第05讲一元二次方程的解法（知识点+8题型）（暑假预习讲义）（原卷版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第05 讲
一元二次方程的解法（知识点+8 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 解一元二次方程-直接开平方法
题型2 解一元二次方程-配方法
题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型4 根据一元二次方程根的情况求参数
题型5 解一元二次方程-公式法
题型6 解一元二次方程-因式分解法
题型7 换元法解一元二次方程
题型8 解分式方程（化为一元二次）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
直接开平方法配方法
求根公式公式法因式
分解法一元二次方程
解法的选择
1. 掌握直接开平方法，能解形如x2=p(p≥0)和(x+n) 2=p(p≥0)的一元二次方
程，理解其依据是平方根的定义。
2. 理解配方法的原理，掌握配方法解一元二次方程的规范步骤，能熟练运用
配方法解二次项系数为1 和不为1 的一元二次方程。
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3. 经历一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式
ݔ꧘
െ길± 길ʹെͶܽܿ
ʹܽ
(길ʹ െͶܽܿ
൒Ͳ)，能运用公式法解任意有实数根的一元二次方
程。
4. 理解因式分解法解一元二次方程的原理（若ab=0，则a=0 或b=0），能
运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式，进而解一元二次方
程。
5. 能根据一元二次方程的结构特点，灵活选择最简便的解法，体会“降次”
的转化思想，养成规范解题、检验结果的良好习惯。
学习重点：配方法、公式法、因式分解法三种基本解法，根据方程特点选择合适的解法。
学习难点：配方法的理解与规范应用（特别是二次项系数不为1 时的配方），灵活选择一元二次方程
的解法，因式分解法中对多项式的准确因式分解。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 直接开平方法
适用形式：能化成ݔʹ ꧘݌或(݉
ݔ+݊
)ʹ ꧘݌（݌൒Ͳ）形式的一元二次方程
解法步骤：
把方程化为左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数
两边同时开平方，转化为两个一元一次方程
解一元一次方程得到原方程的根
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数学语言：
若ݔʹ ꧘݌（݌൒Ͳ），则ݔ꧘±
݌
若(݉
ݔ+݊
)ʹ ꧘݌（݌൒Ͳ），则݉
ݔ+݊
꧘±
݌
即时即练
1．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程ݔݔ+ Ͷ ꧘͸．
解：原方程可变形得
ݔ+ ʹ െʹ
ݔ+ ʹ + ʹ ꧘͸．
ݔ+ ʹ ʹ െʹʹ ꧘͸，
ݔ+ ʹ ʹ ꧘͸ + ʹʹ，
ݔ+ ʹ ʹ ꧘香Ͳ．
直接开平方并整理，得ݔ香꧘െʹ +
香Ͳ，ݔʹ ꧘െʹ െ
香Ͳ．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
请用“平均数法”解方程：ݔെ程
ݔ+ 㤲꧘͸．
【易错提醒】
开平方时必须写±号，否则会丢失一个根
当݌< Ͳ 时，方程没有实数根，不要强行开平方
完全平方式展开错误，如把(ݔെʹ)ʹ ꧘ͻ 错误写成ݔെʹ ꧘㤲，漏掉ݔെʹ ꧘െ㤲的情况
知识点02
配方法
通过配方把一元二次方程转化为(ݔ+݉
)ʹ ꧘݊
的形式，再用直接开平方法求解的方法
解法步骤：
移项：把常数项移到方程右边
化1：二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数）
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方
变形：左边写成完全平方式，右边合并同类项
开方：两边同时开平方
求解：解两个一元一次方程
数学语言：
对于ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ（ܽ
≠Ͳ）
ݔʹ + 길ܽݔ꧘െܿܽ
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ݔʹ + 길ܽݔ+ ( 길
ʹܽ)ʹ ꧘െܿܽ
+ ( 길
ʹܽ)ʹ
(ݔ+ 길
ʹܽ)ʹ ꧘길ʹ െͶܽܿ
Ͷܽʹ
即时即练
2．用配方法解方程ݔʹ െͶݔ+ 香꧘Ͳ 时，将原方程转化为ݔ+݉
ʹ ꧘݊
的形式可得____．
【易错提醒】
二次项系数不为1 时，所有项都要除以二次项系数，常数项不能漏除
配方时必须在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，只加左边会导致等式不成立
