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专题10.4 随机事件、频率与概率
重难点题型1 随机事件与样本空间
1．下列事件中，是随机事件的是（ ）
①明天本市会下雨
②投掷2 颗质地均匀的骰子，点数之和为14
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上
④13 个人中至少有2 个人的生日在同一个月
A．①③
B．③④
C．①④
D．②③
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断事件是否是随机事件、随机现象
【分析】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断.
【详解】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
②不可能发生，是不可能事件；
④一定发生，是必然事件.
故选：A
2．（2024·云南·一模）下列事件是必然事件的是( )
A．某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军
B．一个三角形的大边对的角小，小边对的角大
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
随机事件与样本空间
重难点题型2
随机事件的关系与运算
重难点题型3
频率与概率
重难点题型4
生活中的概率
重难点题型5
互斥事件与对立事件
重难点题型6
利用互斥事件与对立事件计算概率
1
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C．如果a＞b，那么b＜a
D．某人购买福利彩票中奖
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判断事件是否是随机事件
【分析】根据事件的分类理解判断．
【详解】选项A 为随机事件，选项B 为不可能事件，选项C 为必然事件，选项D 为随机事件．
故选：C．
3．（25-26 高二上·海南·阶段练习）盒子中有四个小球，分别写有“知”“行”“合”“一”四个字，从
盒子中有放回抽取小球，直到取到“知”“行”二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概
率：利用电脑随机产生0 到3 之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3 代表“知”“行”“合”“一”
这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18 组随机数：
323 231 320 032 132 031 123 330 110
321 120 122 321 221 230 132 322 130
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率
【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.
【详解】由于0，1 代表“知”“行”，恰好第三次就停止的情况有：031，110，120，130
共有4 种情况，故概率为
，
故选：D
4．（2024·辽宁锦州·模拟预测）（多选题）现有分别标有2024，2021，2028，2023，2020，2022 数字的6
张卡片，下列说法正确的是（ ）
A．卡片数字的第80 百分位数为2024
B．从中随机抽取两张，共有30 种不同的组合
C．从中随机抽取一张，抽到偶数的概率比奇数大
D．从中随机抽取一张，抽到质数是等可能事件
【答案】AC
2
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【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、判断事件是否是随机事件、总体百分
位数的估计
【分析】求出第80 百分位数判断A；利用组合计数判断B；求出概率判断C；确定质数个数判断D.
【详解】对于A，由
，得数据2020，2021，2022，2023，2024，2028 的第80 百分位数为
2024，A 正确；
对于B，从中随机抽取两张，共有
种不同的组合，B 错误；
对于C，从中随机抽取一张，抽到偶数的概率是
，抽到奇数的概率是
，C 正确；
对于D，6 张卡片上的数都是合数，抽到质数是不可能事件，D 错误.
故选：AC
5．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．对任意的事件A，都有P（A）>0
B．随机事件A 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D．若事件
事件B，则
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】辨析概率与频率的关系、确定性事件与随机事件的概率、概率的基本性质
【分析】根据题意，由概率的定义依次分析选项，即可得答案．
【详解】解：对任意的事件A，都有
，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A 错
误，C 正确；
对于
，随机事件
发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，
正确，
对于D，若事件
事件B，则
，故D 正确；
故选：BCD
重难点题型2 随机事件的关系与运算
1．（2025·湖北武汉·三模）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2 只，记事件
“取出
的鞋不成双”；
“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式、确定所给事件的包含关系
【分析】A 写出事件
包含的基本事件；B 根据古典概型的概率公式求出
；C 事件
是不可能事件；
D 利用概率的加法公式.
【详解】假设运动鞋的左脚为
，右脚为
，凉鞋的左脚为
，右脚为
，
则选出两只鞋包含了
6 种，
其中事件
包含了
4 种，
事件
包含了
2 种，事件
包含了
2 种，
故
，则A 错误；
，
，
，
，故BC 错误；
，故D 正确.
