初中数学解题技巧——怎样进行因式分解之十字相乘法与分组分解法

当多项式不能直接提取公因式、套用平方差 / 完全平方公式时，就要切换十字相乘、分组分解。二次三项式优先十字相乘法，四项及以上多项式优先分组分解法。

核心思想是转化化归：对项进行拆分、重组分组，人为构造出公因式或者乘法公式的结构，把复杂多项式，转化成可以直接分解的形式。这两类方法是因式分解基础方法的延伸

适用对象：二次三项式ax²+bx+c

• 首一型（二次项系数为 1）

• x² + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)

  理解：把常数项拆成两个数p、q，两数乘积等于常数项，两数相加等于一次项系数。

  口诀：首尾分解，交叉相乘，和凑中间。

• 首项系数不为 1 型

• 将二次项系数、常数项分别拆成两组因数，十字交叉相乘，两组乘积相加的结果等于原式一次项系数，横向写出因式。

  理解：本质是反向还原多项式乘多项式，交叉验证一次项，避免直接硬凑。

1. 整理多项式，按同一字母降幂排列；

2. 拆分二次项系数、常数项，写出十字交叉；

3. 交叉相乘求和，验证结果是否等于一次项系数；

4. 横向书写因式，检查能否继续分解。

适用对象：四项及以上多项式

二二分组：四项式两两分组，每组内部先提公因式，分组完成后出现整组相同公因式，再整体提取。

理解：把四项拆成两组两个二项式，每组单独处理，制造公共因式。

一三分组：三项组合凑完全平方式，剩下单独一项为平方项，整体套用平方差公式分解。

理解：优先凑完全平方，构造A²-B²的形式，再继续分解。

1. 观察项数，判断选择二二分组还是一三分组；

2. 分组，注意添括号时符号变化；

3. 每组内部分解（提公因式 / 套公式）；

4. 提取整体公因式，检查因式是否还能继续

• 十字相乘时交叉相乘的和不等于一次项系数，符号出错；

• 分组不合理，分组后没有公因式，无法继续分解；

• 分组分解后忘记继续分解，分解不彻底；

• 十字相乘结果写反因式的项；

• 分组添括号，括号前面是负号时，括号内部各项忘记变号。

1、因式分解：x²+5x+6

【解析】

常数项 6 拆分为 2 和 3，和为 5，符合一次项系数。

【答案】

解：原式=(x+2)(x+3)

2、因式分解：2x²+7xy+3y²

【解析】

1. 拆 x² 的系数 2：2=2×1，放在十字左边，对应 2x、x

2. 拆 y² 的系数 3：3=3×1，放在十字右边，对应 y、3y

3. 十字交叉相乘，两项相加要等于中间 xy 项的系数 7 

【答案】

解：原式=(2x+y)(x+3y)

3、因式分解：ax+ay+bx+by

【解析】

两两分组，每组提公因式后出现整体公因式(a+b)

【答案】

解：原式=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

4、因式分解：x²-y²+2y-1

【解析】

后三项分为一组，凑成完全平方，再与第一项用平方差公式。

【答案】

解：原式=x²-(y²-2y+1)=x²-(y-1)²=(x+y-1)(x-y+1)