某数列通项公式的一种创新求法

        有一种数列，已经列出前若干项，看似简单，但很难靠观察归纳出通项公式。这时候我们可以尝试作差：每一项减去相邻的前一项（或尝试作商：每一项除以相邻的前一项），获得一新的数列。这个数列如果是等差或等比数列，则可以直接写出其通项公式，继而求出原数列的通项公式;如果这个新数列不是等差或等比数列，则继续作差或作商，直到差(或商)为等差（或等比）数列为止，最终一步步倒回去，求出原数列的通项公式。

例 1 求数列 ： 的一个通项公式。

解： 原题设数列 ：

一阶差数列 ：

二阶差数列 ：

三阶差数列 ：

不难发现，三阶差数列  是一个首项为 ，公比  为  的等比数列，并且数列  的每一项可以写成

例 2  求数列 ： 的通项公式：

解： 原题设数列 ：

一阶差数列 ：

二阶差数列 ：

显然，二阶差数列  是一个首项为 ，公比  的等比数列，其通项公式 

故数列  的通项公式为 ．

例 3 求数列 ： 的通项公式．

解： 先给出数列  的递差表

原题设数列 ：

一阶差数列 ：

二阶差数列 ：

显然  是等比数列，其公比 ，首项为 ，故其通项公式为 

故数列  的通项公式为 ．

例 4 求数列 ： 的一个通项公式．

解： 原题设数列 ：

一阶差数列 ：

二阶差数列 ：

三阶差数列 ：

显然  是等比数列，其公比 ，首项为 ，

故数列  的通项公式为 ．

例 5 求数列 ： 的一个通项公式．

解： 作数列  的递差表：

原题设数列 ：

一阶差数列 ：

二阶差数列 ：

三阶差数列 ：

显然，数列  是等比数列，且其公比 ，通项公式 

即 ．

例 6 求数列 ： 的通项式。

解： 作数列  的递差表：

原题设数列 ：

一阶差数列 ：

二阶差数列 ：

三阶差数列 ：

显然数列  为等比数列，其公比 ，通项公式 

例 7 求数列 ： 的通项公式。

解： 作数列  的递差表：

原题设数列 ：

一阶差数列 ：

二阶差数列 ：

由于二阶差数列  是公比为  的等比数列，其通项公式为 

例 8 求数列 ： 的一个通项公式．

解： 我们先作数列  的递差表：

原题设数列 ：

一阶差数列 ：

二阶差数列 ：

由于二阶差数列  是公比为  的等比数列，其通项公式为 

例 9 用递差法求数列 ： 的一个通项公式．

解： 列出递差表：

题设之数列 ：

一阶差数列 ：

二阶差数列 ：

三阶差数列 ：

由于三阶差数列  是公比为  的等比数列，其通项公式为 

例 10 用递差法求数列 ： 的通项公式．

解： 作数列  的递差表：

原题设数列 ：

一阶差数列 ：

二阶差数列 ：

三阶差数列 ：

显然三阶差数列  是一个公比为  的等比数列，其通项公式为 ．