一次项系数一半的平方计算错误，如一次项系数为3，错误加3^2=9，正确应为(3/2 )^2=9/4
知识点03
公式法
求根公式：对于一元二次方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ（ܽ
≠Ͳ），当Δ ꧘길ʹ െͶܽܿ
൒Ͳ 时，它的根是
ݔ꧘െ길±
길ʹ െͶܽܿ
ʹܽ
解法步骤：
把方程化为一般形式ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ
确定ܽ
、길、ܿ的值（注意符号）
计算判别式Δ ꧘길ʹ െͶܽܿ
的值
若Δ ൒Ͳ，代入求根公式求解；若Δ < Ͳ，方程没有实数根
教材重要概念：判别式Δ ꧘길ʹ െͶܽܿ
Δ > Ͳ：方程有两个不相等的实数根
Δ ꧘Ͳ：方程有两个相等的实数根
Δ < Ͳ：方程没有实数根
即时即练
3．解方程：
(1)ݔʹ െʹݔ꧘程；
(2)ݔʹ െݔെ香꧘Ͳ．
【易错提醒】
必须先将方程化为右边为0 的一般形式，否则a、b、c 的符号会判断错误
代入公式时，b 前面有负号，如b=-5 时，-b=5，容易符号出错
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忘记先计算判别式，当Δ<0 时仍强行代入公式求解
分母2a 容易漏写，或写成a
知识点04 因式分解法
原理：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，即若ܽ
길꧘Ͳ，则ܽ
꧘Ͳ 或길꧘Ͳ
适用形式：方程左边能分解为两个一次因式的乘积，右边为0
解法步骤：
移项：将方程右边化为0
分解：把方程左边分解为两个一次因式的乘积
降次：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程
求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的根
常用分解方法：提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法
即时即练
4．用合适方法解下列方程：
(1)ʹݔʹ െͺݔ꧘Ͳ；
(2)ݔʹ െݔ꧘͸．
【易错提醒】
必须先使方程右边为0，才能进行因式分解
解方程时不能直接约去含未知数的因式，否则会丢失根（如x(x-2)=x，不能直接约去x）
因式分解不彻底，如把x^2-4 分解为(x-2)(x+2)，而不是只分解到x^2-4
分解因式时符号错误，如把x^2-2x+1 错误分解为(x+1)^2
题型1 解一元二次方程-直接开平方法
【例1】解一元二次方程ݔ+ ʹ ʹ ꧘Ͷ 时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为ݔ+ ʹ ꧘ʹ，
则另一个方程为（
）
A．ݔെʹ ꧘െʹ
B．ݔ+ ʹ ꧘െʹ
C．ݔെʹ ꧘ʹ
D．ݔ+ ʹ ꧘ʹ
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【技巧归纳】
1.
适用方程：形如(x+m)^2=n、ax^2=c（ac≥0）
2.
开方后必有两个解：x+m=±√n，绝对不能丢负号
3.
若n<0，方程无实数根
4.
易错点：开方后漏写“±”，导致少一个解
【变式1-1】
1．一元二次方程ݔʹ െͶ ꧘Ͳ 的根是（
）
A．ݔ香꧘ʹ，ݔʹ ꧘Ͳ
B．ݔ香꧘െʹ，ݔʹ ꧘Ͷ
C．ݔ香꧘Ͳ，ݔʹ ꧘Ͷ
D．ݔ香꧘ʹ，ݔʹ ꧘െʹ
【变式1-2】
2．解方程：
(1)㤲ݔെ香ʹ െʹ͹ ꧘Ͳ；
(2)ݔʹ െ͸ݔെͶ ꧘Ͳ．
题型2 解一元二次方程-配方法
【例2】（1）ݔʹ + 香Ͳݔ+______꧘(ݔ+______)ʹ；（2）ݔʹ െ
㤲
ʹ ݔ+______꧘(ݔെ______)ʹ．
【技巧归纳】
1.
通用四步：化1→移项→配方→开方
2.
核心步骤：两边同时加一次项系数一半的平方
3.
优先将二次项系数化为1，简化配方计算
4.
易错点：只在左边加常数，忘记右边也加相同的数
【变式2-1】
1．把一元二次方程ݔʹ െͺݔെ͹ ꧘Ͳ 配方转化成ݔ+݉
ʹ +݊
꧘Ͳ 的形式，正确的结果是（
）
A．ݔെͶ ʹ െʹ㤲꧘Ͳ
B．ݔ+ Ͷ ʹ െʹ㤲꧘Ͳ C．ݔ+ Ͷ ʹ െ͹ ꧘Ͳ
D．ݔെͶ ʹ െ
͹ ꧘Ͳ
【变式2-2】
2．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求
出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
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题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况
【例3】关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ݉
ݔെ香꧘Ͳ 的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【技巧归纳】
1.
