第13讲认识二次函数（知识点+3题型）（暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_2026年新9年级数学《暑假自学课衔接课》复习讲义+预习讲义+测试卷（北师）

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第13 讲认识二次函数（知识点+3 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 列二次函数关系式
题型2 二次函数的识别
题型3 根据二次函数的定义求参数
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
二次函数的定义
二次函数的一般形式
二次函数的识别
根据实际问题列二次
函数关系式
二次函数自变量的取
值范围
1. 经历从具体问题抽象出二次函数概念的过程，理解二次函数的定义，掌握
二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c(a≠0)，能准确识别二次函数，正确确定
二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 能分析简单实际问题中的数量关系，找出变量之间的二次函数关系，列出
对应的二次函数关系式，体会二次函数是刻画现实世界变量关系的重要数学
模型。
3. 能根据实际问题的背景和意义，确定二次函数自变量的取值范围，并能根
据自变量的值求出对应的函数值。
4. 感受二次函数与现实生活的密切联系，在探索概念的过程中发展抽象思维
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和数学建模能力。
学习重点：二次函数的概念与识别，二次函数的一般形式，根据实际问题列二次函数关系式。
学习难点：准确分析复杂实际问题中的数量关系，建立正确的二次函数模型，根据实际意义确定自变
量的取值范围。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数的定义
一般定义：形如ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ,ܾ,ܿ是常数，ܽ
≠Ͳ）的函数叫做二次函数。
三个必备条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数ܽ
≠Ͳ。
几何语言：
若函数满足ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ，且ܽ
≠Ͳ，则ݕ是ݔ的二次函数。
即时即练
1．下列函数中，一定属于二次函数的是（
）
A．ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
B．ݕ= ݔ+ ʹ
C．ݕ=
ͳ
ݔD．ݕ= ݔʹ
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【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的定义、一次函数和反比例函数的概念，熟练掌握二次函数的定义及一
般形式中二次项系数不为0 的条件是解题的关键．根据二次函数的定义，即形如ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ、ܾ、ܿ
为常数，且ܽ
≠Ͳ）的函数是二次函数，逐一分析选项即可．
【详解】∵二次函数的定义为形如ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ、ܾ、ܿ是常数，ܽ
≠Ͳ）的函数，
∴对各选项分析如下：
A 选项：ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
中未明确ܽ
≠Ͳ，当ܽ
= Ͳ 时，不是二次函数，故A 不符合题意；
B 选项：ݕ= ݔ+ ʹ 是一次函数，不符合二次函数定义，故B 不符合题意；
C 选项：ݕ=
ͳ
ݔ是反比例函数，不符合二次函数定义，故C 不符合题意；
D 选项：ݕ= ݔʹ满足ܽ
= ͳ ≠Ͳ 的二次函数形式，故D 符合题意；
故选：D．
【易错提醒】
判断时极易忽略三点：分式、根式形式不是整式，不属于二次函数；最高次数为2 但a=0 时退化为一次/常
数函数；含x
2但被抵消也不是二次函数。
知识点02
二次函数的特殊形式
函数类型
具体解析式
字母取值要求
对应易错提醒
标准一般式
ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ，ܾ、ܿ任意ܾ
、ܿ可以等于0，仅限制ܽ
不为0
缺一次项
ݕ=ܽ
ݔʹ +ܿܽ
≠Ͳ，ܾ
= Ͳ
不要误判为一次函数，仍属于二次函数
缺常数项
ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔܽ
≠Ͳ，ܿ= Ͳ
图像必过原点(Ͳ,Ͳ)，做题常漏该特征
最简纯二次式
ݕ=ܽ
ݔʹܽ
≠Ͳ，ܾ
=ܿ
= Ͳ
顶点在原点，对称轴为y 轴，区分正比例函数
即时即练
2．下列ݕ关于ݔ的函数中，属于二次函数的是（
）
A．ݕ= ʹݔ ͵
B．ݕ= ݔʹ +
ͳ
ݔ
C．ݕ= ݔʹ ݔ
D．ݕ= ʹʹ + ݔ
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的定义，需根据二次函数的定义（形如ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ，其中ܽ
、ܾ、ܿ为常数
且ܽ
≠Ͳ 的整式函数，自变量最高次数为2）逐一分析选项．
【详解】解：A 选项：ݕ= ʹݔ ͵，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义；
B 选项：ݕ= ݔʹ +
ͳ
ݔ，
ͳ
ݔ是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义；
C 选项：ݕ= ݔʹ ݔ，符合ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
= ͳ ≠Ͳ，ܾ= ͳ，ܿ= Ͳ）的形式，是整式函数且自变量最
高次数为2，属于二次函数；
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D 选项：ݕ= ʹʹ + ݔ= Ͷ + ݔ，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，
故选：C．
知识点03
二次函数各项名称
解析式ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
中：ܽ
ݔʹ：二次项，ܽ
为二次项系数；ܾ
ݔ：一次项，ܾ为一次项系数；ܿ
：常数项（不含自变量）。
即时即练
3．函数解析式ݕ= ݔʹ + ʹݔ ͳ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．ͳ，ʹ，ͳ
B．ͳ，ʹ， ͳ
C．Ͳ，ʹ， ͳ
D．Ͳ， ʹ， ͳ
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）中各系数的定义来
确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的一般形式为ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ，ܽ
为二次项系数，ܾ为一次项系数，ܿ为
常数项），
∴函数解析式ݕ= ݔʹ + ʹݔ ͳ 中二次项系数是ͳ，一次项系数是ʹ，常数项是 ͳ，
故选：B．
【易错提醒】
系数自带前面符号，如y=2x
2-3x+1 中b=-3，易漏掉负号；常数项是单独数字，不含x。
知识点04 实际情境列二次函数关系式
建模思路：找出等量关系，用含ݔ代数式表示ݕ，整理成整式形式，注明自变量取值范围。
即时即练
4．用一段ͶͶ 米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x 米，面积为y 平方米，则y 关于x
的函数关系式为（
）
A．ݕ= ݔʹ ͶͶݔ
B．ݕ= ݔʹ + ͶͶݔ
C．ݕ= ݔʹ ʹʹݔ
D．ݕ= ݔʹ + ʹʹݔ
【答案】D
【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为ͶͶ 米，矩形的
一边长为x 米，则另一边长为ʹʹ ݔ米，根据矩形的面积列函数关系式即可．
【详解】解：由题意，矩形的周长为ͶͶ 米，矩形的一边长为x 米，则另一边长为ʹʹ ݔ米，
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ݕ= ݔʹʹ ݔ= ݔʹ + ʹʹݔ．
故选：D．
【易错提醒】
整理等式时移项符号出错；忘记化简整理成y=ax
2+bx+c 标准形式；不标注自变量实际取值范围。
题型1 列二次函数关系式
【例1】一个正方形的边长为ͺcm，它的边长增加ݔcm 后，得到新的正方形的面积为ݕcmʹ，则y 关于x 的
函数解析式为________．
【答案】
ݕ= ݔʹ + ͳ͸ݔ+ ͸Ͷ(ݔ൒Ͳ)
【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出ݕ与ݔ的关系式. 整理后即可得到函
数解析式．
【详解】由题意可知，原正方形边长为ͺcm，边长增加ݔcm 后，新正方形的边长为(ͺ + ݔ)cm
根据正方形面积公式，可得：ݕ= (ͺ + ݔ)ʹ
展开整理得：ݕ= ݔʹ + ͳ͸ݔ+ ͸Ͷ
由ݔ的实际意义可知ݔ൒Ͳ，
∴ݕ= ݔʹ + ͳ͸ݔ+ ͸Ͷ(ݔ൒Ͳ)．
【技巧归纳】
通用四步：审清题意→设两个变量（自变量ݔ，因变量ݕ）→找等量关系→整理成一般式
高频模型：
面积问题：用含ݔ的式子表示长和宽，面积=长×宽
利润问题：总利润=单件利润×销售量（同一元二次方程）
几何动点：用运动时间ݐ表示线段长度，再表示面积
必做步骤：标注自变量的取值范围（如边长>0，销量≥0），这是最易遗漏的点
【变式1-1】
1．设圆的半径为r，面积为S．
(1)试写出S 与r 之间的函数关系式；
(2)画出这个函数的图象．
【答案】(1)ܵ= πݎʹ(ݎ൐Ͳ).
