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扬州市2026 年初中毕业升学考试数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6 页，包含选择题（第1 题~第8 题，共8 题）、非选择题（第9 题~第28 题，
共20 题）两部分．本卷满分150 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将本试卷和答
题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答
题卡的规定位置，在试卷第一面的右下角填写好座位号．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的
指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，必须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共有8 小题，每小题3 分，共24 分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置
．．．．．．．上）
1. 数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（ ）
A.
3
+
B.
2
+
C.
1
−
D.
4
−
【答案】C
【解析】
【分析】数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，要找最接近原点的点，只需比较各数
的绝对值，绝对值最小的即为所求．
【详解】解：∵ 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，
3
3
+
=
，
2
2
+
=
，
1
1
−
=
，
4
4
−
=
∵1
2
3
4
∴1
−对应的点到原点的距离最小，最接近原点．
2. 下列运算正确的是（ ）
A.
2
3
5
a
a
a
+
=
B.
2
3
5
a
a
a
=
C.
10
2
5
a
a
a
=
D. (
)
3
2
5
a
a
=
【答案】B
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【解析】
【详解】解：选项A，
2
a
与
3
a 不是同类项，不能合并，故A 错误；
选项B，
2
3
2 3
5
a
a
a
a
+
=
=
，故B 正确；
选项C，
10
2
10 2
8
5
a
a
a
a
a
−
=
=
，故C 错误；
选项D，
2 3
2 3
6
5
(
)
a
a
a
a
=
=
，故D 错误．
3. 下列调查中，适合采用普查的是（ ）
A. 调查一批电视机的使用寿命
B. 调查全省中学生最喜爱的体育运动项目
C. 调查江苏卫视“苏超”直播节目的全国收视率
D. 调查神舟二十三号载人飞船零部件的合格情况
【答案】D
【解析】
【分析】一般来说，范围过大、具有破坏性、对精确度要求不高的调查适合抽样调查，精确度要求高、事
关重大的调查适合采用普查，根据这个原则逐一判断选项即可．
【详解】解：A、调查电视机使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，故选项不符合题意；
B、调查全省中学生范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意；
C、调查全国收视率范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意；
D、神舟载人飞船零部件合格情况直接影响飞行安全，要求每个零件都合格，结果必须准确，因此适合采
用普查，故选项符合题意．
4. 一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是（ ）
A. 长方体
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 球
【答案】C
【解析】
【分析】分别判断各选项几何体的主视图，即可判断．
【详解】解：A、长方体的主视图是长方形，故选项不符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形或圆，故选项不符合题意；
C、圆锥的主视图可能是等腰三角形，故选项符合题意；
D、球的主视图是圆，故选项不符合题意；
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5. 关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
kx−
+
=
根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断根的情况
【答案】A
【解析】
【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况．
【详解】解：对于一元二次方程
2
1
0
x
kx
+
−=
，可得
1
a = ，b
k
=
，
1
c = −，
(
)
2
2
2
Δ
4
4 1
1
4
b
ac
k
k
=
−
=
−−
=
+
，
又∵ 无论𝑘 取任意实数，都有
2
0
k
，
2
4
0
k
+
，即Δ
0
，
∴ 该方程有两个不相等的实数根．
6. “拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明
手腕到手肘的距离为20cm ，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90，小明手腕的运动路线长为（ ）
A. 5πcm
B. 10πcm
C. 20πcm
D. 40πcm
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式
π
180
n r
l =
进行计算即可．
【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧，
∵ 半径
20
r
cm
=
，圆心角
90
n =
，
∴ 手腕的运动路线长：
(
)
π
90 π 20
10
180
180
n r
l
cm
=
=
=
．
7. 图1 是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2 所示，EF
BC
，
120
AGE
=
，
70
DCB
=
，则
BDC
= （ ）
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A. 50
B. 60
C. 70
D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行线的性质求得
70
DFE
DCB
=
=
，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵EF
BC
，
70
DCB
=
，
∴
70
DFE
DCB
=
=
，
∵
AGE
BDC
DFE
=
+
，
∴
120
70
50
BDC
−
=
=
．
8. 一次函数
(
)
0
y
x
b b
−
=
+
与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的部分图象如图所示，M 是它们的一个交点，N
是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M 作MA
x
⊥
轴，MB
y
⊥
轴，垂足分别为A，B；过点
N 作NC
x
⊥
轴，ND
y
⊥
轴，垂足分别为C，D．记矩形MAOB的面积为
1S ，周长为
1
C ，记矩形NCOD
的面积为
2
S ，周长为
2
C ，下列结论正确的是（ ）
A.
