第15讲二次函数实际应用（知识点+8题型）（暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_2026年新9年级数学《暑假自学课衔接课》复习讲义+预习讲义+测试卷（北师）

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第15 讲二次函数实际应用（知识点+8 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 图形问题（静态几何）
题型2 图形运动问题（动态几何）
题型3 拱桥问题
题型4 销售问题
题型5 投球问题
题型6 喷水问题
题型7 增长率问题
题型8 综合应用
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
列二次函数解应用题
的步骤
最大利润问题
抛物线型实际问题（拱
1. 掌握列二次函数解实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能规
范书写解题过程，明确二次函数是解决最值问题的重要数学模型。
2. 能分析几何图形中的变量关系，建立二次函数模型解决最大面积问题，能
根据实际意义确定自变量的取值范围，并利用二次函数的性质求出符合题意
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桥/投篮/隧道）
数形结合思想
的最值。
3. 能分析商品销售中的数量关系，建立二次函数模型解决最大利润问题，理
解单价、销售量、利润之间的内在联系，能根据市场实际情况调整方案。
4. 能解决抛物线型实际问题（如拱桥、隧道、投篮轨迹），学会建立适当的
平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题，体会数形结合的数学思
想，发展应用意识和解决问题的能力。
学习重点：建立二次函数模型解决最大面积、最大利润和抛物线型实际问题，利用二次函数的性质求
实际问题中的最值。
学习难点：从复杂实际问题中抽象出二次函数关系，建立合适的平面直角坐标系解决抛物线型问题，
根据实际意义准确确定自变量的取值范围并检验解的合理性。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 列二次函数解应用题的一般步骤
步骤：审→设→列→化→求→验→答
审：梳理题干已知量、未知量，挖掘等量关系
设：设自变量ݔ、函数ݕ，标注对应单位
列：依据等量关系列出ݕ关于ݔ的函数式
化：整理为一般式或顶点式，方便求最值
求：结合二次函数性质求解最值、对应自变量
验：双重检验，一是计算正误，二是数值符合现实条件
答：规范写出结论，带上对应单位
即时即练某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函
数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元
45
55
65
日销售量y/件
55
45
35
(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．
(2)求当每件售价为多少元时，日销售额最大？最大日销售额为多少元？
【答案】(1)ݕൌെݔ൅ͲͲݔ
(2)每件售价为50 元时，日销售额最大，最大日销售额为2500 元
【分析】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出ݕ与
ݔ之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出函数关系式．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出ݕ与ݔ之间的函数表达式；
（2）设该商品日销售额为w 元，利用销售额ൌ每件售价ൈ销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性
质，求解即可．
【详解】（1）解：设ݕ与ݔ之间的函数表达式为ݕൌ݇
ݔ൅ݔ（്݇
Ͳ），
将Ͷͷǡͷͷ ，ͷͷǡͶͷ 代入ݕൌ݇
ݔ൅ݔ得
Ͷͷ݇൅ݔൌͷͷ
ͷͷ݇൅ݔൌͶͷ ，
解得݇
ൌെݔ
ݔൌͲͲݔ，
׵ ݕ与ݔ之间的函数表达式为ݕൌെݔ൅ͲͲݔ；
（2）解：设该商品日销售额为w 元，根据题意得：
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ݓൌݔെݔ൅ͲͲݔൌെݔʹ ൅ݔͲͲݔൌെݔെͷͲ ʹ ൅ʹͷͲͲ，
∵െݔ㈰Ͳ，
∴当ݔൌͷͲ 时，w 取得最大值，最大值为2500，
即每件售价为50 元时，日销售额最大，最大日销售额为2500 元．
【易错提醒】
容易省略实际意义检验，出现负数长度、亏损售价等不合理解；设元和作答遗漏单位；间接设元时，求出x
后忘记换算题目所求量；等量关系梳理错误，函数关系式整体出错。
知识点02
最大面积问题
基本等量关系：借助矩形、三角形、梯形等几何面积公式构建二次函数
常见模型：靠墙围栏、道路留白、边框图形面积问题
即时即练如图，已知直线ݕൌെ
ʹ
͵ ݔ൅Ͷ 交ݔ轴正半轴于点ܥ，交ݕ轴正半轴于点ܤ，抛物线ݕൌ〶ݔʹ ൅
Ͳݔ
͵ ݔ൅䁕
经过ܤ，ܥ两点，交ݔ轴负半轴于点ܣ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)ܧ是直线ܤܥ上方抛物线上的一动点，当四边形ܤ，ܥܧ面积最大时，请直接写出点ܧ的坐标．
【答案】(1)ݕൌെ
ʹ
͵ ݔʹ ൅
Ͳݔ
͵ ݔ൅Ͷ
(2)点ܧ的坐标为ሺ͵ǡǡሻ
【分析】（1）由题意易得ܥ͸ǡͲ ，ܤͲǡͶ ，然后根据待定系数法进行求解即可；
（2）连接，ܧ，由题意易得，ܥൌ͸，，ܤൌͶ，设点ܧݐǡ െ
ʹ
͵ ݐʹ ൅
Ͳݔ
͵ ݐ൅Ͷ ，且Ͳ ㈰ݐ㈰͸，然后可得ܵ四边形ܤ，ܥܧൌ
െʹ ݐെ͵ ʹ ൅͵Ͳ，进而根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：把ݕൌͲ 代入直线ݕൌെ
ʹ
͵ ݔ൅Ͷ 得：Ͳ ൌെ
ʹ
͵ ݔ൅Ͷ，解得：ݔൌ͸，
∴ܥ͸ǡͲ ，
把ݔൌͲ 代入直线ݕൌെ
ʹ
͵ ݔ൅Ͷ 得：ݕൌͶ，
∴ܤͲǡͶ ，
∵抛物线ݕൌ〶ݔʹ ൅
Ͳݔ
͵ ݔ൅䁕经过ܤ，ܥ两点，
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∴͵͸〶൅ʹͲ ൅䁕ൌͲ
䁕ൌͶ
，解得：〶ൌെ
ʹ
͵
䁕ൌͶ
，
∴抛物线的解析式为ݕൌെ
ʹ
͵ ݔʹ ൅
Ͳݔ
͵ ݔ൅Ͷ；
（2）解：连接，ܧ，如图所示：
∴ܵ四边形ܤ，ܥܧൌܵ
ᇞܤ，ܧ൅ܵ
ᇞ，ܥܧ，
∵ܥ͸ǡͲ ，ܤͲǡͶ ，
∴，ܥൌ͸，，ܤൌͶ，
设点ܧݐǡ െ
ʹ
͵ ݐʹ ൅
Ͳݔ
͵ ݐ൅Ͷ ，由题意知Ͳ ㈰ݐ㈰͸，
∴ܵ四边形ܤ，ܥܧൌ
ݔ
ʹ ൈͶݐ൅
ݔ
ʹ ൈ͸ െ
ʹ
͵ ݐʹ ൅
Ͳݔ
͵ ݐ൅Ͷ ൌെʹݐʹ ൅ʹݔ൅ݐʹݔൌെʹ ݐെ͵ ʹ ൅͵Ͳ，
∵െʹ ㈰Ͳ，
∴当ݐൌ͵ 时，四边形ܤ，ܥܧ的面积最大，此时点ܧ的坐标为͵ǡǡ ．
【易错提醒】
靠墙模型易多算或少算靠墙一侧边长；忽略墙长、图形长宽带来的自变量取值限制；顶点横坐标不在取值
区间时，仍直接取顶点纵坐标为最值；三角形、梯形面积漏乘
ݔ
ʹ。
知识点03
最大利润问题
核心公式
单件利润=售价-进价
总利润=单件利润×销售数量
总销售额=售价×销售量
常见模型：价格升降带动销量增减类销售题型
即时即练某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60 元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千
克）与销售单价x（元/千克）的关系式为ݕൌെʹݔ൅ʹǡͲ．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）．
(1)求w 关于x 的函数解析式；
(2)若要获得销售利润为3000 元，销售单价应定为多少元/千克?
(3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少?
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【答案】(1)ݓൌെʹݔʹ ൅ͶͲͲݔെ͸ݔǡͲͲ
(2)90 元/千克或110 元/千克
(3)当绿茶的销售单价是100 元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200 元
【分析】（1）首先明确每千克利润为销售单价减成本，因为总利润=每千克利润×销售量，所以将已知的销
售量y 与x 的关系式代入，即可得到w 关于x 的函数解析式．
（2）如果利润为3000 元，那么令ݓൌ͵ͲͲͲ，得到关于x 的一元二次方程，求解方程即可得到销售单价的
可能取值．
（3）因为w 是关于x 的二次函数，所以可以通过配方法或者二次函数顶点公式，结合二次函数的开口方向，
即可求出利润最大值及对应的销售单价．
【详解】（1）解：已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60 元/千克，以及销售量y(千克)的关系
为ݓൌݔെ͸Ͳ ݕ，
又∵ݕൌെʹݔ൅ʹǡͲ，
∴ݓൌݔെ͸Ͳ
െʹݔ൅ʹǡͲ ．
可得ݓൌെʹݔʹ ൅ʹǡͲݔ൅͸ݔെݔͲʹݔǡͲͲ ൌെʹݔʹ ൅ͶͲͲݔെ͸ݔǡͲͲ．
答：w 关于x 的函数解析式为ݓൌെʹݔʹ ൅ͶͲͲݔെ͸ݔǡͲͲ．
（2）解：当ݓൌ͵ͲͲͲ 时，െʹݔʹ ൅ͶͲͲݔെ͸ݔǡͲͲ ൌ͵ͲͲͲ．
化简得．ݔʹ െʹͲͲݔ൅ͻͻͲͲ ൌͲ．
可得ݔെͻͲ
ݔെͲݔݔൌͲ，
则ݔെͻͲ ൌͲ 或ݔെͲݔݔൌͲ，
解得ݔݔൌͻͲ，ݔʹ ൌͲݔݔ．
答：销售单价应定为90 元/千克或110 元/千克．
（3）解：由ݓൌെʹݔʹ ൅ͶͲͲݔെ͸ݔǡͲͲ，
得：ݓൌെʹ ݔʹ െʹͲͲݔെ͸ݔǡͲͲ
ൌെʹ ݔെͲͲݔʹ ൅͵ʹͲͲ．
∵二次项系数െʹ ㈰Ͳ，
∴该二次函数图象开口向下，有最大值．
∴当ݔൌͲͲݔ时，w 有最大值3200．
答：当绿茶的销售单价是100 元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200 元．
【易错提醒】
混淆进价、标价、售价概念；价格上涨销量减少、降价销量增多的变化关系写反；未限定自变量范围，出
现销量为负、售价低于成本的情况；实际商品数量需为整数，直接使用小数最值不贴合现实。
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知识点04 抛物线型实际模型
解题思路：建立平面直角坐标系，将拱桥、投篮、喷泉、隧道等实物转化为抛物线图像，多用顶点式ݕൌ〶ሺݔെ݄
ሻʹ ൅݇
求解
即时即练为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是
抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点ܲ
距水平地面的高度，ܲ
为ݔ′ǡm，实心球到达
最高点时，距出手点的水平距离是Ͷm，距水平地面的高度是͵m，记落地点为ܯ，以，为原点，，ܯ所在
直线为ݔ轴，，ܲ
所在直线为ݕ轴建立平面直角坐标系．
(1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式；
(2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到Ͳݔm 为满分，请通过计算判断该次练习小明同学
能否得满分；
(3)小明投掷实心球时，有一位身高ݔ′ǡm 的同学正好闯入实心球场地且在线段，ܯ上跑动，若闯入的同学是
安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围．
【答案】(1)ݕൌെ
͵
ͶͲ ݔെͶ ʹ ൅͵
(2)由（1）知抛物线表达式为ݕൌെ
͵
ͶͲ ݔെͶ ʹ ൅͵，出手点与落地点的水平距离，即点，和点ܯ之间距离，
当ݕൌͲ 时，Ͳ ൌെ
͵
ͶͲ ݔെͶ ʹ ൅͵，
解得ݔݔൌͶ ൅ʹͲݔ，ݔʹ ൌͶ െʹͲݔ，
点ܯ坐标为Ͷ ൅ʹͲݔǡͲ 或Ͷ െʹͲݔǡͲ ，
∵点ܯ在ݔ轴正半轴，
∴Ͷ െʹͲݔǡͲ （不符合题意，舍去），
׵ ，ܯൌͶ ൅ʹͲݔ，
׶ ͵͸ ㈰ͶͲ ㈰Ͷͻ，
׵ ͸ ㈰ʹͲݔ㈰͹，
׵Ͳݔ㈰Ͷ ൅ʹͲݔ㈰ݔݔ，
׵小明此次练习能得满分．
(3)Ͳ ㈰ݔ㈰ǡ
【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式．
（2）根据（1）中的抛物线表达式求出ݔ轴交点坐标，对比交点到原点的距离和Ͳݔ大小关系即可．
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（3）利用抛物线对称轴求出点ܲ
关于对称轴对称点坐标，为了保证安全ݕ൐ݔ′ǡ，即可求出横坐标范围，
【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为Ͷǡ͵ ，点ܲ
坐标为Ͳǡݔ′ǡ
设抛物线的顶点式为：ݕൌ〶ሺݔെͶሻʹ ൅͵，
∴ݔ′ǡ ൌ〶ሺͲ െͶሻʹ ൅͵，
∴〶ൌെ
͵
ͶͲ，
∴抛物线的表达式为：ݕൌെ
͵
ͶͲሺݔെͶሻʹ ൅͵．
（2）略
（3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线ݔൌͶ，
׶ܲ
Ͳǡݔ′ǡ ，
׵点P 关于抛物线对称轴对称的点的坐标为ǡǡݔ′ǡ ，
∵同学身高ݔ′ǡm，为了保证安全，此时ݕ൐ݔ′ǡ，
׵此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为Ͳ ㈰ݔ㈰ǡ．
【易错提醒】
坐标系原点选取不合理，加大计算难度；图像上下位置混淆，坐标正负符号写错；长度、高度不能为负，
负根未舍去；横坐标、纵坐标代表的实际距离区分不清。
题型1 图形问题（静态几何）
【例1】用长为L 米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米．
【答案】
ܮʹ
͸ݔ/
ݔ
͸ݔܮʹ
【分析】设围成矩形的一边长，根据周长得到邻边长，列出面积关于边长的二次函数，利用二次函数的性
质求最大值即可．
【详解】解：设围成矩形的一边长为ݔ米，则该矩形邻边长为
ܮ
ʹ െݔ米，其中Ͳ ㈰ݔ㈰
ܮ
ʹ，
因此矩形面积为ܵ
ൌݔ
ܮ
ʹ െݔൌെݔʹ ൅
ܮ
ʹ ݔൌെݔെ
ܮ
Ͷ
ʹ
൅
ܮʹ
͸ݔ，
因为二次项系数െݔ㈰Ͳ，
所以当ݔൌ
ܮ
Ͷ时，S 取得最大值
ܮʹ
͸ݔ，
所以所围成的最大面积为
ܮʹ
͸ݔ平方米．
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【技巧归纳】
设未知数技巧：设一条边长为x，用周长/总长表示另一条边长
等量关系：面积=长×宽（矩形）、面积=底×高÷2（三角形）等
最值规律：周长一定的矩形，正方形面积最大
必做步骤：标注自变量取值范围（边长>0，总长限制）
【变式1-1】
1．一个菱形风筝的两条对角线的长之和为ͲͲݔcm．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在
这个变化过程中，其中一条对角线的长为ݔcm．
(1)写出菱形的面积y（单位：cmʹ）关于x（单位：cm）的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围．
(2)当ݔൌʹͲ 时，求y 的函数值．
【答案】(1)ݕൌെ
ݔ
ʹ ݔʹ ൅ͷͲݔ，Ͳ ㈰ݔ㈰ͲͲݔ
(2)800
【分析】（1）先求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式求出函数解析式即可；
（2）把ݔൌʹͲ 代入函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为ݔെ ͲͲݔcm，
∴ݕൌ
ݔ
ʹ ݔݔെ ͲͲݔൌെ
ݔ
ʹ ݔʹ ൅ͷͲݔ，其中Ͳ ㈰ݔ㈰ͲͲݔ；
（2）解：由（1）知，ݕൌെ
ݔ
ʹ ݔʹ ൅ͷͲݔ，
∴当ݔൌʹͲ 时，ݕൌെ
ݔ
ʹ ൈʹͲʹ ൅ͷͲ ൈʹͲ ൌǡͲͲ．
【变式1-2】
2．综合与实践
汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大
中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为ͶͲm 的
篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地ܣܤܥ基（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣
小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围ܣ基，基ܥ，ܤܥ三边，篱笆无浪费），请
根据方案完成以下探究．
(1)方案一：若限定矩形实践基地的ܥ基边为Ͳݔm，则矩形实践基地的ܣ基边为______m，此时矩形实践基地
的面积为______mʹ．
(2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的ܣ基边为ݔm，则用含ݔ的代数式表示
ܥ基边的长度为______m；当ܣ基边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？
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【答案】(1)ݔͷ，ݔͷͲ；
(2) ͶͲ െʹݔm，当ܣ基ൌͲݔm 时，矩形实践基地的面积最大，最大为ʹͲͲmʹ
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据篱笆的长度直接计算即可；
（2）根据二次函数的性质进行解题．
【详解】（1）解：∵篱笆的长度为ͶͲm，
׵ܣ基ൌ
ͶͲെͲݔ
ʹ
ൌݔͷm，ܵ
ܣ基ܥܤൌܣ基ൈܥ基ൌݔͷ ൈͲݔൌݔͷͲmʹ；
故答案为：ݔͷ，ݔͷͲ；
（2）解：ܥ基ൌͶͲ െʹݔm，
设矩形实践基地的面积为ܵ mʹ，
由题意，得ܵ
ൌݔͶͲ െʹݔൌെʹݔʹ ൅ͶͲݔൌെʹ ݔെͲݔʹ ൅ʹͲͲ，
当ݔൌͲݔ时，ܵ有最大值ʹͲͲ，
即当ܣ基ൌͲݔm 时，矩形实践基地的面积最大，最大为ʹͲͲmʹ.