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(2)
【分析】（1）由圆的面积公式写出函数关系式即可；
（2）根据函数关系式，列表描点连线，即可画出函数图象．
【详解】（1）解：由圆的面积公式可得，ܵ
= πݎʹ(ݎ൐Ͳ)；
（2）解：由（1）得ܵ
= πݎʹ(ݎ൐Ͳ)，
列表可得，
ݎ
ڮ
ͳ
͵
ʹ
ʹ
ڮܵ
ڮ
π
ͻπ
Ͷ
Ͷπ
ڮ
描点连线，图象略
【变式1-2】
2．已知直角三角形两条直角边的长的和为ͳͲcm．
(1)当它的一条直角边的长为Ͷ为ͷcm 时，求这个直角三角形的面积；
(2)设这个直角三角形的一条直角边的长为ݔcm，面积为ܵcmʹ，求ܵ
与ݔ之间的函数关系式．
【答案】(1)
ͻͻ
ͺ cmʹ(或ͳʹ为͵͹ͷcmʹ)．
(2)ܵ= 
ͳ
ʹ ݔʹ + ͷݔ(Ͳ ሺݔሺͳͲ)
【分析】（1）一直角边的长为Ͷ为ͷcm，则另一直角边长为ͷ为ͷcm 即可求出面积；
（2）一直角边的长为ݔcm，则另一直角边长为ͳͲ ݔcm，即可表示出面积．
【详解】（1）解：已知一直角边的长为Ͷ为ͷcm，
则另一直角边长为ͳͲ Ͷ为ͷ = ͷ为ͷ cm ，
所以这个直角三角形的面积ܵ
=
ͳ
ʹ ൈͶ为ͷ ൈͷ为ͷ =
ͻͻ
ͺ = ͳʹ为͵͹ͷ cmʹ
（2）解：由题意，得另一条直角边的长为ͳͲ ݔcm，
则ܵ
=
ͳ
ʹ ݔͳͲ ݔ= 
ͳ
ʹ ݔʹ + ͷݔͲ ሺݔሺͳͲ ．
题型2 二次函数的识别
【例2】下列各式中，ݕ是ݔ的二次函数的是（
）
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A．ݕ= ʹݔ ͵
B．ݕ= ݔʹ ͷݔ+ ͳ͵
C．ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
D．ݕ= ݔʹ 
ͳ
ݔ+ ʹ
【答案】B
【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可.
【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ，ܾ，ܿ是常数，ܽ
≠Ͳ）的函数，叫做
二次函数.
∵选项A 中ݕ= ʹݔ ͵ 是一次函数，
∴A 不符合题意；
∵选项B 中ݕ= ݔʹ ͷݔ+ ͳ͵ ，符合二次函数的定义，
∴B 符合题意；
∵选项C 中ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ，未说明ܽ
≠Ͳ，当ܽ
= Ͳ 时不是二次函数，
∴C 不符合题意；
∵选项D 中ݕ= ݔʹ 
ͳ
ݔ+ ʹ 里，
ͳ
ݔ是分式，不是整式，不符合二次函数定义，
∴D 不符合题意.
【技巧归纳】
条件1：必须是整式函数（分母、根号下不含自变量）
条件2：只含有1 个自变量
条件3：自变量的最高次数是2
隐含条件：二次项系数ܽ
≠Ͳ
技巧：先化简再判断，化简后二次项系数为0 的不是二次函数
【变式2-1】
1．下列函数中，属于二次函数的是（
）
A．ݕ=
ʹݔʹ ͵
B．ݕ= (ݔ+ ʹ)ʹ ݔʹ
C．ݕ= ͵ݔʹ + ͳ
D．ݕ=
ͷ
ݔʹ
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ，ܾ，ܿ是常数，ܽ≠Ͳ）的整式函
数，据此逐一分析选项即可．
【详解】解：A. ݕ=
ʹݔʹ ͵不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意；
B. ׶ ݕ= (ݔ+ ʹ)ʹ ݔʹ = ݔʹ + Ͷݔ+ Ͷ ݔʹ = Ͷݔ+ Ͷ，׵该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意；
C. ݕ= ͵ݔʹ + ͳ 符合ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
= ͵ ≠Ͳ，ܾ
= Ͳ，ܿ= ͳ）的形式，是二次函数，故符合题意；
D. ݕ=
ͷ
ݔʹ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意，
综上，选C．
【变式2-2】
2．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y 与变量x 之间是二次函数关系的是（
）
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A．铅笔的单价不变，总价y 与支数x
B．路程一定，列车运行的平均速度y 与时间x
C．正方体的表面积y 与它的棱长x
D．速度一定，列车的行驶路程y 与行驶时间x
【答案】C
【分析】根据各选项的实际数量关系列出y 与x 的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定
义为形如ݕ=ܽ
ݔ; +ܾݔ+ܿ
(a，b，c 为常数，且ܽ
≠Ͳ)的函数是二次函数．
【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值݇݇
≠Ͳ ，可得ݕ=݇
ݔ，∴y 是x 的正比例函数(一次函数)，
不是二次函数，故A 不符合题意；
对选项B，∵设路程为定值ݏݏ≠Ͳ ，可得ݔݕ= ݏ，即ݕ=
ݏ
ݔ，∴y 是x 的反比例函数，不是二次函数，故B
不符合题意；
对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6 个大小相等的正方形面，每个面面积为ݔʹ，∴ݕ= ͸ݔʹ，
符合二次函数定义，故C 符合题意；
对选项D，∵设速度为定值ݒݒ≠Ͳ ，可得ݕ= ݒݔ，∴y 是x 的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故
D 不符合题意．
题型3 根据二次函数的定义求参数
【例3】若函数ݕ=݉
 ʹ ݔ݉
ʹ ʹ + ݔ是关于ݔ的二次函数，则݉
为（
）
A．ʹ
B．േʹ
C． ʹ
D．Ͳ
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求ݔ的最高次数为ʹ，且二次项系数不为Ͳ，据此列出关系
式即可求出݉
的值．
【详解】解：׶函数ݕ=݉
 ʹ ݔ݉
ʹ ʹ + ݔ是关于ݔ的二次函数，
׵݉
 ʹ ≠Ͳ，且݉
ʹ ʹ = ʹ，
解方程݉
ʹ ʹ = ʹ，即݉
ʹ = Ͷ，
解得݉
= ʹ 或݉
= ʹ，
又∵݉
 ʹ ≠Ͳ，
׵݉
≠ʹ，
׵݉
= ʹ．
【技巧归纳】
第一步：令自变量的最高次数等于2，解出参数的所有可能值
第二步：必须检验，将参数值代入二次项系数，舍去使ܽ
= Ͳ 的解
若参数只出现在一次项或常数项，不影响二次函数的判定
若题目注明“关于ݔ的二次函数”，则默认二次项系数≠0