1
2
S
S
，
1
2
C
C
B.
1
2
S
S
，
1
2
C
C
C.
1
2
S
S
，
1
2
C
C
D.
1
2
S
S
，
1
2
C
C
【答案】B
【解析】
【分析】设点M 坐标为(
)
1
1
,
x y
，点N 坐标为(
)
2
2
,
x
y
，根据点M 在反比例函数图象上可得
1S 的值，根
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据点N 在反比例函数图象上方可得
2
S 与
1S 的关系；根据点M 在一次函数图象上可得
1
C 的值，根据点N
在一次函数图象下方可得
2
C 与
1
C 的关系．
【详解】设
(
)
1
1
,
M x y
，
(
)
2
2
,
N x
y
∵ 点M 在反比例函数
k
y
x
=
图象上
1
1
x y
k
=
1
1
1
S
x y
k
=
=
∵ 点N 在反比例函数图象的上方
2
2
k
y
x
，即
2
2
x y
k
2
2
2
S
x y
k
=
1
2
S
S
∵ 点M 在一次函数y
x
b
−
=
+
图象上
1
1
y
x
b
−
=
+
，即
1
1
x
y
b
+
=
∵矩形MAOB
∴
,
OB
MA BM
OA
=
=
，
(
)
1
1
1
2
2
C
x
y
b
=
+
=
∵ 点N 在一次函数图象的下方
2
2
y
x
b
−
+
，即
2
2
x
y
b
+
∵矩形NCOD
∴
,
DM
OC CN
OD
=
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
C
x
y
b
=
+
1
2
C
C
综上所述，
1
2
S
S
，
1
2
C
C
．
二、填空题（本大题共有10 小题，每小题3 分，共30 分．不需写出解答过程，请把答案直接
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填写在答题卡相应位置
．．．．．．．上）
9. “红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从1934 年10 月至1936 年10 月，历时735 天，中
央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据65000 用科学记数法表示为_______．
【答案】
4
6.5 10
【解析】
【详解】解：
4
65000
6.5 10
=
．
10. 分解因式：
3
9
a
a
−
＝________________．
【答案】(
)(
)
3
3
a a
a
+
−
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式a 再利用公式法即可得到答案．
【详解】解：
(
)(
)
3
9
3
3
a
a
a a
a
−
=
+
−
，
故答案为：(
)(
)
3
3
a a
a
+
−
．
11. 工厂对某批零件进行质检，结果如表：
抽取的零件数 100
200
300
500
1000
2000
3000
优等品的频数
91
189
277
466
929
1862
2789
优等品的频率
0.9100
0.9450
0.9233
0.9320
0.9290
0.9310
0.9297
从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到0.01）．
【答案】
0.93
【解析】
【详解】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在0.93附近，
因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为0.93．
12. 若一次函数
(
)
2
3
y
k
x
−
=
+
的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是______．
【答案】
2
k
【解析】
【分析】根据一次函数
(
)
2
3
y
k
x
−
=
+
得
2
0
k−
；图象经过第一、二、三象限，得到
2
0
k−
，解答
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即可;
【详解】解：根据题意，得
2
0
k−
；且
2
0
k−
，
解得
2
k
．
13. 《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知
其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知
道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各
带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______．
【答案】
1
50
2
2
50
3
x
y
y
x
+
=
+
=
【解析】
【分析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲
所带钱的三分之二也有五十钱，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，
