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高中数学各个击破121一元三次函数的零点
一元三次函数的零点：两个极值点站在轴的哪边，曲线就穿轴几次
高中数学各个击破 ·第 121 讲 ｜ 第 20 册《函数的零点》第 2 讲
本期考点：三次函数的骨架 ·零点个数的正负判据 ·三次方程判别式 ·切线条数 ·三次韦达
📌 写在前面
上一讲把二次函数的零点拆成了两把尺子：端点看符号，顶点看高低。
这一讲换成三次。好消息是：三次曲线的形状其实只有一种——一个大波浪，要么"上—下—上"，要么"下—上—下"。它不像二次那样开口可大可小，也不能像四次那样翻两次。所以三次函数的零点问题，最后只剩一件事要判断：
那两个极值点，各自落在轴的哪一侧。
同侧，曲线穿轴一次；异侧，穿三次；有一个正好落在轴上，穿两次——其中一次是"擦"过去的，不穿。判断就这么朴素，剩下的活都是把"落在哪一侧"翻译成符号，再把符号翻译成参数的范围。
不过三次函数有个别处没有的便宜：它自带一个对称中心。 平移一下、转半圈，曲线和自己重合。这条性质让"两根之和"、"割线"、"切线条数"这些看着要硬算的东西，一句话就落地。本讲的十个例题，有一半是在用这一点。
🎯 学习目标
会算三次函数的对称中心与两个极值点，并用两个极值值的符号判定零点个数； 会把一般三次化成，用判别式与极值法相互核对； 会用零点式与韦达把"零点信息"翻译成系数关系，反过来由系数推零点与参数范围。
📖 要点提炼
一、骨架：一个中心，两个极值点
设（），则。
对称中心。令代入，二次项恰好消掉，得到
，
其中只与有关。这个新函数是奇函数：。奇函数关于原点中心对称，平移回去，就知道原函数关于点
中心对称。这个点就是三次曲线的拐点，也是它的对称中心——一句话：三次曲线转半圈和自己重合。
两个极值点。 交点个数由 的判别式定：
，即 时有两个极值点；否则 在整个 上单调，只有一个零点。
有了极值点，把它们的横坐标记作 ，函数值记作 、（ 时 是极大、 是极小； 时反过来）。
平移不改变任何结论。 零点个数、极值差 、过一点能作几条切线，都只跟曲线的"形状"有关，跟它摆在坐标系的哪个位置无关。这一点很实用：凡是可以先平移再算的题，先平移，式子会短一半。例 10 就是这么做的。
二、零点个数：只看两个极值值的符号
这条判据只有一句话：
曲线从 那头上来，先到极大值 ，再下到极小值 ，最后升向 。
于是——
与 同号：波浪整个在轴的一侧，只在一头穿轴，一个零点； 其中一个恰为 ：极值点本身落在轴上，曲线在那里"擦"一下又回去，另有一处真穿，两个零点（一个是二重零点）； 异号：先穿上去、再穿下来、再穿上去，三个零点。
时图象上下翻转，、 的角色互换，判据一字不改：看两个极值值是否异号。
三个要点值得记住：
三次函数至少有一个零点，最多三个。 因为奇次多项式两端异号，必穿一次；又最多三个实根。所以"零点个数"这道题，答案只可能是 、、。 "恰有两个零点"= 一个二重零点 + 一个单零点，不是"两个不同的一重零点"。这是三次里最容易写错的地方：二重零点处曲线相切于轴，不算"穿过去"。例 7 的整个解法就架在这句话上。 二重零点 极值恰为 。 反过来说，题目说"恰有两个零点"，就等于告诉你"某一个极值等于零"，可以直接把 当条件用。
三、判别式：把三次化成
方程 （）的判别式是
。
：三个互不相等的实根； ：有重根（特别地 时是三重根 ）； ：一个实根，另有一对共轭虚根。
一般三次要先"配平移"消掉二次项才能套： 除以 ，再令 ，就得到 的形状。
判别式与极值法是一回事。 判别式小于零 两个极值异号 三个实根。前者是算出来的，后者是看出来的；考场上哪个快用哪个，另一个用来对答案。例 1 两种都走了一遍。