【变式3-1】
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1．已知ݕ=݉
+ ʹ ݔ݉
是关于x 的二次函数，那么m 的值为（
）
A． ʹ
B．2
C．േʹ
D．0
【答案】B
【分析】二次函数要求ݔ的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于݉
的条件即可求解．
【详解】解：∵ݕ=݉
+ ʹ ݔ݉
是关于ݔ的二次函数，
∴݉
= ʹ，且݉
+ ʹ ≠Ͳ，
解݉
= ʹ 得݉
=േʹ，
解݉
+ ʹ ≠Ͳ 得݉
≠ ʹ，
∴݉
= ʹ．
【变式3-2】
2．函数ݕ=݉
+ ʹ ݔ݉
ʹ +ʹ݉是关于ݔ的二次函数，则݉
=______．
【答案】 ͳ േ
͵
【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量ݔ的最高次数为ʹ，且二次项系数不为Ͳ，据此列出
关系式解答即可求解．
【详解】解：∵函数ݕ=݉
+ ʹ ݔ݉
ʹ +ʹ݉是关于ݔ的二次函数，
∴݉
ʹ + ʹ݉
= ʹ 且݉
+ ʹ ≠Ͳ，
解得݉
= ͳ േ
͵．
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（
）
A．ݕ=
ʹ
ݔ
B．ݕ= ݔ+ ͳ
C．ݕ= ݔʹ + ͳ
D．ݕ= ݔʹ +
ͳ
ݔ
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x 的整式，且自变量x 的最高次数
为2，二次项系数不为0．
【详解】解：∵二次函数的定义为：形如ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ，ܾ，ܿ为常数，且ܽ
≠Ͳ）的函数，等式右
边是关于x 的整式，
A：ݕ=
ʹ
ݔ是反比例函数，右边是分式，不符合定义，
B：ݕ= ݔ+ ͳ 是一次函数，x 最高次数为1，不符合定义，
C：ݕ= ݔʹ + ͳ，符合二次函数形式，ܽ
= ͳ ≠Ͳ，右边是整式，x 最高次数为2，符合定义，
D：ݕ= ݔʹ +
ͳ
ݔ含分式项
ͳ
ݔ，右边不是整式，不符合定义．
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2．若关于ݔ的函数ݕ=ܽ
 Ͷ ݔʹ ݔ是二次函数，则ܽ
的取值范围（
）
A．ܽ
≠Ͳ
B．ܽ
≠Ͷ
C．ܽ
ሺͶ
D．ܽ
൐Ͷ
【答案】B
【详解】解：∵关于ݔ的函数ݕ=ܽ
 Ͷ ݔʹ ݔ是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0，
∴ܽ Ͷ ≠Ͳ，
解得ܽ
≠Ͷ．
3．已知ݕ= (݉
+ ͳ)ݔʹ + ʹݔ ͵ 是二次函数，则݉
的取值范围是（
）
A．݉
൐ ͳ
B．݉
ሺ ͳ
C．݉
≠ͳ
D．݉
≠ ͳ
【答案】D
【分析】根据二次函数二次项系数不为Ͳ 的要求，列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为Ͳ，ݕ= (݉
+ ͳ)ݔʹ + ʹݔ ͵ 是二次函数，
∴݉
+ ͳ ≠Ͳ，
解得݉
≠ ͳ．
4．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系ܧ=
ͳ
ʹ݉
ݒʹ，则下列说法正确
的是（
）
A．当݉
一定时，ܧ与ݒ满足一次函数关系
B．当݉
一定时，ܧ与ݒ满足二次函数关系
C．当ݒ一定时，ܧ与݉
不满足函数关系
D．当ݒ一定时，ܧ与݉
满足二次函数关系
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键．
根据一次函数，二次函数的定义，即可判断．
【详解】解：∵一次函数的形式为ݕ=݇
ݔ+ܾ（݇
≠Ͳ，݇、ܾ为常数），二次函数的形式为ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
（ܽ
≠Ͳ，ܽ、ܾ、ܿ为常数）
①当݉
一定时，令݇
=
ͳ
ʹ݉
（݇
为常数且݇
≠Ͳ），则ܧ=݇
ݒʹ，符合二次函数的形式，∴ܧ与ݒ满足二次
函数关系，故A 不符合题意，B 符合题意；
②当ݒ一定时，令݇
=
ͳ
ʹ ݒʹ（݇
为常数且݇
≠Ͳ），则ܧ=݇݉
，符合一次函数的形式，∴ܧ与݉
满足一次
函数关系，故C、D 不符合题意．.
故选：B．
5．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7 月份售出1500
个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率ݔ，请问9 月份的销售量ݕ关于每月增加的百分率ݔ的函
数解析式是（
）
A．ݕ= ͳͷͲͲ ͳ + ݔʹ
B．ݕ= ͳͷͲͲ + ͳ ݔʹ
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C．ݕ= ͳ + ݔʹ + ͳͷͲͲ
D．ݕ= ݔʹ + ͳͷͲͲ
【答案】A
【分析】本题考查根据题意列函数关系式．
根据每月的增长百分率，依次推导8 月、9 月的销售量，从而得到9 月销售量ݕ关于x 的函数解析式．
【详解】解：∵7 月份销售量为1500 个，每月销售量的增长百分率为x，
∴8 月份的销售量为ͳͷͲͲ ͳ + ݔ个，
∴9 月份的销售量ݕ= ͳͷͲͲ ͳ + ݔൈͳ + ݔ= ͳͷͲͲ ͳ + ݔʹ．
故选：A．
6．下列函数：①ݕ= ݔʹ；②ݕ= ݔʹ + ͳ；③ݕ= ݔ＋ͳ
ݔ ͳ ；④ݕ=
ͳ
ݔʹ；⑤ݕ=
ݔʹ + Ͷ；⑥ݕ=
ݔʹ+ʹܽ
ʹ+ʹ（a
为常数）；⑦ݕ= ͵ ݔ+ ͳ ʹ ͳ，其中是二次函数的有（
）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ，ܾ，ܿ是常数，且ܽ
≠Ͳ）的
函数叫做二次函数．
【详解】解：①符合定义，是二次函数．
②符合定义，是二次函数．
③ݕ= ݔ＋ͳ
ݔ ͳ = ݔʹ ͳ，符合定义，是二次函数．
④不符合定义，不是二次函数．
⑤不符合定义，不是二次函数．
⑥ݕ=
ݔʹ+ʹܽ
ʹ+ʹ =
ͳܽ
ʹ+ʹ ݔʹ +
ʹܽ
ʹ+ʹ，因为ܽ
为常数，所以ܽʹ + ʹ ൒ʹ ≠Ͳ，符合定义，是二次函数．
⑦ݕ= ͵ ݔ+ ͳ ʹ ͳ = ͵ݔʹ + ͸ݔ+ ʹ，符合定义，是二次函数．
综上所述，符合条件的二次函数共ͷ 个，故选C．
7．长为ʹͲcm，宽为ͳͲcm 的矩形，四个角上分别剪去边长为ݔcm 的小正方形，然后把四边折起来，做成
底面积为ݕcmʹ的无盖的长方体盒子，则ݕ与ݔ之间的函数关系式为（
）
A．ݕ= ͳͲ ݔ
ʹͲ ݔ(Ͳ ሺݔሺͷ)
B．ݕ= ʹͲͲ Ͷݔʹ(Ͳ ሺݔሺͷ)
C．ݕ= ͳͲ ʹݔ
ʹͲ ʹݔ(Ͳ ሺݔሺͷ)
