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决胜2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(14)
(函数与方程)
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023 北京）函数
的零点个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【解析】由题意可知：要研究函数
的零点个数，只需研究函数
，
的图像交点个
数即可.画出函数
，
2
2y
x
的图像，
因为
1
x 时，
1
2
y
y
，
3
x
时，
1
2
y
y
，
5
x
时，
1
2
y
y
，
可知当1
3
x
和3
5
x
时，图像各有一个交点，
0
x
时，必有一个交点，
且交点为
2,4
A
，
4,16
B
及第二象限的点C.
故选：D
2.（2023 秋·江苏扬州·高三扬州中学期初月考）函数f（x）=lnx-
的零点所在的大致区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意，函数
，可得
，
，
可得
，所以函数
的零点所在的大致区间是
．
故选：B．
3.已知函数
在区间
内的零点分别是a，b，c，
则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
1
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C．
D．
【答案】A
【解析】函数
在
上单调递减，函数
在
上都单调递增，
因此函数
在
上都单调递减，
在
上最多一个零点，
，即有
，
，则
，而
，即
，
所以
.
故选：A
4.函数
在区间
上的零点个数是（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】A
【解析】求函数
在区间
上的零点个数，
转化为方程
在区间
上的根的个数.
由
，得
或
，
解得：
或
或
，
所以函数
在区间
上的零点个数为3.
故选：A.
5.（2023 秋·江苏盐城东台·高三东台中学期初月考）若关于
的方程
恰有三个不
同的实数解
，
，
，且
，其中
，则
的值为（ ）
A. -6
B. -4
C. -3
D. -2
【答案】A
【解析】依题意可知
，
由
整理得
①，
即关于
的方程恰有三个不同的实数解
，
，
，且
，
令
，则
或
，
2
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则①转化为
，
即
，
根据对勾函数的性质可知
是方程
的一个根，
所以
，
所以
，解得
或
，
所以
是方程
的根，即
的根，
所以
，
所以
.
故选：A
6. 已知函数
，若f(x)=a 有四个不同的实数解x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，且满足
x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是（ ）
A. a>1
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
3
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函数
的图象如上所示，
方程
的解可以转化为函数
与
图象交点的横坐标，由图可知
，故A 不正确；
由题意可知
，即
，解得
，由图可知
，所以
，令
，则函数
在
上单调递增，当
时，
，
时，
，所以
的范围为
，故B 不正确；
函数
的对称轴为
，所以
，又
，所以
，函数
在
上单调递增，
，
，
所以
，故C 正确；
，函数
在
上单调递减，
上单调递增，
，
，
，所以
，故D 不正确.
故选：C.
7.（2023 秋·江苏无锡江阴·高三期初统考）已知函数
,若函数
存在
5 个零点，则整数
的值为（ ）
A. -2
B. 1
C. 3
D. 2
【答案】D
【解析】函数
的 零点，令
，解得
，
将问题转化为
与
、
的交点，
作出
大致图像，如下：
4
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由图可知，函数
存
5 个零点，
则
，解得
，
故整数a 为
.
故选：D.
8. （2023 秋· 江苏苏州常熟· 高三常熟中学月考）已知函数
，
，若
，则
零点的个数为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】D
【解析】函数
的图象如下，
令
，则求
在
零点的个数，
由
得
，所以
，
即方程
有两个不相等正根，
令
，可得
，
不成立，
所以
，即求
与
的图象在
交点的个数，
5
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因为
，所以
，即
，
解得
，且
，可得
与
的图象有2 个交点，
当
，且
时，
与
有8 个交点，则
零点的个数为8.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.函数f(x)＝ex－x－2 在下列哪个区间内必有零点（ ）
A.(－2，－1)
B.(－1，0)
C.(0，1)
D.(1，2)
【答案】AD
【解析】
f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)＜0，
f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.
故选：AD
10.（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数
是定义在R 上的偶函数，且当
时，
6
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，那么函数
在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】BC
【解析】当
时，
当
时，令
，解得
或2 共有两个解；
当
时，令
，即
，当
时，方程无解；
当
时，
，符合题意，方程有1 解；
当
时，
，不符合题意，方程无解；
所以当
时，
有2 个或3 个根，而函数
是定义在R 上的偶函数，所以函数
在定
义域内的零点个数可能是4 或6.
