从另一个角度讲初中数学(六十三)、求二次函数解析式——三种形式,对应三种题型

咱们上一课把二次函数的图像和性质彻底讲透了：

• 配方法找顶点和对称轴。

• 五个关键点画抛物线。

• 增减性看对称轴左右。

• 与方程的关系看图像和x轴的交点。

那今天这一课，咱们专门讲怎么求二次函数的解析式。

求解析式，就是求 y = ax² + bx + c 里的 a、b、c 三个系数。

但根据题目给的条件不同，用的方法也不同。三种条件，对应三种方法：

• 给三个普通点 → 用一般式。

• 给顶点和一个点 → 用顶点式。

• 给与x轴的两个交点和一个点 → 用交点式。

今天这一课，咱们一种一种讲，见招拆招。

一、方法一：一般式——给三个点

如果题目给了抛物线上的三个普通点，那就设一般式：

y = ax² + bx + c

把三个点代进去，得到三个方程，解三元一次方程组，求出a、b、c。

例1： 已知抛物线经过点 (1, 2)、(0, 1)、(-1, 4)，求它的解析式。

第一步：设一般式。

y = ax² + bx + c

第二步：代入三个点。

点 (0, 1)：x=0，y=1 → c = 1

点 (1, 2)：x=1，y=2 → a + b + c = 2

点 (-1, 4)：x=-1，y=4 → a - b + c = 4

第三步：把c=1代入另外两个方程。

a + b + 1 = 2 → a + b = 1 ……①

a - b + 1 = 4 → a - b = 3 ……②

第四步：解方程组。

① + ②：

2a = 4 → a = 2

把a=2代入①：

2 + b = 1 → b = -1

第五步：写出解析式。

y = 2x² - x + 1

验算一下三个点：

• x=1：2-1+1=2 ✅

• x=0：0-0+1=1 ✅

• x=-1：2+1+1=4 ✅

二、方法二：顶点式——给顶点和一个点

如果题目给了抛物线的顶点坐标，那就设顶点式：

y = a(x - h)² + k

顶点是 (h, k)，只要再代入另一个点，就能求出a。

例2： 已知抛物线的顶点是 (2, 1)，且经过点 (0, 5)，求它的解析式。

第一步：设顶点式。

顶点是 (2, 1)，所以：

y = a(x - 2)² + 1

第二步：代入另一个点。

点 (0, 5)：x=0，y=5

5 = a(0-2)² + 1

5 = 4a + 1

4a = 4

a = 1

第三步：写出解析式。

y = (x - 2)² + 1

展开成一般式：

y = x² - 4x + 5

验算：x=0时，y=5 ✅；顶点x=2时，y=1 ✅。

三、方法三：交点式——给与x轴的两个交点

如果题目给了抛物线与x轴的两个交点 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)，那就设交点式：

y = a(x - x₁)(x - x₂)

再代入另一个点，求出a。

例3： 已知抛物线与x轴交于 (-1, 0) 和 (3, 0)，且经过点 (0, -3)，求它的解析式。

第一步：设交点式。

y = a(x + 1)(x - 3)

第二步：代入另一个点。

点 (0, -3)：x=0，y=-3

-3 = a(0+1)(0-3)

-3 = a(1)(-3)

-3 = -3a

a = 1

第三步：写出解析式。

y = (x + 1)(x - 3)

展开成一般式：

y = x² - 2x - 3

验算：x=0时，y=-3 ✅；x=-1时，y=0 ✅；x=3时，y=0 ✅。

四、三种方法对照表——拿到题先看给什么条件

拿到题目，先看条件：

• 有顶点 → 用顶点式，顶点直接代入h和k。

• 有与x轴的两个交点 → 用交点式，交点直接代入x₁和x₂。

• 只有三个普通点 → 用一般式，老老实实解三元方程组。

顶点式和交点式，本质上都是“少解一个方程”的捷径。

五、顶点式和交点式的转换——配方法又来了

有同学可能会问：“如果题目给的是一般式，但我想知道顶点怎么办？”

用配方法，把一般式变成顶点式。

比如上一课咱们做过的：

y = 2x² - 8x + 5

配方：

y = 2(x² - 4x) + 5

= 2(x² - 4x + 4 - 4) + 5

= 2[(x-2)² - 4] + 5

= 2(x-2)² - 8 + 5

= 2(x-2)² - 3

顶点就是 (2, -3)。

反过来，如果给了顶点式，想变成一般式，展开就行了。

一般式 ↔ 顶点式：配方法和展开。

一般式 ↔ 交点式：因式分解和展开。

三种形式之间的切换，靠的就是配方、展开、因式分解——全是前面学过的基本功。

六、一个特殊情况：给顶点，但顶点在x轴上

如果顶点在x轴上，也就是说抛物线与x轴只有一个交点 (h, 0)。

这时候，顶点式变成：

y = a(x - h)²

因为 k = 0。

例4： 已知抛物线的顶点是 (3, 0)，且经过点 (0, 9)，求解析式。

设 y = a(x - 3)²

代入 (0, 9)：

9 = a(0-3)²

9 = 9a

a = 1

所以 y = (x-3)² = x² - 6x + 9。

这个抛物线和x轴只有一个交点，判别式 Δ = 0。

七、总结：求二次函数解析式的完整流程

拿到一道“求二次函数解析式”的题，按这个顺序想：

第一步：看题目给了什么条件。

第二步：根据条件选形式。

• 给顶点 → 顶点式

• 给两个交点 → 交点式

• 给三个普通点 → 一般式

第三步：代入求解。

第四步：验证。

第五步：根据题目要求写成一般式或顶点式。

讲到这里，咱们把求二次函数解析式的三种方法彻底讲清楚了：

• 一般式：给三个普通点，解三元方程组。

• 顶点式：给顶点和一个点，代入求a。

• 交点式：给与x轴两个交点和一个点，代入求a。

• 三种形式可以互相转换：配方、展开、因式分解。

好，解析式会求了。下一个问题：二次函数和现实生活有什么关系？

比如：一件商品定价多少，利润最大？

一块矩形菜地，怎么围面积最大？

一个球抛出去，最高能飞多高？

这些“最值问题”，全都要用二次函数来解决。下一课，咱们就讲二次函数的实际应用——把生活中的“最大利润”“最大面积”翻译成数学，用顶点坐标求出最大值。

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