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专题 15.3 分式方程的应用
◆ 典例分析
【典例1】2023年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽
改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽
里程数的2倍少1千米．
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工
1 1
程队在完成所承担的 施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了 ．设乙工程队平均每天施工a
3 5
米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数a和施工的天数．
【思路点拨】
（1）设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为（2x-1）千米，根据道路硬化和道路拓宽改造工程
的总里程数是8.6千米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
6
（2）设乙工程队平均每天施工a米，则甲工程队技术改进前每天施工（a+10）米，技术改进后每天施工
5
（a+10）米，由甲、乙两队同时完成施工任务，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出a
3200
值，再将其代入 中可求出施工天数．
a
【解题过程】
解：（1）设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为(2x−1)千米，
依题意，得：x+(2x−1)=8.6，
解得：x=3.2，
∴2x−1=5.4．
答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米．
（2）设乙工程队平均每天施工a米，则甲工程队技术改进前每天施工(a+10)米，技术改进后每天施工点
6
(a+10)米，
5
3200
依题意，得：乙工程队施工天数为 天，
a1
5400×
甲工程队技术改造前施工天数为： 3 1800天，
=
a+10 a+10
1
5400×(1− )
3 3000
技术改造后施工天数为： = 天．
6 a+10
(a+10)
5
3200 1800 3000
依题意，得： = + ，
a a+10 a+10
解得：a=20，
经检验，a=20是原方程的解，且符合题意，
3200
∴ =160．
a
答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号
的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物
9
多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的 和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是
10
（ ）
55 17
A．15元 B． 元 C．10元 D． 元
6 2
2．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作
《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但
卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种
20
货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖 个克罗索．”此题中第一个农妇的
3
每个鸡蛋价格是（ ）
1 1 1 1
A． 个克罗索 B． 个克罗索 C． 个克岁索 D． 个克罗索
3 4 5 6
3．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）一批货物要运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可用，已知甲、乙、丙每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物所用次数之比为2:1．若甲、丙两车各运相同次
数运完这批货时，甲共运了180吨；若乙、丙两车各运相同次数运完这批货时，乙共运了270吨．则这批
货共有（ ）
A．360吨 B．450吨 C．540吨 D．630吨
4．（2023八年级·全国·专题练习）现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克
数和单价如下表．
甲种糖 乙种糖 丙种糖
千克数 20 10 20
单价（元/千克） 15 20 25
商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价
每千克提高1元，则需再加入丙种糖 千克．
A．10 B．10.5 C．11 D．12.5
5．（22-23八年级·全国·单元测试）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时
的对话信息如下：
1
甲说：我的工作效率比乙的工作效率少
60
乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；
1
丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的 ；
2
丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时
间＝工作总量．
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小
时．
1 3
A．20 B．21 C．19 D．19
4 4
6．（2023·河北石家庄·二模）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加
工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元，指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期
多用5天；方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成，在不耽误工期的前
提下，最节省费用的加工方案是（ ）
A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③
7．（2023·四川巴中·模拟预测）某区进行雨水、污水管道改造工程，经测算，若由甲工程队单独完成这项
工程，则需要120天；若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做36天，即可完成．乙队单
独完成这项工程需要 天．
8．（2023·江苏连云港·三模）某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了300