故选：D
2．（2025·吉林·二模）已知随机事件A 和B，下列表述中错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
互斥，则
D．若
互斥，则
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】互斥事件的概率加法公式、确定所给事件的包含关系
【分析】根据根据事件
的包含关系即概率的性质，可判断AB 的真假；根据事件
的互斥关系即互
斥事件的概率特征可判断CD 的真假.
4
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【详解】若
，则
，
，故AB 选项的内容都是正确的；
若
互斥，则
，
，所以C 选项的内容是错误的，D 选项的内容是正确
的.
故选：C
3．（2024·江西·三模）A、B 是一个随机试验中的两个事件，且
，则下
列错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、事件的运算及其含义、利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用
【分析】由
可得
，由
可得
，再结合
可求出
，再利用条件概率公式求解即可.
【详解】
，
，
又
，
，故C 错误；
，
，
，故A 正确；
，
，故B 正确；
，故D 正确.
故选：C.
4．设
，
是两个随机事件，且
发生
必定发生，
，
，给出下列各式，其中正
5
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确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、概率的基本性质、确定所给事件的包含关系
【分析】由题设知
，即
，
，结合条件概率公式判断各项正误.
【详解】由
，
是两个随机事件，且
发生
必定发生，知：
，即
，
，
所以
，
，
，A、B、D 错，C 对；
故选：C
5．（23-24 高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，
表示事件“第一次抛掷骰子的
点数为2”，
表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，
表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为
6”，
表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．
与
为对立事件
B．
与
为相互独立事件
C．
与
为相互独立事件
D．
与
为互斥事件
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析
【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由
，
，即可判断
A；由
即可判断B；由
即可判断C，由
即可判断D.
【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样
6
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本空间
如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共36 个.
则事件
包括
，
，
，
，
，
，共6 个，
，
事件
包括
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共18 个，
，
事件
包括
，
，
，
，
，共5 个，
，
事件
包括
，
，
，
，
，
，共6 个，
.
对于A，
，
，所以
与
不为对立事件，故A 错误；
对于B，事件
且
包括
，则
，又
，
，
所以
，即
与
不相互独立，故B 错误；
对于C，事件
且
包括
，
，
，则
，又
，
，
所以
，即
与
相互独立，故C 正确；
对于D，事件
且
包括
，
，
，则
，即
与
不为互斥事件，故D 错误.
故选：C.
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）已知事件
，且
，则（ ）
A．事件
与事件
互为对立事件
B．若事件
与事件
互斥，则
7
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C．若事件
与事件
互斥，则
D．若
，则事件
与事件
相互独立
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】确定所给事件的对立关系、独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式
【分析】根据对立事件的定义，互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答即可.
【详解】对于A,由于对立事件概率和为1，但
，A 错误，
对于B、C,由事件
与事件
互斥，
，
,
所以B 正确 ,C 错误
对于D,因为
，
，故事件
与事件
相互独立，所以事件
与事件
相互独立,D 正确.
故选:BD
7．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选题）已知A，B 为随机事件，且
，
，则下列结
论错误的是（ ）
A．若
互斥，则
B．若
相互独立，
C．若
，则
D．若
相互独立，则
【答案】CD
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求
概率
【分析】利用互斥事件的概率公式判断A；利用概率的加法公式判断B；利用对立事件和条件概率的概率
公式判断C；利用独立事件的概率公式判断D.
【详解】若
互斥，则
，故A 正确；
若
相互独立，则
，
8
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则
，故B 正确；
若
相互独立，则
相互独立，
则
，故D 错误；
若
，则
，
则
，则
，
则
，故C 错误.
故选：CD
8．（2024·全国·模拟预测）设
是随机事件，且
，则
．
【答案】
/0.125
【难度】0.94
【知识点】事件的运算及其含义、概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】求出
，从而根据事件的运算关系求出概率.
【详解】因为
，所以
，
故
．
故答案为：
9．（23-24 高二下·江苏·课前预习）A，B 是一个随机试验中的两个事件，若
，
，
，则
.