题型2 图形运动问题（动态几何）
【例2】如图所示，在ᇞܣܤܥ中，סܥൌͻͲι，ܣܥൌܤܥൌ͸，点ܧ是ᇞܣܤܥ边上一动点，沿ܣ՜ ܥ՜ ܤ的
路径移动，过点ܧ作ܧܨ٣ ܣܤ于点ܨ，设ܣܨൌ݉
，ᇞܣܧܨ的面积为S，则下列能大致反映S 与m 函数关
系的图象是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】分两种情况分类讨论：当Ͳ ㈰݉
൑͵ ʹ时，利用等腰直角三角形的性质得出ܵ
与݉
的函数关系的
图象为开口向上的抛物线的一部分；当͵ ʹ ㈰݉
൑͸ ʹ时，利用三角形面积公式得出y 与x 的函数关系的
图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】解：∵在ᇞܣܤܥ中，סܥൌͻͲι，ܣܥൌܤܥൌ͸，
∴ܣܤൌ
ܣܥʹ ൅ܤܥʹ ൌ͸ ʹ，סܣൌסܤൌͶͷι，
过点C 作ܥܪ٣ ܣܤ与点H，
∴ܣܪൌ
ݔ
ʹ ܣܤൌ͵ ʹ，
当Ͳ ㈰݉
൑͵ ʹ时，
∵סܣൌסܨܧܣൌͶͷι，
∴ܧܨൌܣܨൌ݉
，
∴ܵᇞܣܧܨൌ
ݔ
ʹ ܣܨڄ ܧܨൌ
ݔ
ʹ݉
ڄ݉
ൌ
ݔ
ʹ݉
ʹ，
∵
ݔ
ʹ ൐Ͳ，
∴抛物线开口向上，
当͵ ʹ ㈰݉
൑͸ ʹ时，如图，
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∵ܣܨൌ݉
，
∴ܤܨൌܣܤെܣܨൌ͸ ʹ െ݉
，
∵סܤൌסܤܧܨൌͶͷι，
∴ܧܨൌܤܨൌ͸ ʹ െ݉
，
∴ܵᇞܣܧܨൌ
ݔ
ʹ ܣܨڄ ܧܨൌ
ݔ
ʹ݉
ڄ ͸ ʹ െ݉
ൌെ
ݔ
ʹ݉
ʹ ൅͵ ʹ݉
，
∵െ
ݔ
ʹ ㈰Ͳ，
∴抛物线开口向下，
故选项B 符合题意．
【技巧归纳】
第一步：根据“路程=速度×时间”，用含t 的式子表示所有运动线段
第二步：结合几何性质（勾股定理、面积公式）列函数关系式
第三步：求最值或特定值时，必须检验t 是否在运动时间范围内
多阶段运动：分区间讨论，每个区间列一个函数
【变式2-1】
1．如图，ᇞܣܤܥ是等腰直角三角形，סܣൌͻͲι，ܤܥൌͶ，点ܲ
是ᇞܣܤܥ边上一个动点，沿ܤ՜ ܣ՜ ܥ的
路径运动，过点ܲ
作ܲ
基٣ ܤܥ于点基，设ܤ基ൌݔ，ᇞܤ基ܲ
的面积为ݕ，则下列能大致反映ݕ与ݔ函数关系
的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过A 点作ܣܪ٣ ܤܥ于H，利用等腰直角三角形的性质得到סܤൌסܥൌͶͷι，ܤܪൌܥܪൌܣܪൌ
ݔ
ʹ ܤܥൌ
ʹ，分类讨论：当Ͳ ൑ݔ൑ʹ 时，如图1，易得ܲ
基ൌܤ基ൌݔ，根据三角形面积公式得到ݕൌ
ݔ
ʹ ݔʹ；当ʹ ㈰ݔ൑Ͷ
时，如图2，易得ܲ
基ൌܥ基ൌͶ െݔ，根据三角形面积公式得ݕൌെ
ݔ
ʹ ݔʹ ൅ʹݔ，于是可判断当Ͳ ൑ݔ൑ʹ 时，
y 与x 的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当ʹ ㈰ݔ൑Ͷ 时，y 与x 的函数关系的图象为开口
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向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】解：过A 点作ܣܪ٣ ܤܥ于H，
∵ᇞܣܤܥ是等腰直角三角形，
∴סܤൌסܥൌͶͷι，ܤܪൌܥܪൌܣܪൌ
ݔ
ʹ ܤܥൌʹ，
当Ͳ ൑ݔ൑ʹ 时，
∵סܤൌͶͷι，
∴ס基ܲܤൌͶͷι，
∴ܲ基ൌܤ基ൌݔ，
∴ݕൌ
ݔ
ʹ ݔڄ ݔൌ
ݔ
ʹ ݔʹ；
当ʹ ㈰ݔ൑Ͷ 时，如图2，
∵סܥൌͶͷι，
∴ס基ܲܥൌͶͷι，
∴ܲ基ൌܥ基ൌͶ െݔ，
∴ݕൌ
ݔ
ʹ ൈͶ െݔڄ ݔൌെ
ݔ
ʹ ݔʹ ൅ʹݔ，
当Ͳ ൑ݔ൑ʹ 时，y 与x 的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当ʹ ㈰ݔ൑Ͷ 时，y 与x 的函数关
系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B 选项符合题意．
【变式2-2】
2．如图，菱形ܣܤܥ基中，对角线ܣܥ，ܤ基相交于点，，且ܣܥൌ͸cm，ܤ基ൌǡcm，动点ܲ
，ܳ
分别从点ܤ，
基同时出发，ܲ运动速度为ͷcm/s，点ܲ
沿ܤ՜ ܥ՜ 基运动，到点基停止，点ܳ
沿基՜ ，՜ ܤ运动，运动
速度为Ͷcm/s，到ܤ停止，连接ܣܲ，ܣܳ，ܲܳ
．设ᇞܣܲܳ
的面积为ݕ（cmʹ）（这里规定：线段是面积Ͳ
的几何图形），点ܲ
的运动时间为ݔ（s）．
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(1)填空：ܣܤൌ
cm，菱形ܣܤܥ基高为
cm；
(2)求ݕ与ݔ之间的函数解析式．
【答案】(1)5，
ʹͶ
ͷ
(2)ݕൌെ͸ݔʹ െ͸ݔ൅ʹݔͲ ൑ݔ൑ݔ
െ͸ݔʹ ൅͵Ͳݔݔ㈰ݔ൑ʹ
【分析】（1）根据勾股定理即可求得ܣܤ，根据菱形面积公式求得菱形ܣܤܥ基的高；
（2）首先求出ܵ菱形ܣܤܥ基ൌʹͶ cmʹ ，ܵᇞܤܥ基ൌʹݔcmʹ ，过点ܲ
作ܲ
ܪ٣ ܤ基于点ܪ，然后分两种情况讨论，
解直角三角形表示出ܲ
ܪ，分别根据ݕൌܵ
ᇞܣܲܳ
ൌܵ
菱形ܣܤܥ基െܵ
ᇞܣܤܲെܵ
四边形基ܥܲܳ
െܵ
ᇞܣ基ܳ和ݕൌܵ
ᇞܣܲܳ
ൌܵ
菱形ܣܤܥ基െܵ
ᇞܣܤܳെܵ
四边形ܤܥܲܳ
െܵ
ᇞܣ基ܲ求解．
【详解】（1）解：׶菱形ܣܤܥ基中，ܣܥൌ͸cm，ܤ基ൌǡcm，
׵ ܣܥ٣ ܤ基，，ܤൌ，基ൌ
ݔ
ʹ ܤ基ൌͶcm，，ܣൌ，ܥൌ
ݔ
ʹ ܣܥൌ͵cm，
׵ ܣܤൌ
，ܣʹ ൅，ܤʹ ൌ
͵ʹ ൅Ͷʹ ൌͷ cm ，
设菱形ܣܤܥ基的高为݄
，
׵ܵ
菱形ܣܤܥ基ൌܣܤڄ݄
ൌ
ݔ
ʹ ܤ基ڄ ܣܥ，
׵ ͷ݄
ൌݔ
ʹ ൈǡ ൈ͸
׵݄
ൌ
ʹͶ
ͷ ，
׵菱形ܣܤܥ基高为
ʹͶ
ͷ ；
（2）解：∵ܤ基ൌǡcm，ܣܥൌ͸cm，，ܥൌ͵cm，ܣܥ٣ ܤ基
∴ܵ菱形ܣܤܥ基ൌ
ݔ
ʹ ܤ基ڄ ܣܥൌ
ݔ
ʹ ൈǡ ൈ͸ ൌʹͶ cmʹ ，ܵᇞܤܥ基ൌ
ݔ
ʹ ܤ基ڄ ，ܥൌ
ݔ
ʹ ൈǡ ൈ͵ ൌʹݔcmʹ ，
如图，过点ܲ
作ܲ
ܪ٣ ܤ基于点ܪ，当Ͳ ൑ݔ൑ݔ时，点P 在ܤܥ上，点Q 在，基上，
根据题意得，ܤܲ
ൌͷݔ，基ܳ
ൌͶݔ，则ܤܳ
ൌǡ െͶݔ
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∴sinסܥܤ基ൌܲ
ܪܲ
ܤൌ
，ܥ
ܤܥ
∴ܲ
ܪ
ͷݔൌ
͵
ͷ
∴ܲܪൌ͵ݔ
∴ܵᇞܤܲܳ
ൌ
ݔ
ʹ ܤܳ
ڄܲ
ܪൌ
ݔ
ʹ ǡ െͶݔڄ ͵ݔൌെ͸ݔʹ ൅ݔʹݔ
∴ܵ四边形基ܥܲܳ
ൌܵ
ᇞܤܥ基െܵ
ᇞܤܲܳ
ൌെ ʹݔെ͸ݔʹ ൅ݔʹݔൌ͸ݔʹ െʹݔ൅ݔʹݔ
∵菱形ܣܤܥ基高为
ʹͶ
ͷ
∴ܵᇞܣܤܲൌ
ݔ
ʹ ܤܲ
ڄ
ʹͶ
ͷ ൌ
ݔ
ʹ ڄ ͷݔڄ
ʹͶ
ͷ ൌݔʹݔ，ܵᇞܣ基ܳൌ
ݔ
ʹ 基ܳ
ڄ ，ܣൌ
ݔ
ʹ ڄ Ͷݔڄ ͵ ൌ͸ݔ
∴ݕൌܵ
ᇞܣܲܳ
ൌܵ
菱形ܣܤܥ基െܵ
ᇞܣܤܲെܵ
四边形基ܥܲܳ
െܵ
ᇞܣ基ܳ
ൌʹͶ െെݔʹݔ͸ݔʹ െʹݔ൅ݔʹݔെ͸ݔ
ൌെ͸ݔʹ െ͸ݔ൅ʹݔ
当ݔ㈰ݔ൑ʹ 时，点P 在ܥ基上，点Q 在，ܤ上，如图，
根据题意得，ܤܥ൅ܥܲ
ൌͷݔ，基ܳ
ൌͶݔ，则ܤܳ
ൌǡ െͶݔ
∵四边形ܣܤܥ基是菱形
∴ܤܥൌܥ基ൌܣܤൌͷ
∴基ܲ
ൌܤܥ൅ܥ基െͷݔൌെ Ͳݔͷݔ
∵ܣܥ٣ ܤ基，ܲܪ٣ ܤ基
∴sinסܤ基ܥൌܲ
ܪܲ
基ൌ
，ܥ
ܥ基
∴ܲ
ܪ
െͲݔͷݔൌ
͵
ͷ
∴ܲܪൌ͸ െ͵ݔ
∴ܵᇞܲ基ܳൌ
ݔ
ʹܳ
基ڄܲ
ܪൌ
ݔ
ʹ ڄ Ͷݔڄ ͸ െ͵ݔൌെ͸ݔʹ ൅ݔʹݔ
∴ܵ四边形ܤܥܲܳ
ൌܵ
ᇞܤܥ基െܵ
ᇞܲ基ܳൌെ ʹݔെ͸ݔʹ ൅ݔʹݔൌ͸ݔʹ െʹݔ൅ݔʹݔ
∵菱形ܣܤܥ基高为
ʹͶ
ͷ
∴ܵᇞܣܲ基ൌ
ݔ
ʹܲ
基ൈ
ʹͶ
ͷ ൌ
ݔ
ʹെ Ͳݔͷݔൈ
ʹͶ
ͷ ൌʹͶ െݔʹݔ
∴ܵᇞܣܤܳൌ
ݔ
ʹ ܤܳ
ڄ ，ܣൌ
ݔ
ʹ ǡ െͶݔൈ͵ ൌെ͸ݔ൅ʹݔ
∴ݕൌܵ
ᇞܣܲܳ
ൌܵ
菱形ܣܤܥ基െܵ
ᇞܣܤܳെܵ
四边形ܤܥܲܳ
െܵ
ᇞܣ基ܲ
ൌʹͶ െെ͸ݔ൅ʹݔെ͸ݔʹ െʹݔ൅ݔʹݔെʹͶ െݔʹݔ
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ൌʹͶ ൅͸ݔെ͸െ ʹݔݔʹ ൅ݔʹݔ൅ Ͷʹെ ʹݔെݔʹݔ
ൌെ͸ݔʹ ൅͵Ͳݔ
综上所述，ݕ与ݔ之间的函数解析式为ݕൌെ͸ݔʹ െ͸ݔ൅ʹݔͲ ൑ݔ൑ݔ
െ͸ݔʹ ൅͵Ͳݔݔ㈰ݔ൑ʹ
．
题型3 拱桥问题
【例3】如图1 是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”
的美誉．已知中间主跨地面宽度ܣܤ为35 米，实际结构可简化为图2 所示的组合图形：上部为抛物线形，
下部为矩形ܣܤܥ基．某测量小组测得ܣ基为3 米，从A 点出发，沿主跨地面向右侧走2 米到达点E，测得E
点处对应的高度ܧܨ（即点E 上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3 米，请你结合数据，求出主跨的高度（即
抛物线顶点到地面的距离）．（精确到Ͳ′ݔm）
【答案】主跨的高度约为ݔǡ′͵m．
【分析】以线段ܣܤ所在直线为x 轴，线段ܣܤ的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，由题意可得
基െ
͵ͷ
ʹ ǡ͵ ，ܨെ
͵ݔ
ʹ ǡ͸′͵ ，设该抛物线的表达式为ݕൌ〶ݔʹ ൅݇，求出抛物线的解析式即可解答．
【详解】解：以线段ܣܤ所在直线为x 轴，线段ܣܤ的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如答图所
示．
׶ ܣܤൌ͵ͷm，
׵ ，ܣൌ
͵ͷ
ʹ m，，ܧൌ
͵ͷ
ʹ െʹ ൌ
͵ݔ
ʹ m ，
׵ 基െ
͵ͷ
ʹ ǡ͵ ，ܨെ
͵ݔ
ʹ ǡ͸′͵ ．
设该抛物线的表达式为ݕൌ〶ݔʹ ൅݇，
将基െ
͵ͷ
ʹ ǡ͵ ，ܨെ
͵ݔ
ʹ ǡ͸′͵ 代入，得
͵ ൌെ
͵ͷ
ʹ
ʹ
〶൅݇
͸′͵ ൌെ
͵ݔ
ʹ
ʹ
〶൅݇
，
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解得
〶ൌെ
ݔ
ʹͲ݇
ൌ
ʹͻ͵
͸ݔ
，
׵该抛物线的表达式为ݕൌെ
ݔ
ʹͲݔʹ ൅
ʹͻ͵
͸ݔ．
当ݔൌͲ 时，ݕൌ
ʹͻ͵
͸ݔൎݔǡ′͵．
答：主跨的高度约为ݔǡ′͵m．
【技巧归纳】
第一步：根据“路程=速度×时间”，用含t 的式子表示所有运动线段
第二步：结合几何性质（勾股定理、面积公式）列函数关系式
第三步：求最值或特定值时，必须检验t 是否在运动时间范围内
多阶段运动：分区间讨论，每个区间列一个函数
【变式3-1】
1.如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为ǡm，宽为ʹm，隧道的最高点P
距地面͸m．
(1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式．
(2)一辆货车高为Ͷm，宽ʹm，能否从该隧道通过？请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由．
【答案】(1)ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔെͶ ʹ ൅͸
(2)能通过，理由如下：
解：令ݕൌͶ，则有Ͷ ൌെ
ݔ
Ͷ ݔെͶ ʹ ൅͸，
解得ݔݔൌͶ ൅ʹ ʹ，ݔʹ ൌͶ െʹ ʹ，
ݔݔെݔʹ ൌͶ ʹ ൐ʹ，
∴货车可以通过；
(3)能通过，理由如下：
由（2）可知ݔݔെݔʹ ൌͶ ʹ ൐ʹ ൈʹ，
∴货车可以通过．
【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令ݕൌͶ，解出x 的值，然后将ݔݔെݔʹ 与车宽ʹm 作比较即可求解；
（3）隧道内设双行道后，将（2）求出ݕൌͶ 时的抛物线线上两点的距离与2 个车宽作比较．
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【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标Ͷǡ͸ ，
设抛物线的方程为ݕൌ〶ݔെͶ ʹ ൅͸，
׶点ܣͲǡʹ 在抛物线上，
׵ʹ ൌ〶Ͳ െͶ ʹ ൅͸．
׵〶ൌെ
ݔ
Ͷ．
׵ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔെͶ ʹ ൅͸．
（2）略
（3）略
【变式3-2】
2．西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”
字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、
对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，
现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，，水平向右为ݔ轴，竖直向上为ݕ轴建立平面直角坐标系，
结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度ܣܤ为ǡͲm，檐口离地高度ܣܧ为͵͸m，拱檐拱顶
最高处离地高度，ܥ为Ͷǡm．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于Ͷͷm，求灯带两端水平距离
的最大长度．
【答案】(1)该抛物线的表达式为ݕൌെ
͵
ͶͲͲݔʹ ൅Ͷǡ
(2)灯带两端水平距离的最大长度为ͶͲm
【分析】（1）设抛物线表达式为：ݕൌ〶ݔʹ ൅Ͷǡ，根据题意可得ܣ点坐标为ሺെͶͲǡ͵͸ሻ，代入求解即可；
（2）要求离地高度不低于Ͷͷm，即ݕ൒Ͷͷ，将ݕൌͶͷ 代入抛物线表达式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为ݕ轴，顶点ܥ坐标为ሺͲǡͶǡሻ，
׵设该抛物线表达式为ݕൌ〶ݔʹ ൅Ͷǡ，
׶ ܣܤൌǡͲm，ܣܧൌ͵͸m，
׵由对称性得ܣ点的坐标为ሺെͶͲǡ͵͸ሻ，
将ܣሺെͶͲǡ͵͸ሻ代入表达式得：͵͸ ൌ〶ڄ െͶͲ ʹ ൅Ͷǡ，
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解得〶ൌെ
͵
ͶͲͲ，
׵该抛物线的表达式为ݕൌെ
͵
ͶͲͲ ݔʹ ൅Ͷǡ．
（2）解：要求离地高度不低于Ͷͷm，即ݕ൒Ͷͷ，
令ݕൌͶͷ 代入抛物线表达式得Ͷͷ ൌെ
͵
ͶͲͲݔʹ ൅Ͷǡ，
整理得ݔʹ ൌͶͲͲ，
解得ݔݔൌʹͲ，ݔʹ ൌെʹͲ，
两个交点的水平距离为：ʹͲ െെʹͲ ൌͶͲm，
因此灯带两端水平距离的最大长度为ͶͲm．
题型4 销售问题
【例4】某商店销售一种玩具，每件的进货价为40 元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50 元时，每
天可销售200 件；当每件的销售价每增加1 元，每天的销售数量将减少10 件，现该商店决定涨价销售，若
该玩具每件销售价不低于57 元，则销售该玩具每天获得的利润w 最大为____元．
【答案】ʹʹͲݔ
【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量
取值范围求解最大利润．
【详解】解∶设每件玩具涨价x 元，
则利润ݓൌͷͲ ൅ݔെͶͲ
ʹͲͲ െݔͲݔൌെͲݔݔʹ ൅ͲͲͲʹ൅ݔͲͲݔൌെͲݔݔെͷ ʹ ൅ʹʹͷͲ，
∵每件销售价不低于57 元销售，
∴ͷͲ ൅ݔ൒ͷ͹，解得ݔ൒͹，
∵െͲݔ㈰Ͳ，抛物线开口向下，当ݔ൐ͷ 时，w 随x 的增大而减小，
∴当ݔൌ͹ 时，w 有最大值，为ݓൌെͲݔൈ͹ െͷ ʹ ൅ʹʹͷͲ ൌʹʹͲݔ，
∴最大利润w 为2210 元．
【技巧归纳】
设未知数技巧：设涨价/降价的金额为x 元（比设售价更简便）
单件利润=原售价±x-进价；销售量=原销量∓（每涨/降1 元的销量变化）×x
最值求法：化为顶点式ݕൌ〶ሺݔെ݄ሻʹ ൅݇，当ݔൌ݄
时取最值
临界判断：若顶点横坐标不在自变量范围内，最值取区间端点
【变式4-1】
1．河南特产：铁棍山药实体店、网店两种销售模式，实体店进价8 元/斤，售价Ͷݔ元；销量y （斤）与单
价x （元/斤）满足一次函数：ݔൌͲݔ，ݕൌʹͲͲͲ，ݔൌʹݔ，ݕൌͲͲ͸ݔ．
(1)求y 与x 解析式；
(2)网店每斤成本6 元，单价不低于成本且不高于15 元，求网店单日最大利润．
【答案】(1)ݕൌെʹͲͲݔ൅ͶͲͲͲ
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(2)定价͵ݔ元，最大利润ͻǡͲͲ 元
【详解】（1）解：设解析式为ݕൌ݇
ݔ൅݇ሺݔ്
Ͳሻ，
将ሺሻͲͲͲʹǡͲݔ、ሺሻͲͲ͸ݔǡʹݔ代入，
ሼݔ൅݇ͲݔൌʹͲͲͲ
ݔ൅݇ʹݔൌͲͲ͸ݔ
解得݇
ൌെʹͲͲ
ݔൌͶͲͲͲ
∴y 与x 的解析式为：ݕൌെʹͲͲݔ൅ͶͲͲͲ；
（2）解：设网店单日总利润为ܹ
元，每斤利润为ሺݔെ͸ሻ元，销量为ݕൌെʹͲͲݔ൅ͶͲͲͲ，ܹ
ൌሺݔെ͸ሻሺെʹͲͲݔ൅ͶͲͲͲሻൌെʹͲͲݔʹ ൅ͷʹͲͲݔെʹͶͲͲͲ ൌെʹͲͲሺݔെሻ͵ݔʹ ൅ͻǡͲͲ，
∵െʹͲͲ ㈰Ͳ，
∴开口方向向下，
且͸ ൑ݔ൑ݔͷ，
∴当ݔൌ͵ݔ时，ܹ
取得最大值ͻǡͲͲ 元，
答：当定价͵ݔ元时，最大利润为ͻǡͲͲ 元．
【变式4-2】
2．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5 元，平时以单价12 元的价格售出一天可
卖80 件、根据调查单价每降低1 元，每天可多售出40 件；设商品售价x 元（售价不低于进价，x 为正整数），
这批商品的日利润为w 元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题：
(1)设商品售价x 元，则一天可以卖出________件；
(2)当商品的售价x 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？
【答案】(1) ͷ͸Ͳ െͶͲݔ
(2)当商品售价为9 元或10 元时，日利润最大，最大日利润为800 元
【分析】（1）设商品售价x 元，平时以单价12 元的价格售出一天可卖80 件、根据调查单价每降低1 元，
每天可多售出40 件，据此列出代数式即可；
（2）先求出ͷ ൑ݔ൑Ͷݔ，再根据题意列出日利润w 的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：设商品售价x 元，则由题意可得，
ǡͲ ൅ͶͲݔെ ʹݔൌͷ͸Ͳ െͶͲݔ
即一天可以卖出ͷ͸Ͳ െͶͲݔ件；
（2）解：由题意可得，
ݔ൒ͷ
ͷ͸Ͳ െͶͲݔ൒Ͳ
解得ͷ ൑ݔ൑Ͷݔ，
ݓൌͷ͸Ͳ െͶͲݔ
ݔെͷ ൌെͶͲݔʹ ൅͹͸ͲݔെʹǡͲͲ
ൌെͶͲ ݔെͻ′ͷ ʹ ൅ǡͲݔ
∵െͶͲ ㈰Ͳ，
∴抛物线开口向下，
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∵抛物线的对称轴为直线ݔൌͻ′ͷ，x 为正整数，
∴根据抛物线对称性可知，当ݔൌͻ 或ݔൌͲݔ时，ݓ取得最大值，
此时最大值为ݓൌെͶͲͻെ Ͳݔ′ͷ ʹ ൅ǡͲݔൌǡͲͲ,
即当商品售价为9 元或10 元时，日利润最大，最大日利润为800 元．
题型5 投球问题
【例5】为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路
线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2 米的点A 处投出，并落在水平地面上的点M 处，其运
动路线的最高点P 距地面3.8 米，最高点P 与篮球出手点A 的水平距离为3 米．以地面所在直线，ܯ为x