D．ݕ= ʹͲͲ + Ͷݔʹ(Ͳ ሺݔሺͷ)
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面
长和宽各减少ʹݔcm，因此底面积ݕ等于减少后的长与宽的乘积，再结合ݔ的取值范围即可确定函数关系式，
理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵矩形原长ʹͲcm，宽ͳͲcm，四个角剪去边长为ݔcm 的小正方形，
∴折起后，长方体底面的长为ʹͲ ʹݔcm，宽为ͳͲ ʹݔcm，
∴ݕ= ͳͲ ʹݔ
ʹͲ ʹݔ，
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又∵ݔ൐Ͳ，且ʹͲ ʹݔ൐Ͳ，ͳͲ ʹݔ൐Ͳ，
∴Ͳ ሺݔሺͷ，
∴函数关系式为ݕ= ͳͲ ʹݔ
ʹͲ ʹݔ
Ͳ ሺݔሺͷ ，
故选：C．
8．下列函数解析式中，一定为二次函数的是(
)
A．ݕ= Ͷݔʹ (ʹݔ+ ͳ)ʹ
B．ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
C．ݏ= ʹݐʹ ʹݐ ͳ
D．ݕ= ݔʹ +
ͳ
ݔ
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义，形如ݕ=ܽ
ݔ; +ܾݔ+ܿ（ܽ、ܾ、ܿ为常数，且ܽ
≠Ͳ）的函数是二次函数，需满足整
式形式且最高次项为二次．
【详解】解：选项A：ݕ= Ͷݔ; (ʹݔ+ ͳ); = Ͷݔ; (Ͷݔ; + Ͷݔ+ ͳ) = Ͷݔ ͳ，为一次函数，不是二次函数；
选项B：ݕ=ܽ
ݔ; +ܾݔ+ܿ，当ܽ
= Ͳ 时不是二次函数，因此不一定为二次函数；
选项C：ݏ= ʹݐ; ʹݐ ͳ，是整式，ܽ
= ʹ ≠Ͳ，一定为二次函数；
选项D：ݕ= ݔʹ +
ͳ
ݔ，含有分式，不是整式，因此不是二次函数；
故选C．
9．已知二次函数ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ
可化为ݕ= ݔ ʹ ʹ ͵ 的形式，则ܾ
+ܿ
的值是(
)
A． ͵
B．3
C． ͷ
D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确
定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键．
【详解】解：ݕ= ݔ ʹ ʹ ͵ = ݔʹ Ͷݔ+ Ͷ ͵ = ݔʹ Ͷݔ+ ͳ
∴ܾ
= Ͷ，ܿ= ͳ，
∴ܾ+ܿ
= Ͷ + ͳ = ͵．
故选：A．
10．二次函数ݕ=݉
ݔʹ + ʹݔ+ ͳ 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（
）
A．݉
ሺͳ 且݉
≠Ͳ
B．݉
൑ͳ 且݉
≠Ͳ
C．Ͳ ሺ݉
ሺͳD．݉
ሺͲ
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意得到Δ = Ͷ Ͷ݉
൐Ͳ，即可求
解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，
∴Δ = ʹʹ Ͷ ൈ݉
ൈͳ = Ͷ Ͷ݉
൐Ͳ，
∴݉
ሺͳ，且݉
≠Ͳ，
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故选：A．
11．若函数ݕ=ܽ
 ͵ ݔܽ
ʹ ͵ܽ+ʹ ͳ 是关于x 的二次函数，则（）．
A．ܽ
= Ͳ
B．ܽ
= ͵
C．ܽ
≠Ͳ
D．ܽ
= Ͳ 或ܽ
= ͵
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项的次数为2 且二次项不能为0 是解题的
关键．
根据二次函数的定义列方程计算即可．
【详解】解：由题意：根据二次函数的定义可得：ܽ
ʹ ͵ܽ+ ʹ = ʹܽ
 ͵ ≠Ͳ
．解得：ܽ
= Ͳ．
故选A．
12．下列函数关系中，可以看作二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）模型的是（
）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
【答案】C
【详解】A、v=
ݏ
ݐ，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+
ͳ
ʹcx，是二
次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，根据语句列出函数关系式，并能根据二次函数的定义进行判断是解
题的关键.
二、填空题
1．若二次函数ݕ= ʹݔʹ ܽ
ݔ+ ʹܽ ͳ 的图象经过点 ͳ,Ͷ ，则ܽ
的值为___________．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点 ͳ,Ͷ 代入二次函数解析式，得到关于ܽ
的一元
一次方程，解方程即可求出ܽ
的值．
【详解】解：∵二次函数ݕ= ʹݔʹ ܽ
ݔ+ ʹܽ ͳ 的图象经过点 ͳ,Ͷ ，
∴将ݔ= ͳ，ݕ= Ͷ 代入解析式得Ͷ = ʹ ൈ( ͳ)ʹ ܽ
ൈ ͳ + ʹܽ ͳ，
即Ͷ = ʹ + ͵ܽ ͳ，
解得ܽ
= ͳ．
故答案为：1．
2．已知点ܣ ͵,ݕͳ ,ܤʹ,ݕʹ ，都在抛物线ݕ= ݔʹ + ʹݔ+ ͵ 上，则ݕͳ_____ݕʹ．（用“൐”，“ሺ”或“=”填空）
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【答案】ሺ
【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A 和点B 的纵坐标值进行比较．
【详解】解：对于抛物线ݕ= ݔʹ + ʹݔ+ ͵，
当ݔ= ͵ 时，
ݕͳ = ͵ ʹ + ʹ ൈ ͵ + ͵ = ͻ ͸ + ͵ = ͸；
当ݔ= ʹ 时，
ݕʹ = ʹʹ + ʹ ൈʹ + ͵ = Ͷ + Ͷ + ͵ = ͳͳ．
因为͸ ሺͳͳ，
所以ݕͳ ሺݕʹ
故答案为：ሺ．
3．若ݕ=݉
+ ʹ ݔ݉
ʹ ʹ + ʹݔ+ ͵ 是关于x 的二次函数，则m 的值为______．
【答案】2
【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义．
根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件݉
ʹ ʹ = ʹ 且系数条
件݉
+ ʹ ≠Ͳ．
【详解】解：因为函数是关于ݔ的二次函数，所以ݔ的最高次项为二次，即݉
ʹ ʹ = ʹ，
解方程得݉
ʹ = Ͷ，
所以݉
= ʹ 或݉
= ʹ，
又因为二次项系数݉
+ ʹ ≠Ͳ，当݉
= ʹ 时，݉
+ ʹ = Ͳ，不符合条件，故舍去，
因此݉