根据题意：
1
50
2
2
50
3
x
y
y
x
+
=
+
=
．
14. 扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润．如图，扬州漆器作品《春山畅游》的轮廓是一个
正八边形，它的每个内角为_______°．
【答案】135
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式(
)
2
180
n−
求出正八边形的内角和，再根据正多边形的性质，用内角和
除以边数即可求出每个内角的度数．
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【详解】解：正八边形的边数
8
n =
根据多边形内角和公式，
该正八边形的内角和为
(
)
8
2
180
6 180
1080
−
=
=
，
∵正八边形的每个内角都相等，
∴每个内角的度数为1080
8
135
=
．
15. 如图，C 是以AB 为直径的
O
上一点，点D 在BC 上，
20
ABC
=
，则
CDB
=_______．
【答案】110
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出
90
ACB
=
，利用三角形内角和定理求出
CAB
的度数，
再根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
【详解】解：
AB
是
O
的直径，
90
ACB
=
，
20
ABC
=
，
90
70
CAB
ABC
−
=
=
，
∵ 四边形ACDB内接于
O
，
180
CDB
CAB
+
=
，
180
70
110
CDB
−
=
=
．
16. 如图，在ABC
中，D，E 分别是AB ，AC 的中点，点F 在DE 的延长线上．若ADE
的面积是
3，则BCF
的面积是_______．
【答案】6
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【解析】
【分析】连接𝐶𝐷 ，利用三角形中线的性质先后求得
2
6
ACD
ADE
S
S
=
=
，
6
BCD
ACD
S
S
=
=
，再利用三角
形中位线的性质求得DE
BC
，即可得到BCF
的面积是6．
【详解】解：连接𝐶𝐷 ，
∵点E 是AC 的中点，
∴
2
6
ACD
ADE
S
S
=
=
，
∵点D 是AB 的中点，
∴
6
BCD
ACD
S
S
=
=
，
∵D，E 分别是AB ，AC 的中点，
∴DE
BC
，
∴
6
BCF
BCD
S
S
=
=
，即BCF
的面积是6．
17. 如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形ABCD和正方形BEFG
按如图所示的方式摆放，在AB 边上取点M，使AM
BE
=
，沿MD ，MF 剪开，可拼成正方形MFND ．若
9
AE =
，
10
MN =
，则DAM
的面积是_______．
【答案】31
4
【解析】
【分析】设AD
AB
a
=
=
，AM
BE
b
=
=
，则
9
a
b
+
=
，利用正方形的性质可得
2
2
2
a
b
DM
+
=
，
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2
2
2
2
2
10
DM
DN
DM
+
=
=
，进而可得
2
2
50
a
b
+
=
，利用完全平方公式求得
31
2
ab =
，然后利用三角
形的面积公式求解即可．
【详解】解：在正方形ABCD和正方形BEFG中，
90
A
E
= =
，AD
AB
=
，AM
BE
=
，
设AD
AB
a
=
=
，AM
BE
b
=
=
，则
2
2
2
a
b
DM
+
=
，
∵
9
AE =
，
∴
9
AB
BE
+
=
，即
9
a
b
+
=
；
∵四边形MFND 是正方形，
∴DM
DN
=
，
90
MDN
=
，又
10
MN =
，
∴
2
2
2
DM
DN
MN
+
=
，即
2
2
2
10
DM
=
，
∴
2
50
DM
=
，则
2
2
50
a
b
+
=
，
∵(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
，即
2
9
50
2ab
=
+
，
解得
31
2
ab =
，
∴
1
1
31
2
2
4
DAM
S
AD AM
ab
=
=
=
．
18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶 ，
120
BAC
=
．将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转至AM（
BAM
是旋转角，且0
120
BAM
），连接BM ，CM ，作AN
CM
⊥
，垂足为N．用等式表示线段BM ，
CM ，AN 之间的数量关系为_______．
【答案】
2
2 3
CM
BM
AN
+
=
【解析】
【分析】过点A 作AH
BM
⊥
于点H，延长BM 交AN 延长线于点E，可推得
60
HAE
=
，则
30
MEN
=
，分别在Rt NME
和Rt HAE
中，利用特殊角三角函数关系，找到
,
NE ME 与MN 关系，
