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专题10.3 二项式定理
重难点题型1 求二项式中的常数项
1．（2024·辽宁·模拟预测）
的展开式中的常数项为（ ）
A．112
B．56
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、二项展开式的应用
【分析】求出
的展开式的通项可得答案.
【详解】
的展开式的通项
，
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
求二项展开式中的常数项
重难点题型2
求二项展开式中的特定项系数
重难点题型3
求二项展开式中的有理项
重难点题型4
求二项展开式中的参数
重难点题型5
求三项展开式的指定项
重难点题型6
求几个二（多）项式的积的展开式中条件项系数
重难点题型7
求二项式系数之和及最值问题
重难点题型8
求各项系数之和及项系数的最值问题
重难点题型9
整除和余数问题
重难点题型10
二项式定理与数列求和
重难点题型11
杨辉三角
1
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由
，得
，
所以
的展开式中的常数项为
．
故选：A.
2．（2024·浙江·三模）
的展开式的常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】先求出展开式的通项，令指数等于0，求得
，即可求解.
【详解】通项
为常数项，
令
可得
，
所以
，
故选：B．
3．（2024·山西·模拟预测）
的展开式中常数项为（ ）
A．112
B．56
C．28
D．16
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】由二项展开式的通项公式即可得到常数项.
【详解】由题意知，通项公式为
，
所以常数项为
.
故选：A.
2
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4．
展开式的常数项为 .
【答案】60
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】
的常数项为
,
故答案为：
5．（2024·上海奉贤·一模）
的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】5
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】写出展开式的通项，令
的指数为
即可；
【详解】由题意可知：
，令
，所
以常数项为
.
故答案为：
重难点题型2 求二项式中的特定项系数
1．（2025·江西·模拟预测）
展开式中的第
项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】根据展开式通项公式写出第
项即可.
3
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【详解】由题意可得二项式展开式的通项为：
，
将
代入上式，可得：
，
所以
展开式中的第
项是：
.
故选：A.
2．（2025·河北衡水·模拟预测）
的展开式中第5 项的系数为（ ）
A．60
B．64
C．72
D．84
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k 项、求指定项的系数
【分析】利用二项式定理求出第5 项即可得解.
【详解】
的展开式中第5 项为
，
所以所求的系数为60.
故选：A
3．（2025·山东·一模）
展开式中第4 项的系数为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、求指定项的系数
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算求解即得.
【详解】由
展开式的通项公式可得，
，
所以
展开式中第4 项的系数为
.
故答案为：
．
4．（2024·陕西渭南·二模）
展开式中的
项是 .
【答案】
4
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【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求解即可.
【详解】依题意，
展开式中的
项是
.
故答案为：
5．（2024·湖北·模拟预测）
展开式中
项的系数为 .
【答案】30
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k 项、求指定项的系数
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数.
【详解】
展开式的通项表达式为
，
当
时，
，
.
故答案为:30.
重难点题型3 求二项式中的有理项
1．（2024·湖南衡阳·三模）
展开式中系数为无理数的项共有（ ）
A．2 项
B．3 项
C．4 项
D．5 项
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】二项展开式的应用
【分析】根据题意，结合二项式的展开项，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
展开式的通项公式为
，
当
时，展开式中系数为无理数项，共5 项.
故选：D
5
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2．（2024·河南·模拟预测）已知
（其中
）的展开式中的第7 项为7，则展开式中的有理项
共有（ ）
A．6 项
B．5 项
C．4 项
D．3 项
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式的应用、求有理项或其系数
【分析】运用二项展开式的通项公式可得
、
的值，结合有理项的定义赋值求解即可.
【详解】展开式的第7 项为
，
由题意，得
，
，（
），所以
，
，
则展开式的通项为
，
，
令
，则
，所以展开式中的有理项共有3 项.
故选：D.
3．（2023·全国·模拟预测）
的展开式中，有理项是第 项．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】二项展开式的应用、求有理项或其系数
【分析】求出二项式展开式的通项公式，根据有理项的含义，确定参数的值，即可得答案.
【详解】
的展开式的通项
，
其中
，
当
为有理项时，
为整数，结合
，
所以
，即有理项是展开式中的第3 项，
故答案为：3
6
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4．（23-24 高三上·山东德州·期末）在
的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】多项式的展开式、计算古典概型问题的概率、求有理项或其系数
【分析】由题可得
的二项展开式共有7 项，通项为：
，则该项系数为有理数时，
为偶数，即可得答案.
