专题1.2 集合（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
元素与集合的关系】...................................................................................................................................1
【题型2
集合中元素的个数问题】...........................................................................................................................2
【题型3
求集合的子集（真子集）的个数】...........................................................................................................2
【题型4
判断集合间的关系】...................................................................................................................................2
【题型5
与集合间的关系有关的含参问题】...........................................................................................................3
【题型6
集合的交、并、补集运算】.......................................................................................................................3
【题型7
与集合的运算有关的含参问题】...............................................................................................................4
【题型8
集合中的新定义问题】...............................................................................................................................4
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
元素与集合的关系】
1．（2026·陕西汉中·二模）已知集合�= 2�+
3��∈�, �∈�，则（
）
A．3 ∉�
B．−2 + 5 3 ∉�
C．4 ∈�
D．−1 + 2 3 ∈�
2．（25-26 高一上·江西赣州·阶段检测）若集合�= ��2 + �−6 = 0 ，则下列关系正确的是（
）
A．−3 ∉�
B．2 ∉�
C．−3 ∈�
D．−2 ∈�
3．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合�= {�∈�|�−�> 0}，若3 ∈�且1 ∉�，则�的取值范
围为（
）
A．�< 3
B．�≥1
C．1 < �≤3
D．1 ≤�< 3
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4．（2025·河南·一模）已知集合�= �∣3��−2 ≤0 ，若1 ∈�且2 ∉�，则（
）
A．
1
3 < �<
2
3
B．�< 0
C．
1
3 < �≤
2
3
D．�>
2
3
【题型2
集合中元素的个数问题】
5．（2026·新疆喀什·二模）已知集合�= {1,2}，�= {2,4}，则�= {��∣�∈�, �∈�}的元素个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2025·四川内江·一模）已知集合�= 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，�= 1,3,5 ，则集合∁U�的元素个数为（
）
A．0
B．3
C．6
D．8
7．（25-26 高一上·江西九江·阶段检测）集合�= �|1 < �< �, �∈�，若集合�中恰有5 个元素，则（
）
A．6 < �< 7
B．6 ≤�< 7
C．6 < �≤7
D．6 ≤�≤7
8．（2025·浙江丽水·一模）已知集合�= {�∣−2 ≤�< 1}, �= �, 3 ，且�∩�的元素个数是一个，则实数
�的取值范围是（
）
A．( −2,1)
B．[ −2,1]
C．[ −2,1)
D．( −2,1]
【题型3
求集合的子集（真子集）的个数】
9．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合�= 0,2 ，�= −1,1,2 ，�= ���∈�, �∈�，则集合C 的子
集有（
）
A．64 个
B．63 个
C．16 个
D．15 个
10．（2025·四川绵阳·模拟预测）集合0，1，2 的子集有（
）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
11．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合�= 1,2 ，�= 1,2,3,4 ，则满足条件�⊆�⊆�的集合C 的个数
为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．（2025·辽宁·三模）已知集合�= (�, �) �=
1
2 −�
