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3.2.1 双曲线及其标准方程（同步练习）
一、选择题
1.已知平面内两定点F (－2,0)，F (2,0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线
1 2
的是( )
A.|PF |－|PF |＝±3 B.|PF |－|PF |＝±4
1 2 1 2
C.|PF |－|PF |＝±5 D.|PF |2－|PF |2＝±4
1 2 1 2
2.已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )
A. B.5 C.7 D.
3.已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F 的距离为10，则PF 的中点N到坐标
1 1
原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
4.已知双曲线的一个焦点为 F (－，0)，点P在该双曲线上，线段 PF 的中点坐
1 1
标为(0,2)，则该双曲线的标准方程是( )
A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
5.已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F ，F 分别为(，0)和(－，0)，点P在双
1 2
曲线上，且PF ⊥PF ，△PF F 的面积为1，则双曲线的方程为( )
1 2 1 2
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1
6.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )
A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
7.已知P为双曲线－＝1右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，M为
1 2
△PF F 的内心．若S△PMF ＝S△PMF ＋8，则△MF F 的面积为( )
1 2 1 2 1 2
A.2 B.10 C.8 D.6
8.(多选)关于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)·(3－m)，m∈R所表示的曲线C
的形状，下列说法正确的是( )
A.∀m∈(1,3)，曲线C为一个椭圆 B.∀m∈(－∞，1)∪(3，＋∞)，曲线C
是双曲线
C.∀m∈R，曲线C一定不是直线 D.∃m∈(1,3)使曲线C不是椭圆
二、填空题
9.若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为
________
10.已知双曲线的左、右焦点分别为 F ，F ，过F 的直线与双曲线的左支交于
1 2 1
A，B两点，线段AB的长为5.若2a＝8，那么△ABF 的周长是________
2
11.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲
线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________12.已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F ，点Q(0,2)，P是双曲线C右支上的动
1
点，则|PF |＋|PQ|的最小值等于________
1
13.△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝________
三、解答题
14.已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程
所表示的曲线类型．
15.设声速为k米/秒，在相距10k米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差
为6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．
16.已知△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等
于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
参考答案：
一、选择题1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.BD
二、填空题
9.答案：(2，＋∞) 10.答案：26 11.答案：x2－＝1 12.答案：6 13.
答案：±
三、解答题
14.解:(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
15.解：以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系．
设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x，y)，
则||PA|－|PB||＝6a<10a，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且 2a＝6k,2c＝
10k，
从而a＝3k，c＝5k，b2＝c2－a2＝16k2. 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为－＝1.
16.解：设顶点A的坐标为(x，y)，则k ＝，k ＝.
AB AC
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交
点)，其中当－1