轴，过点A 且与，ܯ垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求点P 所在抛物线的函数表达式；
(2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A 正上方1 米的点B 处投出，
落地点为N，点N 在x 轴的正半轴上，求点B 与落地点N 的水平距离，ܰ
的长．
【答案】(1)ݕൌെ
ݔ
ͷ ሺݔെ͵ሻʹ ൅
ͻݔ
ͷ
(2)，ܰ
ൌ͵ ൅ʹ ͸ ​
米．
【分析】（1）根据题意可知ܣͲǡʹ 、ܲ
͵ǡ͵′ǡ ，设抛物线顶点式为ݕൌ〶ሺݔെ͵ሻʹ ൅͵′ǡ，将ܣͲǡʹ 代入计算
即可；
（2）根据平移的性质得到ݕൌെ
ݔ
ͷ ሺݔെ͵ሻʹ ൅
ʹͶ
ͷ ，令ݕൌͲ，求解后根据ܰ
在ݔ正半轴取合适的值即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：出手点ܣ的坐标为Ͳǡʹ ，
最高点ܲ
距ܣ水平距离3 米，距地面3.8 米，因此ܲ
坐标为͵ǡ͵′ǡ ．
设抛物线顶点式为ݕൌ〶ሺݔെ͵ሻʹ ൅͵′ǡ，
将ܣͲǡʹ 代入得：ʹ ൌ〶ڄ ሺͲ െ͵ሻʹ ൅͵′ǡ，
解得：〶ൌെ
ݔ
ͷ，
∴ݕൌെ
ݔ
ͷ ሺݔെ͵ሻʹ ൅
ͻݔ
ͷ ；
（2）解：∵将篮球从点A 正上方1 米的点B 处投出，
∴新抛物线表达式为：ݕൌെ
ݔ
ͷ ሺݔെ͵ሻʹ ൅
ͻݔ
ͷ ൅ݔൌെ
ݔ
ͷ ሺݔെ͵ሻʹ ൅
ʹͶ
ͷ ，
令ݕൌͲ，得：െ
ݔ
ͷ ሺݔെ͵ሻʹ ൅
ʹͶ
ͷ ൌͲ，
解得ݔݔൌ͵ ൅ʹ ͸ǡݔʹ ൌ͵ െʹ ͸，
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∵ܰ
在ݔ正半轴，
∴ݔൌ͵ ൅ʹ ͸​
，
∴，ܰ
ൌ͵ ൅ʹ ͸ ​
米．
【技巧归纳】
通常以出手点为原点或地面某点为原点建系
关键点坐标：出手点ሺͲǡ݄ሻ（h 为出手高度）、最高点（顶点）、落地点ሺݔǡͲሻ
用顶点式ݕൌ〶ሺݔെ݄ሻʹ ൅݇
求解，顶点纵坐标为最大高度
求投球距离：令y=0，解出正根即为水平距离
【变式5-1】
1．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度ݕ（单位：m）与距发球点的水平距离ݔ（单位：m）的对应值如下表
（不考虑空气阻力）．
水平距离
ݔm
Ͳ
ʹ
͵
ͷ
͸
ǥ
竖直高度
ݕm
ݔ′ݔʹ′͵
ʹ′͸
ʹ′͸
ʹ′͵
ǥ
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞
行路线是抛物线ݕൌ〶ݔʹ ൅ݔ൅ݔݔ′ݔ的一部分．
(1)【建立模型】求ݕ与ݔ的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？
【答案】(1)ݕൌെͲ′ݔݔʹ ൅Ͳ′ǡݔ൅ݔ′ݔ
(2)ʹ′͹m
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）化为顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：将点ʹǡ ʹ′͵ ǡ  ͵ǡ ʹ′͸ 代入ݕൌ〶ݔʹ ൅ݔ൅ݔݔ′ݔ，
得Ͷ〶൅ʹݔ൅ݔ′ݔൌʹ′͵
ͻ〶൅͵ݔ൅ݔ′ݔൌʹ′͸
解得〶ൌെͲ′ݔ
ݔൌͲ′ǡ
∴ݕ与ݔ的函数解析式为ݕൌെͲ′ݔݔʹ ൅Ͳ′ǡݔ൅ݔ′ݔ．
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（2）解：ݕൌെͲ′ݔݔʹ ൅Ͳ′ǡݔ൅ݔ′ݔൌെͲ′ݔݔെͶ ʹ ൅ʹ′͹．
∵〶ൌെͲ′ݔ㈰Ͳ，
∴当ݔൌͶ 时，ݕ有最大值为ʹ′͹．
答：羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是ʹ′͹m．
【变式5-2】
2．综合实践
探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响
试验
说明
数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1 所
示的平面直角坐标系．
实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d 米
（即掷球成绩）．
男生实心球评分标准如下表所示．
d/米
8.4
8.2
7.8
7.6
7.0
6.7
得分
10
9.5
9.0
8.5
7.8
7.6
从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y 与水平距离x（单
位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同．
试验
过程
【第一次试验】：实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组对应数据如下：
水平距离x/米
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/米
2
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
n
【第二次试验】：实心球的竖直高度y 与水平距离x 的函数图象的一部分如图2 所示，其中A 为
第二次试验抛物线的顶点．
解决问题
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(1)根据第一次试验数据，直接写出：݊
ൌ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米；
(2)求第二次试验的抛物线的解析式；
(3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？
【答案】(1)3.2；3.6
(2)ݕൌെ
ͷ
͵ʹ ݔെ͵′ʹ ʹ ൅͵′͸
(3)
该男生两次投掷试验的最好成绩是10 分
【分析】（1）由对称性可得第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线ݔൌͶ ，据此可得对应的顶点坐
标，则可得到第二空的答案，再由对称性可得第一空的答案；
（2）根据题意可得第二次试验的抛物线的顶点坐标为͵′ʹǡ͵′͸ ，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法
求解即可；
（3）求出第一次试验的抛物线的解析式，进而求出݀ݔ，݀
ʹ即可得到答案．
【详解】（1）解：∵第一次试验中，ݔൌ͵ 时的函数值与ݔൌͷ 时的函数值相同，
∴第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线ݔൌͶ ，
∴第一次试验中，对应的抛物线的顶点坐标为Ͷǡ͵′͸ ，
∴此次试验中实心球达到的最大高度是͵′͸ 米，
由对称性可得ݔൌʹ 时的函数值与ݔൌ͸ 时的函数值相同，即݊
ൌ͵′ʹ ；
（2）解：∵两次试验实心球所达到的最大高度相同，
∴第二次试验的抛物线的顶点坐标为͵′ʹǡ͵′͸ ，
设第二次试验的抛物线的解析式为ݕൌ〶ݔെ͵′ʹ ʹ ൅͵′͸ 〶്
Ͳ ，
把Ͳǡʹ 代入，得ʹ ൌ〶Ͳ െ͵′ʹ ʹ ൅͵′͸ ，
解得〶ൌെ
ͷ
͵ʹ，
∴第二次试验的抛物线的解析式为ݕൌെ
ͷ
͵ʹ ݔെ͵′ʹ ʹ ൅͵′͸ ；
（3）解：设第一次试验的抛物线的解析式为ݕൌ〶ݔݔെͶ ʹ ൅͵′͸ 〶ݔ്
Ͳ ，
把Ͳǡʹ 代入，得͸ݔ〶ݔ൅͵′͸ ൌʹ ，
解得〶ݔൌെ
ݔ
Ͳݔ，
∴第一次试验的抛物线的解析式为ݕൌെ
ݔ
ͲݔݔെͶ ʹ ൅͵′͸ ，
在ݕൌെ
ݔ
ͲݔݔെͶ ʹ ൅͵′͸ 中，令ݕൌͲ ，得Ͳ ൌെ
ݔ
ͲݔݔെͶ ʹ ൅͵′͸ ，
解得ݔൌͲݔ或ݔൌെʹ （舍去），
׵݀ݔൌͲݔ米，
在ݕൌെ
ͷ
͵ʹ ݔെ͵′ʹ ʹ ൅͵′͸ 中，令ݕൌͲ ，得െ
ͷ
͵ʹ ݔെ͵′ʹ ʹ ൅͵′͸ ൌͲ ，
解得ݔൌǡ 或ݔൌെݔ′͸ （舍去），
׵݀
ʹ ൌǡ 米，
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׵݀ݔ൐݀
ʹ，
∴第一次试验成绩最好；
׶݀ݔ൐ǡ′Ͷ ，
∴第一次试验成绩为10 分，
∴该男生两次投掷试验的最好成绩是10 分．
题型6 喷水问题
【例6】某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数
学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2 所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几
组数据，其中݀
m 是水柱距喷水头的水平距离，݄
m 是水柱距湖面的高度．݀݉
Ͳ
Ͳ′͹
ʹ
͵
Ͷ
…݄
m
ʹ′Ͳ
͵′ͶǡͶ
ͷ′ʹ
ͷ′͸
ͷ′ʹ
…
请解决以下问题：
(1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式；
(2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为݄
ൌെ
Ͳ′͵݀
െ͵′ͷ ʹ ൅ͷ′͹，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由．
(3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为Ͷm，顶棚到湖面高度为Ͷ′ʹm 的平顶游船，
游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险．
【答案】(1)݄
ൌെͲ′Ͷ݀
െ͵ ʹ ൅ͷ′͸
(2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外．
理由如下：
对于݄
ൌെͲ′Ͷ݀
െ͵ ʹ ൅ͷ′͸，
令݄
ൌͲ，得െͲ′Ͷ݀
െ͵ ʹ ൅ͷ′͸ ൌͲ，
解得݀
ൌ͵ ൅Ͷݔ或͵ െͶݔ（舍去），
对于݄
ൌെͲ′͵݀
െ͵′ͷ ʹ ൅ͷ′͹，
令݄
ൌͲ，得Ͳ ൌെͲ′͵݀
െ͵′ͷ ʹ ൅ͷ′͹，
解得݀
ൌ͵′ͷ ൅ͻݔ或͵′ͷ െͻݔ（舍去），
∵͵′ͷ ൅ͻݔ൐͵ ൅Ͷݔ，
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∴此时喷出的水柱会落到人工湖外；
(3)解：对于݄
ൌെͲ′Ͷ݀
െ͵ ʹ ൅ͷ′͸，
当͵ െ
Ͷ
ʹ ൌݔ，即݀
ൌݔ时，݄
ൌെͲ′Ͷ ൈͶ ൅ͷ′͸ ൌͶ，
∵Ͷ ㈰Ͷ′ʹ，
∴游船有被水柱喷到的危险．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分别求出当݄
ൌͲ 时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的݀
，比较后即可得出结论；
（3）求出抛物线上݀
ൌ͵ െ
Ͷ
ʹ ൌݔ时，݄
的值，与船的高度比较后得出结论.
【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为͵ǡͷ′͸ ，
∴设抛物线的表达式为݄
ൌ〶݀
െ͵ ʹ ൅ͷ′͸，
将Ͳǡʹ′Ͳ 代入，
得ͻ〶൅ͷ′͸ ൌʹ，
解得〶ൌെͲ′Ͷ，
∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：݄
ൌെͲ′Ͷ݀
െ͵ ʹ ൅ͷ′͸．
（2）略
（3）略
【技巧归纳】
喷头在顶点时：建系使顶点在ሺͲǡ݇ሻ，解析式为ݕൌ〶ݔʹ ൅݇
喷头在原点时：建系使喷头在ሺͲǡͲሻ，解析式为ݕൌ〶ݔʹ ൅ݔݔ
最大高度=顶点纵坐标，喷水射程=落地点横坐标的绝对值
多个喷头问题：利用对称性求交点和覆盖范围
【变式6-1】
1．牡丹花主题公园内有一直径为ʹݔ m 的圆形花坛，它的中心A 处安装着一个可升降的喷灌头，它喷出水
柱的路径可近似看作抛物线，水柱在距A 点水平距离为ʹ m 处达到最高，最高为ݔ m，水柱落地点为点B，
花坛边缘为点C，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若ܣܤ上有一株牡丹花高
͵
Ͷ  m，长在花坛哪个范围内才不会被水柱直接喷射到？
(3)若水柱的形状不变，当把落地点调整到花坛内距花坛边缘ݔ m 处时，水柱的喷头A 需上升多少米？
【答案】(1)ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔʹ ൅ݔ
(2)长在与点A 的距离大于ݔm 且小于͵m 的范围内才不会被水柱直接喷射到
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(3)
ͷ
Ͷ米
【分析】（1）根据题意可以确定抛物线的顶点坐标，然后利用顶点坐标式即可求解；
（2）首先确定牡丹花不会被水柱直接喷射时，所生长范围内水柱距地面的高度需满足什么条件，然后利用
抛物线的表达式求解即可；
（3）首先根据调整后水柱的落地距离确定落地点B 的坐标，然后求出调整后抛物线的表达式，继而求解．
【详解】（1）解：由题意得，此抛物线顶点为ʹǡݔ，
设抛物线的表达式为ݕൌ〶ݔെʹ ʹ ൅ݔ，
把，ሺͲǡͲሻ代入抛物线的表达式，得
〶Ͳ െʹ ʹ ൅ݔൌͲ，
解得〶ൌെ
ݔ
Ͷ，
׵抛物线的表达式为ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔʹ ൅ݔ；
（2）解：∵牡丹花高
͵
Ͷ  m，
∴要保证不会被水柱直接喷射，应长在水柱距地面的高度大于
͵
Ͷ  m 的范围内．
把ݕൌ
͵
Ͷ代入ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔʹ ൅ݔ，得
െ
ݔ
Ͷ ݔʹ ൅ݔൌ
͵
Ͷ，
解得ݔൌݔ或ݔൌ͵．
∴牡丹花长在与点A 的距离大于ݔm 且小于͵m 的范围内才不会被水柱直接喷射到；
（3）解：设调整后抛物线的表达式为ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔെʹ ʹ ൅݇，
根据题意，把水柱落地点调整到花坛内距花坛边缘ݔ m 处，此时，ܤൌͷm,
∴点B 的坐标为ͷǡͲ ．
把点B 的坐标代入抛物线的表达式，得
െ
ݔ
Ͷ ͷ െʹ ʹ ൅݇
ൌͲ，
解得݇
ൌ
ͻ
Ͷ．
∴抛物线的表达式为ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔʹ ൅ݔ൅
ͷ
Ͷ，
把ݔൌͲ 代入ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔʹ ൅ݔ൅
ͷ
Ͷ，得
ݕൌ
ͷ
Ͷ，即ܣͲǡ
ͷ
Ͷ ，
∴，水柱的喷头A 需上升
ͷ
Ͷ米．
【变式6-2】
2．问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从
出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距
离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1 所示的平面直角坐标系．
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信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中
几组数据如下：
时间ݐs
0
0.10
0.20
0.30
水平距离ݔm
0
0.10
0.20
0.30
竖直线高度
ݕm
0.80
0.75
0.60
0.35
信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x 与时间t 的关系为ݔൌ系ݐ（v 为水滴离开出水点
时的速度，单位m s）
根据以上信息，解决下列问题：
(1)v 的值是______；
(2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？
(3)将如图2 所示的一个高为Ͳ′Ͷm，直径为Ͳ′͵m 的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N 在图1 所示的x
轴上，且，ܰ
ൌͲ′Ͷm．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不
变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f 的取值范围为____________m．
【答案】(1)1；
(2)Ͳ′Ͷs；
(3)െ
͹
ǡͲ ㈰‴ ㈰
ǡͻ
ǡͲ．
【分析】（1）依据题意，由水平距离x 与时间t 的关系为ݔൌ系ݐ，结合表格中的数据求解即可；
（2）依据题意，利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出ݕൌͲ 时，x 的值，然后根据时间ൌ距离
ൊ速度，即可得到答案；
（3）设平移后的抛物线解析式为ݕൌെͷݔʹ ൅Ͳ′ǡ ൅‴，由题意得，当ݔൌͲ′ʹͷ 时，ݕൌͲ′Ͷ，当ݔൌͲ′ͷͷ 时，
ݕൌͲ′Ͷ，分别求出‴ 的值，最后下结论即可．
【详解】（1）解：由题意得，系ൌͲ′ͲݔൊͲ′Ͳݔൌݔ；
（2）解：设抛物线解析式为ݕൌ〶ݔʹ ൅Ͳ൅ݔݔ′ǡ，
由表格得Ͳ′ͲͲ൅〶ݔ′Ͳ൅ݔݔ′ǡ ൌͲ′͹ͷ
Ͳ′ͲͶ〶൅Ͳ′ʹͲ൅ݔ′ǡ ൌͲ′͸Ͳ ，
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解得〶ൌെͷ
ݔൌͲ ，
∴抛物线解析式为ݕൌെͷݔʹ ൅Ͳ′ǡ，
当ݕൌെͷݔʹ ൅Ͳ′ǡ ൌͲ 时，
解得ݔൌͲ′Ͷ 或ݔൌെͲ′Ͷ（舍去），
∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过Ͳ′Ͷ ൊݔൌͲ′Ͷs；
（3）解：设平移后的抛物线解析式为ݕൌെͷݔʹ ൅Ͳ′ǡ ൅‴，
∵一个高为Ͳ′Ͷm，直径为Ͳ′͵m 的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N 在图1 所示的x 轴上，且，ܰ
ൌͲ′Ͷm，
∴当水落在花盆最左边时，ݔൌͲ′Ͷ െ
Ͳ′͵
ʹ ൌͲ′ʹͷ ൌ
ݔ
Ͷ，此时ݕൌെͷ ൈ
ݔ
͸ݔ൅Ͳ′ǡ ൅‴ ൌͲ′Ͷ，解得‴ ൌെ
͹
ǡͲ；
当水落在花盆最右边时，ݔൌͲ′Ͷ ൅
Ͳ′͵
ʹ ൌͲ′ͷͷ ൌ
ݔݔ
ʹͲ时，ݕൌെͷ ൈ
ݔݔ
ʹͲ
ʹ
൅Ͳ′ǡ ൅‴ ൌͲ′Ͷ，解得‴ ൌ
ǡͻ
ǡͲ；
∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f 的取值范围为െ
͹
ǡͲ ㈰‴ ㈰
ǡͻ
ǡͲ．
题型7 增长率问题
【例7】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a 个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y
个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y 与x 的函数关系是（
）
A．ݕൌ〶ݔ൅ݔʹ
B．ݕൌ〶ݔെݔʹ
C．ݕൌݔ൅ݔʹ ൅〶
D．ݕൌݔʹ ൅〶
【答案】A
【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量ൈሺ൅ݔ
增长率ሻ，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案．
【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶〶ݔ൅ݔʹ个，
则ݕൌ〶ݔ൅ݔʹ．
故选：A.
