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专题06 三角函数的概念与三角恒等变换
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 任意角与弧度制
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边
(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何
一个象限．
（3）终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，
构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2、弧度制
定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度记作rad
角α 的弧度数公式
|α|＝(弧长用l 表示)
1
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角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
知识点2 任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α 的正弦，记作sin
α
叫做α 的余弦，记作cos
α
叫做α 的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP 为正弦线
有向线段OM 为余弦线
有向线段AT 为正切线
知识点3 同角三角函数基本关系式与诱导公式
1、同角三角函数基本关系式
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
（3）商数关系：＝tan α.
（3）基本关系式的几种变形
①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
③sin α＝tan αcos α.
2、三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
2
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知识点4 三角恒等变换公式
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β)
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β)
tan(α－β)＝；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan
β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan
β)
【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β 都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
2、二倍角公式
S2α
sin 2α＝2sin α cos α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α
tan 2α＝
3、辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b 为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)
或f(α)＝cos(α－φ) .
重难点01 sin α，cos α 齐次式中“切弦互化”的技巧
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cos α 的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cos α 的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
【典例1】（23-24 高三下·河南洛阳·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
3
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【答案】B
【解析】因为
，所以
．故选：B．
【典例2】（23-24 高三下·四川·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
．故选:D．
【典例3】（23-24 高三下·广东·月考）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
.
因
，则
.故选：A
重难点02 sin α±cos α 与sin αcos α 关系的应用
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 这三个式子，知一可求二，
若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α 的范围选取正、负号)，体
现了方程思想的应用．
【典例1】（23-24 高三下·吉林长春·三模）已知
，且
，则
．
【答案】
【解析】因为
，
所以
.
4
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【典例2】（23-24 高三上·山东·开学考试）若
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【解析】由
，
，得
，
而
，即
，解得
，
因此
，所以
.故选：B
【典例3】（23-24 高三下·湖南岳阳·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
①
时，
，
②
时，
，
③
时，
，
此时
④
时，
，
此时
综合①②③④，可以排除
、
,
，
所以
，故选：C.
5
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重难点03 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．
【典例1】（23-24 高三下·广东·二模）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.故选：D
【典例2】（23-24 高三下·重庆·模拟预测）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，故选：
A．
【典例3】（23-24 高三下·河南焦作·月考）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
6
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.故选：A.
一、确定角
终边所在象限的方法
法1 分类讨论法：利用已知条件写出
的范围（用
表示），由此确定
的范围，在对
进行分类讨论，
从而确定
所在象限。
法2 几何法：先把各象限分为
等份，再从
轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、
四……则
原来是第几象限的角，标号为几的区域即角
终边所在的区域。
【典例1】（23-24 高三下·四川绵阳·三模）已知
，且
，则
为（ ）
A．第一或二象限角B．第二或三象限角
C．第一或三象限角
D．第二或四象限角
【答案】C
【解析】由
，得
，则
且
，又
，
因此
且
，
是第二象限角，即
，
则
，当
为偶数时，
是第一象限角，当
为奇数时，
是第三象限角，
所以
是第一或三象限角.故选：C
【典例2】（23-24 高三上·广东广州·二调）已知
，
，则
的终边在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第二、三、四象限
7
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C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因为
，
，
所以
为第二象限角，即
，
所以
，
则
的终边所在象限为
所在象限，
即
的终边在第一、二、四象限.故选：D.
【典例3】（23-24 高三上·甘肃天水·月考）设
角属于第二象限，且
，则
角属于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】
为第二象限角，
，
；
当
时，
为第一象限角；当
时，
为第三象限角；
为第一或第三象限角；
，
，
为第三象限角.故选：C.
二、扇形的弧长与面积应用
1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
2、求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
3、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【典例1】（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知扇形弧长为
，圆心角为2，则该扇形面积为
（ ）
8
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A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】设扇形所在圆的半径为，
因为扇形弧长为
，圆心角为
，可得
，可得
，
由扇形的面积公式，可得
.故选：B.
【典例2】（23-24 高三上·江苏徐州·月考）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（
）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【解析】设扇形的弧长为，半径为，
所以扇形的面积为
，所以
，
又扇形的周长为
，所以
，
当且仅当
，即
时，取等号.故选：D.
【典例3】（23-24 高三下·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身
满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“ ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽
略不计），测得各项数据（图2）：
，若
，则璜身（即
曲边四边形
）面积近似为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】显然
为等腰三角形，
，
9
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则
，
，
又
，所以
，于是
，
所以璜身的面积近似为
.故选：C
三、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
1、已知角
的终边上一点
的坐标，求角
的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2、已知角
的一个三角函数值和终边上一点
的横坐标或纵坐标，求与角
有关的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出
未知数，从而求解问题。
3、已知角的终边所在的直线方程（
），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点
，求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注
意
的符号，对
进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角
的三角函数值。
【典例1】（23-24 高三下·江西·二模）已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意
，
由三角函数的定义得
.故选：A.
【典例2】（23-24 高三下·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系
中，锐角
以
为顶点，
为始边.将
的终边绕
逆时针旋转
后与单位圆交于点
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，
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由
，
，得
，
所以
.故选：D
【典例3】（23-24 高三下·河南·一模）以坐标原点为顶点，x 轴非负半轴为始边的角
，其终边落在直线
上，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因角
的终边落在直线
上，故
或
.
对于A，当
，
时，
，故A 项错误；
对于B，当
时，
，故B 项错误；
对于C，当
，
时，
，
当
时，
，故B 项正确；
对于D 项，当
，
时，
，则
；
当
时，
，
，则
.故D 项错误.故选：C.