= ʹ．当݉
= ʹ 时，函数为ݕ= Ͷݔʹ + ʹݔ+ ͵，满足二次函数定义．
故答案为：2．
4．ܽ
=___________时，ݕ=ܽ
 ͳ ݔܽ
ʹ +ͳ ݔ+ ͳ 是关于ݔ的二次函数．
【答案】 ͳ
【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0 是解题的关键．根据二次函数的定义，可
得ܽʹ + ͳ = ʹ，并且注意二次项系数不能为0，即ܽ
 ͳ ≠Ͳ，即可解答．
【详解】解：由题意得ܽ
ʹ + ͳ = ʹܽ
 ͳ ≠Ͳ ，
解得ܽ
=േͳܽ
≠ͳ ，
׵ܽ
= ͳ，
故答案为： ͳ．
5．已知二次函数ݕ= ݔʹ +݉
ݔ+ ʹ，定义新运算：对于任意ݔ，称满足等式͵ܽݔ ܾ
=ܿݔ ͳ 的解ݔ为该
函数的“特征值”（其中ܽ
，ܾ，ܿ为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围
是ͳ ൑ݔ൑͵，则݉
的最小值是________．
【答案】 ͳͶ
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【分析】先根据二次函数解析式确定二次项、一次项、常数项系数ܽ
,ܾ,ܿ，代入新运算等式求出特征值ݔ关
于݉
的表达式，再根据特征值的取值范围列出一元一次不等式组，求解得到݉
的取值范围，即可得出݉
的最小值．
【详解】解：二次函数ݕ= ݔʹ +݉
ݔ+ ʹ 中二次项系数ܽ
= ͳ，一次项系数ܾ
=݉
，常数项系数ܿ
= ʹ，
将ܽ
= ͳ,ܾ=݉
,ܿ= ʹ 代入等式͵ܽݔ ܾ
=ܿݔ ͳ 得：͵ ൈ( ͳ)ݔ ݉
= ʹݔ ͳ，
整理得 ͷݔ=݉
 ͳ，
解得ݔ=
ͳ ݉
ͷ ，
∵特征值ݔ满足ͳ ൑ݔ൑͵，
∴ͳ ൑
ͳ ݉
ͷ
൑͵，
∴ ͳͶ ൑݉
൑ Ͷ，
∴݉
的最小值是 ͳͶ．
6．若ݕ= (݉
 Ͷ)ݔ݉
ʹ ͷ݉
+͸ +݉
ݔ是关于ݔ的二次函数，则݉
=_______．
【答案】1
【分析】本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，掌握好二次函数的概念是解题关键．
根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项且其系数不为零，因此令指数部分等于2，解方程并验证系数
是否非零．
【详解】解：由题意，函数是关于ݔ的二次函数，则ݔ的最高次数为2，且二次项系数不为零．
令݉
ʹ ͷ݉
+ ͸ = ʹ，得方程݉
ʹ ͷ݉
+ Ͷ = Ͳ，
因式分解，得݉
 ͳ݉
 Ͷ = Ͳ，
解得，݉
= ͳ 或݉
= Ͷ，
当݉
= Ͷ 时，二次项系数݉
 Ͷ = Ͳ，不符合二次函数定义；
当݉
= ͳ 时，二次项系数݉
 Ͷ = ͵ ≠Ͳ，符合要求．
故答案为：1．
7．当ܽ
=_____时，ݕ=ܽ
 ͳ ݔܽ
ʹ +ͳ + ݔ ͵ 是关于ݔ的二次函数．
【答案】 ͳ
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义明确“自变量最高次数为2 且二次
项系数不为0”这两个条件．
根据二次函数的定义，列出关于ܽ
的条件：一是自变量ݔ的次数ܽʹ + ͳ = ʹ，二是二次项系数ܽ
 ͳ ≠Ͳ，
求解并结合条件确定ܽ
的值．
【详解】解：要使函数ݕ= (ܽ ͳ)ݔܽ
ʹ +ͳ + ݔ ͵ 是关于ݔ的二次函数，
则ݔ的最高次数必须为2，
即ܽʹ + ͳ = ʹ，
且二次项系数ܽ
 ͳ ≠Ͳ．
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解方程ܽʹ + ͳ = ʹ，
得ܽʹ = ͳ，
所以ܽ
=േͳ．
当ܽ
= ͳ 时，ܽ ͳ = Ͳ，函数化为ݕ= ݔ ͵，不是二次函数；
当ܽ
= ͳ 时，ܽ ͳ = ʹ ≠Ͳ，且指数ܽʹ + ͳ = ( ͳ)ʹ + ͳ = ʹ，满足条件．
因此，ܽ
= ͳ．
故答案为 ͳ．
8．已知ݕ=݉
 Ͷ ݔ݉
ʹ ݉
+ ʹݔʹ ͵ݔ ͳ．
（1）当݉
的值为______时，它是ݕ关于ݔ的一次函数．
（2）当݉
的值为______时，它是ݕ关于ݔ的二次函数．
【答案】
ʹ
ʹ Ͷ 或
ͳ+ ͷ
ʹ 或
ͳ ͷ
ʹ 或 ͳ 或Ͳ 或ͳ
【分析】（1）根据一次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解݉
的值；
（2）根据二次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解݉
的值．
【详解】解：（1）要使该函数为关于ݔ的一次函数，则化简后含ݔ的最高次项的次数为ͳ，原式中存在ʹݔʹ
项，因此必须使二次项系数之和为Ͳ，且不存在更高次项，
故需满足ሼ݉
ʹ ݉
= ʹ
(݉
 Ͷ) + ʹ = Ͳ，解得݉
= ʹ，
当݉
= ʹ 时，原函数为ݕ= ͵ݔ ͳ，是一次函数，
故答案为：ʹ．
（2）可分以下四种情况讨论：
①当݉
 Ͷ = Ͳ 时，解得݉
= Ͷ；
②当݉
ʹ ݉
= ͳ 时，解得݉
ͳ =
ͳ+ ͷ
ʹ
,݉
ʹ =
ͳ ͷ
ʹ ；
③当݉
ʹ ݉
= ʹ,݉
 Ͷ + ʹ ≠Ͳ 时，解得݉
= ͳ；
④当݉
ʹ ݉
= Ͳ 时，解得݉
ͳ = Ͳ,݉
ʹ = ͳ．
综上所述，当݉
的值为4 或
ͳ+ ͷ
ʹ 或
ͳ ͷ
ʹ 或 ͳ 或0 或1 时，它是ݕ关于ݔ的二次函数．
故答案为：Ͷ 或
ͳ+ ͷ
ʹ 或
ͳ ͷ
ʹ 或 ͳ 或Ͳ 或ͳ．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题关键是根据函数定义，分情况讨论各项的次数和系
数的取值条件，确保函数符合一次或二次函数的形式．
9．抛物线ݕ=ܽ
ݔ ͸ ʹ +݇
经过点Ͳ,ʹ ，当ݔ= ͻ 时ݕ൐ʹ为Ͷ͵，当ݔ= ͳͺ 时ݕሺͲ，则݇
的取值范围是
__________.
【答案】݇
൐
ͺ
͵
【分析】将点Ͳ,ʹ 代入ݕ=ܽ
ݔ ͸ ʹ +݇，得ܽ
=
ʹ ݇
͵͸ ，再将x 与y 的对应关系代入函数解析式得到不等式
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组，解不等式组即可求得k 的取值范围.
【详解】将点Ͳ,ʹ 代入ݕ=ܽ
ݔ ͸ ʹ +݇，
得36a+k=2，
∴ܽ
=
ʹ ݇
͵͸ ，
当ݔ= ͻ 时ݕ൐ʹ为Ͷ͵，当ݔ= ͳͺ 时ݕሺͲ 得ͻܽ+݇
＞ʹ为Ͷ͵
ͳͶͶܽ+݇
ሺͲ
，
解得݇
＞
ͳͻ͵
͹ͷ݇
＞
ͺ
͵
，
∴݇＞
ͺ
͵，
故填݇
＞
ͺ
͵.
【点睛】此题考查二次函数的性质，将点的横纵坐标代入函数解析式即可得到对应的不等式组，注意将点
Ͳ,ʹ 代入ݕ=ܽ
ݔ ͸ ʹ +݇，得36a+k=2 是解题的关键，可将不等式组中的a 用含k 的代数式表示，解不
等式组即可求解.