【详解】
的二项展开式共有7 项，通项为：
，
其中
，要使项系数为有理数，则为偶数，即
时，
项系数为有理数，则相应概率为：
.
故答案为：
.
重难点题型4 求二项式中的参数
1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知二项式
的展开式中
的系数是280，则实数
的值等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式的应用
【分析】根据题意，求得展开式的通项，确定的值，列出方程，即可求解.
【详解】由二项式
展开式的通项为
，
令
，解得
，所以
，解得
.
故选：C.
2．若
展开式中的常数项为16，则实数a＝（ ）
7
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A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】二项展开式的应用
【分析】利用二项式定理求通项求得实数
的值.
【详解】因为常数项为
，则
，
故选D.
3．已知
的展开式中的常数项为14，则
，展开式中
的整数次幂项的个数为 ．
【答案】 2 3
【难度】0.94
【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式的应用
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后由展开式中的常数项为14，可求出
的值，由
的指数为
整数，即
为整数，从而可得
，进而可得答案
【详解】
的展开式的通项公式为
．
令
，得
，则展开式中的常数项为
，故
．
易知当
时，
的值分别为14，7，0，均为整数，
故展开式中
的整数次幂项的个数为3．
故答案为：2，3
4．已知
的展开式中第6 项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为 .
【答案】128
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、由项的系数确定参数、二项展开式的应用
【分析】根据二项展开式的通项公式得出
，从而得出第六项系数
，求
8
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出
，最后利用赋值法求展开式中各项的系数和.
【详解】解：由题意，通项为：
，
由于
的展开式中第6 项的系数为-189，
则第六项系数为：
，解得：
，
故该二项式为
，
令
得展开式各项系数的和为：
．
故答案为：128．
【点睛】本题考查二项展开式的通项公式得应用和指定项的系数，以及利用赋值法求展开式中各项的系数
和.
重难点题型5 求三项展开式的指定项
1．（24-25 高二下·山东威海·期中）
的展开式中含
的项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】三项展开式的系数问题、求二项展开式的第k 项、二项展开式的应用
【分析】将三项展开式变为
，根据
和
展开式通项，结合
不同的取值可求
得结果.
【详解】
展开式通项为
；
展开式通项为
，
当
时，对应的项为
；
当
时，对应的项为
；
9
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当
时，对应的项为
；
当
时，对应的项为
；
当
时，对应的项为
；
展开式中含
的项为
.
故选：B.
2．在
的展开式中，含
项的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】多项式的展开式
【分析】把
看成6 个
相乘，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，即可得到
结果.
【详解】
是6 个
相乘，需要依次从每个
的三项（1，
，
）中选出一项
后相乘，就可得到展开式中的一项.
得到
项的方法有两类：
第一类是，6 个
的1 个
里选出
，1 个
里选出
，其余
里选出，
相乘得
，这类方法，共可得到
个
，合并同类项后即得到
；
第二类是，6 个
的3 个
里选出
，其余
里选出，相乘得
，这类方法，共
可得到
个
，合并同类项后即得到
.
再将上述两项合并，得
，因此
项的系数为
.
10
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故选：B.
3．
的展开式中常数项为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】多项式的展开式
【分析】
的展开式中的常数项由两部分构成,一部分为
,一部分为
,求和
即可.
【详解】
中的常数项为
,
故答案为:88
【点睛】本题考查二项式定理,考查多项式的展开式,考查运算能力.
4．已知多项式
展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三项展开式的系数问题、多项式的展开式
【分析】先用展开式中所有项的系数之和为32 求出
，再将
化为
进行求解.
【详解】由题意可得
，解得
，则
，
故该展开式中的常数项为
．
故答案为：
重难点题型6 求几个二（多）项式的积的展开式中条件项系数
11
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1．（24-25 高二下·广东中山·阶段练习）
的展开式中常数项为（ ）
A．120
B．-120
C．180
D．-180
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】因为
，所以分别求
和
展开
式中的常数项，即可得出结果.
【详解】
展开式的通项为:
，
.
不存在
的值使得
，所以
的展开式中没有常数项；
当且仅当
时，
的展开式可取到常数项，则
的常数项为
.
综上所述：
的展开式中常数项为-180.
故选：D.
2．（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）
的展开式中的常数项为（ ）．
A．
B．4
C．
D．2
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】应用二项式定理，写出
展开式通项，结合乘积关系写出常数项.