HE 与𝐴𝐸 之间的关系，再利用等腰三角形的性质，转化成BM ，CM ，AN 之间的数量关系．
【详解】解：过点A 作AH
BM
⊥
于点H，延长BM 交AN 延长线于点E，
由题意，AB
AM
AC
=
=
，
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∵AH
BM
⊥
，AN
CM
⊥
，
∴
1
1
,
2
2
MAH
BAM
NAM
MAC
=
=
，
1
1
,
2
2
HM
BM MN
CM
=
=
，
∴
(
)
1
1
60
2
2
HAE
MAH
NAM
BAM
MAC
BAC
=
+
=
+
=
=
，
∴在Rt NME
中，
30
MEN
=
，
∴
3
3
tan30
2
MN
NE
MN
CM
=
=
=
，
2
sin30
MN
ME
MN
CM
=
=
=
，
同理，在Rt HAE
中，
30
MEN
=
，
3
cos30
2
HE
HM
ME
AE
AN
NE
+
=
=
=
+
，
∴2
2
3
3
HM
ME
AN
NE
+
=
+
，
∴
1
3
2
2
3
2
2
BM
CM
AN
CM
+
=
+
，
整理，得
2
2 3
CM
BM
AN
+
=
．
三、解答题（本大题共有10 小题，共96 分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）
(
)
0
18
π
3
4sin45
−
−
−
；
（2）(
) (
)
2
9
3
a
a
b
a
+
−
．
【答案】（1）2 1
−
（2）ab
【解析】
【小问1 详解】
解：原式
2
3 2
1
4
2
=
−−
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3 2 1 2 2
=
−−
2 1
=
−；
【小问2 详解】
解：原式
2
2
9
9
a
ab
a
−
=
+
ab
=
．
20. 解不等式组
2
1
1
5
2
3
x
x
x
x
−
−
+
并求它的所有整数解的和
．．．．．．．．
【答案】1
2
x
−
，它的所有整数解的和为0
【解析】
【详解】解：
2
1
1
5
2
3
x
x
x
x
−
−
+
①
②
由①得，
2
x
；
由②得，
1
x
−
∴原不等式组的解集为：1
2
x
−
∴它的所有整数解为1
−，0，1，
∴所有整数解的和为：1 0 1
0
−+ + =
．
21. 某中学为了解七年级学生本学期的课外阅读情况，随机调查了20 名七年级学生，调查结果如图所示；
（1）被调查的20 名学生课外阅读图书数量的众数为_______本，中位数为_______本，平均数为_______
本；
（2）该中学七年级共有400 名学生，学校决定对本学期课外阅读图书数量达到5 本以上（含5 本）的学生
给予表彰，请估计七年级获得表彰的学生人数．
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【答案】（1）3，4 ，3.8
（2）估计七年级获得表彰的学生人数为120人
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义求解即可；
（2）根据样本估计总体，用400 乘以课外阅读图书数量达到5 本以上（含5 本）的学生的占比，即可求解．
【小问1 详解】
解：根据统计图可知：课外阅读图书数量为3本的人数最多，则被调查的20 名学生课外阅读图书数量的众
数为3本，
课外阅读图书数量从小到大排列，第11，12名学生的课外阅读图书数量为：4 ，4 ，则中位数为
4
4
4
2
+
=
本，
平均数为：
(
)
1 1 1 2 2
3 6
4 5 5 3 6 3
3.8
20
+ + + + +
=
（本）；
【小问2 详解】
解：
6
400
120
20
=
（人），
答：估计七年级获得表彰的学生人数为120人．
22. 为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生
随机选择其中一种．
（1）小慧选择玉米的概率是_______；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同
．．品种粗粮的概率．
【答案】（1）1
3
（2）2
3
【解析】
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即
可．
【小问1 详解】
解： 由题意可知，共有3 种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有1 种
因此小慧选择玉米的概率为
1
3；
【小问2 详解】
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解：画树状图为：
由树状图可知一共有9 种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有6 种，
∴小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是6
2
9
3
=
．
23. 用甲、乙两种型号的机器人搬运货物．已知乙型机器人比甲型机器人搬运效率高50%，且乙型机器人
搬运1500kg 货物比甲型机器人搬运1200kg 货物少用10 分钟．求这两种机器人每分钟分别搬运多少货物．