【技巧归纳】
基础公式：两年后总量ݕൌ〶ሺݔ൅ݔሻʹ（a 为基础量，x 为平均增长率）
n 年增长：ݕൌ〶ሺݔ൅ݔሻ݊，注意增长次数与年份的对应
可求最大增长值、特定增长率对应的总量，或已知总量求增长率
【变式7-1】
1．某超市一月份的营业额为30 万元，三月份的营业额为y 万元．设每月的平均增长率为x，则y 与x 之间
的函数表达式为_______
【答案】ݕൌ͵Ͳݔ൅ݔʹ
【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意知，二月份的营业额͵Ͳݔ൅ݔ万元，三月份的营业额͵Ͳݔ൅ݔʹ
万元，依题意得，ݕൌ͵Ͳݔ൅ݔʹ．
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【详解】解：由题意知，二月份的营业额͵Ͳݔ൅ݔ万元，三月份的营业额͵Ͳݔ൅ݔʹ万元，
依题意得，ݕൌ͵Ͳݔ൅ݔʹ，
故答案为：ݕൌ͵Ͳݔ൅ݔʹ．
【变式7-2】
2．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10 元，销售500 件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605 件，
求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1 元，日销量将减少20 件．
①现要保证每天总毛利润6000 元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的Ͳݔ%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9 元，水电房租费每日102 元，若
剩下的每天总纯利润要达到5100 元，则每件涨价应为多少？
【答案】(1)Ͳݔ%
(2)①每件应张价5 元；②每件涨价应为8 元
【分析】
（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量ൈ൅ݔ日平均增长率
ʹ，
即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应张价y 元，则每件盈利（毛利润）为ݕ൅ Ͳݔ元，销售数量为ͷͲͲ െʹͲݕ件，根据每件盈
利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；
②设每件涨价应为z 元，则每天总毛利润为൅ Ͳݔm
ͷͲͲ െʹͲm 元，每天总纯利润为൅ Ͳݔm
ͷͲͲ െ
ʹͲmͲݔെݔ% െͲ′ͻ ͷͲͲ െʹͲm െʹͲݔ元，根据每天总纯利润要达到5100 元，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
ͷͲͲݔ൅ݔʹ ൌ͸Ͳͷ，
解得：ݔݔൌͲݔ%，ݔʹ ൌെʹͲݔ%(不符合题意，舍去)，
∴ݔൌͲݔ%，
答：第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y 元，根据题意，得
ݕ൅ ͲݔͷͲͲ െʹͲݕൌ͸ͲͲͲ，
解得：ݕݔൌͲݔ，ݕʹ ൌͷ，
∵要使顾客得到实惠，
∴ݕൌͷ，
答：每件应张价5 元；
②设每件涨价应为z 元，根据题意，得
൅ Ͳݔm
ͷͲͲ െʹͲmͲݔെݔ% െͲ′ͻ ͷͲͲ െʹͲm െʹͲݔൌͷͲͲݔ，
解得：mݔൌmʹ ൌǡ，
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∴m ൌǡ，
答：每件涨价应为8 元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关
键．
题型8 综合应用
【例8】1．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下
面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点ܣ处沿水滑道下滑至点ܤ处腾空飞出后落入水池．以地
面所在的水平线为ݔ轴，过腾空点ܤ与ݔ轴垂直的直线为ݕ轴，，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他
们把水滑道（抛物线ܣܤ段）和人腾空飞出后经过的路径（抛物线ܤ基段）都可以看作是抛物线．水滑道（抛
物线ܣܤ段）的函数表达式为ݕൌ
ݔ
ǡ ݔ൅͵ ʹ ൅
͹
ǡ，水滑道最低点为点ܥ，根据测量和调查得到的数据和信息，
解决下列问题．
(1)点ܤ的坐标为________，点ܥ的坐标为________；
(2)如图1，腾空点ܤ与对面水池边缘的水平距离，ܧൌʹݔ米，人腾空后的落点基与水池边缘的安全距离基ܧ
不少于͵ 米．某人腾空后的路径形成的抛物线ܤ基的最高点为ܨ，此时点ܤ恰好是线段ܥܨ的中点．
①求抛物线ܤ基的解析式；
②此人腾空飞出后的落点基是否在安全范围内？说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图ʹ，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距
地面Ͷ 米的点ܯ处竖直支撑的钢架ܯܰ，另一条是点ܯ与点ܤ之间连接支撑的钢架ܤܯ．现在需要在水滑
道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与ܤܯ平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在
钢架ܯܰ
上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】(1) Ͳǡʹ ，െ͵ǡ
͹
ǡ
(2)①ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔെ͵ ʹ ൅
ʹͷ
ǡ ；
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②落点基在安全范围内．
由①得ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔെ͵ ʹ ൅
ʹͷ
ǡ ，
令ݕൌͲ，则െ
ݔ
ǡ ݔെ͵ ʹ ൅
ʹͷ
ǡ ൌͲ，
∴ݔݔൌǡ，ݔʹ ൌെʹ（负值，舍去），
׵ ，基ൌǡ，
׶ ，ܧൌʹݔ，
׵ 基ܧൌ，ܧെ，基ൌെ ʹݔǡ ൌͶ ൐͵，
∴落点基在安全范围内；
(3)这条钢架的长度为ʹ͹ݔ米
【分析】（1）由题中水滑道（抛物线ܣܤ段）的函数表达式，令ݔൌͲ 求出ݕ即可得到点ܤ的坐标为，由
顶点式即可确定点ܥ的坐标；
（2）①由中点坐标公式求出抛物线ܤ基的顶点为͵ǡ
ʹͷ
ǡ ，设抛物线ܤ基为ݕൌ〶ݔെ͵ ʹ ൅
ʹͷ
ǡ ，由待定系数
法求解即可；②令ݕൌͲ，解一元二次方程得到，基ൌǡ，数形结合求解即可；
（3）根据题意，作出图形，令ݕൌͶ，解方程即可得到ܯെǡǡͶ ，求出直线ܤܯ的解析式，再由直线的平
行关系设ܧܨ为ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔ൅݉
，由抛物线与直线ܧܨ有一个交点，联立方程组，消去ݕ，由Δ ൌͲ 求解即可
得到݉
，从而确定直线ܧܨ解析式，得到相关线段长，最后在Rt ᇞܧ，ܨ中由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：׶水滑道（抛物线ܣܤ段）的函数表达式为ݕൌ
ݔ
ǡ ݔ൅͵ ʹ ൅
͹
ǡ，
׵当ݔൌͲ 时，ݕൌ
ݔ
ǡ ൈͲ ൅͵ ʹ ൅
͹
ǡ ൌ
ͻ
ǡ ൅
͹
ǡ ൌ
͸ݔ
ǡ ൌʹ，则点ܤ的坐标为Ͳǡʹ ；水滑道最低点为点ܥ的坐标为
െ͵ǡ
͹
ǡ ；
（2）解：①׶ ܤ是ܥܨ的中点且ܥെ͵ǡ
͹
ǡ ，ܤͲǡʹ ，
设点ܨ的坐标为݌ǡ标，
则
Ͳ ൌ
ݔ
ʹ െ͵ ൅݌
ʹ ൌ
ݔ
ʹ
͹
ǡ ൅标
，解得
݌ൌ͵
标ൌ
ʹͷ
ǡ
，
∴抛物线ܤ基的顶点为͵ǡ
ʹͷ
ǡ ，
∴可设抛物线ܤ基为ݕൌ〶ݔെ͵ ʹ ൅
ʹͷ
ǡ ，
将ܤͲǡʹ 代入得〶Ͳ െ͵ ʹ ൅
ʹͷ
ǡ ൌʹ，解得〶ൌെ
ݔ
ǡ，
∴抛物线ܤ基的解析式ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔെ͵ ʹ ൅
ʹͷ
ǡ ；
②略
（3）解：如图所示，ܧܨ即为所求钢架．
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׶抛物线ܣܤ段的解析式为ݕൌ
ݔ
ǡ ݔ൅͵ ʹ ൅
͹
ǡ，
令ݕൌͶ，则
ݔ
ǡ ݔ൅͵ ʹ ൅
͹
ǡ ൌͶ，
∴ݔݔൌെǡ，ݔʹ ൌʹ（正值，舍去），
׵ ܯെǡǡͶ ，
又׶ ܤͲǡʹ ，
∴直线ܤܯ为ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔ൅ʹ，
׶ ܧܨצ ܤܯ，
∴可设ܧܨ为ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔ൅݉
，
联立方程组
ݕൌ
ݔ
ǡ ݔ൅͵ ʹ ൅
͹
ǡ
ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔ൅݉
，
消去ݕ得ݔʹ ൅ǡݔെǡ݉
൅͸ݔൌͲ，
∴Δ ൌ͸Ͷ െͶ െǡ݉
൅͸ݔൌͲ，
׵݉
ൌͲ，
∴直线ܧܨ为ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔ，则直线ܧܨ过原点，即ܨ与，重合，
׶ ܯെǡǡͶ ，
∴令ݔൌെǡ，则ݕൌെ
ݔ
Ͷ ൈെǡ ൌʹ，
׵ ܧܰ
ൌʹ，，ܰ
ൌǡ，
又סܧܰ，ൌͻͲι，
∴ܧܨൌܧ，ൌ
ʹʹ ൅ǡʹ ൌʹ͹ݔ，
答：这条钢架的长度为ʹ͹ݔ米．
【技巧归纳】
基础公式：两年后总量ݕൌ〶ሺݔ൅ݔሻʹ（a 为基础量，x 为平均增长率）
n 年增长：ݕൌ〶ሺݔ൅ݔሻ݊，注意增长次数与年份的对应
可求最大增长值、特定增长率对应的总量，或已知总量求增长率
【变式8-1】
1．在平面直角坐标系中，对于点ܲ
ݔݔǡݕݔ，当点ܳ
ݔʹǡݕʹ 满足ݔݔ൅ݔʹ ൌݕݔ൅ݕʹ时，称点ܳ
ݔʹǡݕʹ 是点ܲ
ݔݔǡݕݔ
的“差反点”．
(1)判断点ܳʹǡݔݔ，ܳ
ʹ Ͷǡ͵ ，ܳ
͵ െ͵ǡ െʹ ，哪个是点ܲݔʹǡݔ的“差反点”？
(2)若直线ݕൌʹݔ൅͵ 上的点A 是点ܲ
ʹͲǡݔ的“差反点”，求点A 的坐标；
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(3)对于点ܲ
ʹͲǡݔ，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且ݕൌ
ݔ
ʹ ݔʹ ൅݉
െݐ൅ݔݔെ
ݔ
ʹ݊
൅
ݔ
ʹ ݐ当െݔ൑݉
൑͵
时，n 的最大值为͵ െݐ，求t 的值．
【答案】(1)ܳʹǡݔݔ和ܳ
͵ െ͵ǡ െʹ
(2) െʹǡ െݔ
(3)ݐൌͶ ൅
ʹ或ݐൌ
ͷ
ʹ
【分析】（1）先根据“差反点”的定义，直接代入定义验证即可；
（2）设出直线上点ܣ的坐标，结合定义列方程求解；
（3）联立差反点满足的关系式和抛物线解析式，由唯一交点得到判别式为Ͳ，整理出݊
关于݉
的二次函数，
再根据对称轴位置分类讨论，结合最大值条件求解ݐ的值。
【详解】（1）解：根据“差反点”定义，若ܳ
ሺݔʹǡݕʹሻ是ܲݔሺʹǡሻݔ的差反点，满足ʹ ൅ݔʹ ൌ൅ݔݕʹ，
对ܳݔሺሻʹǡݔ，ʹ ൅ݔൌʹ൅ݔ，等式成立，
对ܳ
ʹሺͶǡ͵ሻ，ʹ ൅Ͷ്͵൅ݔ，等式不成立，
对ܳ
͵ሺെ͵ǡ െʹሻ，ʹ ൅ሺെ͵ሻൌሻʹെሺ൅ݔ，等式成立，
因此ܳݔሺሻʹǡݔ和ܳ
͵ሺെ͵ǡ െʹሻ是点ܲݔሺʹǡሻݔ的差反点。
（2）设点ܣሺ〶ǡʹ〶൅͵ሻ，因为ܣ是ܲ
ʹሺሻͲǡݔ的差反点，
根据定义得：〶൅ݔൌͲ ൅ሺʹ〶൅͵ሻ，
解得〶ൌെʹ，
代入得ʹ〶൅͵ ൌെݔ，
因此点ܣ的坐标为ሺെʹǡ െሻݔ．
（3）设ܲ
ʹሺሻͲǡݔ的差反点坐标为ሺݔǡݕሻ，根据定义得ݔ൅ݔൌͲ ൅ݕ，即ݕൌݔ൅ݔ，
因为该点在抛物线ݕൌ
ݔ
ʹ ݔʹ ൅ሺ݉
െݐ൅െݔሻݔ
ݔ
ʹ݊
൅
ݔ
ʹ ݐ上，
代入得：ݔ൅ݔൌ
ݔ
ʹ ݔʹ ൅ሺ݉
െݐ൅െݔሻݔ
ݔ
ʹ݊
൅
ݔ
ʹ ݐ
整理得ݔʹ ൅ʹሺ݉
െݐሻݔ൅ݐെ݊
െʹ ൌͲ，
因为抛物线上存在唯一的差反点，
所以一元二次方程判别式Δ ൌͲ，
Δ ൌሾʹሺ݉
െݐሻെʹ െͶ ൈݔൈሺݐെ݊
െʹሻൌͲ
化简得݊
ൌെሺ݉
െݐሻʹ ൅ݐെʹ，݊
是关于݉
的二次函数，开口向下，对称轴为直线݉
ൌݐ，
分三种情况讨论：①当ݐ൒͵ 时，在െݔ൑݉
൑͵ 范围内，݊
在݉
ൌ͵ 处取得最大值，
代入得：െሺ͵ െݐሻʹ ൅ݐെʹ ൌ͵ െݐ，
整理得ݐʹ െǡݐ൅ͶݔൌͲ，
解得ݐൌͶ േ
ʹ，
因为ݐ൒͵，舍去ݐൌͶ െ
ʹ，得ݐൌͶ ൅
ʹ；
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②当ݐ൑െݔ时，在െݔ൑݉
൑͵ 范围内，݊
在݉
ൌെݔ处取得最大值，代入得：െሺെሻݐെݔʹ ൅ݐെʹ ൌ͵ െݐ，
整理得ݐʹ ൌെ͸，方程无实数解，此情况不成立。
③当െݔ㈰ݐ㈰͵ 时，在െݔ൑݉
൑͵ 范围内，݊
在݉
ൌݐ处取得最大值，
代入得：െሺݐെݐሻʹ ൅ݐെʹ ൌ͵ െݐ，
解得ݐൌ
ͷ
ʹ（满足െݔ㈰ݐ㈰͵）
【变式8-2】
2．如图①，已知抛物线ݕݔൌݔʹ ൅൅ݔݔ䁕与x 轴交于两点，ͲǡͲ 、ܣʹǡͲ ，将抛物线ݕݔ向右平移两个单位长
度，得到抛物线ݕʹ，点P 是抛物线ݕݔ在第四象限内一点，连接ܲ
ܣ并延长，交抛物线ݕʹ于点Q．
(1)ݔൌ______；
(2)设点P 的横坐标为ݔܲ，点Q 的横坐标为ݔܳ，求ݔܳെݔܲ的值；
(3)如图②，若抛物线ݕ͵ ൌݔʹ െǡݔ൅ݐ与抛物线ݕݔൌݔʹ ൅൅ݔݔ䁕交于点C，过点C 作直线ܯܰ，分别交抛物
线ݕݔ和ݕ͵于点M、N（M、N 均不与点C 重合），设点M 的横坐标为m，点N 的横坐标为n，试判断݉
െ݊
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由；
(4)若抛物线ݕݔ̵ ൌ〶ݔʹ ൅ݔݔݔ൅䁕ݔ与抛物线ݕʹ̵ ൌ〶ݔʹ ൅ݔʹݔ൅䁕ʹ（其中〶്
Ͳ）交于点C，过点C 作直线ܯܰ，
分别交抛物线ݕݔ̵和ݕʹ̵于点M、N（M、N 均不与点C 重合），设点M 的横坐标为m，点N 的横坐标为n，݉
െ݊
ൌ______．（请用含a，ݔݔ，ݔʹ的代数式来表示）
【答案】(1)െʹ
(2)4
(3)݉
െ݊
是定值，݉
െ݊
ൌ͸
(4)
ݔݔെݔʹ
〶
【分析】（1）将点ͲǡͲ 代入抛物线ݕݔ中先求解出c 的值，再将点ʹǡͲ 代入即可求解出b 的值；
（2）先求解出抛物线ݕݔ和抛物线ݕʹ的表达式，设出点P 的坐标，求出直线ܣܲ
的函数表达式，联立直线ܣܲ
与抛物线ݕʹ求解出点Q 的坐标，由此可求解；
（3）先求解出点C 的坐标，求出直线ܥܯ的函数表达式，联立直线ܥܯ与抛物线ݕ͵求解出点N 的坐标，由
此可求解；
（4）先联立抛物线ݕݔ̵和ݕʹ̵表示出点C 的坐标，求出直线ܥܯ的函数表达式，联立直线ܥܯ与抛物线ݕʹ̵求解
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出点N 的坐标，由此可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线ݕݔൌݔʹ ൅൅ݔݔ䁕与x 轴交于两点，ͲǡͲ 、ܣʹǡͲ ，
∴
Ͳ ൌ䁕
Ͳ ൌͶ ൅ʹ൅ݔ䁕，解得ݔൌെʹ
䁕ൌͲ ，
即ݔൌെʹ；
（2）解：由（1）可知，ݔൌെʹǡ䁕ൌͲ，
∴抛物线ݕݔൌݔʹ െʹݔ，
∵抛物线ݕݔ向右平移两个单位长度，得到抛物线ݕʹ，
∴ݕʹ ൌݔെʹ ʹ െʹ ݔെʹ ，即ݕʹ ൌݔʹ െ͸ݔ൅ǡ，
∵点P 是抛物线ݕݔ在第四象限内一点，
∴设点ܲ
݌ǡ݌ʹ െʹ݌，其中Ͳ ㈰݌㈰ʹ，
∵点ܣʹǡͲ ，
设直线ܣܲ
的函数表达式为ݕൌ݇
ݔ൅ݔ്݇
Ͳ ，
∴
Ͳ ൌʹ݇൅ݔ
݌ʹ െʹ݌ൌ݌݇൅ݔ，解得݇
ൌ݌
ݔൌെʹ݌，
∴直线ܣܲ
的函数表达式为ݕൌ݌ݔെʹ݌，
联立
ݕൌ݌ݔെʹ݌
ݕʹ ൌݔʹ െ͸ݔ൅ǡ ，即݌ݔെʹ݌ൌݔʹ െ͸ݔ൅ǡ，
则有݌ݔെʹ െݔെʹ
ݔെͶ ൌͲ，即ݔെʹ
ݔെͶ െ݌ൌͲ，
解得ݔൌʹ
ݕൌͲ 或
ݔൌͶ ൅݌
ݕൌ݌ʹ ൅ʹ݌，
∴点ܳ
Ͷ ൅݌ǡ݌ʹ ൅ʹ݌，
∴ݔܳെݔܲൌͶ ൅݌െ݌ൌͶ；
（3）解：∵抛物线ݕ͵ ൌݔʹ െǡݔ൅ݐ与抛物线ݕݔൌݔʹ ൅൅ݔݔ䁕交于点C，
联立ݕ͵ ൌݔʹ െǡݔ൅ݐ
ݕݔൌݔʹ െʹݔ
，即ݔʹ െǡݔ൅ݐൌݔʹ െʹݔ，
解得ݔൌ
ݐ
͸，则ݕൌ
ݐʹ
͵͸ െ
ݐ
͵，
∴点ܥ
ݐ
͸ ǡ
ݐʹ
͵͸ െ
ݐ
͵ ，
∵点M 是抛物线ݕݔ上的一点，且设点M 的横坐标为m，
∴点M 的纵坐标为݉
ʹ െʹ݉
，
∴点ܯ݉
ǡ݉
ʹ െʹ݉
，
设直线ܥܯ的函数表达式为ݕൌ䁠ݔ൅䁠്
Ͳ ，
∴
ݐʹ
͵͸ െ
ݐ
͵ ൌ
ݐ
͸ 䁠൅݉
ʹ െʹ݉
ൌ݉
䁠൅
，解得
䁠ൌ݉
൅
ݐ
͸ െʹ
ൌെ݉
ݐ
͸
，
∴直线ܥܯ的函数表达式为ݕൌ݉
൅
ݐ
͸ െʹ ݔെ݉
ݐ
͸ ，
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联立ݕൌ݉
൅
ݐ
͸ െʹ ݔെ݉
ݐ
͸
ݕ͵ ൌݔʹ െǡݔ൅ݐ
，即݉
൅
ݐ
͸ െʹ ݔെ݉
ݐ
͸ ൌݔʹ െǡݔ൅ݐ，
可得͸ݔʹ െ͸݉
൅ݐ൅͵͸ ݔ൅ݐ݉
൅͸ ൌͲ，且点N 的横坐标为n，
则ݔܥ൅݊
ൌെ
െ͸݉
൅ݐ൅͵͸
͸
ൌ݉
൅
ݐ
͸ ൅͸，
∵点C 的横坐标为
ݐ
͸，
∴݊
ൌ݉
൅
ݐ
͸ ൅͸ െ
ݐ
͸ ൌ݉
൅͸，
∴݊െ݉
ൌ͸，
即݉
െ݊
ൌ݊
െ݉
ൌ͸ 为定值；
（4）解：∵抛物线ݕݔ̵ ൌ〶ݔʹ ൅ݔݔݔ൅䁕ݔ与抛物线ݕʹ̵ ൌ〶ݔʹ ൅ݔʹݔ൅䁕ʹ（其中〶്
Ͳ）交于点C，
联立
ݕݔ̵ ൌ〶ݔʹ ൅ݔݔݔ൅䁕ݔ
ݕʹ̵ ൌ〶ݔʹ ൅ݔʹݔ൅䁕ʹ
，即〶ݔʹ ൅ݔݔݔ൅䁕ݔൌ〶ݔʹ ൅ݔʹݔ൅䁕ʹ，
可得ݔൌ
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ，则ݕൌ〶ൈ
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ
ʹ
൅ݔݔൈ
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൅䁕ݔ，
∴点ܥ
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ǡ〶ൈ
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ
ʹ
൅ݔݔൈ
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൅䁕ݔ，
∵点M 是抛物线ݕݔ̵上的一点，且设点M 的横坐标为m，
∴点M 的纵坐标为〶݉
ʹ ൅ݔݔ݉
൅䁕ݔ，
∴点ܯ݉
ǡ〶݉
ʹ ൅ݔݔ݉
൅䁕ݔ，
设直线ܥܯ的函数表达式为ݕൌ݄
ݔ൅്݄݇
Ͳ ，
∴〶ൈ
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ
ʹ
൅ݔݔൈ
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൅䁕ݔൌ
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ݄
൅݇
〶݉
ʹ ൅ݔݔ݉
൅䁕ݔൌ݄݉
൅݇
，解得݄
ൌ〶
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൅݉
൅ݔݔ݇
ൌ䁕ݔെ
〶݉
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ
，
∴直线ܥܯ的函数表达式为ݕൌ〶
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൅݉
൅ݔݔݔ൅䁕ݔെ
〶݉
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ，
联立
ݕൌ
〶
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൅݉
൅ݔݔݔ൅䁕ݔെ
〶݉
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ
ݕʹ̵ ൌ〶ݔʹ ൅ݔʹݔ൅䁕ʹ
，
即〶
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൅݉
൅ݔݔݔ൅䁕ݔെ
〶݉
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ
ൌ〶ݔʹ ൅ݔʹݔ൅䁕ʹ，
可得〶ݔʹ ൅ݔʹ െ〶
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൅݉
െݔݔݔ൅䁕ʹ െ䁕ݔ൅
〶݉
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ
ൌͲ，且点N 的横坐标为n，
则ݔܥ൅݊
ൌെ
ݔʹെ〶
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ൅݉
െݔݔ
〶
ൌ݉
൅
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൅
ݔݔെݔʹ
〶，
∵点C 的横坐标为
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ，
∴݊
ൌ݉
൅
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൅
ݔݔെݔʹ
〶
െ
䁕ʹെ䁕ݔ
ݔݔെݔʹ ൌ݉
൅
ݔݔെݔʹ
〶，
∴݊െ݉
ൌ
ݔݔെݔʹ
〶，
即݉
െ݊
ൌ݊
െ݉
ൌ
ݔݔെݔʹ
〶
．
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一、单选题
1．已知抛物线ݕൌݔʹ ൅ሺ݉
െ݉൅ݔሻݔ，当ݔൌݔ时，ݕ㈰Ͷ，且当ݔ൐ʹ 时，y 的值随x 值的增大而增大，
则m 的取值范围是（）
A．݉
൐െ͵
B．݉
㈰ʹ
C．െ͵ ൑݉
㈰ʹ
D．ݔ㈰݉
൑͵
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于݉
的不等式组，即可求解݉
的取值范围．
【详解】解：∵抛物线ݕൌݔʹ ൅݉
െݔݔ൅݉
开口向上，当ݔൌݔ时，ݕ㈰Ͷ，
∴将ݔൌݔ代入解析式得：ݔʹ ൅݉
െݔڄ݉൅ݔ㈰Ͷ，
化简得ʹ݉
㈰Ͷ，解得݉
㈰ʹ，
∵当ݔ൐ʹ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧ݕ随ݔ增大而增大，
∴抛物线对称轴不大于ʹ，
∵抛物线对称轴为ݔൌെ
ݔ
ʹ〶ൌെ݉
െݔ
ʹ ，
∴െ݉
െݔ
ʹ
൑ʹ，
解得：݉
൒െ͵，
综上，݉
的取值范围是െ͵ ൑݉
㈰ʹ．
2．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度݄
（单位：m）与小球的运动时间ݐ（单位：s）之间
的关系式为݄
ൌെͷݐʹ ൅͵Ͳݐ，则下列说法中，错误
．．的是（
）
A．小球运动时间为ݔs 时的高度是ʹͷm
B．小球运动时间为ʹs 时的高度和Ͷs 时的高度相等
C．小球离地面的最大高度是Ͷͷm
D．小球从射出到落地需要ǡs
【答案】D
【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过代入计算，配方求最值，解方程求落地时间，即可
判断各选项的正误．
【详解】解：݄
ൌെͷݐʹ ൅͵Ͳݐൌെͷ ݐെ͵ ʹ ൅Ͷͷ
选项A，当ݐൌݔ时，代入得݄
ൌെͷ ൈݔʹ ൅͵Ͳ ൈݔൌʹͷ，∴A 正确，不符合题意；
选项B，当ݐൌʹ 时，݄ൌെͷ ൈʹʹ ൅͵Ͳ ൈʹ ൌͶͲ，当ݐൌͶ 时，݄ൌെͷ ൈͶʹ ൅͵Ͳ ൈͶ ൌͶͲ，两者高度相等，
∴B 正确，不符合题意；
选项C，∵െͷ ㈰Ͳ，二次函数开口向下，当ݐൌ͵ 时，݄
取得最大值Ͷͷ，即小球离地面最大高度为Ͷͷ݉
，
∴C 正确，不符合题意；
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选项D，小球落地时݄
ൌͲ，即െͷݐʹ ൅͵ͲݐൌͲ，因式分解得െͷݐሺݐെ͸ሻൌͲ，解得ݐൌͲ（初始射出时刻）
或ݐൌ͸，∴小球从射出到落地需要͸，不是ǡ，∴D 错误，符合题意．
3．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为ݕൌെ
ݔ
͵ ݔʹ，当水面离桥顶的高度为
ʹͷ
͵ 米时，水面的宽
度为（
）
