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【初中数学】解题:哈尔滨113中2026九年级上学期9.21周测第26题
【初中数学】解题:哈尔滨113中2026九年级上学期9.21周测第26题
题目来源：公众号--采芑薄言 --------我是解题分割线-------- 第一问，PC是切线，CD是弦，所以∠PCD是弦切角，大小等于它所夹的弧所对的圆周角，即∠DBC（连接BD）。 OE⊥CD，根据垂径定理，OE（即OA）平分弧CD，弧CA=弧AD，所以他们所对的圆周角和弦也都相等，即∠ABC=∠ABD，BC=BD，∴∠PCD=2∠ABC。 第二问，∵∠BCF=2∠ABC，即∠BCF=∠DBC，∴CF平行BD（内错角相等），∴CD=BF（夹在两条平行弦之间的弦相等），CDBF是等腰梯形。 想证BG=FG，O是圆心，显然OB=OF，就是想证三线合一呗。 刚才用了等腰△BCD中间套圆心O，现在试试用△DBF套圆心O，如果能证明DB=DF就好了。DB=BC，就是证明DF=BC，这在等腰梯形CDBF中显而易见的可证。过程省略了。 第三问，我们已经证明了E、G是等腰梯形CDBF腰上的中点，EG是中位线，则DB+CF=2EG=14。又∵BC=BD，则△CBF的周长等量代换为CF+FB+BD=20，即BF=6，BG=GF=CE=ED=3。 我现在手里有CF+DB=14，求CF，则设CF=x，DB=14-x，似乎有直角三角形，勾股定理试试行不行。 设OE=a，OB=r，在直角三角形CEO和直角三角形CEB当中，能列两个勾股定理，但是现在我有3个未知数啊，还需要找一个条件。 观察△EOG似乎是一个等腰三角形，△EOG和△DOB相似（平行线x形）可证明等腰，于是EG：DB=OE：OB，第三个方程出来了，联立硬解吧。 
这方程也不好解呀，先把方程1和方程2的常数9消去，再把方程3的（14-x）整体带换掉，就能得到关于a和r的方程，然后再套回到方程1，消去r，得到一个关于a的高次方程……瞪眼法解方程吗？？而且刚求出a来，还要求r和x呢。 换高中思路：当CDBF四点共圆的时候，就有∠DBC=∠DFC，△DBC和△DFC有相等的角，而且三条边都是常数或用含x的代数式表示，可以上余弦定理，即 
这样就只剩下一个关于x的方程了，可是……整理了方程之后还是三次方程，正常解出来也不轻松。 再回到初中办法，既然有同弧所对的圆周角相等的条件了，保留特殊角补直角三角形证全等怎么样？ 过D，做DM⊥CF，交FC延长线于M；过D，做DN⊥CB于N。则易证△DNB全等△DMF，即MF=NB，MD=ND。 
既然三角形能够切掉一块补上一块，那么是不是就又有全等了呢？既然MD=ND，则CD是∠MCN的平分线，∴△CDM全等△CDN，CM=CN。 设CM=CN=t，则FM=BN=x+t，BC=x+2t=14-x，t=7-x=CN，NB=7。 在△DBC中，利用CB上的高，两边解勾股，即DC^2-CN^2=DB^2-BN^2，这回是一元二次方程了，容易解了，x=5或16（舍）。 复盘： 用勾股定理硬解方程的思路，虽然理论上也能做出来，但是总是瞪眼法的嫌疑大，不宜推广。用余弦定理的办法，三次方程解出来也比较勉强，但是利用余弦定理的思路，改为几何法，最后才用勾股定理列方程，才是解题的正路。 --------我是招生分割线-------- 初中八年级、九年级数学超前班 【初中招生】新八年级、新九年级超前学习培训班招生 招生：八年级、九年级学生，校排名前15%吧，省重点一批次配额一般是各校学生的11%左右，前15%即基本上能进省重点中学。 学习内容：略讲初中数学，高中数学一轮、二轮。 时间：即日起，秋季学期、寒假、春季学期、暑假。九年级下学期备战中考。 目标：保证初中校内成绩的前提下，提前布局高中学习，若有可能，高一高二冲击数学联赛、西交中科大少年班、高三冲击强基计划；若力所不及，至少高中数学学习较为轻松吧。 主讲老师：我自己，北京普通大学毕业，高中陪跑十多年。 --------我是另一个招生分割线-------- 高中六实一数学培优班 【高中招生】新高一六实一数学特优培训班开始招生啦 招生：高一学生，喜欢数学有一定特长，能考上六中、省实验、一中或意外落入强市重点的学生。 学习内容：高中数学一轮（顺序有调整），略超高考难度，内容略多高考。 时间：即日起，暑假、秋季学期、寒假、春季学期。 目标：保证高中校内成绩的前提下，若有可能，高二高三冲击数学联赛、升学多一个选择（强基计划）；若力所不及，转为普通班学习正常高考内容吧。 主讲老师：我自己，北京普通大学毕业，高中陪跑十多年。 --------我是加好友分割线-------- 冰城数理思维，致力于培养学生数学逻辑思维能力，学习演绎、归纳、类比等推理方式，让孩子爱上数学，让天赋得以发挥。关注我公众号，加我微信。 
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