四、切线条数：四个区域
过三次曲线对称中心作它的切线 ，这条切线与曲线在中心处相切，把平面切成四块。结论是：
过区域 I、III 内的点，可作 3 条切线； 过区域 II、IV 内的点，或过对称中心本身，可作 1 条切线； 过切线 上的点，或过曲线上的点（对称中心除外），可作 2 条切线。
道理在切点方程的次数上：过点 的切线，切点横坐标 满足
，
这是关于 的三次方程。三次方程能给出 3 个不同实根就是 3 条切线；出现重根就并成 2 条；只剩一个实根就是 1 条。所以"几条切线"这个问题的答案，永远在 里。 例 3 与练一练第 6 题都是这个套路。
五、零点与系数：三次韦达
设三个零点为 ，则
，，。
配上零点式 ，就能在两套语言之间来回翻：
由零点求系数：把零点代进三个对称式，系数立刻出来； 由零点求某个式子的值：先用韦达把目标式写成 的组合，再代入； 由系数反推零点：韦达给出的是必要条件，还要配合" 在某点取值"或"极值符号"才能定根。
三次韦达最常出现在两类题里：一类是"三个零点成等差/成等比"，一类是"已知两个零点关系求参数"。前者用 消元，后者把二重零点当参数。
🧮 范例精讲
例 1 已知函数 。
（I）讨论 的单调性；
（II）若 有三个零点，求 的取值范围。
解 （I）。
当 时 恒成立， 在 上单调递增。
当 时令 ，得 ，于是在 上递增，在 上递减，在 上递增。
（II）方法一（看极值）。 时 单调，不可能有三个零点，故 。
此时极大值点在 ，极小值点在 。三次函数两端分别趋于 与 ，要穿轴三次，只需极小值落到轴下方：
。
把 代进去，先算两块：
，而 。
两者分母通成 之后相减：
。
于是 即 ，约去 得 ，两边平方：
，即 。
合起来，****。
方法二（用判别式）。 方程 中 ，，故
。
等价于 且 ，即 （ 时 ， 的符号由第二个因子的符号反过来定，此时 ，只有一个实根）。
两种方法给出同一个区间。
评注 方法一的要点只有一句："极小值落到轴下方。"写法上两处容易出错：一是 的分母是 、 的分母是 ，通分之后分母是 不是 ；二是平方之前务必先把 约掉，否则会把 的次数算高。方法二只有一行，但它要求方程已经是"无二次项"的形状——本题恰好没有 项，直接用；一般情形要先平移。
例 2 已知函数 （）。
（I）若 是 不同的极值点，且 ，求 的取值范围；
（II）证明： 只有一个零点。
解 （I）。
" 是不同的极值点"意味着 有两个不同的零点，即
，也就是 或 。
由韦达，，，于是
。
先算两块：，。代入：
。
条件 即
，化简得 ，
解得 。
与"两个不同极值点"的要求取交： 这一段里 的判别式 ，压根没有极值点，必须剔除。所以答案是 。
（这是一处必须改的答案：原书把两个条件的解集直接并列成" 或 "，漏了"不同的极值点"这五个字带来的 。详见文末选题说明第 2 条。）
（II）方法一（两个极值同号）。 为了判断两个极值的符号，不必把 、 各算一遍——利用 满足 来降次：
由 ，有
。
把它代进 ：
。
三次被降成了一次，这是本题最省力的地方。于是
。
代入 、，逐项整理：
第一项 ；第二项 ；第三项 。
三项相加，提出 ：
。
而 的判别式为 ，恒正。故 时 ，两个极值同号， 只在极值区间外穿轴一次； 时 ，也只有一个零点。又 时 ， 单调，同样只有一个零点。
方法二（用判别式）。 即 。令 消去二次项：
。
于是
。
括号里是正定二次式（判别式 ），故 ，等号只在 时成立——此时方程是 ，也只有一根。所以 只有一个零点。
评注 （I）里 不是巧合： 正是对称中心的横坐标。凡是"两根之和"型的条件，先想对称中心。 （II）里"用 降次"是三次题的通法，比硬展开省力得多，第 116 讲的隐零点代换用的也是同一招。
