线段和差最值:2026 年中考真题汇编(线段差最大)

一、题目

如图，抛物线 y=x^2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，AB=2，对称轴为直线 x=2。

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设 D 为抛物线的顶点，判断三角形 ADB 的形状，并说明理由；

（3）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，连接 CA，延长 CA 与直线 x=2 交于点 P，连接 PB。求 PC−PB 取得最大值时点 P 的坐标。

二、思路点拨

1. 第（1）问：由对称轴 x=2 和 AB=2，得到 A(1,0)、B(3,0)，再求 b、c。

2. 第（3）问：利用 A、B 关于直线 x=2 对称，把 PB 换成 PA，从而把 PC−PB 转化为 PC−PA。

3. 接着由三角形三边关系确定最大值，并由三点共线的取等条件求点 P。

三、完整解析

第（1）问：求抛物线表达式

因为抛物线的对称轴为直线 x=2，且 AB=2，所以 A、B 关于 x=2 对称，可得

A(1,0)，B(3,0)。

由韦达定理：

1+3=−b，1×3=c。

解得 b=−4，c=3。

所以抛物线的函数表达式为 y=x^2−4x+3。

第（2）问：判断三角形 ADB 的形状

由 y=x^2−4x+3=(x−2)^2−1，可得顶点 D(2,−1)。

AD=根号[(2−1)^2+(−1−0)^2]=根号2；

BD=根号[(2−3)^2+(−1−0)^2]=根号2；

AB=2。

因为 AD=BD，所以三角形 ADB 是等腰三角形。又因为 AD^2+BD^2=2+2=4=AB^2，所以三角形 ADB 是等腰直角三角形。

第（3）问：求 PC−PB 的最大值

令 x=0，得 C(0,3)。

因为点 P 在直线 x=2 上，而 A、B 关于直线 x=2 对称，所以 PB=PA。

于是 PC−PB=PC−PA。

由三角形三边关系，得 PC−PA≤AC。

当 P、A、C 三点共线，且点 A 在线段 PC 上时，等号成立。

直线 AC 经过 A(1,0)、C(0,3)，斜率为 (3−0)/(0−1)=−3。

所以直线 AC 的解析式为 y=−3x+3。

令 x=2，得 y=−3×2+3=−3。

因此，当 P(2,−3) 时，PC−PB 取得最大值，最大值为根号10。

四、答案汇总

五、三种变形，一句话记住

核心三句话：求和，作对称；求差，找共线；定长，先平移。

共同基础：两点之间，线段最短。

六、三个易错点

4. 对称轴必须是动点所在直线。本题动点在直线 x=2 上，对称轴是 x=2。

5. 线段差问题一般应写成 |PC−PA|≤AC；本题 PC−PA=根号10>0，最大值成立。

6. 取等条件不能只写“三点共线”，应写“P、A、C 三点共线，且点 A 在线段 PC 上”。

7. 求出点后最好代回验证：P(2,−3) 的横坐标为 2，确实在直线 x=2 上。

七、写在最后

将军饮马并不是“背模型”，而是不断完成两个动作：把未知线段转化为已知线段，把折线关系转化为直线关系。“线段和最小”靠对称，“线段差最大”靠共线，两者使用的工具不同，但最终都回到同一个几何事实：两点之间，线段最短。

八、文末引导语

二次函数压轴题看似复杂，其实往往只考一两处核心转化。

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