【答案】甲型机器人每分钟搬运20kg 货物，乙型机器人每分钟搬运30kg 货物
【解析】
【分析】设甲型机器人每分钟搬运kg
x
货物，根据效率关系表示出乙型机器人的搬运效率，再结合题目给出
的时间差关系列分式方程求解，最后检验得到结果．
【详解】解：设甲型机器人每分钟搬运kg
x
货物，
根据题意，乙型机器人效率比甲型高50%，
∴乙型机器人每分钟搬运(
)
(
)
1 50%
1.5
kg
x
x
+
=
，
∴甲型搬运1200kg 货物的时间为1200
x
分钟，乙型搬运1500 kg 货物的时间为1500
1.5x
分钟，
∵乙型搬运比甲型少用10 分钟，
∴1200
1500
10
1.5
x
x
−
=
200
10
x
=
解得
20
x =
，
经检验，
20
x =
是原方程的解，
∴1.5
1.5 20
30
x =
=
（千克），
答：甲型机器人每分钟搬运20kg 货物，乙型机器人每分钟搬运30kg 货物．
24. 如图，在
ABCD
中，O 是𝐶𝐷 的中点．分别延长AO ，BC 交于点E ，连接AC ，DE ．
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（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若
8
BE =
，
90
BAE
=
，求四边形ACED的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
//
AD BC ，即
//
AD CE ，
∴
DAO
CEO
=
，
ADO
ECO
=
，
∵O 是CD的中点，
∴DO
CO
=
，
在AOD
与EOC
中，
DAO
CEO
ADO
ECO
DO
CO
=
=
=
，
∴
(
)
AOD
EOC AAS
≌
，
∴AD
CE
=
，
又∵
//
AD CE ，
∴四边形ACED是平行四边形
（2）16
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得
//
AD CE ，进而推出两组内错角相等，再结合O 是CD中点
即DO
CO
=
，证明
(
)
AOD
EOC AAS
≌
，得AD
CE
=
，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形”即可证明四边形ACED是平行四边形；
（2）由四边形ABCD是平行四边形得BC
AD
=
，结合（1）中AD
CE
=
得BC
CE
=
，即𝐶 为BE 中点，
由此求出CE ，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出AC ，最后根据平行四边形周长公式计算四
边形ACED的周长即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
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解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC
AD
=
，
由（1）得AD
CE
=
，
∴BC
CE
=
，即𝐶 为BE的中点，
∵
8
BE =
，
90
BAE
=
，
∴
1
4
2
CE
BE
=
=
，
1
4
2
AC
BE
=
=
，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED的周长
(
)
(
)
2
2
4
4
16
AD
AC
=
+
=
+
=
．
25. “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一
定条件下进行了一系列的测试．
【数据收集】下表是测试所得的数据：
行车速度v
（km/ h）
40
45
55
70
80
100
视野角度f
（度）
100
89
73
57
50
40
（1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点．
【数学表达】
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（2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f （度）与行车速度v （km/ h）之间关系的函
数表达式．
【问题解决】
（3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80 度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范
围？
【答案】（1）
（2）
(
)
4000
0
f
v
v
=
（3）车辆的行驶速度应控制在不超过50km/ h ，即0
50km/
v
h
【解析】
【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即
可；
（2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值4000 ，判断为反比例函数，写出近似函数表达式
并标注自变量取值范围即可；