三、解答题
1．已知ݕ=ܽ
ݔܽ
ʹ ʹܽ+ʹ是二次函数，求a 的值．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的定义，解题的核心是紧扣二次函数的两个关键条件：一是自变量的最高次数
为2，二是二次项系数不为0．
根据已知可得ܽ
ʹ ʹܽ+ ʹ = ʹ 且ܽ
≠Ͳ，即可求解．
【详解】解：׶ ݕ=ܽ
ݔܽ
ʹ ʹܽ+ʹ是二次函数，
׵ܽ
ʹ ʹܽ+ ʹ = ʹ，
解得ܽ
= Ͳ 或ܽ
= ʹ，
又׶ܽ
≠Ͳ，
׵ܽ
= ʹ．
2．已知函数ݕ= (݉
ʹ ݉
)ݔʹ + (݉
 ͳ)ݔ+݉
+ ͳ．
(1)若这个函数是一次函数，且点ܤ( ʹ,ʹ)，在一次函数上，求݉
，ʹ 的值；
(2)若这个函数是二次函数，则݉
满足的条件为______．
【答案】(1)݉
= Ͳ，ʹ = ͵
(2)݉
≠Ͳ 且݉
≠ͳ
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义，求一次函数值，
对于（1），根据一次函数的定义可得݉
ʹ ݉
= Ͳ,且݉
 ͳ ≠Ͳ，再求出m 的值，然后将点B 的坐标代入
关系式可得n；
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对于（2），根据二次函数的定义可得݉
ʹ ݉
≠Ͳ,求出解即可．
【详解】（1）解：∵函数ݕ= (݉
ʹ ݉
)ݔʹ + (݉
 ͳ)ݔ+݉
+ ͳ 是一次函数，
∴݉
ʹ ݉
= Ͳ,且݉
 ͳ ≠Ͳ，
解得݉
= Ͳ，
∴一次函数ݕ= ݔ+ ͳ.
∵点ܤ( ʹ,ʹ)在一次函数的图象上，
∴ ( ʹ) + ͳ = ʹ，
解得ʹ = ͵；
（2）解：∵函数ݕ= (݉
ʹ ݉
)ݔʹ + (݉
 ͳ)ݔ+݉
+ ͳ 是二次函数，
∴݉
ʹ ݉
≠Ͳ,
∴݉
≠Ͳ 且݉
≠ͳ．
故答案为：݉
≠Ͳ 且݉
≠ͳ．
3．关于x 的函数ݕ=ܽ
ʹ ʹܽ+ ͹ ݔʹ + Ͷܽݔ+ ͳ（ܽ
为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：
“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？
【答案】乙说法正确，理由见解析．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解
题的关键．
【详解】解：乙说法正确，理由：
由题意得：ܽʹ ʹܽ+ ͹ =ܽ
 ͳ ʹ + ͸ ൐Ͳ，
∴关于ݔ的函数ݕ=ܽ
ʹ ʹܽ+ ͹ ݔʹ + Ͷܽݔ+ ͳ（ܽ
为常数）一定是二次函数，
所以乙的说法正确．
4．已知函数ݕ=݉
+ ʹ ݔ݉
ʹ ʹ（m 为常数），求当m 为何值时：
(1)y 是x 的一次函数？
(2)y 是x 的二次函数？并求出此时纵坐标为64 的点的横坐标．
【答案】(1)݉
=േ
͵
(2)݉
= ʹ，纵坐标为͸Ͷ 的点的横坐标േͶ
【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键．
（1）由一次函数定义得出݉
ʹ ʹ = ͳ，且݉
+ ʹ ≠Ͳ，求出݉
的值；（2）由二次函数定义得出݉
ʹ ʹ = ʹ，
且݉
+ ʹ ≠Ͳ，求出݉
的值．
【详解】（1）解：（1）由题意，得݉
ʹ ʹ = ͳ，且݉
+ ʹ ≠Ͳ，
解得݉
=േ
͵，
当݉
=േ
͵时，y 是x 的一次函数；
（2）由题意，得
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ʹ ʹ = ʹ，且݉
+ ʹ ≠Ͳ，
解得݉
= ʹ，
当݉
= ʹ 时，y 是x 的二次函数，
当ݕ= ͸Ͷ 时，Ͷݔʹ = ͸Ͷ，
解得ݔ=േͶ，
纵坐标为64 的点的横坐标േͶ．
5．2020 年，我国新增水土流失治理面积约为6 万kmʹ；2021 年，我国新增水土流失治理面积比2020 年增
长约͵%．
(1)2021 年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到Ͳ为ͳ 万kmʹ）
(2)如果2022 年、2023 年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023 年我国新增水土流失治理面积为
y 万kmʹ，那么y 的表达式是什么？
【答案】(1)͸为ʹ 万kmʹ
(2)ݕ= ͸为ͳͺ ͳ + ݔʹ ݔ൐Ͳ
【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可；
（2）根据增长率的意义，列式求解即可；
【详解】（1）解：2021 年，我国新增水土流失治理面积大约是͸ ͳ + ͵% = ͸为ͳͺ
ൎ͸为ʹ 万平方千米；
（2）解：2021 年新增水土流失治理面积͸为ͳͺ 万平方千米，2022 年新增水土流失治理面积͸为ͳͺ + ͸为ͳͺݔ=
͸为ͳͺ ͳ + ݔ万平方千米，
2023 年新增水土流失治理面积͸为ͳͺ ͳ + ݔ+ ͸为ͳͺ ͳ + ݔݔ= ͸为ͳͺ ͳ + ݔʹ万平方千米，
2023 年我国新增水土流失治理面积为y 万kmʹ，得到ݕ= ͸为ͳͺ ͳ + ݔʹ ݔ൐Ͳ ；
6．已知函数ݕ=ܽ
+ ͳ ݔܽ
ʹ +ͳ +ܽ
 ͵ ݔ+ܽ
，其中ܽ
为常数．
(1)当ܽ
取什么值时，它为二次函数？
(2)当ܽ
取什么值时，它为一次函数？
【答案】(1)ܽ
= ͳ；
(2)ܽ
= ͳ 或ܽ
= Ͳ．
【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ͳ）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案；
（ʹ）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案．
【详解】（1）解：根据题意，得ܽ
+ ͳ ≠Ͳܽ
ʹ + ͳ = ʹ ，
解得ܽ
= ͳ；
（2）解：当ܽ
+ ͳ = Ͳ，即ܽ
= ͳ 时，原函数为ݕ= Ͷݔ ͳ，是一次函数；
当ܽ
ʹ + ͳ = ͳ,ܽ
+ ͳ +ܽ
 ͵ ≠Ͳ, 即ܽ
= Ͳ 时，原函数为ݕ= ʹݔ，也是一次函数，
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综上所述，当ܽ
