 为☉O 的一条弦,∠CAB 即为弦切
角.
(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著.第三卷中命题
32——弦切角定理的内容是“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度
数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角的度数.”
如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证
明”过程.
已知:如图(2),AC 为☉O 的切线,A 为切点,AB 为☉O 的一条弦,点D 在☉O 上,连接
OA,OB,BD,AD.
求证: .
证明:
(2)如图(3),AB 为☉O 的切线,A 为切点,C 是☉O 上一动点,过点C 作CD⊥AB 于点
D,CD 交☉O 于点E,连接OA,OE,OC,AE.若AD=10,AE=2√29,求CE 的长.
图(1)
图(2)
图(3)
21.(12 分)[中考创新题型|探究性试题]【问题呈现】阿基米德折弦定理:如图
(1),AB 和BC 是☉O 的两条弦(即折线ABC 是☉O 的一条折弦),BC>AB,M 是ABC
⏜的
中点,则过点M 向BC 作垂线,垂足D 是折弦ABC 的中点,即CD=AB+BD.下面是
运用“截长法”证明CD=AB+BD 的过程.
证明:如图(2),在CD 上截取CG=AB,连接MA,MB,MC 和MG.
M
∵
是ABC
⏜的中点, MA=MC.
∴
①
∵∠A=∠C,②
∴△MAB≌△MCG,
MB=MG.
∴
又MD⊥BC,
BD=DG
∴
,
CD=CG+DG=AB+BD
∴
,即CD=AB+BD.
根据证明过程,分别写出步骤①,②的理由:
①
.②
.
【理解运用】在图(1)中,若AB=4,BC=6,则BD= .
【变式探究】如图(3),AB,BC 是☉O 的两条弦,M 是AC
⏜的中点,MD⊥BC 于点D,请
写出CD,DB,BA 之间存在的数量关系: .
【实践应用】如图(4),△ABC 内接于☉O,BC 是☉O 的直径,点D 为圆周上一点,满
足∠DAC=45°.若AB=6,☉O 的半径为5,求AD 的长.
图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
第三章 圆·B 卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
A
A
C
B
D
C
A
C
11.2π
12.12
13.3
2
14.甲、
乙
15.(1)90°-α
(2)√5-1
2
1.C
2.B 连接BD(图略),∵四边形ABCD 为矩形,∴∠A=90°,由勾股定理可得BD=
√A B
2+ A D
2=√4
2+3
2=5,由题意可知,3<r<5,因此只有B 选项符合.
判断点和圆的位置关系的实质是判断点到圆心的距离与半径的大小关系.
3.A 如图,分别作边BC,AC 的垂直平分线,相交于点P,则点P 是△ABC 的外心,由
图可知P(-2,-1).故选A.
本题主要考查了三角形外心的确定方法.三角形的外心是三角形三边垂直平分线
的交点.在网格中确定点的坐标要借助已知线段的特殊位置来求解.
4.A 如图,连接CB,∵∠AOC=60°,∴∠ABC=1
2∠AOC=30°.∵∠ABC 是△PBC 的一
个外角,∴∠ABC>∠APC,∴∠APC 的度数不可能是30°.故选A.
5.C 如图,延长OC 交☉O 于点D,交AB 于点E,连接OA,OB,AC,BC, C
∵
为折叠后
AB
⏜的中点,∴AC
⏜=BC
⏜, CA=CB.
∴
¿【点拨】相等的弧所对的弦相等OA=OB
∵
, OC
∴
垂直平分AB, AE=BE=
∴
1
2AB=4,在Rt△AOE 中,OE=√O A
2- A E
2=√5
2- 4
2
=3, DE=OD-OE=
∴
5-3=2.∵ADB
⏜
沿AB 折叠得到ACB
⏜,CD⊥AB,∴点C 和点D 关于
AB 对称, CE=DE=
∴
2, OC=OE-CE=
∴
3-2=1.