例 3 已知函数 （），过点 可作曲线 的三条切线，求 的取值范围。
解 设切点为 ，则切线斜率为 ，切线方程为
。
它过 ，代入得 ，即
，
整理成
。
切点的个数就是这个三次方程的实根个数。 令 ，则 ，极值点在 （极大）与 （极小），
，。
三个实根 极大为正、极小为负 ，即
。
评注 也可以走"区域法"： 的对称中心是 ，过中心的切线是 ；点 要落在区域 III 内，即 ，同样给出 。两条路一个结果，说明"切线条数"和"极值正负"是同一件事的两种说法。
例 4 解关于 的方程 （）。
解 这是关于 的三次方程，按常规该求导、该试根，都不顺手。换主元：把 当未知数。 原式按 整理：
。
这是 的二次方程，判别式
。
开方得 。因 ，以下分两支。
一支取""且 ：，得
（此时 ，与 相容）。
另一支：，两边乘 整理得
，
故 。
时 ，两根都为正，且都满足原方程。
所以原方程的解为 与 ，共三个。
评注 "换主元"是三次题里的救命招：当三次项与二次项的系数看起来像某个参数的二次式时，把参数当未知数，次数立刻降一。 判断信号是： 的最高次是 ，而 的最高次是 ，且 的系数里含 。本题的 正是这个信号。
例 5 已知函数 。
（I）若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求 ；
（II）在（I）的条件下，证明：若 有一个绝对值不大于 的零点，则 的所有零点的绝对值都不大于 。
解 （I）切线与 轴垂直，即切线水平，故 。由 得
，即 。
（II）此时 ，。
两个极值点是 （极大）与 （极小），
，。
再看区间两端：，。**注意 、**——这不是巧合，是曲线关于点 中心对称的直接后果。
于是 在 上的最小值是 ，最大值是 。若存在零点 ，则 落在值域内，即
，也就是 。
反过来，当 时，看四个点的符号：
，，，。
所以三个零点分别落在三个小区间 、、 里（端点取等号时就是极值点本身），**全部满足 **。
（ 时零点是 （二重）与 ； 时是 （二重）与 ，同样都在 内。）
至此证明了更强的结论：** 有绝对值不大于 的零点，当且仅当 ，而当且仅当三个零点全在 内。**
评注 本题的两个动作值得单独记下：一是找"端点的函数值等于极值"这种巧合（这里靠对称性，），它能把四次比较压成两次；**二是把"某点有零点"翻译成" 落在值域内"**，这是夹逼的标准起手。第 120 讲例 5 的上下夹逼是同一个思路。
例 6 已知 ，且 ，函数 有三个零点，证明： 至少有一个零点在区间 内。
证明 设三个零点为 ，则
。
关键的一步是只看 这一个点：
，由 得 ，即 。
反设三个零点都不在 内，则每个零点要么小于 ，要么大于 ：
若 ，则 ； 若 ，则 。
两种情况都有 。三个因子相乘：
，
这与 矛盾。所以至少有一个零点落在 内。
评注 这个证明只用了一行乘法，比"设参数、分类讨论"省事得多。它之所以成立，是因为 恰好是区间 的中点：中点离区间两边都是 ，于是"零点跑到区间外"这件事，被翻译成"某个因子绝对值超过 "。练一练第 3 题用的是同一个眼光——把"恒非负"翻成"根的位置"。
例 7 已知函数 （）恰有两个零点，求 的取值范围。
解先看清"恰有两个零点"是什么形状。 三次函数有两个零点，必定是一个二重零点加一个单零点。设二重零点为 ，则
且 。
把 代入：由 得 ；再由 得 。把 代进去：
，即 ，
整理得 ，于是
。
由 知 。回代得
，而 。
把 代进第二项：。所以
。
把两项通分合并：
。
令 。由 得 ，而
。
记 ，则 。在 上， 且 ，所以 ， 在这一段上单调递增。于是
，
而 时 。所以 。
上端取不到： 对应 ，此时 ，与题设 矛盾。