= ͳ 或ܽ
= Ͳ 时，ݕ=ܽ
+ ͳ ݔܽ
ʹ +ͳ +ܽ
 ͵ ݔ+ܽ
是一次函数．
7．已知函数ݕ=݉
ʹ +݉
ݔ݉
ʹ ʹ݉
 ͳ +݉
 ͵ ݔ+݉
ʹ ͳͳ 是关于x 的二次函数．
(1)求m 的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】(1)݉
= ͵
(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 ʹ
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键．
（1）根据二次函数的定义，即ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 列式求解即可；
（2）根据二次函数一般式判定即可．
【详解】（1）解：根据二次函数的定义得݉
ʹ ʹ݉
 ͳ = ʹ݉
ʹ +݉
≠Ͳ
，
由݉
ʹ ʹ݉
 ͳ = ʹ 得݉
ͳ = ͳ，݉
ʹ = ͵，
由݉
ʹ +݉
≠Ͳ 得݉
≠ ͳ 且݉
≠Ͳ，
∴݉
= ͵．
（2）解：由（1）得：二次函数解析式为ݕ= ͳʹݔʹ ʹ，
故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为 ʹ．
8．【定义】对于函数，若存在自变量ݔͲ = ݐ时，函数值ݕͲ = ʹݐ，则称该函数为“倍动点函数”，点ݐ,ʹݐ为
该函数的一个倍动点．
探究1（一次函数）
（1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）；
①ݕ= ͵ݔ+ ʹ 是“倍动点函数”，倍动点为 ͳ, ʹ ；
②ݕ= ʹݔ是“倍动点函数”，且有无数个倍动点；
③ݕ= ݔ+ ͸ 是“倍动点函数”，倍动点为ʹ,Ͷ ．
探究2（二次函数）
（2）若二次函数ݕ= ݔʹ Ͷݔ+ܿ
有一个倍动点为͵,͸ ，求c 的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，
求出这个点．
【答案】（1）②③，（2）ܿ= ͻ，没有其他倍动点
【分析】本题考查了倍动点函数的定义．
（1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t 使得函数值等于ʹݐ，从而判断结论正误；
（2）将给定的倍动点͵,͸ 代入二次函数求出c，再解方程ݔʹ Ͷݔ+ܿ
= ʹݔ判断是否有其他倍动点即可．
【详解】解：（1）对于①：设存在t 使得͵ݐ+ ʹ = ʹݐ，解得ݐ= ʹ，此时ݕ= ͵ ൈ ʹ + ʹ = Ͷ，ʹݐ= Ͷ，
∴倍动点为 ʹ, Ͷ ，但结论中给出的倍动点为 ͳ, ʹ ，故①错误；
对于②：ݕ= ʹݔ，对于任意t，当ݔ= ݐ时，ݕ= ʹݐ，
∴有无数个倍动点，故②正确；
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对于③：当ݔ= ʹ 时，ݕ= ʹ + ͸ = Ͷ，ʹ ൈʹ = Ͷ，
∴ʹ,Ͷ 是倍动点，故③正确，
故答案为：②③．
（2）将͵,͸ 代入ݕ= ݔʹ Ͷݔ+ܿ，得͸ = ͵ʹ Ͷ ൈ͵ +ܿ，解得ܿ
= ͻ，
将ܿ
= ͻ 代入ݕ= ݔʹ Ͷݔ+ܿ，得ݕ= ݔʹ Ͷݔ+ ͻ，
令ݕ= ʹݔ，则ݔʹ Ͷݔ+ ͻ = ʹݔ，
即ݔʹ ͸ݔ+ ͻ = Ͳ，解得ݔ= ͵，
∴该函数没有其他倍动点．
9．已知：如图，在矩形ܣܤom 中，ܣܤ= ʹͶcm，ܤo = ͳ͸cm，点ܧ为边om 的中点，连接ܤܧ，ܧܨ٣ ܤܧ
交ܣm 于点ܨ，点ܲ
从点ܤ出发，沿ܤܧ方向匀速运动，速度为ʹcmȀs；同时，点ܳ
从点ܣ出发，沿AB 方
向匀速运动，速度为͵cmȀs．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为ݐs
Ͳ ሺݐሺͺ ．解
答下列问题：
(1)当ݐ为何值时，ܲܳ
צ ܧܨ；
(2)连接ܲܳ
，设ᇞܲܳ
ܤ的面积为ݕcmʹ ，求ݕ与ݐ的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻ݐ，使ᇞܲܳ
ܤ为等腰三角形？若存在，直接写出ݐ的值．
【答案】(1)ݐ=
͹ʹ
ͳͻ
(2)ݕ= 
ͳʹ
ͷ ݐʹ +
ͻ͸
ͷ ݐͲ ሺݐሺͺ
(3)存在；ݐ的值为
ʹͶ
ͷ 或
ͶͲ
ͻ 或
͵͸
͹
【分析】（1）根据勾股定理求出ܤܧ=
oܧʹ + ܤoʹ = ʹͲ(cm)，解直角三角形得出cosסoܧܤ=
oܧ
ܤܧ=
ͳʹ
ʹͲ =
͵
ͷ，
根据סoܧܤ= סܣܤܧ，得出cosסܣܤܧ=
͵
ͷ，根据cosסܣܤܧ=
ܤܲ
ܤܳ=
͵
ͷ，得出
ʹݐ
ʹͶ ͵ݐ=
͵
ͷ，求出t 的值即可；
（2）过ܲ
作ܲ
ܩ٣ܳ
ܤ于ܩ，根据sinסܣܤܧ=ܲ
ܩ
ܤܲ=
Ͷ
ͷ，得出ܲ
ܩ=
ͺ
ͷ ݐ，根据三角形面积公式求出结果即可；
（3）分三种情况讨论：当ܤܲ
= ܤܳ
时，当ܤܲ
=ܲܳ
时，当ܤܳ
=ܲܳ
时，分别画出图形进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ܣܤ= ʹͶcm，ܤo = ͳ͸cm，点ܧ为边om 的中点，
∴oܧ= ͳʹcm，
在Rt ᇞܧoܤ中，根据勾股定理，得ܤܧ=
oܧʹ + ܤoʹ = ʹͲ(cm)，
∴cosסoܧܤ=
oܧ
ܤܧ=
ͳʹ
ʹͲ =
͵
ͷ，
∵在矩形ܣܤom 中ܣܤצ om，
∴סoܧܤ= סܣܤܧ，
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∴cosסܣܤܧ=
͵
ͷ，
∵ܨܧ٣ ܤܧ，
∴סܤܧܨ= ͻͲι，
当ܲܳ
צ ܧܨ时，סܤܲܳ
= סܤܧܨ= ͻͲι，
∴cosסܣܤܧ=
ܤܲ
ܤܳ=
͵
ͷ，
根据题意可得：ܤܲ
= ʹݐ，ܤܳ
= ʹͶ ͵ݐ，
∴
ʹݐ
ʹͶ ͵ݐ=
͵
ͷ，
解得：ݐ=
͹ʹ
ͳͻ；
∴当ݐ=
͹ʹ
ͳͻ时，ܲܳ
צ ܧܨ；
（2）解：过ܲ
作ܲ
ܩ٣ܳ
ܤ于ܩ，如图所示：
则סܤܩܲ
= ͻͲι，
根据解析（1）可得：סܣܤܧ= סoܧܤ，
∵sinסoܧܤ=
ܤo
ܤܧ=
ͳ͸
ʹͲ =
Ͷ
ͷ，
∴sinסܣܤܧ=
Ͷ
ͷ，
在Rt ᇞܤܩܲ