先将方程化为一般式ax^2+bx+c=0，确定a,b,c（注意符号）
2.
Δ>0→两个不相等的实数根
3.
Δ=0→两个相等的实数根
4.
Δ<0→没有实数根（不是没有根）
【变式3-1】
1．已知ݔʹ + ʹ݉
ݔ+݉
ʹ െ香꧘Ͳ 是关于ݔ的一元二次方程，其中݉
为实数，关于该方程根的情况，下列判
断正确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
【变式3-2】
2．对于方程ݔʹ െ㤲ݔ+ ʹ ꧘െ香，嘉嘉说“其中一个解是ݔ꧘香”，琪琪说“此方程有两个实数根且和为3”，珍
珍说“此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（
）
A．嘉嘉说得对
B．琪琪说得对
C．珍珍说得对
D．三名同学说法都不对
题型4 根据一元二次方程根的情况求参数
【例4】如果关于x 一元二次方程ʹݔʹ + 㤲ݔ+݉
꧘Ͳ 有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围为（
）
A．݉
>
ͻ
ͺ
B．݉
>
ͺ
ͻ
C．݉
<
ͻ
ͺ
D．݉
꧘
ͺ
ͻ
【技巧归纳】
第一步：保证是一元二次方程→二次项系数a≠0（最易遗漏）
第二步：
1.
有两个不相等实根→Δ>0 且a≠0
2.
有两个实数根→Δ≥0 且a≠0
3.
没有实数根→Δ<0 且a≠0
若题目只说“有实数根”，需单独讨论a=0（一元一次方程）的情况
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【变式4-1】
1．若关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ͸ݔ+݉
꧘Ͳ 有两个不相等的实数根，则实数݉
的取值范围为（
）
A．݉
>െͻ
B．݉
<െͻ
C．݉
> ͻ
D．݉
< ͻ
【变式4-2】
2．若关于ݔ的一元二次方程െݔʹ + 㤲ݔ+ܿ
꧘Ͳ 有两个实数根，则实数ܿ
的取值范围是（
）
A．ܿ൒െ
ͻ
Ͷ
B．ܿ൑െ
ͻ
Ͷ
C．ܿ<െ
ͻ
Ͷ
D．ܿ>െ
ͻ
Ͷ
题型5 解一元二次方程-公式法
【例5】对于一元二次方程ܽ
ݔʹ + ʹܿݔ+ 길꧘Ͳ（ܽ
≠Ͳ），若满足ܽʹ + 길ʹ ꧘ܿ
ʹ，则我们把这样的一元二次方
程称为“勾系一元二次方程”．
(1)当ܽ
꧘㤲，길꧘Ͷ，ܿ> Ͳ 时，求相应的“勾系一元二次方程”的根；
(2)求证：关于ݔ的“勾系一元二次方程”ݔʹ + ʹܿݔ+ 길꧘Ͳ 必有实数根．
【技巧归纳】
1.
求根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a（a≠0，Δ≥0）
2.
步骤：化一般式→算Δ→代入公式
3.
先算Δ，若Δ<0 直接写“无实数根”，无需代入公式
4.
易错点：分子的“-b”符号错误，分母漏乘2
【变式5-1】
1．已知关于ݔ的一元二次方程Ͷݔʹ ꧘Ͷ݉
ݔ+݊
ʹ െ݉
ʹ．
(1)讨论该一元二次方程实数根的情况；
(2)当݊
꧘香时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于Ͷ 的正整数，求出满足条
件的所有݉
的值；若没有，请说明理由．
【变式5-2】
2．若记方程ݔʹ െʹݔെʹ ꧘Ͳ 的两个不相等的实数根为ݔ香ǡݔʹ ݔ香> ݔʹ ，则ݔ香ʹ െݔʹʹ的值为（
）
A．Ͷ 㤲
B．ʹ 㤲
C．4
D．2
题型6 解一元二次方程-因式分解法
【例6】一元二次方程ݔʹ +݉
ݔെ͸ ꧘Ͳ 的一个根为െʹ，则另一个根是（
）
A．㤲
B．െʹ
C．香
D．Ͳ
【技巧归纳】
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1.
前提：方程右边必须是0
2.
常用分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法
3.