评注 这道题的顺序是：先由"恰有两个零点"定出 （一个二重零点 的两个方程），再把目标式 写成 的函数，最后求值域。 参数化之后，二元问题变成一元问题——这是"零点信息求二元最值"的标准套路，第 118 讲的双变量两步最值也是这个骨架。
例 8 （多选）已知实数 满足 ，，且
，。
若 ，则（ ）
A、
B、
C、
D、
解 两组数的"和"与"两两和"分别相等，说明下面两个三次函数只差一个常数：
，，
则 为常数，记 。
第一步，由 定 的符号。。首项系数为正的三次函数在最小根的左侧取负值，而 落在 的最小根 的左侧，故 ，即 ——** 的图象是 的图象向下平移得到的**。
第二步，由 定根的次序。 对每个 都有 ，所以三个 都落在 取负值的区间里。而 的区间只有 与 两段，三个数要挤进这两段，只有两种排法：
① ；② 。
排法 ② 里 且 ，两式相加得 ，与题设矛盾。故只能是排法 ①，于是
（A 对），（B 对）。
第三步，比较 与 处的值。 由 ：
，，且 ，故 ，即
，C 错。
再把 代进去：，即
，D 对。
答案：ABD。
评注 这道题的全部信息都在"两个三次函数只差一个常数"这一句里。看到"和与两两和都相等"，立刻写 ；接着用 定 的符号（图象整体向下平移）；最后用"三次函数在最小根左侧取负值"定根的次序。 选择题里这种"整体平移 + 符号定位"的眼光，比逐个选项硬算快得多。
例 9 （2023 年四省联考）椭圆曲线加密算法可运用于区块链。已知椭圆曲线
。
点 关于 轴的对称点记为 ；椭圆 在点 （）处的切线是指曲线 在点 处的切线。定义""运算：
① 若 ，，且直线 与曲线 有第三个交点 ，则 ；
② 若 ，，且 为切线，切点为 ，则 ；
③ 若 ，规定 ，且 。
其中 、 分别是 、 关于 轴的对称点。
已知 ，，且直线 与椭圆 有第三个交点 ，求 的坐标。
解核心观察：直线 与曲线的三个交点，横坐标恰是某个三次方程的根。 直线 的方程为
，记 。
代入 ，整理成关于 的三次方程：
。
它的三个根是 、 与第三个交点的横坐标 。由韦达，
，即 。
第三个交点 在直线上，故 。
按定义， 是 关于 轴的对称点，所以纵坐标取相反数：
。
所以
，其中 。
（若 、、，则 ，，可直接代回验证 。）
评注 这道题外壳很唬人，内核只有一句：三次方程的三根之和等于二次项系数的相反数。 考试里遇到"看起来超出课本"的新定义题，先问一句"这题的运算最后落在哪个熟悉的结构上"——本题落在三次韦达上，于是全程没有超出本讲的范围。
顺带看一个细节：定义里的 不是随便加的。把 通分，得 ，所以 正好就是判别式不为零，也就是 没有重根、曲线处处光滑。本讲要点三那把尺子，连新定义题的脚注里都站着。
例 10 已知三次函数 ，两条直线 与函数 的图象分别有两个公共点 和 。若四边形 为菱形，证明：当 变化时，菱形 的面积为定值。
证明 先做两次平移，把问题搬到最简位置。
第一次，横向平移。 三次曲线的对称中心横坐标是 ，令 ，二次项消失，得到 。
第二次，纵向平移。 令 减去 ，曲线变成
。
平移不改变面积，所以只需在 上算。
要两条水平线各与曲线有两个公共点，必须 （否则 单调，任何水平线只交一次）。设 （），则
，。
极值点为 （极大，）与 （极小，）。
两条水平线必须恰好取在两个极值高度上——否则一条线要么交三点、要么只交一点，凑不出"各两个公共点"的四边形：
与曲线交于 （切，二重）和 ； 与曲线交于 （切，二重）和 。
于是四个顶点（平移回原坐标系前）是
，，，。
验证等边：；。
菱形要求 ，即
，约去 得 ，即
。
此时菱形的高为 ，面积为
。
所以菱形 的面积为定值 。
评注 这道题有三个"看不见的手"：平移把 全部消掉；**"各有两个公共点"把两条水平线钉死在两个极值高度上；菱形**给出 一个方程，把尺度 钉成定值。三次函数的两条切线（过极大值点与极小值点）是它最特殊的结构，面积必然与 成比例， 被钉住，面积就定住了。
