文档文本内容
【赢在中考·黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（长沙专
用）
第二模拟
（本卷共25小题，满分120分，考试用时120分钟）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)实数 ， ， ， ，3.1415926， ，其中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】直接根据无理数的定义判断即可．
【详解】解： ，
∴无理数有 ， 共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数
有：①π类，如2π， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③具有特殊结构的数，如
0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个
1）．
2．(本题3分)若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以
（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A、∵m＞n，∴ ，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴ ，故本选项不合题意；
C、∵m＞n，∴ ，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴ ，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练
地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同
乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数
还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．3．(本题3分) 年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇
新增就业目标为 人以上．数据 用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的
值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值大于或等于 时， 是正整数；当原数的绝对值小于 时， 是负整数．
【详解】解：数据 用科学记数法表示应为 ．
故选：B.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，正确确定 的值以及 的值是解决问题的关键．
4．(本题3分)如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保
证△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．AC＝DF
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定定理（ 定理和 定理）即可得出答案．
【详解】解：A、利用 定理可得 ，则此项不符合题意；
B、此项是 ，不能得出 ，则此项符合题意；
C、 ，
，
则利用 定理可得 ，此项不符合题意；
D、利用 定理可得 ，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定
定理是解题关键．
5．(本题3分)下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】根据因式分解的方法，逐项分解即可．
【详解】A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. 故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．(本题3分)如图， 为 的直径，弦 交 于点 ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得
∠A=∠CDB=30°，根据锐角三角函数可得AE=3，AB=4，即可求解．
【详解】解：如图，连接BC，
∵ 为 的直径， ，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°， ，
∴ ，
∵ 为 的直径，∴ ，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1．
故选：C
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆
周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
7．(本题3分)如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关
系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】B
【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可．
【详解】解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线 的距离为 .
∴d r，
∴直线和圆相交．
故选：B
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O
到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d<r时，直
线和圆相交．
8．(本题3分)中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速
是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难
度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长 ．一辆货车和一辆轿车先后从西
昌出发驶向雅安，如图，线段 表示货车离西昌距离 与时间 之间的函数关系：
折线 表示轿车离西昌距离 与时间 之间的函数关系，则以下结论错误的是
（ ）A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为
C．轿车从西昌到雅安的速度为
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有
【答案】D
【分析】结合函数图象，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为： ，故选项B不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为： ，故选项C不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为： （小时），
（小时），即A点表示 ，
设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：
，解得 ，
货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安的距离为： ，故选项D错误，符合
题意．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从函数图象中获取
相关信息．
9．(本题3分)第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为： 、 ，其
中 、 是正整数．下列结论：①当 时，两组数据的平均数相等；②当 时，第
1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当 时，第1组数据的中位数小于第2
组数据的中位数；④当 时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是
（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】B【分析】根据平均数、中位数、方差的求法分别求解后即可进行判断．
【详解】解：①第1组数据的平均数为： ，
当m＝n时，第2组数据的平均数为： ，
故①正确；
②第1组数据的平均数为： ，
当 时，m＋n＞2n，则第2组数据的平均数为： ，
∴第1组数据的平均数大于第2组数据的平均数；
故②错误；
③第1组数据的中位数是 ，
当 时，若m＋n是奇数，则第2组数据的中位数是1；当 时，若m＋n是奇数，
则第2组数据的中位数是 ；
即当 时，第2组数据的中位数是1，
∴当 时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；
故③正确；
④第1组数据的方差为 ，
当 时，第2组数据的方差为 ,
，
∴当 时，第2组数据的方差等于第1组数据的方差．
故④错误，
综上所述，其中正确的是①③；
故选：B
【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差的求法，熟练掌握求解方法是解题的关键．
10．(本题3分)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，
如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝
15°，所以tan15° ．类比这种方法，计算tan22.5°
的值为（ ）A． B． ﹣1 C． D．
【答案】B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根
据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝
AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝ ，CD＝ ，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅
助线得到22.5°的直角三角形.