顶帐篷 后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，则原来每天加工帐篷
顶．
9．（2023九年级·全国·专题练习）某超市销售一种计算机，每个售价48元，后来计算机进价降低了4%，
但售价未变，从而使超市销售这种计算机的利润率又提高了5%．则这种计算机原来每个进价是 ．
10．（2024八年级·全国·竞赛）某奶粉厂有七个奶粉生产车间，为了加强监管，保证奶粉生产质量，厂领
导派出了甲、乙两组检验员同时进入生产车间进行产品检验，每组6名检验员．其中甲组先平均分成两队
分别同时进入一、二号车间进行检验，用2天时间检验完了一、二号车间原有的和检验期间新生产的奶
粉．然后这两队再分别同时进入三、四号车间检验，又用了3天时间检验完所有的待检产品．乙组检验员
平均分成三队分别同时进入五、六、七号车间进行检验．假设每个检验员的检验效率一样，每个生产车间
原有的待检产品数量也一样，且每个车间每天新生产的待检产品数量还是一样，那么乙组检验员要检验完
所有待检产品至少需要 天．
11．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）现有形状、大小、库存货物完全相同的A，B两个仓库，已知
甲、乙两人合作搬运完A仓库需要20小时，乙、丙两人合作搬运完B仓库需要24小时．现由乙先与甲合作
搬运A仓库，同时丙在独立搬运B仓库，n小时后，乙停止搬运进行休息，乙休息1.5小时立即到B仓库和
丙一起搬运，若搬运完A，B两个仓库各用了27小时，则n= ．
12．（23-24八年级下·四川眉山·期中）用价值为100元的甲种涂料与价值为240元的乙种涂料配制成一种
新涂料，其每千克的售价比甲种涂料每千克的售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂
料每千克的售价．
13．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）（行程问题）甲、乙、丙三人环湖跑步，从湖边同一地点出1 3
发，甲与乙、丙逆向跑，在甲第一次遇到乙后的1 分钟遇到丙，再过3 分钟，第二次遇到乙，已知甲、
4 4
乙的速度比是3:2，湖周长是2000米，问甲、乙、丙每分钟各跑多少米？
14．（2024·重庆江津·二模）甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学
校20km的黄庄观赏油菜花，乙速度是甲速度的1.5倍．
（1）若甲先行驶3km，乙才开始从学校出发，乙出发45min后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？
（2）若甲先出发20min，乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？
15．（23-24八年级下·重庆·期中）春风轻拂，万物复苏，青团成为这个季节不可或缺的美食．它不仅是一
种食物，更是一种情感的寄托，承载了人们对春天的赞美和怀念，某甜品店开业当天推出了爆珠榴莲和麻
辣牛肉两种青团，
（1）上午，两种青团共卖出300个，销售额为2800元，其中爆珠榴莲的单价为10元，麻辣牛肉的单价为8
元，求卖出两种青团各多少个；
（2）下午，该店调整了两种青团的价格，结果爆珠榴莲的单价比麻辣牛肉的单价贵3元，售出爆珠榴莲的
个数比麻辣牛肉的个数多50%，爆珠榴莲的销售额为1050元，麻辣牛肉的销售额为400元，求爆珠榴莲的
单价是多少元．
16．（2024·重庆·一模）某商店直接从工厂购进A，B两款热水袋，已知老板购进3个A款热水袋与2个B款
热水袋的费用相同，购进5个A款热水袋比3个B款热水袋的费用多5元．
（1）求每个A款热水袋与每个B款热水袋的进价；
（2）商店老板为了吸引顾客，决定对A款热水袋进行打折销售，经计算，A款热水袋降价20%后获得的销
售额为720元，比按照原价打九折销售要多卖5个才能获得相同的销售额，则A款热水袋降价前的售价为每个多少元？
17．（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托
著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全
国各地．2023年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购
进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月
份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；
12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量
的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到
2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价
上涨后的销售总金额为多少元？
18．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．
（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米
的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少
米/分？
（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起
点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟．
①当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？
②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m，n的式子表示）．19．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）A、B 两港之间的距离为280千米．
（1）若从A港口到 B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快20千米/时， 顺流所用时间
比逆流少用4小时，求水流的速度；
（2）若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从 A港顺流航行到 B港，再从 B
港逆流航行返回到 A港所用的时间为t ；若轮船从A港航行到 B港再返回到 A港 均为静水航行，且所用
1
时间为t ，请比较t 与t 的大小，并说明理由．
2 1 2
20．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道
路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工
程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．现在有两种施
工改造方案：
1 1
方案一：前 S米的道路由甲工程队改造，后 S米的道路由乙工程队改造；
2 2
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