优点：计算最快，优先使用
4.
易错点：右边没化为0 就分解，或分解不彻底导致漏解
【变式6-1】
1．已知点ܲ݉
െ㤲ǡͶ ，根据下列条件求点݉
的值．
(1)点ܲ
在ݕ轴上；
(2)点ܲ
到原点的距离为5．
【变式6-2】
2．解方程：
(1)ݔʹ െͶݔ꧘Ͳ；
(2)ݔʹ െͶݔെ程꧘Ͳ．
题型7 换元法解一元二次方程
【例7】若关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳܽ
< Ͳ 的两根为ݔ香꧘香ǡݔʹ ꧘㤲，则关于x 的一元二次方
程ܽ
ݔെʹ ʹ + 길ݔ+ܿ
꧘ʹ길ܽ
< Ͳ 的解为______
【技巧归纳】
1.
适用情况：方程中出现相同的整体或倒数关系（如x+1/x）
2.
步骤：设元→换元→解新方程→回代求原未知数
3.
常见换元：设y=x^2、y=x+m、y=x+1/x
4.
易错点：忘记回代，或回代后漏解
【变式7-1】
1．若关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ ʹ ꧘Ͳܽ
≠Ͳ 的根为ݔ香꧘ʹͲʹ程，ݔʹ ꧘香，则一元二次方程ܽ
ݔെ
香ʹ + 길ݔെ길꧘െʹ 的根为______．
【变式7-2】
2．关于ݔ的方程ܽ
ݔ+݉
ʹ + 길꧘Ͳ 的根是ݔ香꧘程，ݔʹ ꧘െ͸（ܽ，길，݉
均为常数且ܽ
≠Ͳ），则关于ݔ的
方程ܽ
ݔʹ + ʹܽ
ʹ െ݉
ݔ+ܽ݉
െʹ ʹ + 길꧘Ͳ 的所有实根之和是______．
题型8 解分式方程（化为一元二次）
【例8】解分式方程：
ʹ
ݔ+香+
香
ݔെ香꧘香．
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【技巧归纳】
1.
步骤：找最简公分母→两边同乘公分母去分母→解整式方程→检验
2.
检验方法：将解代入最简公分母，若为0 则是增根，必须舍去
3.
去分母时，常数项也要乘最简公分母
4.
最终结果要写“原方程的解为...”，增根要注明“舍去”
【变式8-1】
1．解方程：
ݔെʹ
ݔ꧘
㤲
ݔ+ʹ
【变式8-2】
2．解方程
香
ݔെ香꧘香+
香
ݔݔെ香的步骤如下：
方程左右两边同乘ݔݔെ香，ݔʹ ꧘ݔݔെ香+ 香①
去括号，得ݔʹ ꧘ݔʹ െݔ+ 香②
移项，得ݔʹ െݔʹ + ݔ꧘香③
合并同类项，得ݔ꧘香④
经检验，原分式方程无解．
以上解方程的过程中，错误的一步是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
一、单选题
1．一元二次方程ݔʹ െݔ꧘Ͳ 的两个实数根为ݔ香和ݔʹ，则代数式ݔ香+ ݔʹ的值为（
）
A．1
B．2
C．0
D．െ香
2．方程ݔെʹ ʹ ꧘Ͳ 的根为（
）
A．ݔ꧘Ͳ
B．ݔ꧘± ʹ
C．ݔ香꧘ݔʹ ꧘െʹ
D．ݔ香꧘ݔʹ ꧘ʹ
3．一元二次方程ݔʹ െͶݔ+ ʹ ꧘Ͳ 的根的情况是（
）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个不相等实数根
D．无法判断
4．已知：香െ
Ͷ
ݔ+
Ͷ
ݔʹ ꧘Ͳ，则
香
ݔ等于（
）
A．2
B．1
C．
香
ʹ
D．±
香
ʹ
5．已知关于x 的一元二次方程ʹݔʹ +݇
ݔെ͸ ꧘Ͳ 的一个根是2，则它的另一个根是（
）
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A．െ㤲
B．3
C．െ
㤲
ʹ
D．
㤲
ʹ
6．已知关于x 的方程ݔʹ െʹݔെ㤲݇
꧘Ͳ 有实数根，则k 的取值范围是（
）
A．݇
>െ
香
㤲
B．݇
<െ
香
㤲
C．݇
൒െ
香
㤲
D．݇
൑െ
香
㤲
7．若关于x 的一元二次方程ݔെ香
ݔ+݉
꧘Ͳ 有两个相等的实数根，则m 的值为（
）
A．െ香
B．香
C．െʹ
D．ʹ
8．若关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െʹݔ+ ʹ݉
