AI聊数学:习题1-10闭区间上连续函数的性质6-9题 同济大学《高等数学》第8版上册)

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继续习题1-10，今天做第6到第9题。这四道题综合运用了有界性定理、介值定理、零点定理和一致连续性，难度比前5题上了一个台阶。

第6题：若埃夫埃克斯在诶到必上连续，诶小于埃克斯1小于埃克斯2一直小于埃克斯恩小于必，恩大于等于3，证明在埃克斯1到埃克斯恩内至少有一点克西，使埃夫克西等于恩分之埃夫埃克斯1加埃夫埃克斯2一直加到埃夫埃克斯恩。

就是说，连续函数在某区间内一定能取到若干个点处函数值的平均值。这让人联想到介值定理的推论——值域是闭区间小艾姆到大艾姆。

正是如此。因为埃夫埃克斯在诶到必上连续，而埃克斯1到埃克斯恩是诶到必的子区间，所以埃夫在埃克斯1到埃克斯恩上也连续。设大艾姆是埃夫在埃克斯1到埃克斯恩上的最大值，小艾姆是最小值。

那小艾姆小于等于恩分之埃夫埃克斯1加埃夫埃克斯2一直加到埃夫埃克斯恩小于等于大艾姆，对吧？

对。因为每个埃夫埃克斯爱都在小艾姆和大艾姆之间，所以它们的平均值也在小艾姆和大艾姆之间。接下来分情况讨论。

如果不等号是严格的呢？

如果小艾姆严格小于平均值严格小于大艾姆，那平均值在大艾姆和小艾姆之间，由介值定理，存在克西在埃克斯1到埃克斯恩内使埃夫克西等于平均值。

如果出现等号呢？比如平均值等于小艾姆？

如果恩分之埃夫埃克斯1加埃夫埃克斯2一直加到埃夫埃克斯恩等于小艾姆，说明每个埃夫埃克斯爱都等于小艾姆——因为平均值等于最小值，只有所有值都等于最小值才可能。这时任取埃克斯2、埃克斯3到埃克斯恩减1中的一点作为克西，就有埃夫克西等于小艾姆等于平均值，且克西在埃克斯1到埃克斯恩内。平均值等于大艾姆时同理。

这道题的本质是：连续函数在闭区间上的平均值一定落在值域内。无论平均值恰好等于最值还是严格介于之间，介值定理都能保证存在对应的克西。

第7题：设函数埃夫埃克斯对于诶到必上任意两点埃克斯、歪，恒有埃夫埃克斯与埃夫歪的距离小于等于艾勒乘埃克斯与歪的距离，其中艾勒为正常数，且埃夫诶乘埃夫必小于0。证明至少有一点克西在诶到必内，使埃夫克西等于0。

这个条件埃夫埃克斯与埃夫歪的距离小于等于艾勒乘埃克斯与歪的距离，就是李普希茨条件。它比连续性更强——它给出了函数值变化的上界。题目要求先证连续，再用零点定理。

对。先证埃夫埃克斯在诶到必上连续。任取埃克斯零在诶到必内，对于任意艾普西隆大于0，取德尔塔等于艾普西隆除以艾勒、埃克斯零减诶、必减埃克斯零三者中的最小值。当埃克斯与埃克斯零的距离小于德尔塔时，由李普希茨条件，埃夫埃克斯与埃夫埃克斯零的距离小于等于艾勒乘埃克斯与埃克斯零的距离，小于艾勒乘德尔塔，小于等于艾普西隆。所以埃夫在埃克斯零连续。

端点呢？

埃克斯零等于诶时取德尔塔等于艾普西隆除以艾勒，只看诶到诶加德尔塔这半边，同样的推导得右连续。埃克斯零等于必时同理得左连续。所以埃夫在诶到必上连续。

再加上条件埃夫诶乘埃夫必小于0，端点异号，零点定理直接给出存在克西在诶到必内使埃夫克西等于0。

这题的思路是：李普希茨条件蕴含一致连续，当然更蕴含连续。它比普通的连续性更强——李普希茨常数艾勒直接给出了德尔塔与艾普西隆的线性关系：德尔塔等于艾普西隆除以艾勒就够了。

第8题：证明若埃夫埃克斯在负无穷到正无穷内连续，且埃克斯趋于无穷时埃夫埃克斯的极限存在，则埃夫埃克斯在负无穷到正无穷内有界。

这题把闭区间上的有界性定理推广到了无穷区间。关键在于把无穷区间分成两部分：有限闭区间和无穷远处。

设极限等于大诶。对艾普西隆等于1，存在大埃克斯大于0，当埃克斯的绝对值大于大埃克斯时，埃夫埃克斯与大诶的距离小于1，所以埃夫埃克斯的绝对值小于等于埃夫埃克斯与大诶的距离加大诶的绝对值，小于大诶的绝对值加1。这是无穷远部分的有界性。

有限部分呢？

埃夫埃克斯在负大埃克斯到大埃克斯上连续，由有界性定理，存在大艾姆大于0，对负大埃克斯到大埃克斯内所有埃克斯，埃夫埃克斯的绝对值小于等于大艾姆。

然后取两者中较大的那个？

取大艾姆撇等于大艾姆和大诶的绝对值加1中的最大值。对负大埃克斯到大埃克斯内的埃克斯，埃夫的绝对值小于等于大艾姆小于等于大艾姆撇；对绝对值大于大埃克斯的埃克斯，埃夫的绝对值小于大诶的绝对值加1小于等于大艾姆撇。所以对全体实数上的埃克斯，埃夫埃克斯的绝对值小于等于大艾姆撇。

核心思想就是"分而治之"：有限区间用有界性定理，无穷远处用极限定义，两部分各有界，合并后整体有界。

第9题：在什么条件下，开区间诶到必内的连续函数埃夫埃克斯为一致连续？

这题问的是开区间上一致连续的充要条件。

答案是：埃夫诶加和埃夫必减都存在时，埃夫埃克斯在诶到必上一致连续。埃夫诶加是诶处的右极限，埃夫必减是必处的左极限。

为什么？怎么证？

补充定义，构造大埃夫埃克斯：当埃克斯等于诶时，大埃夫诶等于埃夫诶加；当埃克斯在诶到必内时，大埃夫埃克斯等于埃夫埃克斯；当埃克斯等于必时，大埃夫必等于埃夫必减。因为埃夫诶加存在，所以大埃夫在诶处右连续；因为埃夫必减存在，所以大埃夫在必处左连续；埃夫在诶到必内本来就连续。所以大埃夫在诶到必上连续。

闭区间上连续，由一致连续性定理，大埃夫在诶到必上一致连续。大埃夫在诶到必内就是埃夫，所以埃夫在诶到必内一致连续！

这就是开区间上一致连续和闭区间上一致连续的联系——开区间上的一致连续，本质上就是把端点"补齐"后闭区间上的一致连续。端点极限存在，说明函数在端点附近不会"失控"，这正是之前埃克斯分之1在0到1上不一致连续的反面——埃克斯分之1在0处右极限不存在，趋于无穷，所以才不一致连续。

总结这4道题：第6题用介值定理证函数能取到平均值，第7题用李普希茨条件证连续再用零点定理，第8题把有界性从有限区间推广到无穷区间，第9题给出开区间一致连续的充要条件是端点极限存在。四道题的核心都是闭区间上连续函数基本定理的灵活运用和推广。