初中数学解题技巧——怎样进行因式分解之整式解题:赋值法

对于含有字母的恒等式，字母取任意数值等式均成立。赋值法就是选取简单特殊值（0、1、-1 等）代入多项式，直接快速得到系数相关结论，避开繁琐展开。

等式左右两边是完全一样的多项式，无论未知数取何实数，左右两边计算结果永远相等。

不需要把括号全部展开，只需要挑选计算最简单的特殊数字代入，就能针对性提取系数信息。

给多项式中的未知数赋予特殊数字，利用恒等式性质，直接求出常数项、全部系数之和、奇偶次项系数相关代数式。

恒等式左右两边对任意 x 都成立，所以挑选简单的数字代入，等式依然成立，快速提取系数信息。

• 令x=0，直接得到常数项

• 令x=1，得到所有项系数相加的总和

• 令x=-1，得到偶次项系数和减去奇次项系数和

设S_偶为偶次项系数之和，S_奇为奇次项系数之和。

• x=1：S_偶+S_奇=原式在x=1的值……①

• x=-1：S_偶-S_奇=原式在x=-1的值……②

联立两个式子，可解出：

偶次项系数和：S偶=(①+②)/2

奇次项系数和：S奇=(①-②)/2

已知多项式展开式，求系数相关代数式的值。

提醒：赋值法只适用于恒等式，普通方程不能随意赋值。

1. 审题定目标：明确题目要求的是常数项 / 全部系数和 / 奇偶项系数和（或差）

2. 匹配赋值：根据目标，选取合适特殊值（优先 0、1、-1）

3. 代入恒等式：把选定数值代入等式左右两边

4. 列式整理：根据等式建立关于系数的关系式

5. 计算求解：结合拓展公式，算出目标结果

• 记错x=-1代入后的符号，奇次项变号容易出错，计算时建议给负数整体添加括号；

• 混淆 “系数和” 与 “代数式的值” 概念，系数和只看各项数字系数，不含字母；

• 漏看多项式前面的负号，代入计算出错；

• 不是恒等式乱用赋值法，普通方程不能使用这套结论；

• 求奇偶系数和时，忘记联立两个式子，直接把x=-1结果当成偶次项系数和。

1、(x+3)·f(x)=x³+4x²-2x+k，求常数k的值

【解析】

左边含有因式x+3，当x+3=0时，左边整体等于 0；因此右边多项式的值也必须等于 0

【答案】

解：令x=0+3，即x=-3

代入右侧多项式：

0=(-3)3+4×(-3)2-2×(-3)+k

0=-27+4×9+6+k

0=-27+36+6+k

0=15+k

解得：k=-15

2、(3x+2)¹⁰⁰=a₀+a₁x+a₂x²+……+a₁₀₀x₁，

①求常数项a₀

②求全部系数和

③求偶次项系数和、奇次项系数和

④求所有系数的绝对值之和。

⑤求a₁₀₀

【解析】

根据拓展推导的内容进行解题即可

【答案】

解：①： 令 x=0

代入等式左边：(3×0+2)¹⁰⁰=2¹⁰⁰

右边只剩下常数项a₀，得到：a₀=2¹⁰⁰

② ：令x=1 

左边：(3×1+2)¹⁰⁰=5¹⁰⁰

右边：a₀+a₁+a₂+……+a₁₀₀

得到所有系数之和：a₀+a₁+a₂+……+a₁₀₀=5¹⁰⁰

③ ：令x=-1

左边：[3×(-)1+2]¹⁰⁰=(-1)¹⁰⁰=1

右边：a₀-a₁+a₂-a₃+……+a₁₀₀

得到奇偶项系数交错和：a₀-a₁+a₂-a₃+……+a₁₀₀=1

④ ：②+③ 

(a₀+a₁+a₂+……+a₁₀₀)+(a₀+a₁+a₂+……+a₁₀₀)=5¹⁰⁰+1

2(a₀+a₂+a₄+……+a₁₀₀)=5¹⁰⁰+1 

偶数项系数和：a₀+a₂+a₄+……+a₁₀₀=(5¹⁰⁰+1)/2

⑤： ②-③ 

(a₀+a₁+a₂+……+a₁₀₀)-(a₀-a₁+a₂-a₃+……+a₁₀₀)=5¹⁰⁰-1

2(a₁+a₃+a₅+……+a₉₉)=5¹⁰⁰-1

奇数项系数和：a₁+a₃+a₅+……+a₉₉=(5¹⁰⁰-1)/2

⑥： 求所有系数绝对值之和|a₀|+|a₁|+……+|a₁₀₀|

原式(3x+2)¹⁰⁰展开，所有系数全部为正数，绝对值可以直接去掉。 

等价于令 x=1，|a₀|+|a₁|+……+|a₁₀₀|=5¹⁰⁰

⑦ ：常数项回顾：a₀=2¹⁰⁰

⑧ ：最高次项：(3x+2)¹⁰⁰展开最高次项来自(3x)¹⁰⁰=3¹⁰⁰x¹⁰⁰，故最高次系数a₁₀₀=3¹⁰⁰

3、(x²-2x+3)50=b₀+b₁(x+1)+b₂(x+1)²+……+b₁₀₀(x+1)¹⁰⁰

求常数项、偶次项系数之和、奇次项系数之和

【解析】

这个多项式是按照(x+1)的幂次展开，不是按x展开，所以对整体(x+1)赋值

【答案】

解：① ：令x+1=0，即x=-1

左边：[(-1)²-2×(-1)+3]⁵⁰=(1+2+3)⁵⁰=6⁵⁰

右边只剩下常数项b₀，得到：b₀=6⁵⁰

② ：令 x+1=1，即x=0

左边：(0²-2×0+3)⁵⁰=3⁵⁰

右边：b₀+b₁+b₂+……+b₁₀₀

得到新展开全部系数之和：b₀+b₁+b₂+……+b₁₀₀=3⁵⁰

③ ：令x+1=-1，即x=2

左边：[()2-2×(-2)+3]⁵⁰=(4+4+3)⁵⁰=11⁵⁰

右边：b₀-b₁+b₂-b₃+……+b₁₀₀

得到交错系数和：b₀-b₁+b₂-b₃+……+b₁₀₀=11⁵⁰

④：用②+③求偶数位置b系数和

b₀+b₂+b₄+……+b₁₀₀=(3⁵⁰+11⁵⁰)/2

⑤：用②-③求奇数位置b系数和

b₁+b₃+b₅+……+b₉₉=(3⁵⁰-11⁵⁰)/2