െ香꧘Ͳ 有两个相等的实数根，则实数݉
的值为（
）
A．െͶ
B．െ香
C．1
D．4
9．用配方法解方程：ݔʹ + 香ͲݔെʹͶ ꧘Ͳ 时，经过配方后正确的是（
）
A．ݔ+ 程ʹ ꧘ʹͶ
B．ݔെ程ʹ ꧘香
C．ݔ+ 程ʹ ꧘Ͷͻ
D．ݔെ程ʹ ꧘Ͷͻ
10．已知实数m，n 满足݉
ʹ +݊
ʹ ʹ െʹ݉
ʹ +݊
ʹ െ香程꧘Ͳ，则݉
ʹ +݊
ʹ的值为（
）
A．3
B．5
C．5 或3
D．െ㤲或5
11．若矩形ܣ矩形ܦ的一条对角线长为10，边形ܦ的长是方程ݔʹ െ㤲ݔെͶͲ ꧘Ͳ 的一个根，则该矩形ܣ矩形ܦ的
周长为（
）
A．36
B．香Ͳ + 香Ͳ 㤲
C．28
D．30
12．对于一元二次方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳܽ
≠Ͳ ，下列判断正确的是（
）
A．若ݔ꧘ܿ
是该方程的一个根，则一定有ܽܿ
+ 길+ 香꧘Ͳ 成立；
B．若ܽ
+ܿ
꧘길，则方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ 有一根为ݔ꧘香；
C．若该方程的解为ݔ꧘ʹ 和x꧘
香
㤲，则方程ܿݔʹ െ길ݔ+ܽ
꧘Ͳ 的解是ݔ꧘㤲或ݔ꧘
香
ʹ
D．当ܽ
< Ͳ，길+ܿ
> Ͳ，길െܿ
< Ͳ 时，方程一定有实数根；
13．若关于ݔ的一元二次方程ܽ
െ㤲ݔʹ െ͸ݔെʹ ꧘Ͳ 有实数根，则ܽ
的取值范围为（
）
A．ܽ
൒െ
㤲
ʹ
B．ܽ
≠㤲
C．ܽ
>െ
㤲
ʹ且ܽ
≠㤲
D．ܽ
൒െ
㤲
ʹ且ܽ
≠㤲
14．定义：݉
㔠݊
꧘݉
ʹ +݉݊
+ 香，例如：ʹ 㔠香꧘ʹʹ + ʹ ൈ香+ 香꧘7，则关于x 的方程ݔ㔠ʹ ꧘Ͳ 的根的情况
是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
15．若关于ݔ的一元二次方程݉
ݔʹ +݊
꧘Ͳ 的一个根为香，则方程݉
ݔ+ 㤲ʹ +݊
꧘Ͳ 的根是（
）
A．െ香或香
B．െ香或െʹ
C．െʹ 或െͶ
D．香或Ͷ
16．设ݔ，ݕ为实数，且满足(ݔെ香)㤲+ ʹͲʹ程ݔെ香꧘െ香
(ݕെ香)㤲+ ʹͲʹ程ݕെ香꧘香，则ݔ+ ݕ꧘（
）．
A．香
B．െ香
C．ʹ
D．െʹ
17．已知两个多项式ܣ꧘ݔʹ +ܽ
ݔ+ 길，矩꧘ݔʹ + ʹݔ+ܿ，ܽ，길，ܿ均为正整数，ݔ为实数．下列说法：
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①若길꧘香，则存在实数ݔ使得ܣ+ 矩꧘Ͳ；
②若ܽ
꧘ܿ，关于ݔ的方程ܣ꧘矩有唯一解，这个解为ݔ꧘Ͳ；
③若݉
꧘ܽ
+ 香，݊
꧘길+ܿ
+ 香，݉݊
+݉
+݊
꧘ʹͲ，则满足条件的多项式矩共有4 个．
其中正确的个数是（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
18．对于一元二次方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ（ܽ
≠Ͳ），下列说法中正确的是（
）
①若ܽ
+ܿ
꧘길，则方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ 有一根为ݔ꧘െ香；
②若方程ܽ
ݔʹ +ܿ
꧘Ͳ 有两个不相等的实数根，则方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ 必有两个不相等的实数根；
③若ݔ꧘ܿ
是方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ 的一个根，则一定有ܽܿ
+ 길+ 香꧘Ͳ 成立；
④若길꧘ʹܽ+ 㤲ܿ，则方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ 有两个不相等的实数根．