（3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控
制范围．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：观察表格数据，每组行车速度v 与视野角度f 的乘积近似等于4000 ，符合反比例函数的特征，因此
近似函数表达式为：
(
)
4000
0
f
v
v
=
；
【小问3 详解】
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解：由题意，要求视野角度不小于80 度，即
80
f
，代入函数表达式得：
4000
80
v
，
因为行车速度
0
v
，不等式两边同时乘v ，不等号方向不变：
4000
80v
，
解得
50
v
，
结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50km/ h ，即0
50km/
v
h
．
26. 如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，
90
ACB
=
，ABC
BAC
．以AB 边上的点O 为圆心，𝑂𝐴 长为半径的
O
与AC 边的另一交点为D ，BD为
O
的切线．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的
O
（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（2）若
4
AC =
，
1
tan
2
BAC
=
，求
O
的半径．
【答案】（1）解：
O
如下图所示．
作法：（1）作
DBC
A
=
，边BD交AC 于点D ；
（2）作𝐴𝐷 的垂直平分线EF ，交AB 于点O ；
（3）连接OD ，则OA
OD
=
；（4）以𝑂𝐴 为半径作
O
．
（2）3 5
4
【解析】
【分析】（1）先作
DBC
A
=
交AC 于点D ，再作𝐴𝐷 的垂直平分线，交AB 于点O ，以𝑂𝐴 为半径作
O
即可；
（2）由已知条件先求BC ，进一步可求DC 长度，𝐴𝐷 长度，
,
AF OF 均可求，最后借助勾股定理可求半
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径𝑂𝐴 长度．
【小问1 详解】
作图见答案，
证明：∵
90
ACB
=
，
90
DBC
BDC
+
=
，
∵ EF 为𝐴𝐷 垂直平分线，
OA
OD
=
，
OAD
ODA
=
，
∵
DBC
A
=
，
ODA
DBC
=
，
90
ODA
BDC
+
=
，
90
ODB
=
，
OD
BD
⊥
，
OD
为
O
半径，点D 在圆上，
BD
为
O
切线．
【小问2 详解】
1
4,tan
2
AC
BAC
=
=
，
1
tan
4
2
BC
BC
BAC
AC
=
=
=
，
2
BC
=
，
DBC
A
=
，
1
tan
tan
2
DBC
BAC
=
=
，
1
2
DC
BC
=
，
1
DC
= ，
3
AD
=
，
3
2
AF
DF
=
=
，
1
tan
2
OF
OAF
AF
=
=
，
3
4
OF
=
，
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2
2
3
3
9
9
45
3 5
2
4
4
16
16
4
OA
=
+
=
+
=
=
，
即
O
半径为3 5
4
．
27. 如图1，在边长为1 的正方形ABCD中，E 是𝐴𝐷 边上的动点（不与点A，D 重合）．将ABE
沿BE
翻折，得到FBE
．过点F 作FM
BE
⊥
，FN
BC
⊥
，垂足分别为M，N．
（1）如图2，若FM
FN
=
，求FM
FN
+
的值；
（2）如图3，若E 为𝐴𝐷 中点，则FM 的长为_______，FN 的长为_______；
（3）求点E 运动过程中FM
FN
+
的最大值．
【答案】（1）1 （2）
5
5
，3
5
（3）9
8
【解析】
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【分析】（1）根据翻折可得
ABE
EBF
=
，根据角平分线定理可得BF 平分
EBC
，可得
30
ABE
EBF
FBC
=
=
=
，进而可得
1
1
2
2
FN
BF
=
=
，即可求出FM
FN
+
的值；
（2）根据翻折可得AEB
FEB
≌
，计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法
1
1
2
2
FEB
S
EB FM
EF FB
=
=
计算即可，再证得四边形HNCD 为矩形，EFH
FBN
∽
，得到
EF
FH
EH
FB
BN
FN
=
=
，即可解出FN 的长；
（3）如图，延长NF 交𝐴𝐷 于H ，连接AM ，证明HFA
MAB
∽
，得到HF
AF
AM
AB
=
，设FM
x
=
，
FN
y
=
，表示出AM ，HF ，AF ，然后代入求出
2
2
1
y
x
−
=
+ ，然后表示出FM
FN
+
后利用二次函
数的性质求解．
【小问1 详解】
解：∵FM
BE
⊥
，FN
BC
⊥
，且FM
FN
=
，
∴BF 平分
EBC
，
∴
EBF
FBC
=
，
∵ABE
沿BE翻折得到FBE
，
∴
ABE
EBF
=
，
∴
ABE
EBF
