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第1页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 数学试卷 1．考试时间120 分钟； 2．全卷共三道大题，总分120 分； 3．请将答案填写在答题卡的指定位置． 一、选择题（本大题共10 道小题，每小题3 分，共30 分） 1. 剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，下面剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. 5 2 10 x x x = B. 2 2 4 2 m m m + = C. 2 2 2 ( ) x y x y + = + D. 3 3 ( 2 ) 8 a a − = − 3. 如图，一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据（单位：kg ）：47， 49，56，52，56．这组数据的众数和平均数分别是（ ） A. 52，52 B. 56，52 C. 56，50 D. 52，56 5. 深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023 年平均每公顷产7000 kg 水稻，到2025 年平均每公顷 产8470 kg 水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x ，可列方程为（ ） A. ( ) 7000 1 2 8470 x + = 第2页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 B. 2 7000(1 ) 8470 x + = C. ( ) 2 7000 7000 1 7000(1 ) 8470 x x + + + + = D. ( ) 7000 2 1 8470 x + = 6. 已知关于x 的分式方程4 2 1 2 2 k k x x − − = − − 的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A. 6 k − B. 6 k − C. 6 k −且 4 k − D. 6 k −且 4 k − 7. 在第25 届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩．为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰 雪运动进校园”活动．学校计划用300 元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20 元/个，钢笔15 元/个．所 有资金恰好用完，则购买方案有（ ） A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种 8. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线 ( ) 0 k y k x = 上有A，B 两点，AC x ⊥ 轴于点C ，BD x ⊥ 轴于 点D ，H 为OB 的中点， 6 AHO S = △ ，则k 的值为（ ） A. 8 B. 8 − C. 16 D. 16 − 9. 如图，在Rt ABC △ 中， 90 BAC = ， 30 B = ，D 为BC 上一点，且AC AD = ，E ，F 分别是 CD，AB 的中点，连接EF ，若 2 AC = ，则EF 的长为（ ） A. 2 3 B. 3 C. 1 D. 0.5 10. 如图，在菱形ABCD中，DE 垂直平分BC ， 1 2 EDF ADC = ，DF ，DE 分别交对角线AC 于 G ，H 两点，下列结论：①连接EF ，则DEF 为等边三角形；②过点G 作GN AD ⊥ 于点N ，则 第3页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 GN GF = ；③ 2 3 AG GH CH EF = = = ；④M 为边AB 上任意一点，连接MD 和ME ，若 4 5 BME DEC S S = △ △ ∶ ∶ ，则有 1 10 DAM ABCD S S = △ 菱形 ∶ ∶ ；⑤逆时针旋转 FDE ，使射线DF 与边AB 交于 点P ，射线DE 与边BC 交于点Q ，若 2 CQ = ， 2 2 AP = ，则 10 PQ = ；其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤ 二、填空题（本大题共10 道小题，每小题3 分，共30 分） 11. 2026 年5 月19 日，哈尔滨市举行万人徒步活动，约有12000 人参加．将数据12000 用科学记数法表示 为____________． 12. 在函数 2 y x− = 中，自变量x 的取值范围是____________． 13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC ，BD相交于点O，且OA OC = ，请添加一个条件 ____________，使四边形ABCD是平行四边形． 14. “七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为________．（标点不计） 15. 关于x 的不等式组 1 1 3 x a x − + 只有3 个整数解，则a 的取值范围是____________． 16. 如图，PA，PB分别与 O 相切于A，B 两点， 80 P = ，则 C = ____________． 17. 王芳用一个圆心角为120，半径为4 的扇形卡纸，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ____________． 第4页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 18. 如图，菱形ABCD的边长为10，对角线 16 BD = ，P ，Q 为BD上两个动点，且 2 PQ = ，则 AP AQ + 的最小值为____________． 19. 在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直 角三角形纸片进行折叠．