, �= (�, �) �2 =−2�，则�∩�的子集个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【题型4
判断集合间的关系】
13．（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合�= ��=
�
2 +
1
4 , �∈�, �= ��=
�
4 +
1
2 , �∈�，则（
）
A．�∩�= ∅
B．�= �
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C．�⫋�
D．�⫋�
14．（25-26 高一上·天津河北·阶段检测）已知集合�= {�|�= 2�+ 1, �∈�}，集合�= {�|�= �+ 2, �∈�}，
则（
）
A．�⊆�
B．�= �
C．�⊇�
D．�与�没有包含关系
15．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合�= { −1,0,2}，�= {�|�2 = 1}，则（
）
A．0 ∈�
B．0 ∈�
C．−1 ⊆�
D．�⊆�
16．
（25-26 高一上·山东济宁·阶段检测）若集合�= �|�= �+
1
6 , �∈Z ,�= �|�=
�
2 −
1
3 ,�∈Z , �= �|�=
�
2 +
1
6 , �∈Z ，则A，B，C 之间的关系是（
）
A．�= �= �
B．�⊆�= �
C．�= �⊆�
D．�⊆�= �
【题型5
与集合间的关系有关的含参问题】
17．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合�= { −2,0,1}，�= {�4 −��> 0}，若�⊆�，则a 的取值范围
是（
）
A．( −2, + ∞)
B．( −∞, 4)
C．( −∞, −2) ∪(4, + ∞)
D．( −2,4)
18．（2026·陕西铜川·三模）已知集合�= ��< �，�= �−2 < �< 3 ，若�⊇�，则实数�的取值范
围为（
）
A．−∞, −2
B．−∞, −2
C．3, + ∞
D．3, + ∞
19．（2025·陕西西安·一模）已知�∈�，�∈�，若集合�,
�
�, 1 = �2, �+ �, 0 ，则�2025 + �2025 =（
）
A．0
B．1
C．−1
D．1 或-1
20．（2025·山西·三模）已知集合�= �∣0 ≤�≤3 ，�= �∣�−1 ≤�≤�+ 1 ，且�⊆�，则�的取值范
围是（
）
A．1,2
B．−∞, 1 ∪2, + ∞
C．1,2
D．2, + ∞
【题型6
集合的交、并、补集运算】
21．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合�= �∈�|�2 < 9 , �= −2, −1,1,2,3 ，则�∩�=（
）
A．1,2
B．0,1,2
C．1,2,3
D．0,1,2,3
22．（25-26 高三上·陕西西安·阶段检测）已知集合�= �|7 −�> 2 ，�= �|�< 3 ，则�∪�=（
）
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A．�|�< 3
B．�|�< 5
C．{�|�< 3 或�> 5}
D．�| −5 < �< 3
23．（2025·陕西·模拟预测）已知全集�= 1,7 ，集合�= 3,7 ，则∁��=（
）
A．1,3
B．1,3
C．1,3
D．1,7
24．（2025·青海·模拟预测）已知全集�= 1,2,3,4,5 ，集合�= 1,2,5 ，集合�= 2,3,5 ，则∁�(�∩�) =
（
）
A．4
B．2,5
C．1,3,4
D．1,2,3,5
【题型7
与集合的运算有关的含参问题】
25．（2025·山东威海·三模）已知集合�= {1,2,
�}, �= {1, �}，若�∩�= �，则�=（
）
A．0
B．0 或2
C．1 或2
D．0 或1
26．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合�= {(�, �)∣�= 2��}, �= {(�, �)∣�= ��−�}, �∩�= {(1,2)}，则
�=（
）
A．2
B．
1
2
C．1
D．−1
27．（2025·陕西西安·二模）已知集合�= �∣�2 + ��= 0 ，�= 1 .若�∪�= 0,1 ，则�=（
）
A．0
B．1
C．−1
D．0 或−1
28．（2025·全国·模拟预测）已知集合�= 1, �，�= −1, �2 ，若�∩�= �，则实数�的取值集合为（
）
A．0
B．−1,0
C．0,1
D．−1,0,1
【题型8
集合中的新定义问题】
29．（2025·全国·模拟预测）定义集合运算：�⊕�=
�, �
�
2 ∈�,
2
�∈�.若集合�= �= �∈N 1 < �< 4 ，
�=
�, �
�=−
1
6 �+
5
3 ，则�⊕�∩�=（
）
A．∅
B．
4,1
C．
1,
2
3
D．
4,1 , 6,
2
3
30．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn 图中，A，B 是非空集合，定义集合�⊗�为阴影部分表
示的集合.若集合�= [0,2]，集合�= {�|�> 1}，则集合�⊗�=（
）
A．{�|0 < �< 2}
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B．{�|1 < �≤2}
C．{�|�≤1 或�≥2}
D．{�|0 ≤�≤1 或�> 2}
31．（2025·北京·模拟预测）集合�= {1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为�1, �2, ⋯, ���∈N* .记��为集合
��(�= 1,2,3, ⋯, �)中的最大元素，则�1 + �2 + �3 + ⋯+ �10 =（
）
A．10