12
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【详解】二项式
的展开式的通项公式为
，
，
令
，得
，令
，得
，
由于
，
故其展开式中的常数项为
.
故选：A
3．（24-25 高二下·山西吕梁·期末）
的展开式中，含
项的系数为 ．
【答案】48
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k 项、两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】利用二项式展开式的通项公式结合多项式乘法来求解即可．
【详解】因为
，
所以
的展开式中
的系数为：
展开式中
的系数减去
展开式中
的系数．
因为
展开式的通项公式为：
，
令
得
的系数为
，
令
得
的系数为
，
所以
的展开式中
的系数为
．
故答案为：48
4．（2025·山西晋中·三模）
的展开式中，常数项为 ．
【答案】10
13
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【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、两个二项式乘积展开式的系数问题、二项展开式的应用
【分析】根据
，求出
的展开式的通项即可求解.
【详解】因为
，
又
的展开式的通项为
，
所以当
时
，
所以
的展开式中常数项为10．
故答案为：
.
重难点题型7 求二项式系数之和与最值问题
1．（2025·全国·模拟预测）若
的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．160
B．
C．20
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、二项式的系数和
【分析】先根据二项式系数和求出
，求出展开式通项，令
得
，代入通项即可求出常数
项.
【详解】因为
的展开式的二项式系数和为64，即
，解得
，
则
的展开式通项为
，
令
得
，所以
的常数项为
.
14
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故选：B．
2．（2025·江苏南通·模拟预测）
的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中
二项式系数最大的项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、二项式的系数和、二项式系数的增减性和最值
【分析】由题意求出
，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项.
【详解】因为
，所以
，二项展开式的通项为
，
故二项展开式中，二项式系数最大的项为
.
故选：A.
3．（2025·江苏南京·三模）在
的展开式中，仅第6 项的二项式系数最大，则
的值为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二项式系数的增减性和最值
【分析】根据二项式系数定义以及二项式系数性质可得结果.
【详解】易知第6 项的二项式系数为
，
若仅有
最大，可得
.
故答案为：
4．（2025·江西鹰潭·二模）已知二项式
的展开式中，二项式系数之和为64，则含
的项的系数
为 ．
15
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【答案】
【难度】0.65
【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数
【分析】根据
求出
值，再利用二项式展开式的通项公式即可得到答案.
【详解】因为二项式系数之和为64，则
，则
.
则二项展开式通项为
，
令
，解得
，则含
的项的系数为
.
故答案为：
.
重难点题型8 求各项系数之和及项系数的最值问题
1．（2025·甘肃白银·三模）已知
展开式的所有二项式系数之和为32，则
展开式的各项
中系数的最大值为（ ）
A．252
B．210
C．120
D．10
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可.
【详解】因为
展开式的所有二项式系数之和为32，
所以
，
所以
的通项公式为
，
16
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当
或6 时，
展开式的系数最大，其系数最大值为
，
故选：B
2．在
的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为1
B．第4 项和第5 项的二项式系数最大
C．所有项的系数和为128
D．第4 项的系数最大
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项、二项式的系数和
【分析】展开式所有项的二项式系数和为
，A 错误，展开式共有8 项，第4 项和第5 项二项式系数
最大，B 正确，令
得C 错误，第4 项系数小于0，第3 项系数大于0，D 错误，得到答案.
【详解】对选项A：展开式所有项的二项式系数和为
，错误；
对选项B：展开式共有8 项，故第4 项和第5 项二项式系数最大，正确；
对选项C：令
得所有项的系数和为
，错误；
对选项D：
，
，系数小于0，
，
系数大于0， D 错误.
故选：B
3．（2025·新疆·三模）二项式
的展开式中系数的最大值是 ．
【答案】32
【难度】0.85
【知识点】求系数最大（小）的项
【分析】设第
项系数最大，由第
项系数不小于第
项和第
项系数，列不等式组解之可得项数即
可得解．
【详解】展开式第
项系数为
，设第
项系数最大，则
17
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，解得
，∴
，
∴系数的最大值是：
．
故答案为：32.
4．已知
展开式中第三项的二项式系数是10，则
，展开式中系数的绝对值最大的项
是 .
【答案】 5
【难度】0.65
【知识点】求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项
【分析】根据二项式系数的概念和二项式定理的通项公式
即可求出答案.
【详解】由题意，知
，所以
，
又
，将
依次代入，
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
.