A．②③④
B．①②④
C．①③④
D．①②③
19．已知整式ܯ：ܽ݊
ݔ݊+ܽ݊
െ香ݔ݊െ香+ ڮ +ܽ
香ݔ+ܽ
Ͳ，其中ܽ݊
，ܽ݊
െ香，…ܽʹ，ܽ香，ܽͲ为互不相等的非负整数，
且ܽ݊
>ܽ݊
െ香> ڮ >ܽ
香>ܽ
Ͳ，若݇
꧘ܽ݊
ʹ +ܽ݊
െ香
ʹ
+ ڮ +ܽ
香
ʹ +ܽ
Ͳ
ʹ，且݇
为奇数．下列说法：
①当݊
꧘香，ܽ香꧘㤲，满足条件的整式有ʹ 个；
②若݊
꧘ʹ，݇
꧘ʹ香，则ܯ有最小值为
程
Ͷ；
③当݊
꧘ʹ，ܽ݊
൑㤲时，若ܯ能被ݔ+ ʹ 整除，则满足条件的所有整数ݔ之和为香͸．
其中正确的个数是（
）
A．Ͳ
B．香
C．ʹ
D．㤲
二、填空题
1．方程ݔെ㤲ʹ ꧘香͸ 的根是__________．
2．将方程ݔʹ + ͸ݔ+ 香꧘Ͳ 配方成(ݔ+݉
)ʹ +݊
꧘Ͳ 的形式，则݉
+݊
꧘_________．
3．若关于x 的一元二次方程ݔʹ െʹݔ+݇
꧘Ͳ 有两个相等的实数根，则k 的值为_________．
4．如果关于ݕ的一元二次方程(ݕെʹ)ʹ + 㤲꧘݇
有两个不相等的实数根，那么݇
的取值范围是________．
5．若关于ݔ的一元二次方程(ݔെʹ)(ݔെ݉
) ꧘Ͳ 的一个根是10，则另一个根是________．
6．方程ݔʹ ꧘െݔ的根是_______．
7．已知等腰直角三角形，其斜边长为一元二次方程ݔʹ െʹݔെͺ ꧘Ͳ 的一个根，则该等腰直角三角形的直角
边长为______．
8．方程ݔʹ െ͸ݔ+ ͺ ꧘Ͳ 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________．
9．将4 个数ܽ
，길，ܿ，݀
排成2 行2 列，两边各加一条竖直线记成ܽ
길ܿ݀，定义ܽ
길ܿ݀꧘ܽ݀
െ길ܿ，上述记
号就叫作2 阶行列式，若ݔ+ ʹ
ݔെʹ
ʹ െݔ
ݔ+ ʹ ꧘香Ͳ，则ݔ꧘________．
10．若关于ݔ的一元二次方程ܽ
+ 香ݔʹ + 㤲ݔ+ 香꧘Ͳ 有实数根，则实数ܽ
的取值范围是_________．
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11．若关于ݔ的方程݇
ݔʹ െ㤲ݔെ
ͻ
Ͷ ꧘Ͳ 有实数根，则实数݇
的取值范围是__________．
12．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当ܽ
> Ͳ 时，
∵ܽ+
香ܽ꧘ܽ
ʹ െʹܽ
ڄ
香ܽ+
香ܽ
ʹ
+ ʹܽ
ڄ
香ܽ꧘ܽ
െ
香ܽ
ʹ
+ ʹ ൒ʹ，
∴当且仅当ܽ
꧘
香ܽ，即ܽ
꧘香时，ܽ+
香ܽ取得最小值，最小值为ʹ．
请利用以上结果解决下面的问题：
若ܽ
> Ͳ，则
ʹܽʹ+㤲ܽ+Ͷܽ的最小值为_____．
13．将方程ݔʹ െʹݔെ香꧘Ͳ 化成ݔ+ܽ
ʹ ꧘길（ܽǡ 길为常数）的形式，则ܽ
+ 길ʹͲʹ͸ ꧘___________．
14．小瑞同学设计了一种运算程序：输入正整数݉
，则输出另一个正整数݊
．具体程序如下：①若݉
为偶
数，则输出݊
꧘݉ʹ；②若݉
为奇数，则输出݊
꧘݉
+ 香．对正整数݉
进行一次输入和输出称为对݉
的一次
变换，对第一次输出的݊
再次输入和输出则称为对݉
的二次变换，依此类推．例如，输入正整数݉
꧘͸，
根据6 是偶数，对6 进行一次变换输出的数为
͸
ʹ ꧘㤲；将3 再次输入，根据3 是奇数，对6 进行二次变换后
输出的数为㤲+ 香꧘Ͷ．
（1）若输入正奇数݉
进行二次变换后输出的数为15，则满足条件的݉
的值为______，
（2）已知输入正整数݇
，若对݇
进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为18，则正整数݇
的值
为______．
15．对于一元二次方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳܽ
≠Ͳ ，下列说法正确的是_______．
①若Ͷܽ+ ʹ길+ܿ
꧘Ͳ，则길ʹ െͶܽܿ
൒Ͳ；
②若方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ 有两个不相等的实数根，则方程ܽ
ݔ+ܿ
꧘Ͳ 必有两个不相等的实数根；
③若2026 是方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ 的一个根，则
香
ʹͲʹ͸一定是ܿݔʹ + 길ݔ+ܽ
꧘Ͳ 的一个根；
④若ݔͲ是一元二次方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳ 的根，则길ʹ െͶܽܿ
꧘ʹܽݔͲ + 길ʹ．
16．项目式学习：我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．“杨辉三角”的构造
法为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了ܽ
+ 길݊
（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．如图，图中的第n 行对应ܽ
+ 길݊
的展开式，如在第2 行的三个数1，2，1，恰好对应ܽ
+ 길ʹ ꧘ܽ
ʹ + ʹܽ길+ 길ʹ展开式中各项的系数；第3 行
的四个数1，3，3，1，恰好对应着ܽ
+ 길㤲꧘ܽ
㤲+ 㤲ܽ
ʹ길+ 㤲ܽ길ʹ + 길㤲展开式中各项的系数．定义形݊݇，代表第
n 行第݇
+ 香个系数（k 为自然数，且݇
൑݊
）．
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(1)根据上面的规则，结合系数表规律，则形ʹ
Ͳ ꧘________，形程
香꧘________；由系数表规律可推测第一斜列（每
一行的第1 个系数组成第一斜列，以此类推）中形݊Ͳ ꧘________，第二斜列中形݊香꧘________；
(2)当n 大于1，每个系数均为其上方右边和左边两系数之和，现研究第三斜列规律：完成填空，即形ʹ
ʹ ꧘香；
形㤲
ʹ ꧘形ʹ
ʹ + 形ʹ
香꧘香+ ʹ ꧘㤲；形Ͷ
ʹ ꧘形㤲
ʹ + 形㤲
香꧘㤲+ 㤲꧘͸ 可以看成_______+______+ 㤲꧘͸；
形程
ʹ ꧘形Ͷ
ʹ + 形Ͷ
香꧘͸ + Ͷ ꧘香Ͳ 可以看成______+______+______+ Ͷ ꧘香Ͳ；……由此可以得出形݊ʹ ꧘________；
(3)在（2）的条件下，若形݉ʹ 是其右上方系数的
㤲
ʹ倍（݉
> 香），则m 的值为________．
三、解答题
1．以下是小明在解方程ݔ+ Ͷ
ݔെ㤲꧘㤲െݔ时的解答过程．
解：原方程可化为ݔ+ Ͷ
ݔെ㤲꧘െݔെ㤲，
两边同除以ݔെ㤲，得：ݔ+ Ͷ ꧘െ香
解得：ݔ꧘െ程．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
2．【阅读材料】
解方程：ݔͶ െ程ݔʹ + Ͷ ꧘Ͳ，
这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设ݔʹ ꧘ݕ，则ݔͶ ꧘ݕʹ，
于是原方程可转化为：ݕʹ െ程ݕ+ Ͷ ꧘Ͳ ，
解得：ݕ香꧘香，ݕʹ ꧘Ͷ．
当ݕ꧘香时，ݔʹ ꧘香，所以ݔ꧘± 香；
当ݕ꧘Ͷ 时，ݔʹ ꧘Ͷ，所以ݔ꧘± ʹ，
所以原方程有四个根：ݔ香꧘香，ݔʹ ꧘െ香，ݔ㤲꧘ʹ，ݔͶ ꧘െʹ，
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
(1)在解方程(ݔʹ + ݔ)ʹ െͶ ݔʹ + ݔെ香ʹ ꧘Ͳ 时，若设ݕ꧘ݔʹ + ݔ，则原方程可转化为______，解得原方程的
根为______；
(2)若(݉
ʹ +݊
ʹ െ㤲)(݉
ʹ +݊
ʹ + 㤲) ꧘ͺ ，则݉
ʹ +݊