B．40
C．45
D．50
32．（2026·安徽蚌埠·二模）对于数集�，�，定义�+ �= ��= �+ �, �∈�, �∈�，�÷ �= ��=
�
�, �∈
�, �∈�，若集合�= 1,2 ，则集合�+ �÷ �中所有元素之和为（
）
A．5
B．
15
2
C．
21
2
D．
23
2
A 组
基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合�= �∈N| �−1 < 2 ，则集合�=（
）
A．1,2
B．0,1,2
C．0,1,2,3
D．−1,0,1,2,3
2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合�= 1,2,3,4,5 , �= �|�= 3�−2, �∈�* ，则�∩�=（
）
A．1,4
B．2,5
C．1
D．∅
3．（24-25 高三下·云南昆明·阶段检测）集合�= �| �≤
3, �∈Z ，则�的子集个数为（
）
A．3
B．4
C．8
D．16
4．（2025·陕西榆林·一模）已知集合�= 1,2�+ 3 , �= 1, �2 ，若�= �，则实数�的值为（
）
A．−1 或3
B．0 或−1
C．3
D．−1
5．（2025·江苏·模拟预测）已知集合�= �∈R �2 = 3 ，下列式子错误的是（
）
A．3 ∈�
B．∅⊆�
C．�⊆∁��
D．−
3 ∈�
6．（2025·广西·模拟预测）已知集合�= �∈�|�= 3�+ 2, �∈�, �= �∈�|�= 6�−1, �∈�，则（
）
A．�= �
B．�⊆�
C．�⊆�
D．�∩�= ∅
7．（2025·广东江门·模拟预测）若集合�= −1,2,3 ，�= −1, −2 ，则（
）
A．�⊆�
B．�⊆�
C．�∩�= −2
D．�∪�= −2, −1,2,3
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8．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合�、�、�是全集�的三个真子集，�、�、�的关系如Venn 图所示，则
图中阴影部分所表示的集合为（
）
A．�∩�∩�
B．�∩�+ �∩�
C．�∩�+ �∩�−�∩�∩�
D．�∩∁��∪�
二、填空题
9．（2025·上海·模拟预测）已知集合�= 1,2,3,4,5 ，�= ��> 3 ，则�∩�=__________．
10．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合�= {�, �}，�= 2�, 2�2 ，若�= �，则��=__________.
11．（2025·山东潍坊·一模）已知集合�= 0,1, �+ 2 ，�= 1, �2 ，若�∪�= �，则实数�=__________．
12．（2025·安徽合肥·一模）已知集合�= �∣−2 ≤�≤1 , �= {�∣�−1 ≤�< �+ 1}，若�∩�= �，则
实数�的取值范围为__________.
B 组
培优提升练
一、单选题
1．（25-26 高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知�∈R，�∈R，若集合�,
�
�,1 = �2,�+ �,0 ，则�2026 + �2025
的值为（
）
A．−2
B．1
C．−1
D．2
2．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集�= �∈��≤3 ，�= 1,2 ，�= 1,3 ，则集合∁��∩�的真
子集个数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
3．（25-26 高三上·北京东城·期中）全集U = R，集合A = �1 < �≤3 ，B = �2 ≤�< 4 ，图中阴影部
分表示集合为（）
A．�1 < �< 4
B．�2 ≤�< 3
C．��< 1 或�> 4
D．��≤1 或�≥4
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4．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研
学参观、AI 技术培训3 类拓展课程．高三某班学生共有32 人报名参加拓展课程，其中有10 人报名参加劳
动实践，有18 人报名参加研学参观，有14 人报名参加AI 技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的
有4 人，同时报名参加研学参观和AI 技术培训的有5 人，只参加AI 技术培训的人数为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
5．（24-25 高一上·重庆·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到
大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如4,6,9 的“交替和”是9 −6 + 4 = 7；而5 的交
替和是5，则集合�= �∈Z∣−5 ≤�≤4 的所有非空子集的“交替和”的总和为（
）
A．2048
B．2024
C．1024
D．512
6．（25-26 高一上·江苏无锡·期中）设�是实数集�的一个非空子集，如果对于任意的�, �∈�（�与�可以相
等，也可以不相等），�+ �∈�且�−�∈�，则称�是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（
）
①存在一个集合�，它既是“和谐集”，又是有限集；
②集合��= �3 , �∈�是“和谐集”；
③若�1，�2都是“和谐集”，则�1 ∩�2 ≠∅；
④对任意两个不同的“和谐集”�1，�2，总有�1 ∪�2 = �.