【答案】
9
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【难度】0.85
【知识点】计算条件概率、概率的基本性质
【分析】先根据条件概率公式求出
，再根据
求出
即可.
【详解】由
，有
，
又由
，有
，
可得
．
故答案为：
.
重难点题型3 频率与概率
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中
的20 个班一共抽取40 个人进行询问，其中各班人数均为50 人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算古典概型问题的概率、用频率估计概率
【分析】计算全校的人数或计算各班抽取的人数后可求学生被选中的概率.
【详解】法一：全校总人数为
人，一共抽取40 人，
则被抽到的概率为
；
法二：一个班抽取的人数为
，
则被抽到的概率为
.
故选：B.
2．某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率
视为概率），则下列说法正确的是（ ）
10
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A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间
内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15 天的概率为0.465
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由频率分布直方图估计中位数、用频率估计概率、由频率分布直方图估计平均数、频率分布直
方图的实际应用
【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的
求法判断正误．
【详解】由图知：
、
、
、
、
、
的频率分别为
、
、
、
、
、
，
对于A：
内的天数最少，故A 错误；
对于B：估计锻炼天数超过15 天的概率为
，故B 正确；
对于C：由
、
、
频率和为
，设中位数为x，
则
，可得
，故C 错误；
对于D：平均天数为
天，故D 错误；
故选：B．
3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000 个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质
量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
11
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A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1 个零件，其质量指标在
的概率约为0.5
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、
频数、样本容量、总体容量、用频率估计概率
【分析】利用各组的频率之和为1，求得
的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估
计概率值，从而判定D.
【详解】
，解得
，故A 正确；
频率最大的一组为第二组，中间值为
，所以众数为45，故B 正确；
质量指标大于等于60 的有两组，频率之和为
，所以60 不是中位数，故C 错误；
由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为
，可以近似认为从这批产品中随机选取1 个
零件，其质量指标在
的概率约为0.5，故D 正确.
故选:
4．（2025·福建泉州·模拟预测）某
系统通过摄像头识别手势，准确率为
．若连续识别3 次手势，至
少有一次识别错误的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
12
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【难度】0.94
【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】根据概率的乘法公式及对立事件即可求解．
【详解】若连续识别3 次手势，至少有一次识别错误的对立事件为三次都识别正确，
所以至少有一次识别错误的概率为
，
故选：A．
5．（25-26 高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选题）某次数学月考的一道多选题，共4 个选项，全部选对
得6 分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3 分，若标准答案为三个选项，
选对一个选项得2 分，选错得0 分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，
以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2 分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4 分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2 分的概率与得4 分的概率相同
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率
【分析】A 选项，列举得到共有4 种情况，有3 种情况满足要求，故能得2 分的概率为
；B 选项，列举得
到共有6 种情况，有3 种情况满足要求，能得4 分的概率为
；C 选项，列举得到共有11 种情况，有4 种
情况满足要求，故得分的概率为
，由于
，C 错误；D 选项，列举得到共有15 种情况，能得2 分的
情况为A，B，D，能得4 分的情况为AB，AD，BD，故得2 分的概率与得4 分的概率相同，D 正确.
【详解】A 选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4 种情况，分别为A，B，C，D，
其中有3 种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2 分的概率为
，A 错误；
B 选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6 种情况，
分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4 分的情况有3 种，为AB，AD，BD，
13
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故乙同学仅随机选择两个选项，能得4 分的概率为
，B 正确；
C 选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11 种情况，
分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，
其中得分的情况有4 种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为
，
由B 可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为
，
，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C 错误；
D 选项，丁同学选择至少一个选项，共有15 种情况，
分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，
能得2 分的情况为A，B，D，故能得2 分的概率为
，
能得4 分的情况为AB，AD，BD，故能得4 分的概率为
，
丁同学选择至少一个选项，能得2 分的概率与得4 分的概率相同，D 正确.