故选：BC
11.（2023 秋·江苏扬州·高三扬州中学期初月考）已知函数
，下列关于函数
的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A. 当
，有1 个零点
B. 当
时，有3 个零点
C. 当
，有2 个零点
D. 当
时，有7 个零点
【答案】ABD
【解析】令
，则
，设
，则
等价于
，
则函数
的零点个数问题即为
解的个数问题；
二次函数
，其图象开口向上，过点
，对称轴为
，
对于A，当
时，作出函数
的图象如图：
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由图象可知
有一个根
，
则由
可知此时方程只有一个解
，
此时函数
的零点个数为1，A 正确；
对于B，当
时，
，
作出函数
的图象如图：
由图象可知
有一个根
，
令
，令
，
则
有3 个解，即
和
，
此时此时函数
有3 个零点，B 正确；
对于C，当
时，分析同A，函数
有1 个零点，C 错误；
对于D，当
时，
，
作出函数
的图象如图：
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由图象可知
有3 个根，
当
时，
；
当
时，
，
则对于
，
当
时，
，当
时，
，此时共有3 个解；
对于
，此时
有1 个解，
即
有2 个解，
对于
，此时
有1 个解，
即
无解，
故此时函数
有7 个零点，D 正确；
故选：ABD
12. （2023 秋· 江苏镇江丹阳· 高三期初统考）函数
，关于x 的方程
，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数
的值域为
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B. 函数
的单调减区间为
C. 当
时，则方程有6 个不相等的实数根
D. 若方程有3 个不相等的实数根，则m 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】①当
时，
，
则
在
单调递减，且渐近线为
轴和
，
恒有
.
②当
时，
，
，
当
在
单调递增，
当
在
单调递减，
故
， 且恒有
.
综上①②可知，
，
作出函数大致图象，如下图.
对于A，函数
的值域为
，故A 正确；
对于B，函数
的单调减区间为
，故B 错误；
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对于C，当
时，则方程
可化为
即
或
，
由
，得
或
，有两个实数根；
由图象可知， 由
，有
不相等的实数根，且均不为
，也不为
，
所以当
时，则方程有6 个不相等的实数根，故C 正确；
对于D，若关于x 的方程
有3 个不相等的实数根，
即方程
与方程
共有3 个不相等的实数根.
又因为
已有两个不等的实数根
，
则方程
有且仅有1 个根，且不为
.
所以
与
有且仅有1 个公共点，
由图象可知
，满足题意，即m 的取值范围是
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.函数
的零点为________．
【答案】
【解析】当
时，令
，解得
；当
时，令
，解得
(舍去)，
所以函数
存在零点，且零点为.
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故答案为：1.
14.已知函数
，则函数
的零点个数为______.
【答案】3
【解析】令
得
，
可知函数
的零点个数即为函数
与
的交点个数，
在同一直角坐标系中作出
，
的大致图象如下：
由图象可知，函数
与
的图象有3 个交点，
即函数
有3 个零点，
故答案为：3.
15.（2023 秋·江苏南通·高三百校联考开学定位数学试题）已知函数
，则
的零点
为___________，若
，且
，则
的取值范围是__________．
【答案】 ①.
②.
【解析】令
，
即
，解得
不合题意，舍去；
或
，解得
，符合题意；
所以，函数
的零点为
.
由
，且
可知，
当
时，
,不合题意；
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当
时，
，不合题意；
所以，
分别属于两个区间，不妨取
，
则
，即
；
所以，
则
，
令
，所以
令
，得
，
当
时，
，即函数
在
上为单调递减；
当
时，
，即函数
在
上为单调递增；
所以函数
在
时取最小值，
即
，即
所以
的取值范围是
.
故答案为：
；
16.（2023 秋·江苏南京·高三六校联考）已知
，若
，
，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【解析】作函数
图象，如图，
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设
，则
，
，
又
，
，
，
设
，
当
时，
，函数
为增函数，
，
即实数
的取值范围是
故答案为：
14
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