A．1
B．2
C．3
D．4
二、解答题
7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合�= 1,2, ⋯, �，�∈�∗，�、�是�的非空子集.记集合�+ �=
�+ �
除以�的余数�∈�, �∈�.若正整数�满足：存在非空集合�、�，使得�+ �两两的交集为空集，且�∪�∪
�+ �= 0,1,2, ⋯, �−1 ，则称�为“好的”.
(1)设�= 1 ，�= 2,4 ，当�= 5 时，求�+ �，并直接判断�= 5 是否为“好的”；
(2)证明：�= 8 是“好的”，�= 16 是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
8．（2025·北京海淀·二模）记�表示有穷集合�的元素个数．已知�, �是正整数，集合�= 1,2, ⋯, �．若
集合序列�: �1, �2, ⋯, ��满足下列三个性质，则称�是“平衡序列”：
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①��≥2，其中�= 1,2, ⋯, �；
②��⫋�，其中�= 1,2, ⋯, �；
③对于�中的任意两个不同元素�, �，都存在唯一的�∈1,2, ⋯, �，使得�, �⊆��．
(1)设�= �= 5，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
�1: 1,2 , 1,3,4,5 , 2,3 , 2,4 , 2,5
�2: 1,2,3 , 1,4,5 , 2,4 , 3,4 , 3,5
(2)已知�≥3 且集合序列�: �1, �2, ⋯, ��是“平衡序列”，对于�= 1,2, ⋯, �，定义：��= �∣�∈��, �= 1,2, ⋯, �.
证明：
（i）当1 ∉�1时，�1 ≥�1 ；
（ii）�≥�．
C 组
真题·实战演练
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合�= { −4,0,1,2,8}, �= �∣�3 = �，则�∩�=（
）
A．{0,1,2}
B．{1,2,8}
C．{2,8}
D．{0,1}
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合�= {��是小于9 的正整数}，�= {1,3,5}，则∁��中元素个数为
（
）
A．0
B．3
C．5
D．8
3．（2025·天津·高考真题）已知集合�= 1,2,3,4,5 , �= 1,3 , �= 2,3,5 ，则∁��∪�=（
）
A．1,2,3,4
B．2,3,4
C．2,4
D．4
4．（2025·北京·高考真题）已知集合�= {�∣2�−1 > 5}, �= {1,2,3}，则�∩�=（
）
A．{1,2,3}
B．{2,3}
C．{3}
D．∅
5．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合�= 1,2,3,4,5,9 ，�= ��+ 1 ∈�，则�∩�=（
）
A．1,2,3
B．3,4,9
C．1,2,3,4
D．2,3,4,5
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合�= 1,2,3,4,5,9 , �= �
�∈�，则∁��∩�=（
）
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A．1,4,9
B．3,4,9
C．1,2,3
D．2,3,5
二、填空题
7．（2025·上海·高考真题）已知集合�= �|�> 0 ，�= −1,0,1,2 ，则�∩�等于________．
三、解答题
8．（2025·北京·高考真题）已知集合�= 1,2,3,4,5,6,7,8 , �=
�, �∣�∈�, �∈�，从M 中选取n 个不同
的元素组成一个序列：�1, �1 , �2, �2 , …, ��, ��，其中��, ��称为该序列的第i 项�= 1,2, …, �，若该序列
的相邻项��, ��, ��+1, ��+1 满足：��+1 −��= 3,
��+1 −��= 4 或��+1 −��= 4,
��+1 −��= 3
�= 1,2, …, �−1 ，则称该序列为K 列．
(1)对于第1 项为(3,3)的K 列，写出它的第2 项．
(2)设Γ为K 列，且Γ中的项��, ��
�= 1,2, …, �满足：当i 为奇数时，��∈{1,2,7,8}：当i 为偶数时，��∈{3,4,5,6}.
判断(3,2)，(4,4)能否同时为Γ中的项，并说明理由；
(3)证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
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