故选：BD
重难点题型4 生活中的概率
1．（23-24 高三上·河南·阶段练习）某同学做立定投篮训练，共场，每场投篮次数和命中的次数如表中记
录板所示．
第一场
第二场
第三场
投篮次数
投中次数
根据图中的数据信息，该同学场投篮的命中率约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算频率
【分析】根据题意由总的投中次数除以总的投篮次数，可得答案.
【详解】该同学3 场投篮的命中率为
，
故选：B．
14
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2．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200 名学生进行了调查．调查
中使用了下面两个问题：
问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50 个白球和50 个红球的袋子，每
个被调查者随机从袋子中摸取1 个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，
摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么
都不要做，如果一年按365 天计算，且最后盒子中有60 个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的
百分比为（ ）
A．7%
B．8%
C．9%
D．30%
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】其他问题中的概率解释
【分析】根据摸到白球和红球的概率都为
，一年365 天中，阳历为奇数的有186 天，即可估计对应人数
【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50 个白球和50 个红球的袋子中，随机摸出1 个球，
摸到白球和红球的概率都为
，因此，这200 人中，回答了第一个问题的有100 人，而一年365 天中，阳
历为奇数的有186 天，所以对第一个问题回答“是”的概率为
，所以这100 个回答第一个问题
的学生中，约有51 人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100 人中，约有9 人回答了
“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%．
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的
点数之和小于
，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于
，则乙得一分，最先得到10 分者获胜.
为确保游戏的公平性，正整数
的值应为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】游戏的公平性
【分析】根据对称性可知当乙得一分时的点数之和为
时，与甲得一分的概率相等，由此确定
15
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.
【详解】对于甲，掷两次骰子的点数之和为
时，甲能够得一分，
则由对称性可知，掷两次的骰子的点数之和为
分别与掷两次骰子的点数之和为
对应的概
率相等，
为确保游戏的公平性，需
，此时甲乙得分概率相等.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特
别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的
个黑球和
个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是
奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若
人中有
人回答了“是”，
人
回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以
人的频率估计概率） ．
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】用频率估计概率
【分析】计算出摸到黑球且回答“是”的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果.
【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到个白球或黑球的概率均为
，
所以，
人中回答第一个问题的人数为
，则另外
人回答了第二个问题，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为
，即摸到黑球且回答“是”的人数为
，
则摸到白球且回答“是”的人数为
，
所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为
.
故答案为：
.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）在一个口袋中放有
个白球和
个红球，这些球除颜色外都相同，某班50
名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10 次，其中摸到白球的次数共152 次，
以频率估计概率，若从口袋中随机摸1 个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一
位小数）
【答案】0.7
【难度】0.94
【知识点】用频率估计概率
【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可.
【详解】由题意可知：一共摸500 次，其中摸到白球的次数共152 次，摸到红球的次数共348 次，
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所以摸到红球概率的估计值为
.
故答案为：0.7
6．（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法
调查了
人，已知非吸烟者占比
，吸烟者中患肺癌的有
人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌
的概率是未吸烟者患肺癌的概率的
倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】其他问题中的概率解释
【分析】设非吸烟者患肺癌的概率为
，根据题意列出方程，求出
，即可得到答案
【详解】本次研究调查中，非吸烟者有7500 人，吸烟者样本量有2500 人，
设非吸烟者患肺癌的人数是
人，则
，
，
因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45 人．
故答案为：
.
重难点题型5 互斥事件与对立事件
1．（24-25 高二下·江苏镇江·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为
，
事件
，事件
，则（ ）
A．M 与N 是互斥事件
B．M 与N 是相互独立事件
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算条件概率、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系
【分析】根据互斥事件与独立事件定义可判断A 错误，B 正确，由条件概率公式计算，可判定C 错误，再
由对立事件公式计算，可判定D 错误.
【详解】对于A 中，当掷出2，此时事件
同时发生，所以M 与N 不是互斥事件，所以A 错误；
对于B 中，由
，
，
，满足
，所以B 正确；
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对于C 中，由B 知：
，所以C 错误；
对于D 中，由
，
，
所以
，所以D 错误．
故选：B.
