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高中数学必修一_第12讲_函数的基本性质之奇偶性
高中数学必修一｜第12讲｜函数的基本性质之奇偶性
奇偶性是研究函数对称规律的重要工具。掌握它，不仅能判断函数图象的对称性，还能帮助我们求函数值、补全解析式、确定参数，并综合解决单调性与不等式问题。✨
一、核心概念
偶函数：定义域关于原点对称，并且对定义域内任意自变量，都有：
f（−x）＝f（x）
图象关于纵轴对称。
奇函数：定义域关于原点对称，并且满足：
f（−x）＝−f（x）
图象关于原点成中心对称。
若奇函数的定义域包含零，则一定有 f（0）＝0。零函数既是奇函数，也是偶函数；非零常函数是偶函数，但不是奇函数。
二、判断步骤
判断奇偶性，牢记：先看定义域，再算对应关系。
求定义域； 判断定义域是否关于原点对称； 计算 f（−x）； 与 f（x）或 −f（x）比较。
若定义域不关于原点对称，函数一定既不是奇函数，也不是偶函数。
特别提醒：定义域关于原点对称只是必要条件，不能保证函数一定具有奇偶性。比如一次函数“自变量加一”，定义域虽然对称，但既非奇函数，也非偶函数。
三、常见例子
偶函数：平方函数、绝对值函数、余弦函数。
奇函数：一次函数“自变量”、立方函数、反比例函数、正弦函数。
根号函数的定义域通常不是关于原点对称，因此一般既不是奇函数，也不是偶函数。
四、图象与单调性
已知一侧图象时：
偶函数可通过纵轴对称补全； 奇函数可通过原点中心对称补全。
单调性口诀：奇同偶异。
奇函数在关于原点对称的区间上，单调性相同； 偶函数在对称区间上，单调性相反。
例如，偶函数在右侧递减，那么左侧对应区间递增。
五、解题应用
由偶性可得：f（−a）＝f（a）。
由奇性可得：f（−a）＝−f（a）。
分段函数要特别注意：自变量与其相反数可能落在不同分段中，必须分别代入，不能只检查其中一段。
利用奇偶性求参数时，也要先检查定义域。例如，二次函数是偶函数时，含一次自变量的项系数必须为零；一次函数是奇函数时，常数项必须为零。
函数运算中，偶函数与偶函数相加仍为偶函数，奇函数与奇函数相加仍为奇函数；奇偶函数相乘通常为奇函数，两个奇函数相乘为偶函数。涉及商时，必须注意分母不能为零。
六、综合提醒
遇到抽象函数关系，可先令有关自变量取零，求出函数在零点的值；再令两个自变量互为相反数，判断函数是否具有奇性。平移后的偶函数常对应某条竖直对称轴，平移后的奇函数常对应某个中心对称点。
最后再强调一次：奇偶性判断的第一关永远是定义域。不要只看解析式，更不能把“定义域对称”直接等同于“函数有奇偶性”。📚