所以系数的绝对值最大的项为
.
故答案为：5；
.
重难点题型9 整除与余数问题
1．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）
被除的余数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【难度】0.65
18
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【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题
【分析】由
，写出
的展开式，即可求出
被除的余数.
【详解】因为
，
其中
能被整除，
又
，
所以
被除的余数为
.
故选：B
2．（2023·广东深圳·模拟预测）若
是9 的倍数，则自然数n 为（ ）
A．4 的倍数
B．3 的倍数
C．奇数
D．偶数
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用
【分析】将
化简为
，由此可得选项.
【详解】因为
，
又
是9 的倍数，
∴
为偶数，即
为奇数．
故选：C.
3．（2025·河南许昌·模拟预测）若
，则
被8 整
除的余数为（ ）
19
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A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、整除和余数问题
【分析】令
得
，令
得
，两式相减即可得
，即
利用二项式定理即可求解.
【详解】令
得
，令
得
，
两式相减得
，
所以
，因为
，
，因为
能被8 整除，
所以
被8 整除的余数为4.
故选：C.
4．（24-25 高三上·河南焦作·开学考试）
被10 除的余数为 .
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式、整除和余数问题
【分析】先由题得
再结合二项式定理展开
，根据其展开式结构特征即可求解.
【详解】由题
，
因为
可以被10 整除，
20
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所以
被10 除的余数为1.
故答案为：1.
重难点题型10 二项式定理与数列求和
1．（2025·河北保定·模拟预测）若数列
的前9 项满足
，记
的前
项和
为
，则
.
【答案】16
【难度】0.85
【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的二项式系数、求二项展开式的第k 项、二项式定理与数
列求和
【分析】根据二项展开式公式和数列概念即可得到答案.
【详解】令
，则有
，即
.
又因为根据二项展开式通项公式得
，
故
.
故答案为：16.
2．若对任意
，都有
，（
为正整数），则
的值
等于 .
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】二项式定理与数列求和
【解析】将式子变形后，重新组合，变为关于按
的升幂排列的等式，再根据等式左右两边相等，可得到
系数之间的关系，推出
，即可求得结果.
【详解】
21
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,解得：
，
即
.
故答案为：4.
【点睛】本题考查二项式定理，考查利用展开式对应项系数相等求参数问题，属于中档题.
3．设复数
（是虚数单位），则
．
【答案】0
【难度】0.65
【知识点】二项式定理与数列求和、复数的乘方
【分析】利用二项式定理变形后再计算．
【详解】
．
故答案为：0．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查复数的综合运算，解题关键是利用二项式定理把求值式变成乘
方，然后再由复数运算法则计算．
4．（2025·陕西渭南·二模）若
，则
的值为
.
【答案】
【难度】0.94
【知识点】二项式定理与数列求和
【分析】令
得，1=
；再令
，化简即得解.
【详解】令
得，1=
；
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令
中
得，
，
所以
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求系数和，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平.
重难点题型11 杨辉三角
1．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中
组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用
代表第行，第
个数，
，例如
，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第
行中，
最大
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
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【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、组合数的计算
【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D.
【详解】对于选项A，
，故A 错误；
对于选项B，第100 行中第50 个数是
，又
，故B 错误；
对于选项C，第2025 行中第1013 个数和第1014 个数分别为
和
，
因
，故
，故C 正确；
对于选项D，因为
，
则
，故D 错误；
故选：C.
2．将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0 行
为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3 个数（不足3 个数时，缺少的数以0 计）之和，第k 行
共有2k+1 个数．则关于x 的多项式式
的展开式中，
项的系数（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】杨辉三角
【分析】直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果．
【详解】根据广义杨辉三角的定义：
；
故
；
关于
的多项式
的展开式中
项的系数为
．
故选：D．
3．（2023·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组
合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．第6 行的第7 个数、第7 行的第7 个数及第8 行的第7 个数之和等于第9 行的第8 个数
B．第2023 行中第1012 个数和第1013 个数相等
C．记“杨辉三角”第
行的第个数为
，则
D．第34 行中第15 个数与第16 个数之比为
25
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【答案】D
【难度】0.65
【知识点】杨辉三角
【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错.
【详解】第6 行的第7 个数为1，第7 行的第7 个数为7，第8 行的第7 个数为28，
它们之和等于36，第9 行的第8 个数是
，A 正确；
第
行是二项式
的展开式的系数，
故第
行中第
个数为
，第
个数为
，又
，B 正确；
“杨辉三角”第
行是二项式
的展开式的系数，所以
，
，C 正确；
第34 行是二项式
的展开式的系数，所以第15 个数与第16 个数之比为
，D 不正确.