已知Rt ABC △ ， 90 ABC = ， 30 C = ， 2 AC = ，在AC 边上找一点 D ，将纸片沿BD折叠，使点A落在A处，当ABD 的某一边与AC 边垂直时，A D =____________． 20. 如图， 1 B 是直线 1 : 2 2 l y x = + 与y 轴的交点，过点 1 B 作 1 1 AB l ⊥ 交x 轴于点 1A ，以 1 1 A B 为边，向右 作正方形 1 1 2 1 A B B C ，延长 2 1 B C 交x 轴于点 2 A ；以 2 2 A B 为边，向右作正方形 2 2 3 2 A B B C ，延长 3 2 B C 交x 轴 于点 3A ；以 3 3 A B 为边，向右作正方形 3 3 4 3 A B B C ，延长 4 3 B C 交x 轴于点 4A ；…，按照这个规律进行下 去，则点 n C 的纵坐标为____________． 三、解答题（本大题共8 道题，满分60 分） 21. 先化简，再求值： 2 2 1 4 1 3 6 9 x x x x − − + + + ，其中 4cos60 1 x = + ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，ABC 的三个顶点坐标分别为 ( ) 1, 2 A − ， ( ) 3, 2 B − ， ( ) 2, 3 C − ． 第5页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 （1）画出ABC 关于x 轴对称的图形 1 1 1 A B C △ ，并写出 1A 的坐标； （2）画出 1 1 1 A B C △ 绕点 1A 逆时针旋转90得到的 1 2 2 A B C △ ，并写出 2 C 的坐标； （3）求出（2）中线段 1 1 AC 所扫过的图形面积．（结果保留π ） 23. 如图，抛物线 2 y x bx c − = + + 经过 ( ) 1,0 A − ， ( ) 3,0 B 两点，交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）作射线BD交y 轴于点D ，使 15 CBD = ，则CD的长为_________________． 24. 为了传承东北抗联精神，某中学举行“红色经典”主题阅读活动．该校采用简单随机抽样的方法，对 本校学生一周的阅读时间（单位：min ）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下两幅不 完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）m = __________，C 组对应的频数__________，并补全直方图； （2）调查所得数据的中位数落在__________组（填组别）； 第6页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 （3）该校共有1500名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生一周阅读时间不少于60min 的学生人数． 25. 一条公路上依次有A，B，C 三地，甲车从A 地出发去C 地，途经B 地，到达C 地后，立即按原路原 速返回A 地；乙车在甲车出发0.1小时后从A 地去B 地，到达B 地停留2 小时，立即按原路原速返回，结 果比甲车提前0.3小时到达A 地，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲车行驶过程中距离B 地的路程 ( ) km y 与甲车行驶时间( ) x h 的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）A，C 两地之间的距离为__________km，乙车的速度为_______________km/ h ； （2）求线段EF 的函数解析式； （3）请直接写出乙车返回A 地前，甲车行驶多少小时，甲乙两车相距10km ． 26. 在正方形ABCD中，对角线AC ，BD相交于点O，E 为直线AC 上一点，连接BE ，过E 点作 EF BE ⊥ ，交AD边所在的直线于点F ． （1）如图①，当点E 在OC 上时，求证： 2 AB AF AE + = ； （2）如图②，当点E 在OA上时；如图③，当点E 在CA 的延长线上时，请分别写出线段AB ，AF ， AE 之间的数量关系，不需要证明． 27. “节能减排，倡导绿色出行”．某新能源汽车生产厂家推出特惠A ，B 两种型号的新能源汽车，已知 销售2 台A 型汽车和1台B 型汽车总售价为21万元，销售3台A 型汽车和2 台B 型汽车总售价为34万 元．已知A 型汽车的成本为每台7 万元，B 型汽车的成本为每台4.5 万元． （1）求A 型汽车和B 型汽车每台售价分别为多少万元？ （2）若汽车厂家售出A ，B 两种型号的汽车共50台，售出A 型汽车的数量不超过30台，并且投入的总 第7页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 成本不低于295 万元，求有哪几种销售方案？ （3）在（2）的条件下，全部售出，哪种销售方案获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 28. 如图，在平面直角坐标系中， AOBC 的AO 边与x 轴重合，点A在x 轴负半轴上，点C 在y 轴正半 轴上，OA，OC 的长是一元二次方程 2 7 12 0 x x − + = 的两个根（OA OC ）． （1）求点A和点C 坐标； （2）在OB 边上有一动点P 从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB 方向匀速运动，动点Q 从点A 出发，以每秒1.6个单位长度的速度沿折线A C B − − 匀速运动．已知P ，Q 两点同时出发，当点Q 运动到 点B 时，P ，Q 两点都停止运动，设运动时间为t 秒，求APQ 的面积S关于运动时间t 的函数解析式； （3）在x 轴上有一点 ( ) 1,0 R ，在y 轴上有一动点M ，在第一象限内是否存在一点N ，使得以M ， N ，R ，B 四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．
