文档文本内容
第 15 讲函数的实际应用
（知识清单+3 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3年考查情况 题型 分值
指数增长模型应用，考查增长率建模 y=N(1+p) x，结合实际情境判断增长趋 多选题 6分
势
三种函数模型增速对比，核心结论：ax ≫x≫log x(a>1)，判断实际增长快 单选题 5分
a
慢
b 解答题 12分
二次函数最值建模，利用 x=− 求解实际利润、面积最值问题
2a
指数衰减模型应用，考查折旧、衰减类实际建模 y=N(1−p) x 单选题 5分
一次函数线性建模，匀速、定额变化类实际问题求解 填空题 5分
k 解答题 12分
对勾函数最值应用，利用 x+ ≥2❑√k 求解实际成本最值问题
x
对数函数模型性质，考查饱和型增长规律，辨析三种模型变化特征 多选题 6分
幂函数模型实际应用，几何面积、体积类建模判断 单选题 5分
综合函数建模，融合指数、二次函数模型，求解实际动态变化与最值问题 解答题 12分
【知识点01】三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xα(α>0)
a
性质
在(0,＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现随 x 的增大逐渐表
图象的变化 随α值的变化而各有不同
为与 y 轴 平行 现为与 x 轴 平行【例1】某养殖场家禽数量年增长率为8%，现有家禽500只，建立x年后家禽总数的函数模型。
【知识点02】常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0)
k
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k,b为常数,k≠0)
x
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
a
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
【例1】用长度为80m的篱笆围成矩形菜园，求菜园的最大面积。
【题型一】常见的函数模型(1)——二次、分段函数
【例1】（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量 天然气价格
不超过 2.98元超过 但不超过 的部分 3.60元
超过 的部分 4.50元
若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ）
A． B． C． D．
【例2】劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生
去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足 ，
每天的成本合计为 元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为
___________万元.
【例3】（2026·山东·一模）咖啡店销售一款咖啡，每杯的销售价为10元时，每天可以销售200杯，为提高咖啡加工
品质，进行了设备更新，为此咖啡店提高了销售价（规定为1元的整数倍）．经市场调研发现，每杯的销售价每提高
1元，每天少销售5杯（不考虑其他因素）．问每杯咖啡的销售价为多少时，可使每天的销售额最大，最大销售额是
多少?
【变式1】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形 是上底为 ，下底为 ，高为 的等腰梯形，记梯
形 位于直线 左侧的阴影部分的面积为 ，则 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【变式2】某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人
数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：
按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团
购票总费用的最小值为___________元.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）某种汉堡是某西餐店火爆的快餐品种之一，该店该种汉堡的成本为每个10元，
售价为每个15元，若当天没有售出，则全部销毁．
(1)若该西餐店某天制作该种汉堡 （ ）个，求该西餐店当天该种汉堡的利润 （单位：元）关于当天需求量
（单位：个， ）的函数解析式；
(2)该西餐店某月（按30天算）每天制作该种汉堡90个，并对该月该种汉堡的日需求量（单位：个）进行统计，对统
计数据进行分析制成条形图如图所示，求该西餐店该月这种汉堡的平均日利润．
【题型二】常见的函数模型(2)——指数、对数、幂函数
【例4】（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义
声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离 声压级燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【例5】（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质 含量非常高，它可
以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知 的质量 随时间 （年）的
指数衰减规律是： （其中 为 的初始质量）．则当 的质量衰减为最初的 时，所经过的时间
约为（参考数据： ， ）（ ）
A． 年 B． 年 C． 年 D． 年
【例6】（2024·山西·模拟预测）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速
（单位： ）可以表示为 ，其中 表示鱼的耗氧量的单位数，当一条大西洋鲑鱼静止时，它的耗氧
量的单位数 ______.