FBC
=
=
，
∵
90
ABE
EBF
FBC
ABC
+
+
=
=
，
∴3
90
ABE
=
，
∴
30
ABE
FBC
=
=
，
在Rt BFN
中，
1
BF = ，
∴
1
1
2
2
FN
BF
=
=
，
又∵FM
FN
=
，
∴
1
1
1
2
2
FM
FN
+
=
+
=
；
【小问2 详解】
解：延长NF 交𝐴𝐷 于H ，
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∵正方形ABCD的边长为1，且E 为𝐴𝐷 中点，
∴
1
AD = ，
1
1
2
2
AE
AD
=
=
，AD
BC
，
90
A
D
C
=
=
=
，
∵ABE
沿BE翻折得到FBE
，
∴AEB
FEB
≌
，
∴
1
2
AE
EF
=
=
，
1
AB
BF
=
= ，
90
EFB
EAB
=
=
，
在Rt AEB
中，
2
2
2
2
1
5
1
2
2
EB
AE
AB
=
+
=
+
=
，
∵FM
BE
⊥
，
∴
1
1
2
2
FEB
S
EB FM
EF FB
=
=
∴
1
5
1 2
2
FM
=
∴
5
5
FM =
，
∵FN
BC
⊥
，AD
BC
，
∴FH
AD
⊥
，
∴
90
FHA
FNB
EFB
=
=
=
，
∵
90
D
C
=
=
，
∴四边形HNCD 为矩形，
∴
,
1
CN
DH DC
HN
=
=
= ，
∴
90 ,
90
EFH
NFB
NBF
NFB
+
=
+
=
，
∴
EFH
FBN
=
，
∴EFH
FBN
∽
，
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∴EF
FH
EH
FB
BN
FN
=
=
，
设BN
x
=
，则
(
)
1
1
1
,
1
2
2
CN
x EH
x
x
−
−
−
=
=
−
=
，
∴
1
1
2
2
1
x
FH
x
FN
−
=
=
，
∴
1
1
,
2
2
1
2
2
FH
x FN
x
x
−
−
=
=
=
，
∵
1
FH
FN
HN
+
=
=
，
∴
1
2
1
1
2
x
x
−+
=
，
解得
4
5
x =
，
∴
4
3
2
1
5
5
FN =
−=
；
【小问3 详解】
解：如图，延长NF 交𝐴𝐷 于H ，连接AM
由翻转得，点A，M，F 三点共线，
∴
90
AMB
=
由（2）得，FH
AD
⊥
∴
90
AHF
AMB
=
=
∴
90
HAF
HFA
+
=
∵
90
DAB
=
∴
90
HAF
MAB
+
=
∴
HFA
MAB
=
∴HFA
MAB
∽
∴HF
AF
AM
AB
=
设FM
x
=
，FN
y
=
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∴AM
FM
x
=
=
，
1
HF
HN
FN
y
−
−
=
=
，
∴
2
AF
AM
FM
x
=
+
=
∴1
2
1
y
x
x
−
=
整理得，
2
2
1
y
x
−
=
+
∴
2
2
1
9
2
1
2
4
8
FM
FN
x
y
x
x
x
−
−
−
+
=
+
=
+ =
+
∵2
0
−
∴当
1
4
x =
时，FM
FN
+
取得最大值9
8
．
28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
1
y
ax
bx
=
+
+ 经过点(
)
2,1 和(
)
4, 7
−
．
（1）求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
（2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（m
n
），记抛物线在M，N 之间的部分（包括M，
N 两点）为图象G．过图象G 的左右两端M，N 分别作x 轴的垂线，过图象G 的最高点和最低点分别作y
轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R．
①若
2
m
−
=
，矩形R 的垂直高度
9
h =
，则矩形R 的水平宽度p 的取值范围是_______；
②若矩形R 的水平宽度
5
p =
，则矩形R 的垂直高度h 的取值范围是_______；
③若矩形R 为正方形且边长为3，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为
2
2
1
y
x
x
= −
+
+ ，顶点坐标为(
)
1,2
（2）①3
6
p
②
25
4
h
③点M 的坐标为(
)
1
3, 1
−
−
或(
)
2
3,6 3 10
−+
−
【解析】
【分析】（1）将点(
)
2,1 和(
)
4, 7
−
分别代入
2
1
y
ax
bx
=
+
+ ，即可求得抛物线的表达式，再将抛物线的表
达式转换为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）①根据题意知点
(
)
2
,
2
1
N n
n
n
−
+
+
，可得
(
)
2, 7
M −
−
，再分当点N 在点M 上方的抛物线上时，当
第25页/共27页
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点N 在点M 下方的抛物线上时，两种情况分别求得矩形宽度的最小、最大值即可得出取值范围；