A．8 米
B．9 米
C．10 米
D．11 米
【答案】C
【分析】令ݕൌെ
ʹͷ
͵ ，解方程即可求出水面的宽度．
【详解】解：根据题意，令ݕൌെ
ʹͷ
͵ ，得：
െ
ʹͷ
͵ ൌെ
ݔ
͵ ݔʹ，
解得：ݔݔൌͷ，ݔʹ ൌെͷ，
所以水面宽为：ݔݔെݔʹ ൌͷ െെͷ ൌͲݔ米．
4．一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程km 和时间ݐh 之间的关系式为ൌݐʹ ൅͵ͷݐ，
那么行驶͵͸km 需要的时间为（
）
A．ݔh
B．
͵
ʹ h
C．ʹh
D．͵h
【答案】A
【详解】解：根据题意，得͵͸ ൌݐʹ ൅͵ͷݐ，
整理，得ݐʹ ൅͵ͷݐെ͵͸ ൌͲ，
解得ݐݔൌെ͵͸（不符合题意，舍去），或ݐʹ ൌݔ，
所以行驶͵͸km 需要的时间为ݔh．
5．伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为ݕ轴，以伞
骨，ܣǡ，ܤ的交点，为原点建立平面直角坐标系，ܥ为抛物线与ݕ轴的交点，点ܣǡܤ在抛物线上，，ܣǡ，ܤ关
于ݕ轴对称．已知抛物线的表达式为ݕൌെͲ′ʹݔʹ ൅ݔ，若点ܣ到ݔ轴的距离是Ͳ′͸dm，则ܣǡܤ两点之间的
距离是（
）
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A．ʹdm
B．ʹdm
C．ʹ ʹdm
D．Ͷdm
【答案】C
【分析】根据题意并结合二次函数对称性，将ݕൌͲ′͸ 代入解析式中求出ܣǡܤ横坐标，即可解题．
【详解】解：׶点ܣ到ݔ轴的距离是Ͳ′͸dm，，ܣǡ，ܤ关于ݕ轴对称．
׵当ݕൌͲ′͸ 时，有െͲ′ʹݔʹ ൅ݔൌͲ′͸，
解得ݔݔൌ
ʹǡݔʹ ൌെ
ʹ，
׵ ܣǡܤ两点之间的距离ʹ െെ
ʹ ൌʹ ʹ dm ．
6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价ݔ（单位：元）
之间的关系满足ݕൌെʹ ݔെʹͲ ʹ ൅ݔͷͷǡ，由于某种原因，价格需满足ݔͷ ൑ݔ൑ݔǡ，那么一周可获得的最
大利润是（
）
A．ݔͷͲǡ 元
B．ݔͷͷͲ 元
C．ݔͷͷͶ 元
D．ݔͷͷǡ 元
【答案】B
【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最
大值．
【详解】解：∵ݕൌെʹሺݔെʹͲሻʹ ൅ݔͷͷǡ，且െʹ ㈰Ͳ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线ݔൌʹͲ，
∴当ݔ㈰ʹͲ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，
∵ݔͷ ൑ݔ൑ݔǡ ㈰ʹͲ，
∴当ݔൌݔǡ 时，ݕ取得最大值，
将ݔൌݔǡ 代入解析式得ݕൌെʹ ൈሺݔǡ െʹͲሻʹ ൅ݔͷͷǡ ൌݔͷͷͲ
即一周可获得的最大利润是1550 元．
7．如图，某游乐园要建造一个直径为͵Ͳm 的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距
池中心͸m 处达到最高，高度为ͻm，以水平方向为ݔ轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系ݔ，ݕ，若
要在喷水池中心上方设计一个装饰物ܣ，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（
）
A．ͷm
B．͸m
C．͹m
D．ǡm
【答案】A
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【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
由待定系数法求出函数表达式，即可求解．
【详解】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：͸ǡͻ ，点ܥݔͷǡͲ ，
则抛物线的表达式为：ݕൌ〶ݔെ͸ ʹ ൅ͻ，
将点C 的坐标代入上式得：Ͳ ൌ〶ݔͷ െ͸ ʹ ൅ͻ，则〶ൌെ
ݔ
ͻ，
则抛物线的表达式为：ݕൌെ
ݔ
ͻ ݔെ͸ ʹ ൅ͻ，
当ݔൌͲ 时，ݕൌͷ m ，
故选：A．
8．如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离Ͷm 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当
球运行的水平距离为ʹ′ͷm 时达到最大高度͵′ͷm，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是͵′Ͳͷm，
则此时抛物线的函数关系式是（
）
A．ݕൌെʹݔʹ ൅Ͷ
B．ݕൌെͲ′ʹݔʹ ൅͵′ͷ
C．ݕൌെͲ′ʹݔʹ ൅͵′Ͳͷ
D．ݕൌെͲ′ʹݔʹ ൅ʹ′ͷ
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数的应用．设抛物线的表达式为ݕൌ〶ݔʹ ൅͵′ͷ，根据题意得，抛物线过点
ݔ′ͷǡ͵′Ͳͷ ，由此可得〶的值，即可求解．
【详解】解：∵当球运行的水平距离为ʹ′ͷ 米时，达到最大高度͵′ͷ 米，
∴抛物线的顶点坐标为Ͳǡ͵′ͷ ，
∴设抛物线的表达式为ݕൌ〶ݔʹ ൅͵′ͷ．
根据题意得，抛物线过点ݔ′ͷǡ͵′Ͳͷ ．
∴ʹ′ʹͷ〶൅͵′ͷ ൌ͵′Ͳͷ，
解得∶〶ൌെͲ′ʹ，
∴抛物线的表达式为ݕൌെͲ′ʹݔʹ ൅͵′ͷ．
故选∶B．
9．一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为
ݔͷcm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹
性形变），按如图所示的图象，小球的速度ݕ（cm/s）和弹簧被压缩的长度ݔ（cm）之间的关系式是ݕൌെ
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ݔ
Ͷ ݔʹ ൅ݔ൅͵ሺݔ൐Ͳሻ，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（）
A．͵ݔcm
B．Ͷݔcm
C．ݔͷcm
D．͹ݔcm
【答案】A
【分析】根据二次函数解析式求出速度最大时弹簧被压缩的长度ݔ，再利用弹簧长度等于初始长度减去压缩
长度求解即可
【详解】解：∵小球的速度ݕ和弹簧被压缩的长度ݔ之间的关系式是ݕൌെ
ݔ
Ͷ ݔʹ ൅ݔ൅͵
∴该函数图象是开口向下的抛物线，
当ݔൌെ
ݔ
ʹ〶时，ݕ取得最大值，
∵〶ൌെ
ݔ
Ͷ ǡݔൌݔ，
当ݔൌെ
ݔ
ʹൈെݔ
Ͷ
ൌʹ 时，小球的速度最大，此时弹簧被压缩了ʹcm，
׶弹簧的初始长度为ݔͷcm，
∴此时弹簧的长度为ݔͷ െʹ ൌ͵ݔcm
10．某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行
高度݄
m 与时间ݐs 满足二次函数݄
ൌ〶ݐʹ ൅ݐݔ，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（
）
A．该图象的对称轴是直线ݐൌʹ′ͷ
B．此次飞行无人机飞行的最大高度为ͻm
C．当ݐൌݔ时，该无人机飞行的高度为͸m
D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是͹s
【答案】B
【分析】先根据图象可得，ݐൌʹ 和ݐൌͶ 时，݄
ൌǡ，即可求解对称轴，即可判断A；再将点ʹǡǡ ǡ Ͷǡǡ 代
入݄
ൌ〶ݐʹ ൅ݐݔ求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D．
【详解】解：由图象可得，ݐൌʹ 和ݐൌͶ 时，݄
ൌǡ，
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∴对称轴为直线ݐൌ
ʹ൅Ͷ
ʹ ൌ͵，故A 错误，不符合题意；
将点ʹǡǡ ǡ Ͷǡǡ 代入݄
ൌ〶ݐʹ ൅ݐݔ，则Ͷ〶൅ʹݔൌǡ
ݔͶ൅〶͸ݔൌǡ
解得〶ൌെݔ
ݔൌ͸
∴抛物线表达式为݄
ൌെݐʹ ൅͸ݐ，
∵െݔ㈰Ͳ，
∴当ݐൌ͵ 时，݄max ൌെͻ ൅ݔǡ ൌͻ m ，故B 正确，符合题意；
当ݐൌݔ时，݄
ൌെ͸൅ݔൌͷ m ，故C 错误，不符合题意；
当݄
ൌͲ 时，则െݐʹ ൅͸ݐൌͲ，解得ݐൌ͸ 或ݐൌͲ
∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是͸s，故D 错误，不符合题意．
11．电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额
定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2 所示，
下列结论中错误的是（
）
A．当ܲ
ൌǡͲͲW 时，ܫൌͶA
B．P 与I 的函数关系式是ܲ
ൌͷͲܫʹ ܫ൒Ͳ
C．在额定功率范围内，P 随I 的增大而增大
D．I 每增加ݔA，P 的增加量相同
【答案】D
【分析】根据图像中提供的信息可以判断A；待定系数法求出函数解析式即可判断B；根据函数性质进行
求解，即可判断C；根据函数性质进行求解．
【详解】解：由题图2 可知，当ܲ
ൌǡͲͲW 时，ܫൌͶA，故选项A 中结论正确，不符合题意；
根据题意，设P 与I 的函数关系式为ܲ
ൌ〶ܫʹ（〶്
Ͳ，ܫ൒Ͳ），把点ܲ
ͶǡǡͲͲ 代入，得ǡͲͲ ൌͶʹ〶，
׵ 〶ൌͷͲ，
׵P 与I 的函数关系式是ܲ
ൌͷͲܫʹ ܫ൒Ͳ ，故选项B 中结论正确，不符合题意；
由题图2 可知，在额定功率范围内，P 随I 的增大而增大，故选项C 中结论正确，不符合题意；
I 每增加ݔA，P 的增加量不相同，故选项D 中结论错误，符合题意．
12．已知二次函数ݕൌ〶ݔʹ ൅൅ݔݔ䁕〶്
Ͳ 的图象如图所示，下列结论：①ʹ〶൅ݔൌͲ；②〶െ൅ݔ䁕㈰Ͳ；
③Ͷ〶൅ʹ൅ݔ䁕൐Ͳ；④〶݉
ʹ ൅ݔ݉
ݔ൅〶൐്݉ݔ，其中正确的是（
）
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A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数
关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则〶㈰Ͳ；
∵对称轴为直线ݔൌݔ，
∴െ
ݔ
ʹ〶ൌݔ，即ʹ〶൅ݔൌͲ，故①正确；
∵当ݔൌെݔ时，图象在ݔ轴下方，
∴ݕൌ〶െ൅ݔ䁕㈰Ͳ，故②正确；
∵对称轴为直线ݔൌݔ，
∴ݔൌʹ 与ݔൌͲ 时的函数值相等，
∵当ݔൌͲ 时，ݕൌ䁕൐Ͳ，
∴当ݔൌʹ 时，ݕൌͶ〶൅ʹ൅ݔ䁕൐Ͳ，故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴当ݔൌݔ时，函数取得最大值ݕൌ〶൅൅ݔ䁕，
∴当്݉ݔ时，〶݉
ʹ ൅ݔ݉
൅䁕㈰〶൅൅ݔ䁕，即〶݉
ʹ ൅ݔ݉㈰〶൅ݔ，故④错误．
综上所述，正确的结论是①②③．
13．如图1，四边形ܣܤܥ基是矩形，动点ܲ
，ܳ均以ݔcm/s 的速度从点ܤ同时出发，点ܲ
沿折线ܤ՜ ܣ՜ 基
向点基运动，点ܳ
沿折线ܤ՜ ܥ՜ 基向点基运动．ᇞܤܲܳ
的面积ܵ（单位：cmʹ）与运动时间ݐ（单位：s）
的关系如图2 所示．当点ܳ
运动到ܥ基的中点时，ܵ的值为（
）
A．9
B．10
C．12
D．16
【答案】B
【分析】根据题意得：ܣܤൌ〶，ܤܥൌʹ〶，当点P 运动到点A 处时，ܵൌǡ，此时ܤܲ
ൌܤܳ
ൌ〶，结合面积
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得出ܣܤൌܥ基ൌͶ，ܤܥൌܣ基ൌǡ，当点Q 运动到ܥ基的中点时，画出图形，然后利用面积和差求解即可．
【详解】解：根据题意得：ܣܤൌ〶，ܤܥൌʹ〶．
当点P 运动到点A 处时，ܵ
ൌǡ，
此时ܤܲ
ൌܤܳ
ൌ〶，
∴
ݔ
ʹ 〶ʹ ൌǡ，解得〶ൌͶ（负值已舍去）．
∴ܣܤൌܥ基ൌͶ，ܤܥൌܣ基ൌǡ．
当点Q 运动到ܥ基的中点时，如图所示：
运动时间为：
ǡ൅Ͷ
ʹ
ݔൌͲݔ秒，
∴基ܲ
ൌǡ െሺሻͶെ Ͳݔൌʹ，
∴基ܲ
ൌ基ܳ
ൌܥܳ
ൌʹ，
∴ܣܲ
ൌܣ基െ基ܲ
ൌ͸．
∴ܵ
ൌܵ
矩形ܣܤܥ基െܵ
ᇞܣܤܲെܵ
ᇞܤܥܳെܵ
ᇞܲ基ܳ
ൌǡ ൈͶ െ
ݔ
ʹ ൈͶ ൈ͸ െ
ݔ
ʹ ൈǡ ൈʹ െ
ݔ
ʹ ൈʹ ൈʹ ൌ͵ʹ െെ ʹݔǡ െʹ ൌ
Ͳݔ．
14．如图，在菱形ܣܤܥ基中，סܤൌ͸Ͳι，ܣܤൌʹ，动点P 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线
ܤܣെܣܥ运动到点C，同时动点Q 从点A 出发，以相同速度沿折线ܣܥെܥ基运动到点D，当一个点停止运
动时，另一点也随之停止．设ᇞܣܲܳ
的面积为y，运动时间为x 秒，则下列图象能大致反映y 与x 之间函数
关系的是（
）
A．
B．
C．
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D．
【答案】A
【分析】当P、Q 分别在ܣܤ、ܣܥ上运动时，ݕൌ
ݔ
ʹ ܣܲ
ൈܳ
ܪൌ
ݔ
ʹ （ʹ െݔ）ൈݔsin͸Ͳι；当P、Q 分别在ܣܥ、基ܥ
上运动时，同理可得：ݕൌ
͵
Ͷ ሺݔെʹሻʹ，即可求解．
【详解】解：①当ܲ
、ܳ
分别在ܣܤ、ܣܥ上运动时，
׶ ܣܤܥ基是菱形，סܤൌ͸Ͳι，则ᇞܣܤܥ、ᇞܣܥ基为边长为2 的等边三角形，
过点ܳ
作ܳ
ܪ٣ ܣܤ于点ܪ，
ݕൌ
ݔ
ʹ ܣܲ
ൈܳ
ܪൌ
ݔ
ʹ ሺʹ െݔሻൈݔsin͸Ͳι ൌെ
͵
Ͷ ݔʹ ൅
͵
ʹ ݔ，
函数最大值为
͵
Ͷ ，符合条件的A、B、C、D；
②当ܲ
、ܳ
分别在ܣܥ、基ܥ上运动时，过点ܳ
作ܳ
ܪ٣ ܣܤ于点ܪ，
则ܣܲ
ൌܥܳ
ൌݔെʹǡܳܪൌܥܳsinסܣܥ基ൌݔെʹ sin͸Ͳι ൌ
͵
ʹ
ݔെʹ ，
即ݕൌ
ݔ
ʹ ܣܲ
ൈܳ
ܪൌ
͵
Ͷ ሺݔെʹሻʹ，ݔൌͶ 时，ݕൌ
͵，
符合条件的有A．
15．如图1，ᇞܣܤܥ中，סܣൌ͵Ͳι，点ܲ
从点ܣ出发以ʹcm/s 的速度沿折线ܣ՜ ܥ՜ ܤ运动，点ܳ
从点ܣ
出发以系cm/s 的速度沿ܣܤ运动，ܲ、ܳ
两点同时出发，当某一点运动到点ܤ时，两点同时停止运动．设
运动时间为ݔ（s），ᇞܣܲܳ
的面积为ݕ（cmʹ），ݕ关于ݔ的函数图象由ܥݔǡ ܥʹ两段组成，如图2 所示，下
列结论中错误的是（
）
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A．系ൌݔ
B．sinܤൌ
ݔ
͵
C．图象ܥʹ段的函数表达式为ݕൌെ
ݔ
͵ ݔʹ ൅
Ͳݔ
͵ ݔ
D．ᇞܣܲܳ
面积的最大值为8
【答案】D
【分析】过点ܲ
作ܲ
基٣ ܣܤ于点基，分段求得ܥݔǡܥʹ的解析式，结合函数图象求得系ǡsinܤ根据二次函数的性
质求得最值，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：过点ܲ
作ܲ
基٣ ܣܤ于点基，
当点ܲ
在ܣܥ上运动时，
ݕൌ
ݔ
ʹ ܣܳ
ڄܲ
基ൌ
ݔ
ʹ ܣܲ
ڄ ܣܳ
ڄ sinܣൌ
ݔ
ʹ ൈʹݔڄ 系ݔڄ
ݔ
ʹ ൌ
ݔ
ʹ 系ݔʹ，
当ݔൌʹǡ ݕൌʹ 时，则ʹ ൌ
ݔ
ʹ 系ൈʹʹ，
解得：系ൌݔ，故A 正确；
由图象可知，ܣܤൌǡͲݔ ܣܥ൅ܥܤൌʹͲ，
当点ܲ
在ܤܥ上时，如图
ݕൌ
ݔ
ʹ ڄ ݔڄ ʹͲ െʹݔڄ sinܤ，
当ݔൌǡǡ ݕൌ
͸ݔ
͵ 时，则
͸ݔ
͵ ൌ
ݔ
ʹ ൈǡ ൈʹͲ െʹ ൈǡ ڄ sinܤ，
解得：sinܤൌ
ݔ
͵，故B 正确；
图象ܥʹ段的函数表达式为ݕൌ
ݔ
ʹ ڄ ݔڄ ʹͲ െʹݔڄ sinܤൌ
ݔ
ʹ ڄ ݔڄ ʹͲ െʹݔڄ
ݔ
͵ ൌെ
ݔ
͵ ݔʹ ൅
Ͳݔ
͵ ݔ，故C 正确；
当ݔൌെ
ݔ
ʹ〶ൌͷ，ݕ最大ൌെ
ݔ
͵ ൈͷʹ ൅
Ͳݔ
͵ ൈͷ ൌ
ʹͷ
͵ ，故D 错误．
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二、填空题
1．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升
产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率ݕ与加工时间ݔ（单位：分钟）
满足函数表达式ݕൌെͲ′ʹݔʹ ൅ݔ′ͷݔെʹ，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分
钟．
【答案】3.75
【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可．
【详解】解：∵ݕൌെͲ′ʹݔʹ ൅ݔ′ͷݔെʹ ൌെͲ′ʹ ݔʹ െ͹′ͷݔെʹ ൌെͲ′ʹ ݔെ͵′͹ͷ ʹ ൅
͵ݔ
͸ݔ，且െͲ′ʹ ㈰Ͳ，
∴当ݔൌ͵′͹ͷ 时，y 取得最大值，
∴最佳加工时间为3.75 分钟．
2．中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者
的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20 元，按每件24 元出售，每日可售出40 件．经市
场调查发现，这种模型每件涨价1 元，日销售量会减少2 件，每件模型应涨价________元，才能使每日利
润最大．
【答案】8
【分析】设每件模型涨价ݔ元，每日利润为ܹ
元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列出二次函数解析
式，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设每件模型涨价ݔ元，每日利润为ܹ
元，
则ܹ
ൌʹͶ ൅ݔെʹͲ
ͶͲ െʹݔൌെʹݔʹ ൅͵ʹݔ൅Ͳ͸ݔൌെʹሺݔെǡሻʹ ൅ʹǡǡ，
∵െʹ ㈰Ͳ，抛物线开口向下，
∴当ݔൌǡ 时，ܹ
取得最大值，
即每件模型应涨价8 元，才能使每日利润最大．
3．如图的一座拱桥，当水面宽ܣܤ为ʹݔm 时，桥洞顶部离水面Ͷm，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方
向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是ݕൌെ
ݔ
ͻ ݔെ͸ ʹ ൅Ͷ，则选取
点B 为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___．
【答案】െ͸ǡͶ
【详解】解：根据题意，选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是ݕൌെ
ݔ
ͻ ݔെ͸ ʹ ൅Ͷ，
则选取点B 为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12 个单位，
∵原抛物线的顶点为͸ǡͶ ，
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∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为െ͸ǡͶ ．
4．为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20 号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，
可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度݄
ሺmሻ与起跳后时间ݐሺsሻ的函数表
达式为݄
ൌെͷݐʹ ൅͵ݐ，当ݐൌͲ′ʹǡͲ′͵ǡͲ′ͷ 时，所对应的重心高度分别记为݄ݔǡ݄ʹǡ݄͵，则݄ݔǡ݄ʹǡ݄͵的大小关系为
__________．(用“㈰”连接)
【答案】݄
͵ ㈰݄ݔ㈰݄
ʹ
【分析】分别将ݐൌͲ′ʹǡͲ′͵ǡͲ′ͷ 代入二次函数表达式计算出对应的݄
值，利用有理数大小比较法则即可得出
结论．
【详解】解：当ݐൌͲ′ʹ 时，݄ݔൌെͷ ൈͲ′ʹʹ ൅͵ ൈͲ′ʹ ൌെͷ ൈͲ′ͲͶ ൅Ͳ′͸ ൌെͲ′ʹ ൅Ͳ′͸ ൌͲ′Ͷ．
当ݐൌͲ′͵ 时，݄ʹ ൌെͷ ൈͲ′͵ʹ ൅͵ ൈͲ′͵ ൌെͷ ൈͲ′Ͳͻ ൅Ͳ′ͻ ൌെͲ′Ͷͷ ൅Ͳ′ͻ ൌͲ′Ͷͷ．
当ݐൌͲ′ͷ 时，݄͵ ൌെͷ ൈͲ′ͷʹ ൅͵ ൈͲ′ͷ ൌെͷ ൈͲ′ʹͷ ൅ݔ′ͷ ൌെݔ′ʹͷ ൅ݔ′ͷ ൌͲ′ʹͷ．
׶ Ͳ′ʹͷ ㈰Ͳ′Ͷ ㈰Ͳ′Ͷͷ
׵݄
͵ ㈰݄ݔ㈰݄
ʹ
5．如图，一次函数ݕݔൌ݇
ݔ൅ݔ与二次函数ݕʹ ൌ〶ݔʹ交于ܣെݔǡݔ和ܤʹǡͶ 两点，则当ݕݔ㈰ݕʹ时，ݔ的取值
范围是_______．
【答案】ݔ㈰െݔ或ݔ൐ʹ
【分析】本题考查图象交点与不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．当ݕݔ㈰ݕʹ时ݔ的取值范围
是一次函数图象在二次函数图象下方对应的自变量ݔ的取值范围．
【详解】解：∵一次函数ݕݔൌ݇
ݔ൅ݔ与二次函数ݕʹ ൌ〶ݔʹ交于ܣെݔǡݔ和ܤʹǡͶ 两点由函数图象可得，
当ݔ㈰െݔ或者ݔ൐ʹ 时，一次函数ݕݔൌ݇
ݔ൅ݔ在二次函数ݕൌ〶ݔʹ下方，即ݕݔ㈰ݕʹ，
∴ݔ㈰െݔ或者ݔ൐ʹ 时，ݕݔ㈰ݕʹ．
故答案为：ݔ㈰െݔ或ݔ൐ʹ．
6．如图，一根铝合金型材长为͸ m，用它制作一个“日”字型窗户的框架ܣܤܥ基，如果恰好用完整条铝合金
型材，则窗户的最大面积是_______mʹ．
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【答案】
͵
ʹ
【分析】设ܣ基为ݔ，则ܣܤൌ
͸െ͵ݔ
ʹ ，根据矩形的面积求得面积ܵ
与ܣ基的函数关系，根据二次函数的性质
求解即可求得答案．
【详解】解：设ܣ基为ݔ，则ܣܤൌ
͸െ͵ݔ
ʹ ，
则窗户的面积ܵ
ൌݔڄ
͸െ͵ݔ
ʹ
ൌെ
͵
ʹ ሺݔെሻݔʹ ൅
͵
ʹ
当ݔൌݔ时，ܵ取得最大值为
͵
ʹ．
7．景区喷泉以出水口，为原点建立坐标系，水柱高度ݕ（单位：米）与水平距离ݔ（单位：米）满足：ݕൌെ
ݔ
͵ ሺݔെ
Ͷሻʹ ൅ͷ．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道ܧܨ㐳ܪ，通道顶部ܧܪ距离水柱竖直高度不少于2 米，通道
宽度ܨ㐳ൌʹ 米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______．
【答案】
ǡ
͵米
【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为Ͷǡͷ ，对称轴为直线ݔൌͶ，然后可得ܨ͵ǡͲ ǡ㐳ͷǡͲ ，当通道
顶部ܧܪ到水柱的竖直距离均等于2 米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解．
【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系
ݕൌെ
ݔ
͵ ሺݔെͶሻʹ ൅ͷ，
∴该二次函数的顶点坐标为Ͷǡͷ ，对称轴为直线ݔൌͶ，
∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形ܧܨ㐳ܪ通道，
∴矩形ܧܨ㐳ܪ关于抛物线的对称轴对称，
∵通道宽ܨ㐳为2 米，
∴ܨͶ െͲǡݔǡ㐳Ͷ ൅Ͳǡݔ，即ܨ͵ǡͲ ǡ㐳ͷǡͲ ，
∵通道顶部ܧܪ到水柱的竖直距离均不小于2 米，
∴ݕ水柱െݕܧܪ൒ʹ，即ݕܧܪ൑ݕ水柱െʹ，
即当通道顶部ܧܪ到水柱的竖直距离均等于2 米时，通道顶端到地面有最大高度，
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当ݔൌ͵ 时，则有ݕൌെ
ݔ
͵ ൈ͵ െͶ ʹ ൅ͷ ൌ
Ͷݔ
͵ ，
∴通道顶端到地面的最大高度为
Ͷݔ
͵ െʹ ൌ
ǡ
͵（米）．
8．如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一
座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2 是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水
面宽度ܣܤ为Ͳݔm 时，水面到拱顶的高度ܥ，为Ͷm，当水位在此基础上继续上涨ݔm 时，水面的宽度为
______m（结果保留根号）．
【答案】ͷ ͵
【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式ݕൌ〶ݔʹ，利用已知条件求出点ܤ的坐标
并代入解析式求出〶的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的ݔ值，再列式求出水面
宽度，即可作答．
【点睛】解：设抛物线的解析式为ݕൌ〶ݔʹ.