🧭 思维显微镜
一、为什么三次函数"至少一个、至多三个"零点？
"至少一个"靠奇次： 与 时 的符号相反，中间必穿一次（连续函数介值定理）。"至多三个"靠因式分解：每有一个零点就提出一个一次因式，三次最多提三次。这两句话合起来，说明"零点个数"这道题的答案只能从 里挑——考场上先写这句，能省下很多"是不是还有别的情形"的犹豫。
二、"恰有两个零点"为什么等于"一个二重零点"？
因为"两个零点"数的是不同的零点。曲线在二重零点处与轴相切、不穿过，图象上仍是"一个交点"。所以"两个"= 二重 + 单根，等价于"某一个极值恰为零"。反过来说：题目给出"恰有两个零点"，你可以立即写下 或 并配 ，不必再讨论判别式。 例 7 就是靠这句话把 消掉的。
三、判别式和极值法，到底该用哪个？
两者等价，选快的那个：
方程已经是 （没有二次项）→ 直接算 ； 有二次项但有明显极值点（如 ）→ 看极值正负； 要"求参数范围" → 极值法给的是不等式，判别式给的是三次不等式，一般极值法好解。
四、为什么过对称中心的切线条数会"跳"？
因为切点方程 是三次的，而三次方程的实根个数会在重根处"掉一级"。过对称中心时，这个方程恰好有一个二重根（曲线在中心处的切线与曲线的另一个交点就是中心本身），于是 3 条并成 1 条。**"条数跳变"的位置，永远对应"重根"的位置**——这句在练一练第 6 题里会再遇到一次。
五、为什么例 6 只要看 ？
因为 是 的中点，到两端距离都是 。于是"零点在区间外"（ 或 ）恰好等价于""。选点选的不是运气，是让"在区间外"这个条件变成一个统一的绝对值不等式。 若区间是 ，就该看 ，那时 要换成 ——思路一样，只是常数变。
🎒 本讲带走
三次函数的全部信息，装在这五个抓手和一句话里：
**"两个极值点站哪边，决定零点有几个"**——这是本讲的总纲，其余四条都是它的变形：
判别式是它的代数版（ 的符号 = 两个极值是否异号）； 切线条数是它的对偶版（切点方程的根的个数 = 水平线与曲线的交点个数）； 韦达是它的翻译版（零点 系数）； 对称中心是它的简版（平移之后只剩两个参数）。
做题时的判断依据，压成一张表：
| 令极值异号： | ||
| 令某一极值为 ，配 消参 | ||
| 证两个极值同号，或证 | ||
| 只用韦达，忘了配 在某点的值 | ||
| 设 对称，用和定中项 | ||
📚 选题说明
原书 10 道例题全取。 按原书顺序编为 1–10。其中例 9 是 2023 年四省联考的原题，外壳是椭圆曲线加密，内核只有三次韦达，正好用来练"剥壳"。 一处校记：原书例 2（本讲例 2）第（I）问的答案。 原书写"解得 或 "，但题目要求 是不同的极值点，即 有两个不同零点，必须 ，也就是 或 。与不等式的解集取交，只剩 ——区间 里 根本没有两个零点（ 时 ， 全区间单调）。本讲按 给出，理由如上。 例 2（II）的解法做了改写。 原书方法一把 直接展开，用了六行；本讲改用"由 把 降到一次"，三行得到同一结果 ，验算已核对两式恒等。 例 6 的证明换了写法。 本讲只用 与 一句矛盾，比原书的代数变形短很多，本质仍是"零点式"。这个写法同时说明为什么区间取 （中点 ）。 例 9 的纵坐标式核对。 原书写 ，前面是正号；它与"第三个交点的纵坐标取相反数"完全一致（已验证：两者之和恒为 ）。此处原书无误，记下来是因为正负号最容易被抄错。 练一练 10 题选自"基础过关"（1、2、3、4、5、6）、"综合练习"（8、10、11、12）。第 7、9、13 题的推导量偏大（分别是导函数为完全平方式的讨论、含对称性的多选、三元不等式链的证明），第 14 题是切线迭代求面积、第 15 题是三元对称方程组的整数解，都留作思考题，答案已在原书给出，本讲不复述。
