课堂上我跟学生讲直接爆算的方法. 学生说换元后可以改进计算，也就是令 .  给大家看标答，让人摸不着头脑.

让 Ai 解释背景后，采用如下理解方式.

三倍角正切法证明函数等值点的有理性

换元  后，函数恰好能够写成三倍角正切的形式，整个证明会非常统一。

解答

令

于是

因此

注意到其中出现了  和 ，这与正切三倍角公式

的结构很接近。

令

则

所以，当  时，有

下面回到原题。

设

因为  均在  的定义域内，所以 ，从而

分别取实数 ，使得

由 ，得到

所以

因此存在整数 ，使得

即

由于正切函数以  为周期， 相差  时得到相同的 。因此只需考虑

第一种情形：

此时

所以 。由 、，得到

第二种情形：

此时可以取

由正切和角公式，

又因为 ，所以

于是

从而

由于 ，有 ，故

第三种情形：

由于

可取

于是

所以

因此

代入 ，得到

综上，方程  的实数解只能是

因为  是有理数且 ，以上三个数全部是有理数。因此

这套解法还直接解释了三个解为什么形成循环：在换元  后，三个解分别对应

乘以  后，它们的角分别相差  和 ，正切值不变，所以对应的函数值相同。