由题意可知，抛物线顶点为原点，ሺͲǡͲሻ，对称轴为ݕ轴，
∵ܣܤൌͲݔ，ܥ，ൌͶ，且点ܤ在第四象限，
根据抛物线的对称性，点ܤ的横坐标为
ݔ
ʹ ܣܤൌͷ，纵坐标为െͶ，
即ܤሺͷǡ െͶሻ；
将点ܤሺͷǡ െͶሻ代入ݕൌ〶ݔʹ，得െͶ ൌ〶ൈͷʹ，
解得〶ൌെ
Ͷ
ʹͷ，
∴抛物线的解析式为ݕൌെ
Ͷ
ʹͷݔʹ，
当水位上涨ݔm 时，水面到拱顶的距离变为Ͷ െݔൌ͵ሺmሻ．
此时水面上点的纵坐标为െ͵，
把ݕൌെ͵ 代入ݕൌെ
Ͷ
ʹͷ ݔʹ，得െ͵ ൌെ
Ͷ
ʹͷ ݔʹ，
解得ݔݔൌ
ͷ ͵
ʹ ，ݔʹ ൌെ
ͷ ͵
ʹ ，
∴水面的宽度：
ͷ ͵
ʹ െെ
ͷ ͵
ʹ
ൌͷ ͵ m ．
9．兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和“一清二白三红四绿五黄”，
赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”．如
图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O 为原点建立平面直角坐标
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系，已知碗口BC 宽ʹǡcm，碗深，ܣൌͻ′ǡcm，则当满碗汤面的竖直高度下降͸′͸cm 时，碗中汤面的水平
宽度为______cm（碗的厚度不计）．
【答案】16
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用碗口宽度和深度求出抛物线上一
点的坐标，代入求出解析式，再根据汤面下降的高度求出此时液面的纵坐标，代入解析式求出横坐标，进
而求出宽度．
【详解】设抛物线的解析式为ݕൌ〶ݔʹ，
由题意可知，碗口ܤܥ宽ʹǡcm，碗深，ܣൌͻ′ǡcm，且抛物线关于ݕ轴对称，
所以点ܥ的横坐标为
ݔ
ʹ ൈʹǡ ൌͶݔ，纵坐标为ͻ′ǡ，即点ܥ的坐标为ͻǡͶݔ′ǡ ，
将点ܥͻǡͶݔ′ǡ 代入ݕൌ〶ݔʹ，得ͻ′ǡ ൌ〶ൈͶݔʹ，
解得〶ൌ
ͻ′ǡ
͸ͻݔൌͲ′Ͳͷ，
所以抛物线的解析式为ݕൌͲ′Ͳͷݔʹ，
当满碗汤面的竖直高度下降͸′͸cm 时，汤面的高度为ͻ′ǡ െ͸′͸ ൌ͵′ʹ cm ，
令ݕൌ͵′ʹ，则͵′ʹ ൌͲ′Ͳͷݔʹ，
∴ݔʹ ൌ͸Ͷ，
解得ݔݔൌǡǡݔʹ ൌെǡ，
此时碗中汤面的水平宽度为ݔݔെݔʹ ൌǡ െሺെǡሻൌ͸ݔcm ．
10．如图①是一款固定在地面，处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A 是其弹射出口，发球机能将羽
毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B 是羽毛球落地点．．以
，为原点，，ܤ所在直线为ݔ轴，，ܣ所在直线为ݕ轴，建立平面直角坐标系．已知，ܣൌݔ′ʹͷm，，ܤൌͷm，
羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为ݕൌെͲ′ʹͷݔʹ ൅൅ݔݔ䁕，羽毛球在飞行过程中距离
地面，ܤ的最大高度__________m．
【答案】2.25
【分析】将ܣͲǡݔ′ʹͷ ，ܤͷǡͲ 两点坐标代入解析式，求得䁕、ݔ的值，用顶点公式求最大值即可．
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【详解】解：由题意可知，ܣͲǡݔ′ʹͷ ，ܤͷǡͲ ，
׶ ݕൌെͲ′ʹͷݔʹ ൅൅ݔݔ䁕，
׵
䁕ൌݔ′ʹͷ
െͲ′ʹͷ ൈͷʹ ൅ͷ൅ݔ䁕ൌͲ ，
解得，䁕ൌݔ′ʹͷ
ݔൌݔ，
׵ ݕൌെͲ′ʹͷݔʹ ൅ݔ൅ݔ′ʹͷ ൌെͲ′ʹͷ ݔെʹ ʹ ൅ʹ′ʹͷ，
∵െͲ′ʹͷ ㈰Ͳ，
∴当ݔൌʹ 时，ݕ最大ൌʹ′ʹͷ，
׵羽毛球在飞行过程中距离地面，ܤ的最大高度为ʹ′ʹͷm．
三、解答题
1．有一根长为ͶͲcm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最
大面积是多少？
【答案】
当矩形框的长和宽均为Ͳݔcm 时，矩形面积最大，最大面积是ͲͲݔcmʹ
【分析】先利用矩形周长公式，用长表示出宽，再根据面积公式得到面积关于长的二次函数，最后配方求
二次函数的最大值即可，用到矩形周长、面积公式和二次函数的最值性质．
【详解】解：设矩形框的长为ݔcm，矩形的面积为ܵcmʹ，已知铁丝总长为ͶͲcm，因此矩形框的宽为
ͶͲെʹݔ
ʹ
ൌ
ሺʹͲ െݔሻcm，可得自变量取值范围为Ͳ ㈰ݔ㈰ʹͲ，
根据矩形面积公式得：ܵ
ൌݔሺʹͲ െݔሻൌെݔʹ ൅ʹͲݔܵ
ൌെሺݔെͲݔሻʹ ൅ͲͲݔ
׶二次项系数െݔ㈰Ͳ
׵当ݔൌͲݔ时，ܵ取得最大值ͲͲݔ，
此时矩形的宽为ʹͲ െͲݔൌሺͲݔcmሻ
答：当矩形框的长、宽都为Ͳݔcm 时，矩形面积最大，最大面积是ͲͲݔcmʹ．
2．掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平
距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是ʹm，
当水平距离是Ͷm 时，实心球达到最大高度͵′͸m．
(1)求满足条件的抛物线的关系式；
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(2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于ͻ′͸m
时，即可得满分10 分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
【答案】(1)ݕൌെ
ݔ
ͲݔݔെͶ ʹ ൅͵′͸
(2)小明在这次投掷中得到了满分，
理由如下：
当ݕൌͲ 时，则െ
ݔ
ͲݔݔെͶ ʹ ൅͵′͸ ൌͲ，
解得ݔൌͲݔ或ݔൌെʹ（舍去），
∵ͻ൐ Ͳݔ′͸，
∴小明在这次投掷中得到了满分．
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入Ͳǡʹ 即可求出对应的关系式；
（2）把ݕൌͲ 代入ݕൌെ
ݔ
ͲݔݔെͶ ʹ ൅͵′͸，即可求出x 的值，再与ͻ′͸ 比较即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为Ͷǡ͵′͸ ，
设抛物线的关系式是ݕൌ〶ݔെͶ ʹ ൅͵′͸ 〶്
Ͳ ，
把点Ͳǡʹ 代入得〶Ͳ െͶ ʹ ൅͵′͸ ൌʹ
解得〶ൌെ
ݔ
Ͳݔ，
∴抛物线的关系式为ݕൌെ
ݔ
ͲݔݔെͶ ʹ ൅͵′͸；
（2）略
3．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进
了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y
轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用ݕൌെݔʹ െ͸ݔ൅ݔ表示．
(1)求水流的最高点到地面的距离；
(2)求左、右两条水流最高点之间的距离．
【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10 米
(2)左、右两条水流最高点之间的距离为6 米
【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可；
（2）根据点关于ݕ轴对称的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，ݕൌെݔʹ െ͸ݔ൅ݔൌെݔ൅͵ ʹ ൅Ͳݔ，
∴抛物线的顶点坐标为െ͵ǡͲݔ，
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∴水流最高点到地面的距离为10 米；
（2）解：∵左、右两条抛物线关于ݕ轴对称，
∴左边抛物线的顶点为െ͵ǡͲݔ，其关于ݕ轴的对称点即为右边抛物线的顶点͵ǡͲݔ，
∴左、右两条水流最高点之间的距离为：ȁ͵ െെ͵ ȁ ൌ͸ 米．
4．如图，某排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方ʹm 的A 处发出，其运行的高度ݕm
与运行的水平距离ݔm 满足关系式ݕൌ〶ݔെ͸ ʹ ൅ʹ′͸．已知球网与O 点的水平距离为ͻm，高度为ʹ′Ͷm．
(1)求y 与x 的关系式；
(2)球能否越过球网？
【答案】(1)ݕൌെ
ݔ
͸Ͳ ሺݔെ͸ሻʹ ൅ʹ′͸
(2)球能越过球网
【分析】（1）把点ܣͲǡʹ 代入关系式ݕൌ〶ݔെ͸ ʹ ൅ʹ′͸，求出a 的值，即可求出y 与x 的关系式；
（2）把ݔൌͻ 代入解析式求得y 的值，若ݕ൐ʹ′Ͷ 则球能越过球网，反之则不能，把ݔൌݔǡ 代入解析式求
得y 的值，若ݕ൐Ͳ 则会出界，反之则不会．
【详解】（1）解：把点ܣͲǡʹ 代入关系式得：ݕൌ〶ݔെ͸ ʹ ൅ʹ′͸，
解得：〶ൌെ
ݔ
͸Ͳ，
则y 与x 的关系式为：ݕൌെ
ݔ
͸Ͳ ݔെ͸ ʹ ൅ʹ′͸；
（2）∵当ݔൌͻ 时，ݕൌെ
ݔ
͸Ͳ ൈͻ െ͸ ʹ ൅ʹ′͸ ൌʹ′Ͷͷ ൐ʹ′Ͷ，
∴球能越过球网．
5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60 元．市场调查发现，若每个定价100
元，则每月可销售300 个；若每个涨价1 元，则每月可少销售5 个．设每个双肩包涨价ݔ元（ݔ为正整数），
每月的销售量为ݕ个．
(1)直接写出ݕ与ݔ的函数关系式：；
(2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)ݕൌെͷݔ൅͵ͲͲ（ݔ൑ݔ൑͸Ͳ，ݔ为正整数）
(2)当售价定为110 元时，商店每月获得利润最大，最大利润是ʹݔͷͲͲ 元
【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意，列出函数解析式即可；
（2）设每月获得利润ݓ元，根据题意，可得ݓൌͲ͸െݔ൅ ͲͲݔݕ，整理得，ݓൌെͷݔʹ ൅ͲͲͲʹݔ൅ݔͲͲݔൌെ
ͷ ݔെͲݔʹ ൅ʹݔͷͲͲ，再根据二次函数的性质取最值即可求解．
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【详解】（1）解：由题可得，涨价ݔ元，则每月可少销售ͷݔ个，
׵每月的销售量为ݕൌെͷݔ൅͵ͲͲ 个，
׶销售量要大于或等于0，
׵ െͷݔ൅͵ͲͲ ൒Ͳ，解得ݔ൑͸Ͳ，则ݔ൑ݔ൑͸Ͳ；
故答案为：ݕൌെͷݔ൅͵ͲͲ（ݔ൑ݔ൑͸Ͳ，ݔ为正整数）；
（2）解：设每月获得利润ݓ元，
由题可得，ݓൌͲ͸െݔ൅ ͲͲݔݕൌͶͲ ൅ݔ
െͷݔ൅͵ͲͲ ，
整理得，ݓൌെͷݔʹ ൅ͲͲͲʹݔ൅ݔͲͲݔൌെͷ ݔെͲݔʹ ൅ʹݔͷͲͲ，
׶ െͷ ㈰Ͳ，
׵当ݔൌͲݔ时，ݓ取得最大值，为ʹݔͷͲͲ 元，
׵ݔ൅ ͲͲݔൌͲݔݔ，
答：当售价定为110 元时，商店每月获得利润最大，最大利润是ʹݔͷͲͲ 元
6．如图，抛物线ݕൌݔʹ ൅൅ݔݔ䁕经过点ܣെʹǡͲ ，ܤͶǡͲ ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当Ͳ ൑ݔ൑͵ 时，y 的最大值为______；
(3)M 为抛物线上一点，若ܵᇞܯܣܤൌͶǡ，求此时点M 的坐标．
【答案】(1)ݕൌݔʹ െʹݔെǡ
(2)െͷ
(3)ܯ坐标为͸ǡ͸ݔ或െͶǡ͸ݔ
【分析】（1）将ܣെʹǡͲ 、ܤͶǡͲ 代入ݕൌݔʹ ൅൅ݔݔ䁕求出ݔ、䁕的值即可得到抛物线解析式，将解析式
化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值；
（3）求出ܣܤൌ͸，设ܲ
ݔǡݕ，则ܵᇞܯܣܤൌ
ݔ
ʹ ܣܤ൉ݕܯൌͶǡ，即可求解．
【详解】（1）解：把ܣെʹǡͲ 、ܤͶǡͲ 代入得Ͷ െʹ൅ݔ䁕ൌͲ
൅ݔͶ൅ ͸ݔ䁕ൌͲ ，
解得ݔൌെʹ
䁕ൌെǡ ，
׵抛物线的解析式为ݕൌݔʹ െʹݔെǡ．
（2）解：׶抛物线的解析式为ݕൌݔʹ െʹݔെǡ ൌݔെݔʹ െͻ，开口向上，顶点坐标为ͻെ ǡݔ，
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׵当ݔൌݔ时，函数有最小值െͻ，
当ݔൌͲ 时，ݕൌെǡ；当ݔൌ͵ 时，ݕൌͻ െ͸ െǡ ൌെͷ；
׵当Ͳ ൑ݔ൑͵ 时，y 的最大值为െͷ．
（3）解：׶ ܣെʹǡͲ 、ܤͶǡͲ ，
׵ ܣܤൌͶ െെʹ ൌ͸，
设ܯݔǡݕ，
则ܵᇞܯܣܤൌ
ݔ
ʹ ܣܤ൉ݕܯൌͶǡ，
即
ݔ
ʹ ൈ͸ ൈݕൌͶǡ，
解得ݕൌേ͸ݔ，
当ݔെݔʹ െͻ ൌ͸ݔ时，此时ݔൌ͸ 或ݔൌെͶ，
当ݔെݔʹ െͻ ൌെ͸ݔ时，此时方程无解，
׵ ܯ坐标为͸ǡ͸ݔ或െͶǡ͸ݔ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二
次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键．
7．排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备
在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45 元；若每罐以60 元销售，平均每天可
销售40 罐；价格每降低1 元，平均每天多销售10 罐；若设每罐降价x 元（x 为整数），每天的销售量为y
罐．
(1)直接写出每天销售量y 与x 之间的函数关系式；（不写x 的取值范围）
(2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880 元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定
价为多少元?