✍️ 练一练
设函数 的图象如图所示（曲线与 轴正半轴交于 ，两个极值点在 轴正半轴上，从左到右记为 ），则下列结论正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一个湖岸边修建一段道路，要求该道路与两条直线道路平滑连接，两条直线道路所在直线的方程分别为 ，，两条直线分别与该曲线相切于点 ，。已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该三次函数的解析式为（ ）
A、
B、
C、
D、
已知 且 ，对于任意 ，均有 ，则（ ）
A、 B、 C、 D、
已知函数 ，且 ，则（ ）
A、 B、 C、 D、
已知函数 ， 是公差不为 的等差数列，，则 ______。
已知 ，过点 （）可作曲线 的三条切线，则实数 的取值范围是 ______。
（多选）若三次函数 有三个相异且成等差数列的零点，则 的可能取值为（ ）
A、 B、 C、 D、
方程 的解为 ______。
已知三次函数 （）有两个零点，若方程 有四个实数根，则实数 的取值范围是 ______。
已知三次函数 ，方程 的三个根满足 ，则 的取值范围是 ______。
🔑 参考答案
1．A。 图象右端向上、左端向下，故 ；与 轴交点 在正半轴，故 。两个极值点是 的两根，都为正，由韦达
，。
结合 得 、。选 A。
2．B。 设 。由 得 ；由 得 。再由 、：
，。
两式相减得 ，即 ，代回得 。故 ，选 B。
3．C。 记 ，三个根为 、、。三次函数首项系数为正，要它在 上恒非负，只可能"所有根都不大于 "，或"正根是偶数重根"。
若三根都不大于 ：； 若出现重根： 即 ，此时 ，需 对一切 成立，得 ，于是 ； 时 ，需 ，于是 。
（ 即 与 矛盾。）各种情形都有 ，而 故 ，选 C。
4．C。，且 。于是 的三个零点为 ，即
。
令 ：，即 ，选 C。
5．。 关于点 中心对称：。
若 ，则七个 关于 对称，配对求和各为 ，中间一项 ，总和 ，正好满足。
若 ，由 的凸性（ 在 为正、 为负， 在对称中心两侧分别为凹、凸）， 偏离 会使总和偏离 ，与条件矛盾。故 ，与公差无关，于是
。
6．。 设切点横坐标为 ，切线过 ：
，即 。
记 ，则 ，极大值 ，极小值 。
三条切线 方程 有三个不同实根
。
（ 时 只有一根，对应"过曲线上一点"的退化情形，与题设 一致。）
7．CD。 设三个零点为 、、（）。由韦达，三根之和
，即 ；
三根之积
。
把 代入：，解得
。
要有 且三根互异，需 。四个选项中： 使 ，舍； 使 （三根相同），舍； 与 都在 内，合。选 CD。
8． 或 。 把 当主元整理，令 ：
。
这是 的二次方程，判别式 ，故
。
取""号得 ，即 。
取""号得 ，即
，解得 。
三个根都满足原方程。
9．。，极值点为 （极小，）与 （极大，）。
有两个零点，必须有一个极值为零。
情形一：，即 。此时 ， 的实根个数： 落在极小值 与极大值 之间，需 ，即 ，也就是 。此时 有三根；而 中 （小于极小值），只有一根。合计四根。
情形二：，即 。此时 ， 要有三根需 ，即 ；而 ，这一支被情形一覆盖。
综上，。
10．。 由 的三根为 ，得
。
比较系数：，，。于是
。
（因为 。）
每个 使 ，三个因子相乘：
。
上端取不到：要三个因子都等于 需 ，与"三个根互异"矛盾。故取值范围是 。
💡 金句
三次的零点，说到底是在看两个极值点的高低：同高同低只穿一次，一高一低穿三次，踩在轴上穿两次。
曲线的形状从来没变过，变的只是它站在哪儿。把它挪到该站的位置，剩下的都只是符号。
共同奔赴，下期见。