ʹ ꧘______；
(3)参照上面解题的思想方法解方程：(
ݔ
ݔെʹ )ʹ െ͸ ڄ
ݔ
ݔെʹ + ͻ ꧘Ͳ ．
3．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程：ݔെ㤲ʹ െ㤲ݔെ㤲꧘Ͳ，
ݔെ㤲ʹ ꧘㤲ݔെ㤲第一步
ݔെ㤲꧘㤲第二步
ݔ香꧘ݔʹ ꧘͸ 第三步
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(1)任务一：填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是______；②第______步开始出现错误，错误的
原因是______；
(2)任务二：请你写出该方程正确的解法．
4．已知：关于ݔ的方程݉
ݔʹ +݉
െ㤲ݔെ㤲꧘Ͳ ݉
≠Ͳ ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果݉
为正整数，且方程的两个根均为整数，求݉
的值．
5．已知一元二次方程ܽ
ݔʹ + 길ݔ+ܿ
꧘Ͳܽ
≠Ͳ ．
(1)若ݔ꧘㤲是方程的一个根，求
㤲길+ܿ
㤲ܽ
的值．
(2)若方程有两个相同的实数根，且길െܽܿ
꧘െ香，求b 的值．
6．解一元二次方程：
(1)ݔʹ െ
Ͷ
ͻ ꧘Ͳ ；
(2)(ݔെʹ)ʹ ꧘ʹ程；
(3)ݔʹ + ͸ݔെ͹ ꧘Ͳ（用配方法解）；
(4)ʹݔʹ െ㤲ݔ꧘Ͷ（用公式法解）．
7．已知分式ܯ꧘香െ
香ܽ
െ香ൊܽ
ʹെͶܽ+Ͷܽ
ʹെܽ
．
(1)化简分式ܯ；
(2)若关于ݔ的方程ݔʹ െʹݔ+ܽ
െʹ ꧘Ͳ 有两个实数根，且ܽ
为正整数，求分式的ܯ值．
8．先化简，再求值：
ݔʹെͶݔ+Ͷ
ݔʹെʹݔൊݔെ
Ͷ
ݔ，其中ݔ满足ݔʹ + ʹݔെͺ ꧘Ͳ 且ݔ≠± ʹ．
9．解方程
(1)
ʹ
ݔെ㤲꧘
㤲
ʹݔെ香
(2)ݔʹ െݔ꧘െʹ
10．计算与解方程：
(1)计算：香െ
香
ݔʹ ൊ
ݔെ香
ݔ；
(2)解方程：ݔʹ + ʹݔെ香꧘Ͳ．
11．我国古代数学家赵爽（公元3~4 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解
法，用“拼”的方法完成了配方，例如：ݔʹ + ʹݔെʹͶ ꧘Ͳ，可以变形为ݔݔ+ ʹ ꧘ʹͶ，用四个长为ݔ+ ʹ、
宽为x、面积为24 的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小
正方形的面积可以得到ݔ+ ݔ+ ʹ ʹ ꧘Ͷ ൈʹͶ + ʹʹ．
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【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程ݔʹ + 程ݔെ香Ͷ ꧘Ͳ，先变形为________，每个小长方形的长为________，
宽为________，小正方形的面积为________；
【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程ʹݔʹ + 程ݔ꧘㤲，写出解题过程．
12．已知ᇞܣ矩形的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x 的一元二次方程ݔʹ െʹ݇+ 香ݔ+ Ͷ݇
െ
香
ʹ ꧘Ͳ
的两个实数根．
(1)求证：无论k 为何值，方程总有两个实数根；
(2)当k 为何值时，ᇞܣ矩形是等腰三角形，并求ᇞܣ矩形的周长．
13．已知关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ(ʹ݇+ 㤲)ݔ+݇
ʹ + 㤲݇+ ʹ ꧘Ͳ．
(1)判断方程根的情况；
(2)若ᇞܣ矩形的两边ܣ矩、ܣ形的长是方程的两根，第三边矩形的长为程，当݇
为何值时，ᇞܣ矩形是直角三角
形，并求出ᇞܣ矩形的面积．