6.B 在△ABE 与△ADF 中,∠A 为公共角,且∠E=∠F,由三角形内角和定理可知,
∠ABE=∠ADF.∵∠ABE 与∠ADF 是☉O 的内接四边形ABCD 的对角,
∴∠ABE+∠ADF=180°,∴∠ABE=∠ADF=90°,∴∠A+∠E=90°,∴∠A=90°-∠E=50°.故
选B.
∵四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,
∴∠DCE=∠A.∵∠EDC=∠A+∠F=∠A+40°,∠EDC+∠DCE+∠E=180°,∴∠A+40°
+∠A+40°=180°,∴∠A=50°.
7.D 如图,点O 是AC 的中点,连接DO,∵∠ABC=90°,AC 与量角器的直径重合,∴点
B 在量角器外圆弧所在的圆上,∴∠AOD=2∠ABD.∵当△ABE 是等腰三角形时,
∠ABD=36°或72°,∴点D 在量角器上对应的刻度为72°或144°.
8.C 如图,连接OC,OB,过点O 作ON⊥CE 于点N.∵多边形ABCDEF 是正六边形,
∴∠COB=60°. OC=OB
∵
,∴△COB 是正三角形,∴∠OCM=60°, OC=
∴
OM
sin 60°=4√3
3 .
易得∠OCN=30°, ON=
∴
1
2OC=2√3
3 ,CN=2, CE=
∴
2CN=4,∴该圆的内接正三角形
ACE 的面积为3×1
2×4×2√3
3 =4√3.故选C.
9.A 如图,连接
OQ. PQ
∵
是
☉
O 的切线
, OQ
∴
⊥ PQ.
¿【点拨】遇切线,连半径,得垂直根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2, OQ
∵
为定值,
∴当OP 的值最小时,PQ 的值最小,∴当PO⊥AB 时,线段PO 最短.∵在Rt△AOB 中,
OA=OB=4√2, AB=
∴
√2OA=8.当PO⊥AB 时,OP=OA ·OB
AB
=4, PQ=
∴
√O P
2-OQ
2
=2√3.故线段PQ 长的最小值为2√3.
10.C 如图,连接
OE
, 作
OH
⊥ B 1C 于点
H , ¿【提示】构造矩形A
∵
1B1与☉O 相切于
点E,∴∠OEB1=∠OHB1=90°,∵矩形ABCD 绕点C 旋转得到矩形
A1B1CD1,∴∠B1=∠B1CD1=90°,AB=CD=10,BC=B1C=AD=8,∴四边形OEB1H 是矩形,
OE=OD=OC=5, B
∴
1H=OE=5, CH=B
∴
1C-B1H=3, CF=
∴
2CH=6.故选C.
11.2π ∵∠A+∠B+∠C=180°,∴阴影部分的面积之和等于半径为
2 的半圆的面积
¿【易错】阴影部分能拼成一个半圆,不是整圆,为2π.
12.12
如图,设正多边形的外接圆为☉O,连接
OA,OB,∵∠ADB=15°,∴∠AOB=2∠ADB=30°.360
°÷
30
°=
12
¿【提示】360°÷中心角度数=边数,∴这个正多边形的边数为12.
13.3
2 由题图可知AC=3,BC=2. AB
∵
是圆的直径,∴∠ACB=90°.∵ ∠ ADC=
∠ ABC
,
¿【题眼】同弧所对的圆周角相等∴tan∠ADC=tan∠ABC= AC
BC =3
2.
14.甲、乙 题图(1)中, AB
∵
是☉O 的直径,
∴∠C=90°,∴∠B+∠CAB=90°.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC+∠CAB=90°=∠BAE, EF
∴
⊥AB.
OA
∵
是☉O 的半径, EF
∴
是☉O 的切线,故甲的判断正确.如图,作直径AM,连接CM,
则∠ACM=90°,∠ B=
∠ M
¿【关键】在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等
.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC=∠M.∵∠CAM+∠M=90°,∴∠CAM+∠EAC=90°=∠MAE, EF
∴
⊥AO. AO
∵
是☉O 的半径, EF
∴
是☉O 的切线,故乙的判断正确.