2．（2025·山东泰安·模拟预测）在一次随机试验中，三个事件
、
、
发生的概率分别是
、
、
，则下列选项正确的是（ ）
A．
是必然事件
B．
与
是互斥事件，也是对立事件
C．
．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】互斥事件的概率加法公式、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系
【分析】利用互斥事件的定义可判断B 选项；利用并事件的概率公式可判断ACD 选项.
【详解】对于A 选项，
，
所以
不一定是必然事件，A 错；
对于B 选项，因为
不一定是不可能事件，故
与
不一定互斥，B 错；
对于C 选项，
，C 对；
对于D 选项，
，D 错.
故选：C.
3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知
，
是样本空间
中的随机事件，
，若
，
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，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】利用条件概率和全概率计算公式，列出关于
的方程求解.
【详解】因为
，
.
又
，
所以
.
故选：A
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数
图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有
，
，
，
，
，
，
，
八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中
在
图示中①的位置，
在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知
与除
以外的
运动员比赛胜率为
，
与除
以外的运动员比赛胜率为
，除此以外其余场次比赛（包括
间的比
赛）每位运动员胜率都为
，则运动员
夺得冠军的概率为 ．
【答案】
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【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】根据相互独立事件的概率公式求出
夺冠，
夺冠的概率，再由对立事件的概率关系和概率的对
称性可得解.
【详解】
进入决赛的概率为
，
进入决赛的概率为
，
夺冠有两种情况，
进入决赛和
没进入决赛，所以
夺冠的概率为
，
夺冠有两种情况，
进入决赛和
没进入决赛，所以
夺冠的概率为
，
所以
或
夺冠的概率为
，由概率的对称性可得，
夺冠的概率为
.
故答案为：
.
5．（2025·辽宁·模拟预测）已知甲、乙两名同学在限定时间内解答同一道数学难题，甲同学解出的概率为
，乙同学解出的概率为
，且甲、乙两同学解出该难题与否相互独立，若该难题在限定时间内被解出，
则这两名同学都解出了该难题的概率为 .
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】利用对立与独立事件的概率公式和利用条件概率公式计算.
【详解】记事件M 为“该数学难题被解出”，事件N 为“这两名同学都解出了该难题”，
则
，
，
若该难题在限定时间内被解出，则这两名同学都解出了该难题的概率
.
故答案为：
.
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6．（2025·四川成都·模拟预测）甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛．已知乙丙丁三人胜率
完全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为
，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同
为最高者并列冠军．问：甲拿到冠军的概率是 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】按甲拿冠军时的得分情况分类求解可得.
【详解】由题意知，甲乙丙丁四人共进行
场比赛，且每人共参加
场比赛，
故甲拿到冠军至少拿
分，至多拿分，分类情况如下：
第一类：甲共得分拿到冠军，即甲与乙丙丁三人的比赛均获胜拿到冠军，
故事件“甲共得分拿到冠军”的概率为
；
第二类：甲共得
分拿到冠军，即甲恰与乙丙丁三人比赛中
场获胜场败，且其余三人得分均小于等于
分.
记事件
“甲共得
分”，
“甲拿到冠军”，
则事件“甲共得
分拿到冠军”即为
，
则
“甲共得
分未拿到冠军”，即甲恰与乙丙丁三人比赛中
场获胜场败，且乙丙丁中有人得
分”，
由
“甲共得
分”，即甲恰输给乙丙丁中一人，
则
；
若乙丙丁中有人得分，因为每人参加场比赛，至多得分，
则得分的人必然是乙丙丁中赢得甲的人，且另外两人人得分，另人得
分.
故
故“甲共得
分拿到冠军”的概率为
；
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故甲拿到冠军的概率为
.
故答案为：
.
重难点题型6 利用互斥事件与对立事件计算概率
1．（24-25 高二下·广东茂名·阶段练习）已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，
该预赛共有3 道解答题，3 道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3 道解答题的概率依次为0.8，
，则该同学按题号顺序连续正确解答出2 道解答题但没获得满分的概率为（ ）
A．0.408
B．0.384
C．0.246
D．0.532
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】应用互斥事件概率及独立事件乘法公式计算即可.