中，sinסܣܤܧ=ܲ
ܩ
ܤܲ=
Ͷ
ͷ，
∴ܲ
ܩ
ʹݐ=
Ͷ
ͷ，
∴ܲܩ=
ͺ
ͷ ݐ，
∴ݕ=ܵ
ᇞܤܲܳ
=
ͳ
ʹ ܤܳ
ൈܲ
ܩ=
ͳ
ʹ ʹͶ ͵ݐൈ
ͺ
ͷ ݐ= 
ͳʹ
ͷ ݐʹ +
ͻ͸
ͷ ݐͲ ሺݐሺͺ ，
∴y 与t 的函数式为：ݕ= 
ͳʹ
ͷ ݐʹ +
ͻ͸
ͷ ݐͲ ሺݐሺͺ ；
（3）解：存在；
当ܤܲ
= ܤܳ
时，ʹݐ= ʹͶ ͵ݐ，
解得：ݐ=
ʹͶ
ͷ ；
当ܤܲ
=ܲܳ
时，过点P 作ܲ
ܩ٣ ܣܤ于点G，如图所示：
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∴ܤܩ= ܩܳ
=
ͳ
ʹ ܤܳ
=
ͳ
ʹ ʹͶ ͵ݐ= ͳʹ 
͵
ʹ ݐ，סܤܩܲ
= ͻͲι，
根据解析（1）可知：cosסܣܤܧ=
͵
ͷ，
在Rt ᇞܤܲܩ中，cosסܣܤܧ=
ܤܩ
ܤܲ=
͵
ͷ，
∴
ͳʹ ͵
ʹݐ
ʹݐ
=
͵
ͷ，
解得：ݐ=
ͶͲ
ͻ ；
当ܤܳ
=ܲܳ
时，过点Q 作ܳ
ܪ٣ ܤܧ于点H，如图所示：
∴ܤܪ=ܲ
ܪ=
ͳ
ʹ ܤܲ
= ݐ，סܤܪܳ
= ͻͲι，
根据解析（1）可得：cosסܣܤܧ=
͵
ͷ，
在Rt ᇞܤܳܪ中，cosסܣܤܧ=
ܤܪ
ܤܳ=
͵
ͷ，
∴
ݐ
ʹͶ ͵ݐ=
͵
ͷ，
解得：ݐ=
͵͸
͹ ；
综上，ݐ的值为
ʹͶ
ͷ 或
ͶͲ
ͻ 或
͵͸
͹ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的相关计算、求函数解析式，平行线的性质，等腰三角形
的性质，解题关键是用速度时间表示线段长，根据题意列出方程或比例式．
10．如图, 在矩形ܣܤom 中，ܣܤ= ͸cm,ܤo = ʹcm．点ܲ
从点ܣ出发，沿射线ܣܤ方向运动，在运动过程
中，以线段ܣܲ
为斜边作等腰直角三角形ܣܲܳ
．当ܲܳ
经过点o 时，点ܲ
停止运动：设点ܲ
的运动距离为ݔcm，
ᇞܣܲܳ
与矩形ܣܤom 重合部分的面积为ݕcm; ．
(1)当点ܳ
落在om 边上时，ݔ=
cm；
(2)求ݕ与ݔ之间的函数关系式，并写出自变量ݔ的取值范围；
(3)设ܲܳ
的中点为ܯ，直接写出在整个运动过程中，点ܯ移动的距离．
【答案】(1)Ͷ；
(2)ݕ=
=
ͳ
Ͷ ݔʹ Ͳ ൑ݔ൑Ͷ
= ʹݔ Ͷ Ͷ ሺݔ൑͸
= 
ͳ
ʹ ݔʹ + ͺݔ ʹʹ ͸ ሺݔ൑ͺ
；
(3)ʹ ͳͲcm．
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【分析】ͳ 当点ܳ
在om 上时，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得mܳ
= ܣm = ʹcm，从而可得ܣܲ
=
= Ͷcm，所以可得ݔ= Ͷcm；
ʹ 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知，当Ͳ ൑ݔ൑Ͷ 时，重叠部分的面积ݕcm; 为ᇞܣܲܳ
的面
积；当Ͷ ሺݔ൑͸ 时，重叠部分的面积ݕcm; 为等腰梯形ܣܤܨܧ的面积；当͸ ሺݔ൑ͺ 时，重叠部分的面
积ݕcm; 为五边形ܣܤܯܨܧ的面积．分情况求出ݕ与ݔ之间的函数关系式即可；
͵ 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知：ܲܳ
的中点ܯ运动的路径为线段ܣo，利用勾股定理求出
矩形的对角线ܣo 的长度即可．
【详解】（1）解：如下图所示，当点ܳ
在om 上时，
׶ᇞܣܲܳ
是等腰直角三角形，
׵ܳ
ܣ=ܳܲ
，סܳܣܲ
= Ͷͷι，
׶四边形ܣܤom 是矩形，
׵ סܤܣm = ͻͲι，ܣm = ܤo = ʹcm，
׵ סmܣܳ
= ͻͲι סܳܣܲ
= Ͷͷι，
׵ᇞmܣܳ
是等腰直角三角形，且mܳ
= ܣm = ʹcm，
׵ ܣܳ
=
ܣmʹ + mܳ
ʹ = ʹ ʹcm，
׵ ܣܲ
=
ܣܳ
ʹ +ܲܳ
ʹ =
ʹ ʹ
ʹ + ʹ ʹ
ʹ =
ͳ͸ = Ͷcm，
׵ ݔ= Ͷcm，
故答案为Ͷ；
（2）解：当Ͳ ൑ݔ൑Ͷ 时，
如下图所示，
重叠部分的面积ݕcm; 为ᇞܣܲܳ
的面积，
׶ᇞܣܲܳ
是等腰直角三角形，
׵点ܳ
到ܣܲ
边上的高为
ͳ
ʹ ܣܲ
=
ͳ
ʹ ݔcm，
׵ ݕ=
ͳ
ʹ ܣܲ൉
ͳ
ʹ ݔ=
ͳ
Ͷ ݔʹ；
当Ͷ ሺݔ൑͸ 时，
如下图所示，
重叠部分的面积ݕcm; 为等腰梯形ܣܤܨܧ的面积，
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׶ᇞܣܳܲ
是等腰直角三角形，ܣܲ
= ݔcm，
׵ ܣܳ
=ܲܳ
=
ʹ
ʹ ݔcm，
在Rt ᇞܣmܧ中，ܣܧ=
ʹܣm = ʹ ʹcm，
׵ܳ
ܧ=ܳ
ܨ=
ʹ
ʹ ݔ ʹ ʹ，
׶ ݕ=ܵ
ᇞܣܳܲ
 ܵ
ᇞܧܳܨ，
׵ ݕ=
ͳ
ʹ ܣܳ൉ܲܳ
 
ͳ
ʹ ܧܳ൉ܨܳ
=
ͳ
ʹ ൈ
ʹ
ʹ ݔ
ʹ
 
ͳ
ʹ ൈ
ʹ
ʹ ݔ ʹ ʹ
ʹ
，
整理得：ݕ= ʹݔ Ͷ；
当͸ ሺݔ൑ͺ 时，
如下图所示，
重叠部分的面积ݕcm; 为五边形ܣܤܯܨܧ的面积，
此时ܤܲ
= ܤܯ= ݔ ͸ cm，
׶ ݕ=ܵ
ᇞܣܳܲ
 ܵ
ᇞܧܳܨ ܵ
ᇞܤܲܯ，
׵ ݕ= ʹݔ Ͷ 
ͳ
ʹ ݔ ͸ ʹ，
整理得：ݕ= 
ͳ
ʹ ݔʹ + ͺݔ ʹʹ；
综上所述，ݕ与ݔ之间的函数关系式是ݕ=
=
ͳ
Ͷ ݔʹ Ͳ ൑ݔ൑Ͷ
= ʹݔ Ͷ Ͷ ሺݔ൑͸
= 
ͳ
ʹ ݔʹ + ͺݔ ʹʹ ͸ ሺݔ൑ͺ
；
（3）解：如下图所示，
当点o 在ܲܳ
上时，ܲo =
ܤoʹ + ܤܲ
ʹ =
ʹʹ + ʹʹ = ʹ ʹ，
׶ ܣܲ
= ܣܤ+ ܤܲ
= ͸ + ʹ = ͺ，
׵ܳܲ
=
ʹ
ʹ ܣܲ
= Ͷ ʹ，
׵ܲ
o =
ͳ
ʹܲܳ
，
׵点o 是ܲܳ
的中点，
׵ܲܳ
的中点ܯ运动的路径为线段ܣo，
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ܣo =
ܣܤʹ + ܤoʹ =
͸ʹ + ʹʹ =
ͶͲ = ʹ ͳͲcm ，
׵点ܯ移动的距离ʹ ͳͲcm．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，求分段函数关系式，勾股定理等，解决本
题的关键是要利用分类讨论的思想分情况求关系式．