15.(1)90°-α (2)√5-1
2
(1)∵∠AEB-∠BED=2∠BCD,∠BCD=α,∴∠AEB-
∠BED=2α.∴∠AEB=2α+∠BED.∵∠AEB+∠BED=180°,∴2α+∠BED+∠BED=180°,
∴∠BED=90°-α.(2)如图,连接
OD,∵∠BCD=α,∴∠BOD=2∠BCD=2α.∵∠BAD=∠BCD=α,∴∠ADB=2∠BAD=2α.∵
AO∥BD,∴∠ADB=∠OAD=2α. OA=OD
∵
,∴∠OAD=∠ADO=2α,∴∠ODB=4α. OB=O
∵
D,∴∠OBD=∠ODB=4α,∴4α+4α+2α=180°, α=
∴
18°,∴∠OAE=∠BOD=2α=36°,∴∠O
BD=∠ODB=72°,∠BDE=36°,∴∠AEO=∠DEB=72°,∴∠AOE=∠AEO=72°,
AE=A
∴
O.在△AEO 与△OBD 中,{
AO =OD,
∠OAE =∠BOD,
AE =OB,
∴△AEO≌△OBD(SAS). OE=BD.
∴
∵∠BDE=∠BOD=36°,∠DBE=∠OBD,∴△DBE △
∽
OBD,∴BD
OB = BE
BD, BD
∴
2=OB·BE=OB(OB-BD), BD=
∴
√5-1
2
OB(负值舍去),∴BD
OB =
√5-1
2
. OA
∵
∥BD,∴△DBE∽△AOE,∴DE
AE =BD
OA =BD
OB =√5-1
2
.
16.【解题思路】连接OC,由CD⊥AB,可求得CE 的长,利用勾股定理列方程求出
半径的长,从而求出直径AB 的长.
【参考答案】连接OC(图略).
CD
∵
⊥AB,AB 为☉O 的直径,CD=10 寸,
CE=DE=
∴
1
2CD=5 寸.
(3 分)
设OC=OA=x 寸,则AB=2OA=2x 寸,OE=(x-1)寸.
由勾股定理,得OE2+CE2=OC2,即(x-1)2+52=x2,
解得x=13,
AB=
∴
26 寸, (5 分)
故直径AB 的长为26 寸. (7 分)
17.【参考答案】(1)所作☉O 如图(1). (3 分)
图(1)
图(2)
(2)证明:连接OD,如图(2).
BD
∵
平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
OB=OD
∵
,
∴∠ABD=∠ODB,
∴∠CBD=∠ODB,
OD
∴
∥BC,
∴∠ODA=∠C=90°,
OD
∴
⊥AC.
又OD 是☉O 的半径,
∴☉O 与AC 相切于点D. (8 分)
18.【参考答案】(1)证明:如图,连接OD.
DE
∵
是半圆O 的切线,
OD
∴
⊥DE.
由圆周角定理,得∠DOE=2∠DAB=45°,
OE=
∴
√2OD.
CD
∵
∥AB,
∴∠ODC=∠DOE=45°.
OC=OD
∵
,
∴∠OCD=∠ODC=45°,
∴∠COD=90°,
CD=
∴
√2OD,
CD=OE.
∴
CD
∵
∥OE,
∴四边形COED 是平行四边形.
(5 分)
(2)由(1)知CD=√2OD,CD=OE,四边形COED 为平行四边形,
CD=
∵
2√2,
DE=CO=OD=
∴
√2
2 CD=2,OE=2√2,
BE=OE-OB=
∴
2√2-2,BD
⏜的长=45 π ×2
180
=π
2 ,
∴阴影部分的周长=2+2√2-2+π
2 =2√2+π
2 .
(8 分)
19.【参考答案】(1)证明:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°.
∵∠ADC=∠ABC=60°,∠BDC=∠BAC=60°,
∴∠ADC=∠BDC,
DC
∴
是∠ADB 的平分线.(4 分)
(2)四边形ADBC 的面积S 是线段CD 的长x 的函数.