【变式1】（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强 （单位：W/m2）和定值 （单位：W/m2）比值的常用对数
值再乘以10，即声强级 （单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和
人与人交谈时的声强的比值约为 ，那么这种火箭发射的声强级约为（ ）
A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB
【变式2】（2025·四川眉山·模拟预测）某工厂生产某零件，2025年8月共生产该零件1万件，根据市场需求，计划
这之后每月的产量在前一个月的产量的基础上增加20%，则2025年10月该工厂这种零件的产量为______万件，2026
年2月该工厂这种零件的产量______（填“能”或“不能”）超过3万件.（参考数据： ， ）
【变式3】（2024·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关 研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把
茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是 ，室温是 ，那么 后茶水的温度 单位： ，可由公式
求得，其中 是常数，为了求出这个 的值，某数学建模兴趣小组在 室温下进行了数学实
验，先用 的水泡制成 的茶水，利用温度传感器，测量并记录从 开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜
集整理到了如下的数据：
(1)请你利用表中的一组数据 ， 求 的值，并求出此时 的解析式 计算结果四舍五入精确到 ；
(2)在 室温环境下，王大爷用 的水泡制成 的茶水，想等到茶水温度降至 时再饮用，根据（1）的结果，
王大爷要等待多长时间 计算结果四舍五入精确到 分钟 ．
参考数据： ， ， 是自然对数的底数，
【题型三】函数模型的应用实例
【例7】（2026·浙江绍兴·模拟预测） 年某新能源车企搭载AI智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程
与行驶总时间 满足函数关系 ．该车先匀速行驶 ，之后进入拥堵路段，系统切换能耗模式，
剩余续航按 衰减（ 为匀速 后的剩余续航， 为拥堵行驶时间）．当剩余续航降至 时，汽车从出
发到此刻的总行驶时长约为（ ）（参考数据： ）
A． B． C． D．
【例8】（2025·云南·模拟预测）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器
的最大速度 （单位： ）与燃料的质量 （单位： ）和飞行器（除燃料外）的质量 （单位： ）的函数关
系是 ．已知质量为 的飞行器所处高空的音速为 ，若燃料的质量分别为 和 时，最
大速度对应的马赫数分别为1和11，则 ___________．【例9】（2024·吉林长春·模拟预测）某制药厂临床试验一批新药的疗效（ -因子是主要成分），根据国家规定：服
用新药后100mL血液中 -因子含量达到 认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为
无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中 -因子的浓度呈线性增长，当其上升到 时，血液中
-因子的浓度将会以每小时 的速度减少（函数模型如图）．
(1)请写出服用该药后血液中 -因子浓度 （单位： ）随时间 （单位：小时）变化的关系式；
(2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中 -因子才能降至无效？（结果取整数）．
（参考数据： ）
【变式1】（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风
力等级与轮毂高度风速的关系满足方程： （其中 为轮毂高度风速，单位： ， 为风力等级）．
我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到 ，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）
（注： ， ）
A．9级 B．11级 C．13级 D．15级
【变式2】（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积 单位： 与时间 单位：月 的
关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为 ，第5个月时，浮萍面积就会超过 ，下列
函数模型：① ，② ，③ ，④ 中，最符
合浮萍面积y与时间t关系的模型是______ 填写序号 ，若浮萍蔓延到 ，所经过的时间 ______.【变式3】（2025·安徽合肥·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽
省合肥市于 年开通了地铁 号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔 （单位：分钟）满足 ，经市
场调研测算，列车载客量与发车时间间隔 相关，当 时，载客量会逐渐增加，载客量与 成一次函数关
系，且发车时间间隔为 分钟时的载客量为 人，当 时，列车为满载状态，载客量为 人，记列车载客
量为 .
(1)求 的表达式，并求当发车时间间隔为 分钟时，列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为： （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收
益最大，并求出最大值.
【解题大招01】一次函数建模技巧（匀速线性问题）
解题技巧：实际问题中均匀变化、固定收费、定额增减类问题，统一套用一次函数。固定常量为截距b，单位变
化量为斜率k，无需复杂推导，直接建模。
核心公式：y=kx+b(k≠0)
易错提醒：实际问题必须限定定义域，x≥0，人数、数量类需满足x∈N∗。
【例1】某奶茶店外送服务费基础4元，每超出1公里加收1.2元，设超出公里数为x，求总服务费解析式。
【解题大招02】指数模型秒杀技巧（增长率/衰减率问题）
解题技巧：题干出现“增长率、降低率、折旧、复利、繁殖、衰变”，直接锁定指数函数模型，是高考最快秒杀技巧。
核心公式
增长模型：y=N(1+p) x
衰减模型：y=N(1−p) x
其中：N为初始量，p为变化率，x为时间/变化次数。
【例2】某基金年化收益率3.5%，存入本金20000元，复利计息，求x年后本息和。
【解题大招03】对数模型判性技巧（饱和增长问题）
解题技巧：学习积累、热度推广、技能提升类饱和增长问题，增速先快后慢，选用对数模型，只需判断单调性
与增速趋势，简单计算取值。
核心公式：y=log x(a>1)
a
【例3】学生刷题掌握知识点模型为y=8log x，求第8天掌握知识点数量。
2
【解题大招04】二次函数最值解题技巧（高考解答题核心）
解题技巧：利润最大、面积最大、用料最省最值问题，统一用二次函数顶点法；先判开口方向，再求顶点，顶
点不在定义域内则用区间单调性求最值。
核心公式
y=ax2+bx+c(a≠0)
b
最值横坐标：x=−
2a
开口判定：a>0有最小值，a<0有最大值。
【例4】商品销售利润满足y=−3x2+60x，求最大利润。
【解题大招05】对勾函数最值秒杀技巧（分式最优问题）
解题技巧：题干出现“平均成本最低、用料最省、分式和型最值”，优先对勾函数基本不等式求解，无需单调
性讨论。
核心公式
k
y=x+ (k>0,x>0)
xk
x+ ≥2❑√k，当且仅当x=❑√k取最小值
x
64
【例5】求函数y=x+ (x>0)的最小值。
x
【基础过关】（共8题）
一、单选题
1．（2026·吉林·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度 （单位： ）关于时间 （单位：
）的函数解析式为 （ 为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为 ，若从 到 ，水面
高度下降了 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2026·湖南怀化·二模）某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为 ，经过t年后算力为P，则P与t的
函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率 （单位：次 ）与体重
（单位：kg）、外界环境温度 （单位：℃）有关，满足 （ 为常数）．已知在环境温度为
时， 为两个睡眠中的恒温动物， 的体重为 、脉搏率为210次 ， 的脉搏率是105次
，则 的体重为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2024·河南·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修