(3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56 元，不得低于47 元，求该商家平均每天销售
这种排骨藕汤的最大利润．
【答案】(1)ݕൌͶͲ ൅ݔͲݔ
(2)53 元
(3)900 元
【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，根据已知条件列出函数表达式是解题的关键．
（1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y 与x 之间的函数关系式；
（2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价；
（3）先根据单价确定ݔ的取值范围，再列出利润的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即
可．
【详解】（1）解：设每罐降价x 元，则平均每天多销售ݔͲݔ罐，
因此每天的销售量y 与x 之间的关系式为：ݕൌͶͲ ൅ݔͲݔ，
故答案为：ݕൌͶͲ ൅ݔͲݔ；
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（2）解：由题意得：͸Ͳ െݔെͶͷ
ͶͲ ൅ݔͲݔൌǡǡͲ，
解得ݔൌͶ 或ݔൌ͹，
当ݔൌͶ 时，每罐排骨藕汤的定价为͸Ͳ െͶ ൌͷ͸ 元，
当ݔൌ͹ 时，每罐排骨藕汤的定价为͸Ͳ െ͹ ൌͷ͵ 元，
为了让消费者获得更多实惠，
则每罐排骨藕汤的定价为ͷ͵ 元；
（3）解：根据题意得：Ͷ͹ ൑͸Ͳ െݔ൑ͷ͸，
解得Ͷ ൑ݔ൑͵ݔ，
设商店销售排骨藕汤的总利润为w 元，
则ݓൌ͸Ͳ െݔെͶͷ
ͶͲ ൅ݔͲݔൌെͲݔݔെ
ݔݔ
ʹ
ʹ
൅ͻͲʹ′ͷ，
由于െͲݔ㈰Ͳ，
则抛物线开口向下，
由于对称轴为直线ݔൌ
ݔݔ
ʹ ，且x 为整数，
当ݔൌͷ 或ݔൌ͸ 时，w 取最大，w 的最大值为െͲݔൈͷ െ
ݔݔ
ʹ
ʹ
൅ͻͲʹ′ͷ ൌͻͲͲ 元，
则该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900 元．
8．2025 年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹
可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，，篮球抛出点为ܣ，当篮球运行的水平距离，ܤ为Ͷm 时，达
到最大高度͵′͸m．以，为原点，，ܣ所在直线为ݕ轴，，ܤ所在直线为ݔ轴，建立平面直角坐标系．已知，ܣൌ
ʹm．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若篮球与ݕ轴水平距离ͷm 处的竖直高度ݕ满足͵′ʹ ൑ݕ൑͵′ͷ，视为有效投篮，请你通过计算说明机器
人此次投篮是否有效？
【答案】(1)ݕൌെͲ′ݔݔെͶ ʹ ൅͵′͸
(2)机器人此次投篮有效
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析
式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
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（2）求出ݔൌͷ 的函数值，若在͵′ʹ ൑ݕ൑͵′ͷ 范围内，则投篮有效；否则无效．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为ݕൌ〶ݔെͶ ʹ ൅͵′͸，
把Ͳǡʹ 代入得ʹ ൌ͵൅〶͸ݔ′͸，
解得〶ൌെͲ′ݔ，
∴抛物线的解析式为ݕൌെͲ′ݔݔെͶ ʹ ൅͵′͸；
（2）解：当ݔൌͷ 时，ݕൌെͲ′ݔൈͷ െͶ ʹ ൅͵′͸ ൌ͵′ͷ，
∴机器人此次投篮有效．
9．如图为某拱桥的示意图，桥面ܲܳ
平行于水面ܣܤ，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点
ܥ与桥面ܲܳ
的距离为ݔ米，当水面距离桥面Ͷ′͸ m 时，拱孔横跨水面宽度ܣܤ为ʹݔ米．若以水面ܣܤ所在
直线为ݔ轴，ܣܤ的中垂线为ݕ轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题：
(1)请求出桥洞对应抛物线的表达式；
(2)若从桥面向下挂一条宽为ݔ′Ͷ 米的长方形横幅ܧܨ㐳ܪ，横幅上边沿ܧܨ与桥面ܲܳ
重合，㐳、ܪ恰好落在
拱孔上，求横幅的长．
【答案】(1)ݕൌെͲ′ݔݔʹ ൅͵′͸
(2)Ͷ 米
【分析】（1）根据ܣܤൌʹݔ得，ܣൌ，ܤൌ͸，根据桥洞最高处点ܥ与桥面ܲܳ
的距离为ݔ米，水面距离桥
面Ͷ′͸ m，得顶点的纵坐标为Ͷ′͸ െݔൌ͵′͸，可设抛物线解析式为ݕൌ〶ݔʹ ൅͵′͸，求解即可；
（2）根据题意，得Ͷ′͸ െݔ′Ͷ ൌ͵′ʹ 当ݕൌ͵′ʹ 时，͵′ʹ ൌെͲ′ݔݔʹ ൅͵′͸，求解即可；
【详解】（1）解：根据ܣܤൌʹݔ得，ܣൌ，ܤൌ͸，桥洞最高处点ܥ与桥面ܲܳ
的距离为ݔ米，水面距离桥
面Ͷ′͸ m，得顶点的纵坐标为Ͷ′͸ െݔൌ͵′͸，
故ܣെ͸ǡͲ 、ܤ͸ǡͲ 、ܥͲǡ͵′͸ ，
设抛物线为ݕൌ〶ݔʹ ൅͵′͸
׵ ͵′͸ ൌ͸ʹ〶
解得〶ൌെͲ′ݔ，
∴桥洞所对应的抛物线的解析式为ݕൌെͲ′ݔݔʹ ൅͵′͸；
（2）解：׶ Ͷ′͸ െݔ′Ͷ ൌ͵′ʹ
∴当ݕൌ͵′ʹ 时，͵′ʹ ൌെͲ′ݔݔʹ ൅͵′͸，
解得ݔൌേʹ，
∴横幅长为：ʹ െെʹ ൌͶ 米；
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10．如图1，将一钢球从斜槽ܣ，的点A 处静止释放，钢球在点O 处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到
钢球在下落过程中的几个位置如图2 所示，并以点O 为原点，钢球运动的水平方向为x 轴建立平面直角坐
标系，得到钢球的位置坐标为ሺݔǡݕሻ，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：cm）
与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为ݔൌ系Ͳݐǡݕൌെ
ݔ
ʹ݃ݐʹ（系Ͳ为钢球在水平方向上的速度，
g 为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下：
ݐs
0.1
0.2
0.3
ݔcm
0.8
1.6
2.4
ݕcm
െͷ
െʹͲ
െͶͷ
(1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度系Ͳ ൌ______cm s，重力加速度݃
ൌ_____cm/sʹ．
(2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式
(3)若点O 距离地面的高度为ͲͶݔcm，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为ݔͷcm 的无盖的正方体箱
子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O 的水平距离最远是多少？
【答案】(1)8，1000
(2)ݕൌ
ʹݔͷ
͸ݔݔʹ
(3)Ͷcm
【分析】（1）取ݐൌͲ′ݔ，ݔൌͲ′ǡ 代入系Ͳ ൌ
ݔ
ݐ可求系Ͳ；取ݐൌͲ′ݔ，ݕൌെͷ 代入ݕൌെ
ݔ
ʹ݃ݐʹ，可求݃
；
（2）由（1）知ݔൌǡݐ，ݕൌെͷͲͲݐʹ求出ݐൌ
ݔ
ǡ，消去ݐ即可；
（3）把ݕൌെʹݔͷ 代入二次函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：把ݐൌͲ′ݔ，ݔൌͲ′ǡ 代入系Ͳ ൌ
ݔ
ݐ得系Ͳ ൌ
ݔ
ݐൌ
Ͳ′ǡ
Ͳ′ݔൌǡcm/s；
把ݐൌͲ′ݔ，ݕൌെͷ 代入ݕൌെ
ݔ
ʹ݃ݐʹ，得：െͷ ൌെ
ݔ
ʹ݃
ൈͲ′ݔʹ，
解得：݃
ൌ
ʹൈͷ
Ͳ′ͲݔൌͲͲͲݔcm/sʹ；
（2）解：由（1）知ݔൌǡݐ，ݕൌെͷͲͲݐʹ．
׵ ݐൌ
ݔ
ǡ．
׵ ݕൌെͷͲͲ ൈ
ݔ
ǡ
ʹ
ൌെ
ʹݔͷ
͸ݔݔʹ．
׵钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为ݕൌെ
ʹݔͷ
͸ݔݔʹ．
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（3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O 的水平距离最远．
ݔെ ͲͶݔͷ ൌʹݔͷ cm ．
当ݕൌെʹݔͷ，即െ
ʹݔͷ
͸ݔݔʹ ൌെʹݔͷ，解得ݔൌͶ（负值已舍去）．
׵箱子左侧到点O 的水平距离最远是Ͷcm．
11．综合与实践：
【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已
知该款护眼贴的进价为50 元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量ݕ（盒）与销售单价
ݔ（元/盒）的情况如图所示：
销售单价ݔ（元/盒）
月销售量ݕ（盒）
65
1300
60
1400
70
1200
(1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
销售单价ݔ（元/盒）
60
________
________
月销售量ݕ（盒）
________
________
________
(2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量ݕ与销售单价ݔ之间的函数关系式（不要求写自变量
的取值范围）；
(3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的͹Ͳ%．设销售这
种护眼贴每月获利ݓ（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)65，70，1400，1300，1200
(2)ݕൌെʹͲݔ൅ʹ͸ͲͲ
(3)当销售单价为85 元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500 元
【分析】（1）根据题意即可填写；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：根据销售单价从小到大排列得下表：
销售单价x（元/盒）
60
65
70
月销售量y（盒）
1400
1300
1200
（2）解：观察表格可知月销售量y 是关于销售单价x 的一次函数，
设月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为ݕൌ݇
ݔ൅ݔ്݇
Ͳ ，
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将͸ͲǡͲͲͶݔ，͹ͲǡͲͲʹݔ分别代入，
得͸Ͳ݇൅ݔൌͲͲͶݔ
͹Ͳ݇൅ݔൌͲͲʹݔ，
解得݇
ൌെʹͲ
ݔൌʹ͸ͲͲ ，
׵月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为ݕൌെʹͲݔ൅ʹ͸ͲͲ；
（3）解：由题意得ݓൌݔെͷͲ
െʹͲݔ൅ʹ͸ͲͲ
ൌെʹͲݔʹ ൅͵͸ͲͲݔെͲͲͲͲ͵ݔൌെʹͲ ݔെͻͲ ʹ ൅͵ʹͲͲͲ，
∵规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的͹Ͳ%．
∴ͷͲ ൑ݔ൑ǡͷ，
׶െʹͲ ㈰Ͳ，
׵抛物线开口向下，
׶对称轴为直线ݔൌͻͲ，
׵当ͷͲ ൑ݔ൑ǡͷ 时，w 随x 的增大而增大，
׵当ݔൌǡͷ 时，w 有最大值，ݓ最大ൌ͵ݔͷͲͲ（元）．
答：当销售单价为85 元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500 元．
12．跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形
状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度
都为ݔ m，并且相距Ͷ m．现在以两人的站立点所在的直线为ݔ轴，过小明拿绳子的手作ݔ轴的垂线为ݕ轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅൅ݔݔ䁕．
(1)求绳子所对应的抛物线的解析式．
(2)身高为ݔ′͸ m 的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由．
(3)身高为ݔ′Ͷʹ m 的小红站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为݀
 m，为保证绳子甩到最高处时过她
的头顶，直接写出݀
的取值范围．
【答案】(1)ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅ݔ
(2)绳子不能过他的头顶，理由见详解
(3)ݔ′ʹ ㈰݀
㈰ʹ′ǡ
【分析】（1）由题意可知抛物线ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅൅ݔݔ䁕经过点ሺͲǡሻݔǡͶሺǡሻݔ，建立方程组即可解答；
（2）先理解题意，分析身高为ݔ′͸ m 的君君站在绳子的正下方，再把ݔൌʹ 代入抛物线ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅ݔ
计算，即可作答．
（3）令ݕൌݔ′Ͷʹ，求出ݔ，再结合二次函数的图象性质，求出݀
的取值范围即可．
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【详解】（1）解：根据题意，抛物线ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅൅ݔݔ䁕经过点ሺͲǡሻݔǡͶሺǡሻݔ，
׵ݔൌ䁕
െʹ ൅Ͷ൅ݔ䁕ൌݔǡ
解得ݔൌ
ݔ
ʹ
䁕ൌݔ
，
∴绳子所对应的抛物线的解析式为ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅ݔ；
（2）解：身高为ݔ′͸ m 的君君站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶．理由如下：
由（1）得抛物线的解析式为ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅ݔ，
对称轴为直线ݔൌെ
ݔ
ʹ
ʹൈെݔ
ǡ
ൌʹ，
∵身高为ݔ′͸ m 的君君站在绳子的正下方，
∴把ݔൌʹ 代入ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅ݔ，得ݕൌെ
ݔ
ǡ ൈʹʹ ൅
ݔ
ʹ ൈʹ ൅ݔൌെ
ݔ
ʹ ൅ݔ൅ݔൌݔ′ͷ，
∵ݔ′ͷ ㈰ݔ′͸，
∴绳子不能过他的头顶．
（3）解：由（1）得抛物线的解析式为ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅ݔ，
依题意，当ݕൌݔ′Ͷʹ 时，െ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅ݔൌݔ′Ͷʹǡ
解得ݔൌݔ′ʹ 或ݔൌʹ′ǡ，
∵函数ݕൌെ
ݔ
ǡ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅ݔ的െ
ݔ
ǡ ㈰Ͳ，
∴函数的开口方向向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，
׵ݔ′ʹ ㈰݀
㈰ʹ′ǡ．
13．如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点ܧ与着陆坡
上的计分参照点ܭ的竖直距离为Ͷͷm，水平距离为ǡ͵m．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次
起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线ݕൌെ
ݔ
ǡͲ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅䁕．
(1)求䁕的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度；
(2)请通过计算，判断着陆时他能越过ܭ点吗？
【答案】(1)䁕ൌͶͷ，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为ͷͲm
(2)运动员着陆时他能越过ܭ点
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【分析】（1）由题意可得，ܧͲǡͶͷ ，将其代入抛物线解析式即可得到䁕的值，进而求出抛物线的解析式，
再将解析式化为顶点式，利用函数的性质即可求解；
（2）在函数解析式中令ݕൌͲ，求出ݔ的值，再与ǡ͵ 比较，即可判断．
【详解】（1）解：由题意可得，ܧͲǡͶͷ ，
将ܧͲǡͶͷ 代入ݕൌെ
ݔ
ǡͲ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅䁕，得Ͷͷ ൌെ
ݔ
ǡͲ ൈͲ ൅
ݔ
ʹ ൈͲ ൅䁕，
解得䁕ൌͶͷ，
׵ ݕൌെ
ݔ
ǡͲ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅Ͷͷ，
化为顶点式为ݕൌെ
ݔ
ǡͲ ݔെʹͲ ʹ ൅ͷͲ，
׶ െ
ݔ
ǡͲ ㈰Ͳ，
׵当ݔൌʹͲ 时，ݕ有最大值，最大值为ͷͲ，
׵ 䁕ൌͶͷ，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为ͷͲm；
（2）由（1）可得，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线ݕൌെ
ݔ
ǡͲ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅Ͷͷ，
令ݕൌͲ，则െ
ݔ
ǡͲ ݔʹ ൅
ݔ
ʹ ݔ൅Ͷͷ ൌͲ，
解得ݔݔൌʹͲ ൅ʹͲͲݔ，ݔʹ ൌʹͲ െʹͲͲݔ，
׶ ݔ൐Ͳ，且Ͳݔ൐͵，
׵ ݔʹ ൌʹͲ െʹͲͲݔ㈰Ͳ，舍去，
׵ ݔൌʹͲ ൅ʹͲͲݔ，
׶Ͳݔ൐
ͻ′ʹʹͷ ൌ͵′ݔͷ，
׵ ʹͲͲݔ൐͸͵，
׵ ʹͲ ൅ʹͲͲݔ൐ǡ͵，
即运动员着陆时他能越过ܭ点．
14．2026 年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基
因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气
象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30 元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量
y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50 元时，平均每天可售出40 件；当销售单
价为40 元时，平均每天可售出50 件．
(1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；
(2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润
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为多少元？
【答案】(1)y 与x 的函数关系式为ݕൌെݔ൅ͻͲ ͵Ͳ ㈰ݔ൑ͻͲ ；
(2)当吉祥物的销售单价为60 元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900 元．
【分析】（1）根据题目给出销售量y 与销售单价x 的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式
为ݕൌ݇
ݔ൅ݔ，代入数据解出k 和b，从而得到函数关系式；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W 关于x 的二次函数，
再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价．
【详解】（1）解：设销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为ݕൌ݇
ݔ൅ݔ，
把ݔൌͷͲ，ݕൌͶͲ；ݔൌͶͲ，ݕൌͷͲ 代入得，
ͷͲ݇൅ݔൌͶͲ
ͶͲ݇൅ݔൌͷͲ ，
解得݇
ൌെݔ
ݔൌͻͲ ．
∴y 与x 的函数关系式为ݕൌെݔ൅ͻͲ ͵Ͳ ㈰ݔ൑ͻͲ ．
（2）解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W 元，则ܹ
ൌݔെ͵Ͳ ݕൌݔെ͵Ͳ
െݔ൅ͻͲ
ൌെݔʹ ൅ͲͲ͹ʹെݔͲʹݔൌെݔെ͸Ͳ ʹ ൅ͻͲͲ
∵〶ൌെݔ㈰Ͳ，∴抛物线开口向下，W 有最大值，
∴当ݔൌ͸Ͳ 时，W 最大，W 最大ൌͻͲͲ（元）．
答：当吉祥物的销售单价为60 元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900 元．
15．如图1 是一个花坛，将其抽象为如图2 所示的平面图，图2 中花坛的外轮廓可看作由抛物线ܣܯܤ和线
段ܣܤ组成，已知ܣܤൌͲݔdm，，是ܣܤ的中点，花坛的最大深度，ܯൌͶdm，，ܯ٣ ܣܤ，以，为坐标原
点，ܣܤ所在直线为ݔ轴，，ܯ所在直线为ݕ轴建立如图2 所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点ܥ、基是花坛下方支架与花坛的两个接触点（即点ܥ、基在抛物线上），且ܥ、基关于ݕ轴对称，若点
ܣ到水平地面ܧܨ的距离为͹dm，ܥ、基两点之间的距离为ͷdm，ܧܨצ ݔ轴，求点ܥ到水平地面ܧܨ的距离．
【答案】(1)ݕൌ
Ͷ
ʹͷ ݔʹ െͶ
(2)Ͷdm
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先根据题意点C 的横坐标为െ
ͷ
ʹ，把ݔൌെ
ͷ
ʹ代入ݕൌ
Ͷ
ʹͷݔʹ െͶ，求出点C 到ܣܤ的距离为͵dm，根据
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点ܣ到水平地面ܧܨ的距离为͹dm，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：ܣെͷǡͲ ，ܤͷǡͲ ，ܯͲǡ െͶ ，
设抛物线的解析式为：ݕൌ〶ݔെͲ ʹ െͶ，把ܤͷǡͲ 代入得：
Ͳ ൌ〶ͷ െͲ ʹ െͶ，
解得：〶ൌ
Ͷ
ʹͷ，
∴抛物线的解析式为ݕൌ
Ͷ
ʹͷ ݔെͲ ʹ െͶ ൌ
Ͷ
ʹͷݔʹ െͶ；
（2）解：∵点ܥ、基在抛物线上，且ܥ、基关于ݕ轴对称，ܥ、基两点之间的距离为ͷdm，
∴点C 的横坐标为െ
ͷ
ʹ，
把ݔൌെ
ͷ
ʹ代入ݕൌ
Ͷ
ʹͷ ݔʹ െͶ 得：ݕൌ
Ͷ
ʹͷ ൈെ
ͷ
ʹ
ʹ
െͶ ൌെ͵，
∴点C 到ܣܤ的距离为͵dm，
∵ܧܨצ ݔ轴，
∴ܧܨצ ܣܤ，
∵点ܣ到水平地面ܧܨ的距离为͹dm，
∴点ܥ到水平地面ܧܨ的距离为͹ െ͵ ൌͶ dm ．
16．如图1 是一款摇椅，其底座的侧面示意图可抽象为如图2 所示的抛物线，ܯܣ，已知，ܣൌǡͲcm，抛物
线最低点ܯ到，ܣ的距离为ʹͲcm，以，为坐标原点，，ܣ所在直线为ݔ轴，经过点，且与，ܣ垂直的直线
为ݕ轴建立平面直角坐标系，该抛物线的对称轴与ݔ轴垂直．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若ܤ、ܥ两点是该摇椅的扶手与底座的接触点（即点ܤ、ܥ均在抛物线上），且点ܤ、ܥ到，ܣ的距离均
为
ͻݔ
ͷ cm，求ܤ、ܥ两点之间的水平距离．
【答案】(1)ݕൌ
ݔ
ǡͲ ݔെͶͲ ʹ െʹͲ
(2)ܤ、ܥ两点之间的水平距离͹ʹcm
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）把ݕൌെ
ͻݔ
ͷ 代入解析式求ݔ的值，再作差即可求解.