如图,将△ADC 绕点C 逆时针旋转60°得到△BHC,
则CD=CH,∠DAC=∠HBC,
∵四边形ADBC 是圆内接四边形,
∴∠DAC+∠DBC=180°,
∴∠DBC+∠HBC=180°,
D
∴,B,H 三点共线.
CD=CH
∵
,∠CDH=60°,
∴△DCH 是等边三角形.
∵四边形ADBC 的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH=√3
4 CD2,
S=
∴
√3
4 x2(2√3<x≤4). (10 分)
20.【解题思路】 (1)根据“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数
的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角的度数.”并结合图形写出求证部分,延长
AO 交☉O 于点E,连接BE,根据圆周角定理的推论得到∠ABE=90°,进而得
∠E+∠BAE=90°,根据切线的性质得到∠CAE=90°,进而∠CAB+∠BAE=90°,根据同
角的余角相等得到结论;(2)连接AC,根据勾股定理求DE,根据弦切角定理得到
∠DAE=∠DCA,证明△ADE∽△CDA 可得结论.
【参考答案】 (1)求证:∠CAB=1
2∠AOB=∠ADB.
(2 分)
证明:如图(1),延长AO 交☉O 于点E,连接BE.
AE
∵
是☉O 的直径,
∴∠ABE=90°,
∴∠E+∠BAE=90°.
AC
∵
为☉O 的切线,
∴∠CAE=90°,
∴∠CAB+∠BAE=90°,
∴∠CAB=∠E.
∵∠ADB=∠E=1
2∠AOB,
∴∠CAB=1
2∠AOB=∠ADB.
(6 分)
图(1)
图(2)
(2)如图(2),连接AC, CD
∵
⊥AB,
∴∠ADE=90°.
(7 分)
AD=
∵
10,AE=2√29,
DE=
∴
√A E
2- A D
2= √(2√29)
2-10
2=4.
AB
∵
为☉O 的切线,
∴∠ DAE=
∠ DCA.
¿【提示】 弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数
∵∠ADE=∠CDA,
∴△ADE∽△CDA,
∴AD
CD = DE
DA ,
AD=
∵
10,DE=4,
∴
10
4 +CE= 4
10,
CE=
∴
21.
(10 分)
21.【参考答案】【问题呈现】①在同圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的弦
相等
②同弧所对的圆周角相等
(4 分)
【理解运用】1 (6 分)
解法提示: CD=AB+BD
∵
, CD=
∴
1
2(AB+BC)=1
2×(4+6)=5, BD=BC-CD=
∴
6-5=1.
【变式探究】DB=AB+CD
(8 分)
解法提示:如图(1),在DB 上截取BG=BA,连接MA,MB,MC,MG.
图(1)
M
∵
是AC
⏜的中点, AM=MC
∴
,∠MBA=∠MBG.
又MB=MB,∴△MAB≌△MGB,
MA=MG
∴
, MC=MG.
∴
又DM⊥BC,
DC=DG
∴
,
AB+DC=BG+DG
∴
,
即DB=AB+CD.
【实践应用】∵BC 是☉O 的直径,∴∠BAC=90°.
AB=
∵
6,☉O 的半径为5,∴易得AC=8.
(分类讨论思想)如图(2),当∠DAC=45°时,有两种情况:
图(2)
①当点D 与点D1重合时,∠D1AC=45°,则D1是BC
⏜的中点.
过点D1作D1G1⊥AC 于点G1,易得CG1+AB=AG1.
AG
∴
1=1
2(AB+AC)=1
2×(6+8)=7, AD
∴
1=√2AG1=7√2;
②当点D 与点D2重合时,∠D2AC=45°,过点D2作D2G2⊥AC 于点G2,同理易得
CG2=AB+AG2,
CG
∴
2=1
2(AB+AC)=7, AG
∴
2=1, AD
∴
2=√2AG2=√2.
综上,AD 的长为7√2或√2.
(12 分)