②根据题意得到矩形R 的垂直高度h 取最小值时，点
,
M N 关于抛物线对称轴直线
1
x =
对称，再由矩形
R 的水平宽度
5
p =
，得
3
2
m = −
，进而得
3
17
,
2
4
M
−
−
，可得矩形R 的垂直高度h 的取值范围；
③根据题意设
(
)
2
,
2
1
M m
m
m
−
+
+
，则
(
)
2
3,
4
2
N m
m
m
+
−
−
−
，然后，再分四种情况：第一种情况：
当
3 1
m+ ，即
2
m −时，
第二种情况：当
1
3
3
1
2
m
m
m
m
+
+
+
，即
1
2
2
m
−
−
时，第三种情况：当
1
3
3
1
2
m
m
m
m
+
+
+
，即
1
1
2
m
−
时，第四种情况：当
1
m 时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可．
【小问1 详解】
解：将点(
)
2,1 和(
)
4, 7
−
分别代入
2
1
y
ax
bx
=
+
+ ，得
4
2
1 1
16
4
1
7
a
b
a
b
+
+ =
+
+ = −
，解得
1
2
a
b
= −
=
，
∴抛物线的函数表达式为
2
2
1
y
x
x
= −
+
+ ，
∵
(
)
2
2
2
1
1
2
y
x
x
x
= −
+
+ = −
−
+
，
∴它的顶点坐标为(
)
1,2 ；
【小问2 详解】
①解：根据题意知点
(
)
2
,
2
1
N n
n
n
−
+
+
，
当
2
m
−
=
时，
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
2
1
7
y
x
x
= −
+
+ = −−
+ −
+ = −，
∴
(
)
2, 7
M −
−
，
当点N 在点M 上方的抛物线上时，
∵矩形R 的垂直高度
9
h =
，
∴7
9
2
−+
=
，
∴点N 的纵坐标为2，即
(
)
1,2
N
，此时，矩形宽度的最小值为
(
)
1
2
3
−−
=
；
当点N 在点M 下方的抛物线上时，
∵矩形R 的垂直高度
9
h =
，
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∴2 9
7
−= −，
当
7
y = −时，
2
2
1
7
n
n
−
+
+ = −，解得
2
n = −(舍去)或
4
n =
，
∴
(
)
4, 7
N
−
，此时，矩形宽度的最大值为
(
)
4
2
6
−−
=
．
综上，矩形R 的水平宽度p 的取值范围是3
6
p
；
②解：根据题意知，矩形R 的垂直高度h 取最小值时，点
,
M N 关于抛物线对称轴直线
1
x =
对称，
∵矩形R 的水平宽度
5
p =
，
∴
5
3
1
2
2
m = −
= −
，
当
3
2
m = −
时，
2
2
3
3
17
2
1
2
1
2
2
4
y
x
x
= −
+
+ = −−
+ −
+ = −
，
∴
3
17
,
2
4
M
−
−
，
∴
17
25
2
4
4
h
=
−−
=
，
∴矩形R 的垂直高度h 的取值范围是
25
4
h
；
③解：根据题意设
(
)
2
,
2
1
M m
m
m
−
+
+
，则
(
)
2
3,
4
2
N m
m
m
+
−
−
−
，
第一种情况：当
3 1
m+ ，即
2
m −时，
(
) (
)
2
2
4
2
2
1
6
3
3
N
M
h
y
y
m
m
m
m
m
=
−
= −
−
−
−−
+
+
= −
−
=
，
∴
1
m = −(舍去)；
第二种情况：当
1
3
3
1
2
m
m
m
m
+
+
+
，即
1
2
2
m
−
−
时，
(
)
2
2
2
2
2
1
2
1
3
M
h
y
m
m
m
m
=
−
=
−−
+
+
=
−
+ =
，
∴
1
3
m = −
或
1
3
m = +
(舍去)，
当
1
3
m = −
时，
(
)
(
)
2
2
2
1
1
3
2
1
3
1
1
m
m
−
+
+ = −
−
+
−
+ = −，
∴
(
)
1
3, 1
M
−
−
；
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第三种情况：当
1
3
3
1
2
m
m
m
m
+
+
+
，即
1
1
2
m
−
时，
(
)
2
2
2
2
4
2
4
4
3
N
h
y
m
m
m
m
=
−
=
−−
−
−
=
+
+
=
，
∴
2
3
m = −+
或
2
3
m = −−
(舍去)，
当
2
3
m = −+
时，
(
)
(
)
2
2
2
1
2
3
2
2
3
1
6 3
10
m
m
−
+
+ = −−+
+ −+
+ =
−
，
∴
(
)
2
3,6 3 10
M −+
−
；
第四种情况：当
1
m 时，
(
) (
)
2
2
2
1
4
2
6
3
3
M
N
h
y
y
m
m
m
m
m
=
−
= −
+
+
−−
−
−
=
+
=
，
∴
0
m =
(舍去)；
综上，点M 的坐标为(
)
1
3, 1
−
−
或(
)
2
3,6 3 10
−+
−
．
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