【详解】（1）解：∵，ܣൌǡͲcm，抛物线最低点ܯ到，ܣ的距离为ʹͲcm，
∴ܣǡͲǡͲ ，ܯͶͲǡ െʹͲ
设抛物线的函数表达式为ݕൌ〶ݔെͶͲ ʹ െʹͲ，
把ܣǡͲǡͲ 代入得：Ͳ ൌ〶ǡͲ െͶͲ ʹ െʹͲ，
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解得：〶ൌ
ݔ
ǡͲ，
即：ݕൌ
ݔ
ǡͲ ݔെͶͲ ʹ െʹͲ；
（2）解：当ݕൌെ
ͻݔ
ͷ 时，െ
ͻݔ
ͷ ൌ
ݔ
ǡͲ ݔെͶͲ ʹ െʹͲ，
解得：ݔݔൌͶǡݔʹ ൌ͹͸，
∴ݔʹ െݔݔൌ͹͸ െͶ ൌ͹ʹ cm ，
答：ܤ、ܥ两点之间的水平距离͹ʹcm．
17．为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，
如图，制作一个水轮发电机需配备ʹ 个铜线圈、ݔ组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需ͷ
元，购买一组叶片需ʹ 元（其它基础配件库存充足，无需购买）．
(1)现有经费ʹͶͲ 元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电
机？
(2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不
超过ͷ 个，每个发电机发电功率为每秒Ͳݔ焦耳；若超过ͷ 个，每增加ݔ个发电机同时工作，每个发电机的
功率每秒将减少Ͳ′Ͷ 焦耳．（总发电功率ൌ工作的发电机个数ൈ每个发电机的功率）
①设同时工作的发电机有ݔ个，当ݔ൐ͷ 时，求总发电功率ܲ
（单位：焦耳/秒）关于ݔ的函数关系式；
②在（ݔ）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？
【答案】(1)ʹͲ；
(2)①ܲ
ൌെͲ′Ͷݔʹ ൅ݔʹݔ；②ͻͲ．
【分析】ݔ设兴趣小组最多能制作〶个水轮发电机，根据题意，得ʹ ൈͷ〶൅ʹ〶൑ʹͶͲ，然后解不等式即可；
ʹ
①当ݔ൐ͷ 时，每个发电机每秒的发电功率Ͳെ Ͳݔ′Ͷ ݔെͷ ൌͲെ ʹݔ′Ͷݔ，则ܲ
ൌݔͲെ ʹݔ′Ͷݔൌെ
Ͳ′Ͷݔʹ ൅ݔʹݔ；
②分为当ݔ൐ͷ 时和当ݔ൑ͷ 时两种情况，然后通过二次函数的性质分别求出ܲ
的最大值，再比较即可．
【详解】（1）解：设兴趣小组最多能制作〶个水轮发电机，根据题意，得ʹ ൈͷ〶൅ʹ〶൑ʹͶͲ，
解得〶൑ʹͲ，
∴兴趣小组最多能制作ʹͲ 个水轮发电机；
（2）解：①当ݔ൐ͷ 时，每个发电机每秒的发电功率Ͳെ Ͳݔ′Ͷ ݔെͷ ൌͲെ ʹݔ′Ͷݔ，
∴ܲ
ൌݔͲെ ʹݔ′ͶݔൌെͲ′Ͷݔʹ ൅ݔʹݔ；
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②当ݔ൐ͷ 时，ܲ
ൌെͲ′Ͷݔʹ ൅ݔʹݔൌെͲ′Ͷ ݔെݔͷ ʹ ൅ͻͲ，
∵ͷ ㈰ݔ൑ʹͲ，െͲ′Ͷ ㈰Ͳ，
∴ݔൌݔͷ 时，总发电功率最大值：ܲ
ൌͻͲ（焦耳/秒），
当ݔ൑ͷ 时，最大总发电功率ܲ
ൌͷ ൈͲݔൌͷͲ（焦耳/秒），
∵ͻͲ ൐ͷͲ，
∴模型的总发电功率最大是每秒ͻͲ 焦耳．
18．如图，一光点M 从原点O 出发，其路径为抛物线L 的一部分，在点ܳ
ʹǡǡ 处达到最高，并落在x 轴上
的点P 处，并在点P 处向右侧弹起，路径为抛物线㐳ǣݕൌ〶ݔʹ ൅൅ݔݔ䁕的一部分，其中抛物线G 与抛物线L
的开口方向和形状相同，线段ܣܤ的端点ܣǡǡ͸ ，ܤͷǡ
͹
ʹ ．
(1)直接写出点P 的坐标，并求出抛物线L 的解析式；
(2)若抛物线G 经过点ܣǡǡ͸ ，求抛物线G 的函数解析式；
(3)将抛物线L 向右平移݇݇
൐Ͳ 个单位长度使它与线段ܣܤ有交点，直接写出k 的取值范围．
【答案】(1)ܲ
ͶǡͲ ，ݕൌെʹݔʹ ൅ǡݔ
(2)ݕൌെʹݔʹ ൅
ͷݔ
ʹ ݔെ͹Ͳ
(3)ݔ′ͷ ൑݇
൑͹
【分析】（1）先由题意可知，抛物线L 的顶点为ܳ
ʹǡǡ ，且经过原点，ͲǡͲ ，根据抛物线的对称性，求出
点P 的坐标．再设抛物线L 的解析式为：ݕൌ〶ݔെʹ ʹ ൅ǡ，将，ͲǡͲ 代入，求出a 的值，即可求出抛物
线L 的解析式；
（2）由“抛物线G 与抛物线L 的开口方向和形状相同”，可知〶ൌെʹ，由此可得抛物线G 的解析式为：ݕൌെ
ʹݔʹ ൅൅ݔݔ䁕，根据抛物线G 经过点ܲ
ͶǡͲ 和点ܣǡǡ͸ ，运用待定系数法，将点ܲ
ͶǡͲ 和点ܣǡǡ͸ 代入抛物
线G 的解析式中，求出b 和c 的值，从而求出抛物线G 的解析式；
（3）由抛物线L 的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A 坐标与点B 坐标分别代入平移后
解析式中，求出k 的值，最后结合函数图象分析出k 的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L 的顶点为ܳ
ʹǡǡ ，且经过原点，ͲǡͲ ，根据抛物线的对称性，点
O 与点P 关于对称轴ݔൌʹ 对称，
设ܲ
ݔܲǡͲ ，
则
ݔܲ൅Ͳ
ʹ
ൌʹ，
解得：ݔܲൌͶ，
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∴点P 的坐标为ͶǡͲ ．
设抛物线L 的解析式为：ݕൌ〶ݔെʹ ʹ ൅ǡ，将，ͲǡͲ 代入，
得：Ͳ െʹ ʹ ڄ 〶൅ǡ ൌͲ，
解得：〶ൌെʹ，
∴抛物线L 的解析式为：ݕൌെʹ ݔെʹ ʹ ൅ǡ，
即ݕൌെʹݔʹ ൅ǡݔ．
（2）解：∵抛物线G 与抛物线L 的开口方向和形状相同，
∴抛物线G 的二次项系数与抛物线L 的二次项系数相同，
即〶ൌെʹ，
∴抛物线G 的解析式为：ݕൌെʹݔʹ ൅൅ݔݔ䁕，
∵抛物线G 经过点ܲ
ͶǡͲ 和点ܣǡǡ͸ ，
∴将点ܲ
ͶǡͲ 和点ܣǡǡ͸ 代入抛物线G 的解析式中，
得：െʹ ൈͶʹ ൅Ͷ൅ݔ䁕ൌͲ
െʹ ൈǡʹ ൅ǡ൅ݔ䁕ൌ͸ ，
解得：ݔൌ
ͷݔ
ʹ
䁕ൌെ͹Ͳ
，
∴抛物线G 的解析式为：ݕൌെʹݔʹ ൅
ͷݔ
ʹ ݔെ͹Ͳ．
（3）解：∵抛物线L 的解析式为：ݕൌെʹ ݔെʹ ʹ ൅ǡ，
∴将其向右平移k 个单位后，解析式为：ݕൌെʹ ݔെ݇
െʹ ʹ ൅ǡ，
∵ܣǡǡ͸ ，ܤͷǡ
͹
ʹ ，
∴当平移后的抛物线经过点A 时，
可得：͸ ൌെʹ ǡ െ݇
െʹ ʹ ൅ǡ，
解得：݇
ൌͷ 或݇
ൌ͹．
同理，当平移后的抛物线经过点B 时，
可得：
͹
ʹ ൌെʹ ͷ െ݇
െʹ ʹ ൅ǡ，
解得：݇
ൌͶ′ͷ 或݇
ൌݔ′ͷ．
结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段ܣܤ有交点，
则k 的范围为：ݔ′ͷ ൑݇
൑͹．
19．【问题背景】为落实2026 年深圳APEC 峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发
现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的ʹͲ% ，每台需带宽2 单位）
和普通设备（占ǡͲ% ，每台需带宽1 单位）．每个通信基站带宽容量为600 单位．会议通信保障中心的目
标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量．
【模型构建】在会议开始前40 分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足：ݕൌെݔʹ ൅
ǡͲݔ൅ʹͲͲ Ͳ ൑ݔ൑ͶͲ
．
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【模型应用】
(1)第______分钟，现场总设备数达到1400 台．
(2)请求出第ݔ分钟时的现场总带宽需求݌的表达式．
(3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由．
(4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证ͲͲݔ% 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽
不足时，可降速至0.5 单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当݌൐Ͳ′ͻ ൈ（总带宽容量）时
启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少．
【答案】(1)ʹͲ
(2)݌ൌെݔ′ʹݔʹ ൅ͻ͸ݔ൅ʹͶͲ Ͳ ൑ݔ൑ͶͲ
(3)解：至少需要部署4 个基站，理由如下：
݌ൌെݔ′ʹݔʹ ൅ͻ͸ݔ൅ʹͶͲ Ͳ ൑ݔ൑ͶͲ ，
∵െݔ′ʹ ㈰Ͳ，函数图象开口向下，对称轴为ݔൌെ
ͻ͸
ʹൈെݔ′ʹ ൌͶͲ，
∴当Ͳ ൑ݔ൑ͶͲ 时，p 随x 增大而增大，
当ݔൌͶͲ 时p 取得最大值：
݌ൌെݔ′ʹ ൈͶͲʹ ൅ͻ͸ ൈͶͲ ൅ʹͶͲ ൌʹͲ͸ݔ，
单个基站带宽容量为͸ͲͲ 单位，所需基站总数为
ʹͲ͸ݔ
͸ͲͲ ൌ͵′͸，基站数量为正整数，向上取整得到至少需要部
署4 个基站；
(4)解：假设部署3 个基站，总带宽容量为͵ ൈ͸ͲͲ ൌݔǡͲͲ 单位：
弹性策略启动阈值为Ͳ′ͻ ൈݔǡͲͲ ൌͲʹ͸ݔ，即当原始总带宽需求݌൐Ͳʹ͸ݔ时，普通设备单台带宽降为Ͳ′ͷ
单位，
此时调整后的总带宽需求为：
݌̵ ൌͲ′ʹݕൈʹ ൅Ͳ′ǡݕൈͲ′ͷ ൌͲ′ǡݕ，
当ݔൌͶͲ 时y 取得最大值ݕൌെͶͲʹ ൅ǡͲ ൈͶͲ ൅ʹͲͲ ൌݔǡͲͲ，
代入得调整后最大带宽需求݌̵ ൌͲ′ǡ ൈݔǡͲͲ ൌͲͶͶݔ，满足ͲͶͶݔ㈰ݔǡͲͲ 验证阈值触发区间；
令原始݌൐Ͳʹ͸ݔ，
即ݔ′ʹݕ൐Ͳʹ͸ݔ，
解得ݕ൐͵ݔͷͲ，
对应x 的取值范围约为ݔǡ′ǡ ㈰ݔ൑ͶͲ，该区间内调整后的带宽需求始终小于ݔǡͲͲ，所有时刻带宽需求均可
被3 个基站覆盖，
∴采用该策略后，所需基站数可以从4 减少到3，能够实现基站数减少．
【分析】（1）将给定的总设备数代入已知的设备数和时间的关系式，得到一元二次方程，求解后结合x 的
取值范围舍去超出定义域的解，得到符合要求的时间；
（2）根据两类设备的占比和单台带宽需求，先推导出总带宽p 和总设备数y 的函数关系式，再将y 关于x
的表达式代入，展开整理得到p 关于x 的最终表达式，标注对应的x 的取值范围；
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（3）根据二次函数的开口方向和对称轴位置，找到p 的最大值，用最大总带宽除以单个基站的容量，向上
取整得到最少需要部署的基站数量；
（4）先假设部署比原方案少1 个的基站，计算该配置下的总容量和弹性策略触发阈值，推导弹性策略生效
后的总带宽需求表达式，计算调整后的最大带宽需求，验证其是否小于该配置的总容量，确认所有时刻的
带宽需求都可以被覆盖，即可判断基站数是否可以减少．
【详解】（1）解：将ݕൌͲͲͶݔ代入总设备数关系式：
െݔʹ ൅ǡͲݔ൅ʹͲͲ ൌͲͲͶݔ
整理得：ݔʹ െǡͲݔ൅ͲͲʹݔൌͲ
解得ݔݔൌʹͲǡݔʹ ൌ͸Ͳ，
∵Ͳ ൑ݔ൑ͶͲ，
∴ݔൌʹͲ；
（2）解：∵媒体设备占总设备数ʹͲ%，单台带宽2 单位，普通设备占总设备数ǡͲ%，单台带宽1 单位，
∴݌ൌͲ′ʹݕൈʹ ൅Ͳ′ǡݕൈݔൌݔ′ʹݕ，
代入ݕൌെݔʹ ൅ǡͲݔ൅ʹͲͲ，
݌ൌݔ′ʹ െݔʹ ൅ǡͲݔ൅ʹͲͲ
ൌെݔ′ʹݔʹ ൅ͻ͸ݔ൅ʹͶͲ Ͳ ൑ݔ൑ͶͲ ；
（3）解：略；
（4）解：略．
20．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7 位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？
【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践：
步骤一：收集身高数据如下：
队员
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
身高/m
1.70
1.70
1.73
1.60
1.68
1.80
1.60
步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；
步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7 名队员每两人间的距离至少为Ͳ′ͷm
才能保证安全；
步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离ܣܥൌͶm，手离地面的高度ܣܤൌܥ基ൌ
ݔ′ʹm，绳子最高点距离地面ʹm 时，效果最佳；
根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班需要报名跳绳同学9 人，摇绳同学2 人；
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
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素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为͸m，
绳子最高点为ʹm，摇绳同学的出手高度均为ݔm，如图2：
（2）9 名跳绳同学身高如表．
身高（m）ݔ′͹Ͳݔ′͹͵ݔ′͹ͷݔ′ǡͲ
人数
ʹ
ʹ
Ͷݔ
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：
（1）跳绳时，人的跳起高度在Ͳ′ʹͷm 及以下较为舒服；
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的
ͻݔ
ʹͲ．
(1)任务1：确定长绳形状．请在图2 中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，
对应抛物线的解析式．
(2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称
排列，同时保持Ͳ′Ͷͷm 的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
【答案】(1)ݕൌെ
ݔ
ͻ ݔʹ ൅ʹ െ͵ ൑ݔ൑͵
(2)当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学
【分析】（1）根据题意得到ܣെ͵ǡͲ ǡܤെ͵ǡݔǡܥ͵ǡͲ ǡ基͵ǡݔǡܧͲǡʹ ，运用待定系数法即可求解；
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（2）根据题意确定最边侧同学的横坐标，纵坐标，代入计算函数值进行比较即可．
【详解】（1）解：如图所示，
∴ܣെ͵ǡͲ ǡܤെ͵ǡݔǡܥ͵ǡͲ ǡ基͵ǡݔǡܧͲǡʹ ，
设绳子摇至最高点时的抛物线为ݕൌ݉
ݔʹ ൅݊
ݔ൅ʹ്݉
Ͳ ，把ܤെ͵ǡݔǡ基͵ǡݔ代入得，
ͻ݉
െ͵݊
൅ʹ ൌݔ
ͻ݉
൅͵݊
൅ʹ ൌݔ，
解得，݉
ൌെ
ݔ
ͻ݊
ൌͲ
，
∴ݕൌെ
ݔ
ͻ ݔʹ ൅ʹ െ͵ ൑ݔ൑͵ ；
（2）解：9 名同学中，身高最小的是ݔ′͹Ͳm，在最右（左）边，
∵将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持Ͳ′Ͷͷm 的间距，
∴最右则同学的横坐标为Ͳ′Ͷͷ ൈͶ ൌݔ′ǡm，
∵当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，头顶到地面的高度是身高的
ͻݔ
ʹͲ，
∴此时，头顶到地面的高度是
ͻݔ
ʹͲ ൈݔ′͹Ͳ ൌݔ′͸ݔͷm，
在抛物线ݕൌെ
ݔ
ͻ ݔʹ ൅ʹ െ͵ ൑ݔ൑͵ 中，
当ݔൌݔ′ǡ 时，ݕൌെ
ݔ
ͻ ൈݔ′ǡʹ ൅ʹ ൌݔ′͸Ͷ m ，
∵ݔ′͸ݔͷ ㈰ݔ′͸Ͷ，
∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学．
21．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校将组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班男、女生组各需要报9 名跳绳同学；
（2）每班另选2 名摇绳同学；
（3）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如
图1．
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素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）如图2，在跳长绳时，绳子摇至最高处的
形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学
负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点ܥ距
离地面ʹ m，摇绳位置之间的水平距离，基为
ǡ m，且摇绳位置ܣ，ܤ到地面的距离均为
ݔ m．以地面上的点，为坐标原点，线段，基所
在直线为ݔ轴，线段，ܣ所在直线为ݕ轴，建
立如图所示的平面直角坐标系．
（2）观察跳绳同学的姿态（如图3），当长绳
摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地
面的高度是身高的
ݔͷ
͸ݔ．
问题解决
(1)任务一确定长绳形状
根据素材，求出图2 中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式．
(2)任务二探究站位碰绳问题
该班男生组选取9 名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，
两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持Ͳ′͸m 的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，
长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？
身高（m）ݔ′͸Ͳݔ′͸ͷݔ′͹Ͳݔ′͹ʹ
人数
2
4
2
1
(3)任务三拟定位置方案
该班女生组挑选出身高都为ݔ′͸Ͳ m 的9 名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，
但人与人之间保持Ͳ′ͷ m 的间距．当9 名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），请
求出左边第一位同学离点，的水平距离݀
的取值范围．
【答案】(1)ݕൌെ
ݔ
͸ݔሺݔെͶሻʹ ൅ʹ
(2)不会，理由如下：
由（1）知，抛物线对应的函数表达式为ݕൌെ
ݔ
͸ݔሺݔെͶሻʹ ൅ʹ，对称轴为直线ݔൌͶ．
由题意知，最右侧的同学身高为ݔ′͸Ͳm，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为Ͷ ൅Ͷ ൈͲ′͸ ൌ͸′Ͷ．
将ݔൌ͸′Ͷ 代入ݕൌെ
ݔ
͸ݔሺݔെͶሻʹ ൅ʹ 中得：ݕൌݔ′͸Ͷ，
当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的
ݔͷ
͸ݔ．
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即为ݔ′͸Ͳ ൈ
ݔͷ
͸ݔൌݔ′ͷm，
∵ݔ′͸Ͷ ൐ݔ′ͷ，
∴当绳子在最高点时，同学们正屈膝落地，长绳不会触碰到最右侧的同学；
(3)Ͷ െʹ ʹ ㈰݀
㈰ʹ ʹ
【分析】（1）由题意知，点ܣͲǡݔ，ܤǡǡݔ，ܥͶǡʹ 在抛物线上，点C 为最高点，抛物线顶点的坐标为ܥͶǡʹ ，
设抛物线对应的函数表达式为ݕൌ〶ሺݔെͶሻʹ ൅ʹ，然后利用待定系数法代入求解即可；
（2）由题意知，最右侧的同学身高为ݔ′͸Ͳm，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为
Ͷ ൅Ͷ ൈͲ′͸ ൌ͸′Ͷ．将ݔൌ͸′Ͷ 代入ݕൌെ
ݔ
͸ݔሺݔെͶሻʹ ൅ʹ 中得：ݕൌݔ′͸Ͷ，然后得出当长绳摇至最高处时，
人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的
ݔͷ
͸ݔ．即为ݔ′͸Ͳ ൈ
ݔͷ
͸ݔൌݔ′ͷm，进行比较即可求解；
（3）由（2）知，身高为ݔ′͸Ͳm 的同学，此时头顶到地面的高度是ݔ′ͷm，令ݕൌݔ′ͷ，解出方程，然后列
出不等式即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，点ܣͲǡݔ，ܤǡǡݔ，ܥͶǡʹ 在抛物线上，点C 为最高点，
∴抛物线顶点的坐标为ܥͶǡʹ ．
设抛物线对应的函数表达式为ݕൌ〶ሺݔെͶሻʹ ൅ʹ．
将ܣͲǡݔ代入ݕൌ〶ሺݔെͶሻʹ ൅ʹ，得ݔൌʹ൅〶͸ݔ，
解得〶ൌെ
ݔ
͸ݔ．
∴长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式为ݕൌെ
ݔ
͸ݔሺݔെͶሻʹ ൅ʹ；
（2）略
（3）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，
由（2）知，身高为ݔ′͸Ͳm 的同学，此时头顶到地面的高度是ݔ′ͷm，
令ݕൌݔ′ͷ，则ݔ′ͷ ൌെ
ݔ
͸ݔሺݔെͶሻʹ ൅ʹ，
解得：ݔݔൌͶ ൅ʹ ʹ，ݔʹ ൌͶ െʹ ʹ．
由题意知，左边第一位同学离点O 的水平距离d，
∴右边第一位同学离点O 的水平距离为݀
൅ǡ ൈͲ′ͷ ൌ݀
൅Ͷ，
∵要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），
∴݀
൐Ͷ െʹ ʹ݀
൅Ͷ ㈰Ͷ ൅ʹ ʹ
，
解得：Ͷ െʹ ʹ ㈰݀
㈰ʹ ʹ，
∴左边第一位同学离点的水平距离的取值范围为：Ͷ െʹ ʹ ㈰݀
㈰ʹ ʹ．
22．综合与实践
【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥．
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如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空
的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线．
综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转ݔǡͲι，
得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成
和谐的视觉平衡．
【模型建立】
(1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为ܥݔ，副拱所在抛物线为ܥʹ，以它们的对称中心为原点，建立平面
直角坐标系，它们的交点所在直线为ݔ轴，即ܥݔ和Cʹ关于原点中心对称．通过测量得知ܥݔ和ܥʹ的顶点间距
离为32 米，ܥݔ和ܥʹ的左右交点ܣ、ܤ间距离为Ͷǡ ʹ米，则Cݔ的顶点基的坐标为（0，____），左交点ܣ的
坐标为（____，0），抛物线ܥݔ的解析式为________，抛物线ܥʹ的解析式为________；
【模型应用】
(2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱ܥݔ不变的情况下，改成两条关于ݕ轴对称的
副拱ܥ͵ ݔ൑Ͳ 和ܥͶ ݔ൒Ͳ ，如图2，ܥݔ和ܥ͵所在抛物线关于点ܲ݉
ǡͲ 对称，且ܥ͵恰好经过ܥݔ的顶点基，请
求出左副拱C͵所在抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索ܧܨ，所在直线为ݕൌݔ൅݊
，如图3，要求
斜拉索ܧܨ和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线ݕൌݔ൅݊
至少要与ܥݔ，ܥ͵和ܥͶ各有一个交点，求
出݊
的取值范围．
【答案】(1)16，െʹͶ ʹ，ݕൌെ
ݔ
͹ʹ ݔʹ ൅͸ݔ，ݕൌ
ݔ
͹ʹ ݔʹ െ͸ݔ
(2)ݕൌ
ݔ
͹ʹ ݔ൅Ͷǡ ʹ െ͸ݔ
(3)Ͷݔ൑݊
൑͸ݔ
【分析】（1）由题意和对称性质即可求出顶点坐标和交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线ܥݔ，ܥʹ
的解析式；
（2）由ܥݔ和ܥ͵所在抛物线关于点ܲ݉
ǡͲ 对称可得〶ൌ
ݔ
͹ʹ和݇
ൌെ͸ݔ，再将基Ͳǡ͸ݔ代入解析式即可得解；
（3）先确定直线ݕൌݔ൅݊
与ܥͶ最高点时݊
൑͸ݔ，由此确定此时直线ݕൌݔ൅݊
与ܥݔ必有交点，最后再确
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定ܥ͵和直线ݕൌݔ൅݊
有交点时݊
൒Ͷݔ，进而即可得解．
【详解】（1）解：∵ܥݔ和ܥʹ的顶点间距离为32 米，ܥݔ和ܥʹ的左右交点ܣ、ܤ间距离为Ͷǡ ʹ米，ܥݔ顶点在
ݕ轴上，
∴基Ͳǡ
͵ʹ
ʹ 即基Ͳǡ͸ݔ，ܣെ
Ͷǡ ʹ
ʹ
ǡͲ 即ܣെʹͶ ʹǡͲ ，
设抛物线ܥݔ的解析式为ݕൌ〶ݔݔʹ ൅͸ݔ，
∴〶ݔൈെʹͶ ʹ
ʹ ൅͸ݔൌͲ，解得〶ݔൌെ
ݔ
͹ʹ，
∴抛物线ܥݔ的解析式为ݕൌെ
ݔ
͹ʹݔʹ ൅͸ݔ，
∵ܥݔ和Cʹ关于原点中心对称，
∴抛物线ܥʹ的顶点坐标为Ͳǡ െ͸ݔ，
∴可设抛物线ܥʹ的解析式为ݕൌ〶ʹݔʹ െ͸ݔ，
∴〶ʹ ൈെʹͶ ʹ
ʹ െ͸ݔൌͲ，解得〶ʹ ൌ
ݔ
͹ʹ，
∴抛物线ܥʹ的解析式为ݕൌ
ݔ
͹ʹ ݔʹ െ͸ݔ，
（2）解：设ܥ͵所在抛物线为ݕൌ〶ݔെ݄
ʹ ൅݇
׶ ܥݔ和ܥ͵所在抛物线关于点ܲ݉
ǡͲ 对称，
׵ 〶ൌ
ݔ
͹ʹ，
且ܥ͵的顶点݄
ǡ݇
和ܥݔ顶点基Ͳǡ͸ݔ也关于点ܲ
对称，
即݇
ൌെ͸ݔ，
׶ ܥ͵恰好经过ܥݔ的顶点基Ͳǡ͸ݔ，
׵͸ݔൌ
ݔ
͹ʹ Ͳ െ݄
ʹ െ͸ݔ，即͸ݔൌ
ݔ
͹ʹ݄
ʹ െ͸ݔ，
解得݄
ൌേͶǡ，
׶ ܥ͵在ݕ轴左侧，
׵݄
ൌെͶǡ，
׵ ܥ͵所在抛物线为ݕൌ
ݔ
͹ʹ ݔ൅Ͷǡ ʹ െ͸ݔ；
（3）解：观察图3 可知，
׶ ܥͶ ݔ൒Ͳ 和直线ݕൌݔ൅݊
至少要有一个交点，
׵直线ݕൌݔ൅݊
与ܥͶ最高可交于点基Ͳǡ͸ݔ，
׵݊
൑͸ݔ
׶ ܥݔ和直线ݕൌݔ൅݊
的交点坐标满足方程组，
ݕൌെ
ݔ
͹ʹ ݔʹ ൅͸ݔ
ݕൌݔ൅݊
，
消ݕ得െ
ݔ
͹ʹ ݔʹ ൅͸ݔൌݔ൅݊
，即ݔʹ ൅͹ʹݔ൅͹ʹ݊
െ͸ݔൌͲ ，
当݊
൑͸ݔ时，݊െ͸ݔ㈰Ͳ，
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׵ Δ ൌ͹ʹʹ െͶ ൈ͹ʹ݊
െ͸ݔ൐Ͳ ，
׵当݊
൑͸ݔ时，ܥݔ和直线ݕൌݔ൅݊
的必有交点，
׶ ܥ͵和直线ݕൌݔ൅݊
的交点坐标满足方程组，
ݕൌ
ݔ
͹ʹ ݔ൅Ͷǡ ʹ െ͸ݔ
ݕൌݔ൅݊
，
消ݕ得
ݔ
͹ʹ ݔ൅Ͷǡ ʹ െ͸ݔൌݔ൅݊
，即ݔʹ ൅ʹͶݔെ͹ʹ݊
െ͸ݔൌͲ ，
׵ Δ ൌʹͶʹ െͶ ൈെ͹ʹ݊
െ͸ݔ൒Ͳ ，解得݊
൒Ͷݔ，
׵݊
的取值范围为Ͷݔ൑݊
൑͸ݔ．
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