排气扇恢复正常，每排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的 .由检验知该地下车库一氧化碳浓度（ppm）与排气时间 （分钟）之间存在函数关系 ，其中 （ 为常数）.已知空气中一氧化碳浓度不
高于0.5ppm为正常，人可以安全进入车库.若刚好经过 （分钟），人就可以安全进入车库了，则（ ）
A． B．
C． D．排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm
三、填空题
5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型 （t为时间，单位：
分钟， 为环境温度， 为物体初始温度， 为冷却后温度），假设一杯开水温度 ，环境温度 ，
常数 ，大约经过________分钟水温降为30℃（参考数据： ）．
6．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒
精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员
喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时
30%的速度减少，那么他至少经过_____个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85）
7．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光
伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型 ，其中N为饱和度， 为初始值，p为年增长率．
若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为 ，饱和度为1020
万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约__________万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据： ， ， ）
四、解答题
8．（2024·山东·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车
距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离 （米）与汽车的车速 （千米／时）满足下列关系： （
， 是常数， ）.根据多次实验数据绘制的刹车距离 （米）与汽车的车速 （千米/时）的关系图，如图所示.(1)求 ， 的值；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度.
【拔高选练】（共6题）
一、单选题
1．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型 （其中y为感染人
数， 为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人
数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第
（ ）天启动．（参考数据： ， ， ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2026·山东聊城·模拟预测）某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与
新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型： ，其中，a和b为常数.
已知A款电动汽车使用2年后保值率为 ，使用4年后保值率为 .若该车的保值率低于 即被视为“大幅
贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据： ， ）（ ）
A．5年 B．6年 C．7年 D．8年
二、多选题
3．（2025·陕西·一模）记等比数列 的公比为q，前n项和为 ，已知 ，且 ， ， 成等差数列，则下列
说法正确的是（ ）
A．B． ， ， 成等比数列
C．若 ，则数列 的前n项和为
D．若 ，则存在正整数M，使得当 时，
三、填空题
4．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为 的竖直墙壁面上有一电子眼 ，已知 到天花板的距离为 ，电子
眼 的最大可视半径为 ．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒（木棒竖直下
落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为______s．（注意：位移与时间的函数关系为 ，
重力加速度 取 ）
5．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位： ）与时间
（单位： ）间的关系为 ，若在前 消除了 的污染物，当污染物减少 时，所需时间约为_____
（精确到 ，参考数据： ， ， ）．
四、解答题
6．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板
通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度 （E为入射
光能量且 为入射光入射有效面积），电池板转换效率 与入射光功率密度 成反比，且比例系
数为k．
(1)若 平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；
(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量 ，锂离子蓄电池的放电量
．设 ，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？
注：①蓄电池电能储存量 ；
②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．【错题复盘】（共5题）
一、单选题
1．（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力 （单位：EFLOPS）与芯片投入量 （单位：万片）满足饱和增
长模型： ，其中 为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力 ，若要求算力
，则芯片投入量至少为（ ）
A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片
2．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）
满足关系式： ，其中p为每盒售价 ， 为每日销量.若要使每日销售利润最
大，则每盒礼盒应定价为（ ）
A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元
二、多选题
3．（2026·河南·三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时
间t（单位：分钟）之间的关系满足 ，其中 为正整数， 表示不超过
的最大整数.当 时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静
息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 的最大值为124
C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率
D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟
三、填空题
4．（2026·江苏·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量 （单位：拷贝数/升）与时间 （小
时）的关系为 ，其中 ， 为初始病毒载量，则病毒载量在 _____小时达到峰值，之后病毒
载量每经过1小时衰减为原来的 倍，当低于 时不具传染性，则从 起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时．
四、解答题
5．（2024·福建泉州·模拟预测）在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的
传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面 中，光在介质Ⅰ内点
以入射角 ，速度 在介质1内传播至 轴上的点 ，而后以折射角 ，速度v在介质Ⅱ内传播至点
.
(1)将光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的解析式 ；
(2)费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题：
（i）证明： .
（ii）若 ， ， ，求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围.