【详解】由题意可得所求事件的概率为
．
故选：A．
2．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了
分，受到爸爸表扬的概率为
，受到妈妈表扬的概率
也为
，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得
解.
【详解】记小王受到爸爸表扬为事件
，小王受到妈妈表扬为事件
，小王受到表扬为事件
，
小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则
.
故选：C.
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3．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为
的四个外观相同的空箱子中随机选
择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个
箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以
便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用
表示号箱有奖品（
），用
表示主持人打开
号箱子（
），则
，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
【答案】
/0.375
【难度】0.4
【知识点】决策中的概率思想、利用全概率公式求概率、计算条件概率
【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定
；分别考虑奖品在号箱、不在号箱的情况，
根据此时更改选择，结合全概率公式求解即可.
【详解】奖品在号箱，甲选择了号箱，主持人可打开
号箱，则
；
若奖品在号箱，其概率为
，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为
；
若奖品不在号箱，其概率为
，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的个，
若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为
；
若抽奖人更改选择，其中奖的概率为
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据根据奖品所在箱子号
码，确定主持人可打开的箱子数，由此确定选中中奖箱子的概率.
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙
两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为
，乙在每局比赛中获胜的概率为
，各局比赛结果
相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1 局，则最终乙获胜的概率为 ．
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【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式
【分析】讨论{第3 局乙负，第4，5 局乙胜}、{第3 局乙胜，第4 局乙负，第5 局乙胜}、{第3，4 局乙胜}三
种情况，应用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可.
【详解】乙最后的胜利包含三种情况：
一是第3 局乙负，第4，5 局乙胜，此时乙胜的概率为
；
二是第3 局乙胜，第4 局乙负，第5 局乙胜，此时乙胜的概率为
；
三是第3，4 局乙胜，此时乙胜的概率为
乙获胜的概率为
．
故答案为：
5．（2025·全国·模拟预测）随着郑钦文获得2024 年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．
某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲
对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为
，乙胜丁的概率为
，甲胜
丁的概率为
，且各场比赛的结果相互独立．
(1)求甲获得冠军的概率；
(2)如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜
的概率为
．求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立重复试验的概率
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问题
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式列式计算.
（2）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率求出条件概率.
【详解】（1）设
“甲胜丙”；
“乙胜丁”；
“甲胜乙”；
“甲胜丁”；
“甲获得冠
军”，
则
，
，
所以甲获得冠军的概率是
.
（2）记
“决赛中甲获胜”，
“比赛打满5 盘”，
甲胜包括甲“连赢三盘”、“前三盘两胜一负第四盘胜”、“前四盘两胜两负，第五盘胜”三种情况，
因此
，
，
因此
，所以在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率为
．
6．（2025·江西新余·模拟预测）某高校为了丰富大学生的业余生活，每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛
和淘汰赛，该高校的李猛和张明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束
并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李猛每局获胜的概率为
，张明每局获胜的概率为
，每局比赛相互独立.
(1)求四局结束比赛的概率；
(2)此次决赛设总奖金10 万元，若决赛结果为3:0，则冠军奖金为8 万元，亚军奖金为2 万元；若决赛结果
为3:1，则冠军奖金为7 万元，亚军奖金为3 万元；若决赛结果为3:2，则冠军奖金为6 万元，亚军奖金为4
万元.求李猛此次决赛获得奖金数
的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【难度】0.65
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【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型
随机变量的均值
【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解即可；
（2）先确定
的所有可能取值，然后再求出对应事件的概率，代入期望公式求解即可.
【详解】（1）记事件
：“四局结束比赛”，
则
李猛赢
张明赢
.
（2）由题意知，
的所有可能的取值为2，3，4，6，7，8，
所以
，
，
所以
的分布列为：
2
3
4
6
7
8
所以奖金数
的期望为
（万元）.
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