四、对sin α，cos α，tan α 的知一求二问题
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1 求解
2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α 建立联系，注意tan α＝的灵活应用
3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α 或cos α＝，然后利用平方关系求解
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【典例1】（23-24 高三上·河北邢台·期末）若
，且
为第三象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，且
为第三象限角，所以
，
故
，故选：B
【典例2】（23-24 高三上·上海松江·期中）已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
，则
，故选：A.
【典例3】（23-24 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知
，
，则
.
【答案】
【解析】
，
，
，
，
则
.
五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
――――――→――――――――→――――――――→
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
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【典例1】（23-24 高三下·河北·三模）已知点
在角
的终边上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
，
所以
.故选：B.
【典例2】（23-24 高三下·辽宁·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】D
【解析】
，故选：D.
【典例3】（23-24 高三下·全国·专题练习）已知
（1）化简
；
（2）若
是第三象限角，且
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
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【解析】（1）因为
，
所以
.
（2）由诱导公式可知
，即
，
又
是第三象限角，所以
，
所以
.
六、给值求值问题的求解策略
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
);
4
(
2
4
);
(
;
)
(
)]
(
)
[(
2
1
)];
(
)
[(
2
1
;
2
2
等.
【典例1】（23-24 高三上·全国·专题练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，则
，
．故选：A
【典例2】（23-24 高三下·山西·三模）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14
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【答案】D
【解析】因为
，则
，且
，
则
，可得
，
，
又因为
，则
，且
，
可得
，
，
所以
.故选：D.
【典例3】（23-24 高三下·贵州贵阳·二模）已知
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得
，
，
两式相除可得
，
所以
.故选：A．
七、给值求角问题的求解策略
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
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【典例1】（23-24 高三上·海南·月考）已知
，
，
，则
的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
则
，
可知
，
，则
，
又因为
，
可得
，所以
.故选：D.
【典例2】（23-24 高三上·河北廊坊·期中）设
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
．
因为
，所以
，
所以
，则
．故选：B.
16
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【典例3】（23-24 高三上·河北石家庄·月考）若
，
，
，
，则
.
【答案】
【解析】由
，
，则
，
，所以
或
，
，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
又
，.故
.
易错点1 对任意角的理解不到位
点拨：根据任意角的定义，顺时针旋旋转为负角，逆时针旋转为正角。
【典例1】（23-24 高三上·云南·月考）从2023 年12 月14 日13∶00 到当天13∶25，某时钟的分针转动的
弧度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，
所以分针转动的弧度为
.故选：C.
【典例2】（23-24 高三上·山东德州·开学考试）（多选）下列说法正确的是（ ）
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A．第二象限角比第一象限角大
B．60°角与600°角不是终边相同的角
C．正弦函数y=sin x 在第一象限是增函数
D．将表的分针拨慢10 分钟，则分针转过的角的弧度数为
【答案】BD
【解析】对于A，
分别为第二象限与第一象限的角，但是
，故A 错误，
对于B，
，所以
的终边与
的终边相同，
故
角与
的终边不相同，故B 正确，
对于C，正弦函数为周期函数，
，
故y=sin x 在第一象限是增函数是错误的，故C 错误，
对于D，将表的分针拨慢10 分钟，则分针转过的角的弧度数为
，故选：BD
易错点2 三角函数定义中，忽略点坐标值的正负
点拨：在应用三角函数定义时，要注意对参数正负进行讨论。
【典例1】（23-24 高三下·甘肃·一模）已知点
为角
终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为点
为角
终边上一点，所以
，
所以
.故选：C
【典例2】（23-24 高三下·山东济宁·开学考试）（多选）在平面直角坐标系
中，若角
的顶点为坐标
原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】BD
18
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【解析】由题意
，所以
或
，
所以
.故选：BD.
易错点3 忽略角所在的象限
点拨：利用同角三角函数基本关系式求三角函数值时，要注意角所在的象限，从而确定三角函数值的
符号。
【典例1】（23-24 高三·全国·专题练习）已知
，则
.
【答案】0
【解析】因为
且
，可知
为第二象限角或第三象限角，
由
得
（1）当
为第二象限角时，
，
，
；
（2）当
为第三象限角时，
，
，
；
综上可知：
.
【典例2】（23-24 高三·全国·专题练习）已知
，
，则
【答案】
【解析】∵
，
，∴
，
，
∴
．
易错点4 没有挖掘题目中的隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象
点拨：在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖
掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在
区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合
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三角函数的单调性等。
【典例1】（23-24 高三下·辽宁沈阳·二模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
则
，即
，
又因为
，故
，
，
，
故
，因为
，则
，
结合
可得
，
，则
.
故
.故选：C
【典例2】（23-24 高三下·河北沧州·期中）（多选）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】对A,因为
，则
，即
，
所以
，所以
选项不正确；
对B,因为
，所以
，又
，所以
，
，
又
，所以
，所以B 选项正确；
对C，
，所以C 选项正确；
对
，因为
，
20
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若
，则
，所以
选项正确，故选：BCD.
易错点5 忽视对k 的讨论
点拨：使用诱导公式出现
时，要注意对
进行奇偶讨论。
【典例1】（23-24 高三·全国·专题练习）已知f(x)＝
(n∈Z).
（1）化简f(x)的表达式；
（2）求f(
)＋f(
)的值．
【答案】（1）f(x)＝sin2x；（2）1
【解析】（1）当n 为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝sin2x；
当n 为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x.
综上可得，f(x)＝sin2x.
（2）由（1）得f()＋f()＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2(－)＝sin2＋cos2＝1.
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