二、填空题(共18分)
11．(本题3分)若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是
________．（写出一个即可）
【答案】5（答案不唯一）
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．
【详解】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，
整数a可取2、3、4、5、6中的一个，
故答案为：5（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围
是解答的关键．
12．(本题3分)计算： ___________．
【答案】 ##【分析】分母相同，分子直接相加，根据完全平方公式的逆用即可得．
【详解】解：原式= ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握完全平方公式．
13．(本题3分)若单项式 与 和仍为一个单项式，则 的值是
___________.
【答案】
【分析】利用同类项定义可得 ，求出a，b代入计算即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了同类项，解题的关键是掌握同类项的定义，所含字母相同，并且相同
字母的指数也相同的项，叫同类项．
14．(本题3分)在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女
生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名
女生的概率是______．
【答案】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生
的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设两名男生分别记为 ， ，两名女生分别记为 ， ，
画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有 种，
抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率 ．
15．(本题3分)如图，在矩形ABCD中，AD＝2 ，DC＝4 ，将线段DC绕点D按逆时
针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____．
【答案】24﹣6 4π
【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4 ，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定
理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．
【详解】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE＝DC＝4 ，
∵cos∠ADE ，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S EDC 4π，
扇形
∵AE 6，
∴BE＝AB﹣AE＝4 6，
∴S DCBE 24﹣6 ，
四边形
∴阴影部分的面积＝24﹣6 4π，
故答案为：24﹣6 4π．
【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，
灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16．(本题3分)已知 中， 是 边上的中线，点G为 重心， ，若
的面积为12，则 的面积是_______________．【答案】 ##
【分析】先由三角形的重心的性质可得： ，再求解
，再利用相似三角形的性质求解 ，从而可得
，再利用两个三角形等高求解 ，从而可得答案．
【详解】解： 点 为 重心，
中， 是 边上的中线， 的面积为12，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角
形的面积之比等于相似比的平方”是解题的关键．三、解答题(共72分)
17．(本题6分)计算： ．
【答案】3
【分析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，
即可求解．
【详解】解：原式=2+4× -2 +1
=2+2 -2 +1
=3．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，熟记特殊
角三角函数值是解题的关键．
18．(本题6分)先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式
子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
∵ ，
代入得：原式 ；
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19．(本题6分)在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C
处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的
仰角为30°．已知山坡坡度 ，即 ，请你帮助该小组计算建筑物的高度 ．
（结果精确到0.1m，参考数据： ）【答案】该建筑物 的高度约为31.9m
【分析】如图，作 交 于点E，作 交 于点F，作 交
于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据 即可求解．
【详解】作 交 于点E，作 交 于点F，作 交 于点H
则 ， ，
∵
∴设 ，则
在 中，
∴
∴
∴ （负值舍去）
∴ ，
∴ ，
设 ，则
在 中，
∵
∴
在 中，
∵∴
即
∵
∴
∴
∴
答：该建筑物 的高度约为31.9m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅
助线构造直角三角形是解题的关键．
20．(本题8分)2022年10月12日我校推出四种校本课程：A．激光切割，B．数学游戏，
C．击剑，D．Python趣味编程，学生可在长沙市中小学课后服务系统选择自己心仪的选修
课程．为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调，并将调查结果绘
制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有_____人；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)在平时的“Python趣味编程”的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从
这四名同学中任选两名参加Python趣味编程大赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、
乙两位同学的概率．
【答案】(1)200；
(2)补图见解析；
(3)
【分析】（1）根据B的人数除以B的百分比即可求得总人数；
（2）求出最喜欢击剑校本课程的人数，补全条形统计图即可；
（3）画出树状图，根据概率公式求出概率即可．【详解】（1）解：由题意得， （人），
故答案为：
（2）解：最喜欢击剑校本课程的人数为： （人），
如图所示：
（3）解：画树状图得：
∴P（恰好同时选中甲、乙两位同学） ．
即恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为 ．
【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，熟练
掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
21．(本题8分)在四边形 中， ， ，对角线 、 交于点 ，
平分 ，延长 至点 ，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形 是平行四边形，再由等角对等边得出 ，即可得出结论；