故选：D.
4．（23-24 高二下·山西·期中）如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列
起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总
和为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角
【分析】结合杨辉三角的性质及组合数的性质计算即可得.
26
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【详解】第三行的第三位数字是
，第四行的第三位数字是
，
第五行的第三位数字是
，
，第十五行的第三位数字是
，
由
，
则
.
故答案为：
.
5．（23-24 高二下·湖北·阶段练习）如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形
的数列：1，2，3，3，6，4，10，
记这个数列前n 项和为
，则
.
【答案】111
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、求等差数列前n 项和
【分析】由“杨辉三角”的性质，得
，前半部分用等差数列求
和，后半部分用组合数的性质可得结果
，再由
即可得解.
【详解】由“杨辉三角”的性质，得
27
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，
所以
.
故答案为：
28
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一、单选题
1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式
的展开式中常数项是（ ）
A．
B．
C．28
D．56
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】写出展开式的通项，即可求出展开式中常数项.
【详解】由题意，
在
中，展开式的通项为
，
令
，解得
，
∴展开式中常数项是
.
故选：C.
2．（2025·湖南长沙·三模）二项式
的展开式中第5 项的系数为（ ）
A．252
B．-252
C．210
D．-210
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】求出展开式的通项，从而可得第5 项的系数．
【详解】二项式
展开式的通项公式
，
当
时，第5 项系数为
210．
故选：C.
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3．（2024·陕西宝鸡·一模）
展开式中的第四项为（ ）
A．
B．
C．240
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】
展开式的通项公式为
，
所以
,
故选：B
4．（2023·全国·模拟预测）已知二项式
，
的展开式中第四项的系数最大，则a 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式的应用
【分析】可令展开式中第
项系数最大，结合二项式展开式的通项公式列出不等式组，即可求得正确答
案．
【详解】二项式
展开式的通项公式为
，其中
，
由
（其中
），即
，
，
，
依题意可知
使上式成立，即
，故
，
30
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所以
，
故选：A
5．（24-25 高三下·山东泰安·阶段练习）二项式
的展开式中，常数项为（ ）
A．24
B．6
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k 项、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】根据给定条件，求出
展开式的通项，进而确定常数项并求解.
【详解】依题意，
展开式中的通项公式为
，
显然
无解，由
，得
，
所以所求常数项为
.
故选：D
6．（24-25 高二下·天津滨海新·期中）在
的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开
式中
的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值
【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得
的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得
的系数．
【详解】
在
的展开式中，只有第6 项的二项式系数
最大，
它的展开式共计有
项，
，
故二项展开式的通项公式为
，
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令
，求得
，可得在
的展开式中
的系数为
，
故选：A．
7．（2025 高二·江苏·专题练习）在
的展开式中含
项的系数为15，则展开式中二项式系数最大
的是第（ ）项
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式的应用、二项式系数的增减性和最值
【分析】根据二项式定理展开式化简得出通项，结合已知列出方程组求出
的值，结合二项式定理的性质
即可得出答案.
【详解】根据二项式定理可知
的展开式的通项为
.
由已知可得，
，解得
.
根据二项式定理的性质可知，该展开式中二项式系数最大的是第4 项.
故选：C.
8．（2024·安徽·二模）已知
的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5 项
B．第6 项
C．第7 项
D．第8 项
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求系数最大（小）的项、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数和可得
，即可根据通项特征，列举比较可得最大值.
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【详解】由已知
，故
，故通项为
（
，1，…，8），
故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
故
最大，因此第七项的系数最大，
故选：C．
9．（2023·浙江·模拟预测）若二项式
的展开式中只有第7 项的二项式系数最大，若展
开式的有理项中第
项的系数最大，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、求系数最大（小）的项、求有理项或其系数
【分析】根据条件可得
.写出展开式的通项
，则当是偶数时，该项为有理项，求
得所有的有理项的系数，可解出
的值.
【详解】由已知可得，
.根据二项式定理，知展开式的通项为
，显然当是偶数时，该项为有理项，
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
.
经比较可得，
，即
时系数最大，即展开式的有理项中第5 项的系数最大．
故选：A.
