高中数学核心解题技巧120讲(第25讲)

                          第二十五讲有限与无限之间的转化与变换

有限与无限的思想方法，也是一种思维方法，一种解决数学问题的方法.考试中心对考试大纲的解读中指出：“高 考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想.例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限 的问题，体现的是有限与无限的思想，等等. ”

中学数学中占有重要地位的极限思想，从中学数学教学角度看，着重从直观上考察无穷运动，从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，形象地展现了有限与无限之间的转化与变换.

例1在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(    ).

解题策略：本题考查的是一个有限图形，即正n  棱锥的侧面所成的二面角的问题，但是解决这个问题并不容易，我们可以将有限的问题用无限的方法来求解.

解：设正n棱锥的顶点为P,  底面为α,高为h,  相邻两侧面所成的二面角为θ.考虑顶点P  的两个无限趋近的情形.当顶点P无限趋近于底面α时，正n棱锥无限趋近为底面正n边形，这时，相邻两侧面所成的二面角无限趋近于平面，即θ→π;

当顶点P  向上趋近于无限高时，正n棱锥就无限趋近于正n棱柱，这时，相邻两侧面所成的二面角为正n边形的内角，即

由以上，应排除A、C、D,故选B.

例2对任何x∈(1,a),   都有()成立.

A.loga(logax)<logax²<(logax)²                                               

B.loga(logax)<(logax)²<logax²

C.(logax)²<logax²<loga(logax)                                                

  D.logax²<loga(logax)<(logax)²

解题策略：本题的解答用极限法处理别开生面，易得结论，因为x∈(1, a),x值的极端情形是x→a,可以发展 以 a为底数的对数的极端情形.

解：当x→a  时 ，logax→1,(logax)²→1, logax²=2logax→2, loga(logax)→0.

故否定了A、C、D的正确性，选B.

例3  已知抛物线方程y²=2px(p>0),  试问：在x轴正方向上是否必存在一点M,使得对于抛物线上任意一条过M的弦PQ均有

为定值.

解题策略：若符合条件的点M存在且点M在x  轴正方向上，过点M  的弦有一个特殊位置，这条弦垂直于x  轴 时，可以首先以点B进行探讨，而且点M还有两个极限位置，即点M趋近于原点或趋近于无穷远点.以此探究弦PQ  的状况，也就是说对于解答某些数学问题，我们可以从无限或极端状态的角度去思考，从而得到数学关系的猜想，这种 猜想往往正是我们所要寻求的结论，当然需要在一般情况下加以说明.

解题策略：本例的难点在第(2)问，从常规思路看，为了求和，需要对Tn变形，才能求

,但不一定能想到变 形的方法，一旦想不到，后面的运算就无法进行.为此，我们试着换一种思路先用特殊的数值作一些尝试得到一个猜  想，再用数学归纳法证明这个猜想，使问题从有限向无限转换。