（2）根据等边三角形的判定和性质得出 ，利用菱形的性质得出 ，
再由各角之间的数量关系得出 ，由勾股定理得出
，再由等角对等边即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和
性质，平行四边形的判定和性质，含 角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的
判定与性质是解题的关键
22．(本题9分)某实验田计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植 亩的总成本
（万元）由三部分组成，分别是农机成本，管理成本，其他成本，其中农机成本固定不变
为10万元，管理成本（万元）与 成正比例，其他成本（万元）与 的平方成正比例，在
生产过程中，获得如下数据：（单位：亩） 1 3
（单位：万元） 16 34
(1)求 与 之间的函数关系式：
(2)已知每亩的平均成本为12万元，求种植新型农作物的亩数是多少？
(3)若每亩的收益为15万元，当 为何值时，实验田总利润最大，并求出最大利润．【注：
总利润=总收益－总成本】
【答案】(1) 与 之间的函数关系式为
(2)每亩的平均成本为12万元时，种植新型农作物的亩数是 亩或 亩
(3)当 时，总利润最大，最大利润为 万元
【分析】（1）根据题意，设 与 之间的函数关系式为 ，再把 ，
和 ， 代入关系式，得出二元一次方程组，解出即可得出 与 之间的函
数关系式；
（2）根据题意，结合（1），可得 ，解出即可得出答案；
（3）设总利润为 ，每亩的收益为15万元，种植 亩，根据总利润=总收益－总成本，得
出 ，再根据二次函数的性质，即可得出最大利润．
【详解】（1）解：根据题意，设 与 之间的函数关系式为 ，
把 ， 和 ， 代入关系式，
可得： ，
解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：∵每亩的平均成本为12万元，种植 亩，
∴总成本为 万元，
∴可得： ，
解得： ， ，
∴每亩的平均成本为12万元时，种植新型农作物的亩数是 亩或 亩；
（3）解：设总利润为 ，每亩的收益为15万元，种植 亩，
∴ ，当 时，总利润 有最大值，最大利润为 （万元）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的
性质，解本题的关键在理解题意，正确得出二次函数的解析式．
23．(本题9分)如图， 内接于 ， ，点E在直径BD的延长线上，且
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，
①求阴影部分的面积；
②连接AO，试求以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② ，
【分析】（1）首先连接 ，由 ，利用圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又
由 ，即可求得 与 的度数，利用三角形外角的性质，求得 的度
数，又由 ，利用等边对等角，求得 ，则可求得 ，则可证得 是
的切线；
（2）①连接 ，先求得 ，再由（1）知 ，可求得
，则 ，又由（1）知： ， ，
，，即可由 求解；
②先求出 长 ，再根据以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的周长
等于 长求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ．∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：①连接 ，如图，
∵ 为 的直径，
∴ ，
由（1）知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又由（1）知： ， ，
∵ ，
∴ ；②由（1）知 ，
∵ ，
∴ 长 ，
设以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的半径为r，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，扇形面积和
弧长的计算等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
24．(本题10分)抛物线 与 轴交于点A和点B（点A在原点的左侧），
与 轴交于点C， ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，过线段 上一点E作 轴，在第一象限交抛物线于点P， 轴交
于点F，当 的面积为 时，求点P的横坐标；
(3)如图2，D为对称轴 右边抛物线上的任意一点，连接 ， 分别交 于M、N两
点，试证明 为定值．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据 可得 ， ，代入 即可求
解；
（2）先求出 ，设设 ，则 ， ，进而可得 ，结合t的取值范围即可求解；
（3）设 ，利用待定系数法可得直线 ，
直线 ，将 代入可得 ， ，进而可得
．
【详解】（1）解： ，点C在 轴正半轴上，点B在 轴正半轴上，
， ，
将 ， 代入 ，
可得 ，
解得 ，
该抛物线的解析式为 ；
（2）解：由 ， 可得 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵△BOC为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，或 （舍去），
解得 ，
∵点E在线段BC上，且 轴，
∴当点E与点C重合时，t取最小值，最小值为 ，
∴ ，
∴ ，
即点P的横坐标为 ；（3）解：由（1）知 ，
令 ，得 ，
解得 ， ，
∴ ，
设 ，直线 ，
因此可得： ，
解得： ，
∴直线 ，
同理可求直线 ．
抛物线的对称轴为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 为定值．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、求二
次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程等，解题的关键是熟练
掌握二次函数的图象及性质．
25．(本题10分)如图：在 中， 为 的半径，弦 于 ， 为 上一点，
连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 于 ，连接 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，延长 交 于 ，连接 ，若 ， ， ，
求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由垂径定理可知 ，再根据等弧所对的圆周角相等即可证明
；
（2）如图所示，延长 交 于E，证明 ， ，再证明 是
的中位线，即可证明 ；
（3）如图所示，连接 ，过点C作 于E，设 交 于Q，先解直
角三角形，求出 ，进而求出 ，由（2）可知，
，则可证 是等边三角形，得到 ，证明
，得到 ， ；设 则 ，
，利用勾股定理得到 ，解得 ，则 ，
， ， ，证明 ，得到 ，
代值计算即可．
【详解】（1）证明：∵ 为 的半径，弦 ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，延长 交 于E，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴点H为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；（3）解：如图所示，连接 ，过点C作 于E，设 交 于Q，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可知， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形中位线定理，全等三
角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形
等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