33
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10．（2025·山东枣庄·二模）已知
，则
被4 除的余数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、整除和余数问题
【分析】分别赋值
以及
，可推得
，然后将
展开即可得出答案.
【详解】令
，由已知可得，
，
令
，可得
，
所以
.
因为
，
所以
被4 除的余数为1，即
被4 除的余数为0，
故选：D.
二、填空题
11．（2025·安徽蚌埠·二模）在
的展开式中，常数项为 .
【答案】672
【难度】0.94
34
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【知识点】求二项展开式的第k 项、求指定项的系数
【分析】利用二项式展开式的通项公式，计算即可得结果.
【详解】由题意得
，
令
，解得
，故常数项为
.
故答案为：
12．（2023·江苏扬州·模拟预测）若
，则
被5 除所得的余数为 ．
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】二项式的系数和、二项展开式的应用、整除和余数问题
【分析】取
，可以求得
，进而根据二项式定理展开，判断被5 除得的余数.
【详解】由题知
时，
， ，
故
所以被5 除得的余数是
1.
故答案为：1.
13．（2020·浙江·模拟预测）在二项式
的展开式中，已知第4 项的二项式系数为20，则
，
的系数为 ．
【答案】 6 60
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、二项展开式的应用
【分析】先根据第4 项的二项式系数求得
的值，再根据二项展开式的通项求
的系数.
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【详解】二项式
的展开式中，第4 项的二项式系数为
，
故
，解得
，
所以
的展开式的通项为
，
令
，解得
，
所以
的系数为
.
故答案为：
；
.
【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式以及指定项的二项式系数的求法，考查学生的运算求解能力，
属于基础题.
14．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）二项式
的展开式中的常数项为 （用
数字作答）.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k 项、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】先求出
展开式的通项，再按照展开式的次数为-2 与0 两种情况分类即可求出.
【详解】因为
展开式的通项为
，
令
，得
，则对应的项为
，
令
，得
，则对应的项为
.
故二项式
的展开式中的常数项为
.
故答案为：
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15．（2025·湖北·一模）已知在
，
的展开式中，有且只有第
项的二项式系数最大，则展
开式中
的系数为
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值
【分析】根据二项式系数的性质求出
的值，写出二项展开式通项，令
的指数为，求出参数的值，代
入通项即可得解.
【详解】依题意可知
，
的展开式通项为
，
令
，则
，故
的系数为
.
故答案为：
.
16．（2023·山东青岛·三模）若
展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的
项的二项式系数为 ．（用数字作答）
【答案】28
【难度】0.65
【知识点】求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项、二项式的系数和
【分析】
根据二项式系数之和可得
，结合二项展开式的通项公式求系数最大项，进而可求其二项式系数.
【详解】因为展开式的所有项的二项式系数和为
，解得
，
则
展开式为
，
可得第
项的系数为
，
令
，即
，解得
，
37
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所以展开式中第
项系数最大，其二项式系数为
.
故答案为：28.
17．（2021·山西·一模）已知函数
，则下列关于
展开式的命题中，所有真命题的序号
是 ．
①当
时，
展开式共有11 项；
②当
时，
展开式第3 项与第6 项的二项式系数之比为
；
③当
时，
展开式中，各项系数之和为
；
④当
时，
展开式中，系数最小的项是
．
【答案】②④
【难度】0.85
【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项、二项展开式的应
用
【分析】利用二项式定理对
个命题逐一分析，由此确定真命题的序号.
【详解】对于①，易知当
时，
展开式共有12 项，故①错误；
对于②，
时，
展开式第3 项与第6 项的二项式系数之比为
，故②正确；
对于③，
时，设
，令
，得
，故③
错误；
对于④，
时，
展开式的通项
，其中
，显然当
时，
系数为正数，
时，
的系数为负数；
当
时，
时，
时，
，
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故系数最小的项是
，④正确．
故答案为：②④
18．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要
研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5 阶杨辉三角．
若第
行中从左到右第3 个数与第5 个数的比为
，则
的值为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】杨辉三角、组合数方程和不等式
【分析】根据杨辉三角数字规律得到
，再由组合数公式计算可得.
【详解】依题意可知第
行的数从左到右分别为
，
所以
，即
，得
，解得
或
（舍去），
所以
的值为
.
故答案为：
19．（2025·四川巴中·一模）
除以7 的余数为 ．
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题
【分析】由
，利用二项式定理展开计算即可．
【详解】解：因为
，
39
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除以7 的余数是
故答案为：
40
